重难点07：空间几何体体积问题的六种考法 讲义-2026-2027学年高二上学期数学沪教版必修第三册

2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题重难点07 空间几何体体积问题的六种考法 一、直接法求体积（也称公式法） 直接利用常见几何体的体积计算公式求解体积即可。 可直接使用公式的题目，“高”一般都可直接或间接找到 二、等体积法求三棱锥体积 1、等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性。 2、尽可能寻找在表面的三个点，通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积。 【注意】“换底”的结果是使新底面所对应的高简单易求。 三、多面体割补法求体积 1、分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则的几何体用公式不易求出时，再将其分割没转化成比较好求体积的几何体； 【注意】大多数情况下，可以把不规则几何体分割为三棱锥+四棱锥 多从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口” 2、补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算； 常见的补形有：（1）将正四面体补形成正方体； （2）将等腰四面体（对棱相等）补形成长方体； （3）将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体； （4）将台体补成锥体等等。 【注意】题设条件存在将规则几何体切去一些部分剩余的几何体的情况，补形法可简化题目。 四、两部分体积比例法（转移法） 利用祖暅原理和等积変化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积。 【注意】利用好“同底等高”和“同底比例高”，本质就是寻找合适的底面和平行高转化。 题型01 公式法求空间几何体的体积 1. 如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为___ 2. 已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________． 3. 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________． 4. 已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积． 5. 我国古代名著《张邱建算经》中记载:“今有方锥，下广二丈，高三丈.欲斩末为方亭，令上方六尺.问:斩高几何?”大致意思是:有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少?如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是(注:1丈=10尺) ( ) A.1 946立方尺 B.3 892立方尺 C.7784立方尺 D.11 676立方尺 6. 如图，在四棱锥中，底面，， ，，点为的中点，平面交侧棱于点，且四边形为平行四边形. （1）求证：平面平面； （2）当时，求四棱锥的体积. 题型02 割补法求组合体的体积 7. 一个五面体．已知，且两两之间距离为．，，，则该五面体的体积为________ 8. 如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，将折叠至，使得平面平面且交平面于． （1）求证：平面平面． （2）求三棱锥的体积． 9. 四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝CD＝2，PA⊥底面ABCD，E在PB上. （1）证明：AC⊥PD； （2）若PE＝2BE，求三棱锥P﹣ACE的体积. 10. 某五面体如图所示，下底面是边长为3的正方形，上棱，平面，与平面的距离为，该五面体的体积为_______ 11. 如图，在四棱锥中，，点到平面的距离为3． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 题型03 等体积转化法求锥体的体积 12. 在三棱柱中，侧棱底面，且三棱柱的体积为，的面积为．则点到平面的距离为_______ 13. 在三棱锥中，底面为正三角形，平面 ，若四点都在球的表面上，则点到平面的距离为_______ 14. 如图，已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，点分别为的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)求三棱锥的体积. 15. 如图，在五面体中，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，是的中点，侧棱与底面垂直，. (1)证明：平面； (2)若是线段上一动点，则三棱锥的体积是否为定值？若为定值，请说明理由并求出定值；若不为定值，请说明理由. 题型04 相似法求解几何体的体积之比问题 17. 如图，在多面体中，平面，，平面平面，，，，则四棱锥的体积为 　　． 18.如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是_______ 19.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B，C不重合）． （1）求证：EM⊥平面PBC； （2）设三棱锥B﹣EMN和四棱锥P﹣EBCD的体积分别为V1和V2，当N为BC中点时，求的值． 题型05 空间几何体体积的最值问题 20.已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为_____ 21. 已知四面体ABCD的顶点均在半径为3的球面上，若，则四面体ABCD体积的最大值为________ 22. 已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为______ 23.如图，中，，，E、F分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)若F为中点，且，求二面角的余弦值； (3)若D为中点，当点E在线段上（不含端点）运动时，求三棱锥的体积的最大值． 题型06 祖暅原理法求不规则几何体的体积 24.有趣的金马徐高想运用所学祖暅原理（如图1）解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为4的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为________．（结果保留）    25. 祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，为，为的椭球体的体积是 .    26. 刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆，径二寸，高二寸，又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一（如图一）．记正方形OABC的边长为r，设，过P点作平面PQRS平行于平面OABC．，由勾股定理有，故此正方形PQRS面积是．如果将图一的几何体放在棱长为r的正方体内（如图二），不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于．（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h，不难发现对于任何高度h，此截面面积必为，根据祖暅原理计算牟合方盖体积（    ） 注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”、意思是两个同高的立体图形，如在等高处的截面积相等，则体积相等． A． B． C． D． 27. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差.如图，是一“四脚帐篷”形状的几何体的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于底面ABCD的平面截该几何体，所得截面四边形均为正方形，请利用祖暅原理试求该几何体的体积是（   ）（提示：可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱） A． B． C．36π D．72π 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题重难点07 空间几何体体积问题的六种考法 一、直接法求体积（也称公式法） 直接利用常见几何体的体积计算公式求解体积即可。 可直接使用公式的题目，“高”一般都可直接或间接找到 二、等体积法求三棱锥体积 1、等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性。 2、尽可能寻找在表面的三个点，通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积。 【注意】“换底”的结果是使新底面所对应的高简单易求。 三、多面体割补法求体积 1、分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则的几何体用公式不易求出时，再将其分割没转化成比较好求体积的几何体； 【注意】大多数情况下，可以把不规则几何体分割为三棱锥+四棱锥 多从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口” 2、补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算； 常见的补形有：（1）将正四面体补形成正方体； （2）将等腰四面体（对棱相等）补形成长方体； （3）将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体； （4）将台体补成锥体等等。 【注意】题设条件存在将规则几何体切去一些部分剩余的几何体的情况，补形法可简化题目。 四、两部分体积比例法（转移法） 利用祖暅原理和等积変化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积。 【注意】利用好“同底等高”和“同底比例高”，本质就是寻找合适的底面和平行高转化。 题型01 公式法求空间几何体的体积 1. 如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为___ 【答案】 解析：三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1 的体积，三棱锥A­B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝. 2. 已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________． 答案　 解析　设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h， 则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π. ∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π. ∴l＝2，∴h＝， ∴V＝π(12＋22＋1×2)×＝. 3. 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________． 答案　 解析　＝××1×1×1＝. 4. 已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积． 解　如图，在三棱台ABC－A′B′C′中，取上、下底面的中心分别为O′，O，BC，B′C′的中点分别为D，D′，则DD′是梯形BCC′B′的高． 所以S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′. 又因为A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)． 由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325， 所以DD′＝(cm)， O′D′＝×20＝(cm)， OD＝×30＝5(cm)， 所以棱台的高h＝O′O＝ ＝＝4(cm)． 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V＝(S上＋S下＋) ＝× ＝1 900(cm3)． 5. 我国古代名著《张邱建算经》中记载:“今有方锥，下广二丈，高三丈.欲斩末为方亭，令上方六尺.问:斩高几何?”大致意思是:有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少?如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是(注:1丈=10尺) ( ) A.1 946立方尺 B.3 892立方尺 C.7784立方尺 D.11 676立方尺 【答案】B 【解析】如图所示，正四棱锥S-ABCD的底面边长为2丈， 即AB=20尺，高3丈，即SO=30尺. 截去一段后，得正四棱台ABCD-A1B1C1D1， 且上底面边长A1B1=6尺， ∴=，解得OO1=21， ∴该正四棱台的体积是×21×(202+20×6+62)=3 892(立方尺). 6. 如图，在四棱锥中，底面，， ，，点为的中点，平面交侧棱于点，且四边形为平行四边形. （1）求证：平面平面； （2）当时，求四棱锥的体积. 【答案】（1）详见解析；（2）. 【解析】（1）∵ABEF为平行四边形. ∴AB∥EF且AB=EF， ∵AD∥CD，∴EF∥CD ∵点E为PC的中点 ∴2EF=CD，∴ ∵，， ∴ 又底面， 得，平面 ∴平面 又∵平面，∴平面平面 （2）由（1）可知，∴PC=2，即， 又由题可知，又由底面，平面， 可得，平面，又 点到平面的距离为， 题型02 割补法求组合体的体积 7. 一个五面体．已知，且两两之间距离为．，，，则该五面体的体积为________ 【答案】 【解析】如图，用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为的等边三角形， 侧棱长为， 故． 8. 如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，将折叠至，使得平面平面且交平面于． （1）求证：平面平面． （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：，，，， 又，，，则． 又，平面，则， 又，，平面． 又平面，， 在中，由，，可得， 又为的中点，，而， 平面，则平面平面； （2）． 由已知，， ． ， ． ． 9. 四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝CD＝2，PA⊥底面ABCD，E在PB上. （1）证明：AC⊥PD； （2）若PE＝2BE，求三棱锥P﹣ACE的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）过A作AF⊥DC于F， 因为AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1， 所以CF＝DF＝AF＝1， 所以∠DAC＝90°，所以AC⊥DA， 又PA⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PA， 又PA，AD⊂平面PAD，PA∩AD＝A，所以AC⊥平面PAD， 又PD⊂平面PAD，∴AC⊥PD. （2）由PE＝2BE，可得VP﹣ACE＝VP﹣ABC﹣VE﹣ABC， 所以，， 所以三棱锥P﹣ACE的体积VP﹣ACE＝VP﹣ABC﹣VE﹣ABC. 10. 某五面体如图所示，下底面是边长为3的正方形，上棱，平面，与平面的距离为，该五面体的体积为_______ 【答案】6 【解析】在平面中，过，分别作，，交点分别为，， 在平面中，过，分别作，，交点分别为，， 连接，， ，，， 平面，平面， 平面，同理可得：平面， 平面平面， 该几何体分成中间一个直三棱柱和左右两个四棱锥，且两个四棱锥可合为一个大的四棱锥， 取中点， 平面，， 平面，平面， ，， 平面，平面， 平面，， 设两个四棱锥合在一起的大四棱锥的体积为， 五面体的体积为： ． 11. 如图，在四棱锥中，，点到平面的距离为3． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【解析】（1）连接交于点，连接， 因为，且，所以． 又因为，则，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为DE＝2EP，所以， 所以． 所以． 题型03 等体积转化法求锥体的体积 12. 在三棱柱中，侧棱底面，且三棱柱的体积为，的面积为．则点到平面的距离为_______ 【答案】 【详解】 设点到平面的距离为， 因为,, 所以， 因为，所以， 即点到平面的距离为． 13. 在三棱锥中，底面为正三角形，平面 ，若四点都在球的表面上，则点到平面的距离为_______ 【答案】 【详解】设底面中心为D，取BC的中点E，连接AE，则A，D，E三点共线，连接PE，过点D作底面的垂线， 取棱PA的中点Q，在平面PAE中，过Q作PA的垂线，则与的交点即为球心O， 在正中，，，得， 又，即， 则，，， 由余弦定理得，则， 过O作PE的垂线，垂足为G，由，， 因为，PA，平面，所以平面， 又平面PBC，则平面平面， 又平面平面，平面，因此平面PBC， 在中，， 所以球心O到平面PBC的距离为， 则三棱锥的体积为， 而，设点到平面的距离为， 由，得，解得， 则点到平面的距离为. 14. 如图，已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，点分别为的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)求三棱锥的体积. 【解析】（1）取的中点，连接， 因为点分别为的中点， 由题意可证得，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 而平面平面， 所以平面. （2）由（1）可得平面平面，平面平面， 所以. （3）由（1）可得平面， 所以点和点到平面的距离相等. 所以. 故所求锥体的体积为. 15. 如图，在五面体中，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【解析】（1） 如图所示，取的中点，连接. ，. 又平面，平面，， ，平面，平面. 点为中点，，又，， ，是平行四边形，， 平面，又平面，平面平面； （2）由（1）知平面，就是在平面内的射影， 即为直线与平面所成的角. 在中，，，， . 平面，平面，， 在中，， ，， 平面，又平面，， 在中，， ； （3）由（1）（2）可知，，，且， 又知平面，平面，就是三棱锥的高， . 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，是的中点，侧棱与底面垂直，. (1)证明：平面； (2)若是线段上一动点，则三棱锥的体积是否为定值？若为定值，请说明理由并求出定值；若不为定值，请说明理由. 【解析】（1）如图： 连接，交于，因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）由（1）平面，所以点，到平面的距离相等. 已知是的中点，侧棱与底面垂直，. 则为三棱锥的高， 又底面为正方形， 所以 . 题型04 相似法求解几何体的体积之比问题 17. 如图，在多面体中，平面，，平面平面，，，，则四棱锥的体积为 　　． 【解析】，平面，平面， 平面， 又平面，平面平面， ，则， ，，，， ， 则，即， 平面，是三棱锥的高 又，，，， ， 则． 故答案为：． 18.如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是_______ 【答案】 【详解】已知正三角形面积比为边长比的平方， 又因为正三棱台上、下底面边长为和， 因此上下底面积比， 设上底面积，则下底面积， 设棱台的高，即上下底面的距离为， 根据棱台体积公式可得： ， 又因为在上底面，到下底面的距离就是棱台的高， 因此：， ， 因此体积比：. 19.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B，C不重合）． （1）求证：EM⊥平面PBC； （2）设三棱锥B﹣EMN和四棱锥P﹣EBCD的体积分别为V1和V2，当N为BC中点时，求的值． 【解析】（1）证明：∵PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED＝E，EB，ED⊂平面EBCD， ∴PE⊥平面EBCD，又BC⊂平面EBCD，∴PE⊥BC， ∵BC⊥EB，PE，BE⊂平面PEB，PE∩BE＝E， ∴BC⊥平面PEB，又EM⊂平面PEB， ∴EM⊥BC， 由PE＝EB，PM＝MB知EM⊥PB， 又BC，PB⊂平面PBC，BC∩PB＝B， ∴EM⊥平面PBC； （2）∵N为BC中点， ∴， 点M，P到平面EBCD的距离之比为， ∴． 题型06 空间几何体体积的最值问题 20.已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为_____ 【答案】16 【解析】如图，将直三棱柱外补全成长方体， 则直三棱柱外接球的直径即为该长方体的对角线， 设，，则，， 直三棱柱的体积为， 当且仅当时，等号成立， 该棱柱体积的最大值为16． 21. 已知四面体ABCD的顶点均在半径为3的球面上，若，则四面体ABCD体积的最大值为________ 【答案】 【解析】如图，设为AB的中点，为CD的中点，为四面体ABCD外接球的球心， 因为， 所以，又， 所以，当且仅当AB与CD垂直，且均与EF垂直时取等号． 故答案为： 22. 已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为______ 【答案】 【详解】设球的半径为， 则有，解得， 又因为球心在棱上， 所以为直径且， 所以为直角三角形，且, 要使棱锥的体积最大， 则的面积最大，且点到平面的距离也要最大， 当平面时，最大，此时, 又, 当且仅当时，等号成立； 设三棱锥的体积为， 所以， 所以. 23.如图，中，，，E、F分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)若F为中点，且，求二面角的余弦值； (3)若D为中点，当点E在线段上（不含端点）运动时，求三棱锥的体积的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【详解】（1），，， 将沿折起，可得， 又，平面，平面，平面， 平面，. （2）由（1）可知，，，二面角的平面角为， 由F为中点，， 在中，由余弦定理得，， 所以二面角的余弦值为. （3）由D为中点，得，设，则， 以为底的三棱锥的高为点到底面的距离，则距离的最大值为， 所以三棱锥的体积， 当且仅当时取等号，所以三棱锥的体积的最大值为. 题型06 祖暅原理法求不规则几何体的体积 24.有趣的金马徐高想运用所学祖暅原理（如图1）解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为4的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为________．（结果保留）    【答案】 【详解】如图1，已知圆柱、圆锥底面圆半径、高和球体半径相等，设半球中阴影截面圆的半径， 球体半径为，则，截面圆面； 圆柱中截面小圆半径，大圆半径为，则截面圆环面积， 所以，又高度相等， 所以半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积. 同理，半球阴影截面上半部分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积.    如图2，设球体和水接触的上部分为，没和水接触的下部分为， 小半球相当于图1半球的截面上半部分，其体积等于图1中截面之上的圆柱体积减去相应圆台体积. 已知球体半径为，为等边三角形， ，， 根据祖暅原理， . 设图2中轴截面为梯形的圆台体积为，且， . 故答案为： 25. 祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，为，为的椭球体的体积是 .    【答案】 【解析】由题意，从而得到椭球的体积为，再代入数据求解即可. 因为总有圆所以，半椭球的体积等于， 故椭球的体积为，所以该椭环体积是. 故答案为：. 26. 刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆，径二寸，高二寸，又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一（如图一）．记正方形OABC的边长为r，设，过P点作平面PQRS平行于平面OABC．，由勾股定理有，故此正方形PQRS面积是．如果将图一的几何体放在棱长为r的正方体内（如图二），不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于．（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h，不难发现对于任何高度h，此截面面积必为，根据祖暅原理计算牟合方盖体积（    ） 注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”、意思是两个同高的立体图形，如在等高处的截面积相等，则体积相等． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】棱锥， 由祖暅原理图二中牟合方盖外部的体积等于棱锥 所以图1中几何体体积为， 所以牟合方盖体积为．故选：C． 27. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差.如图，是一“四脚帐篷”形状的几何体的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于底面ABCD的平面截该几何体，所得截面四边形均为正方形，请利用祖暅原理试求该几何体的体积是（   ）（提示：可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱） A． B． C．36π D．72π 【答案】B 【分析】作正四棱柱，正四棱柱的边长与帐篷底面正方形边长相等，在正四棱柱，作四棱锥，作一平行截面，先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可. 【详解】作正四棱柱，正四棱柱的边长与帐篷底面正方形边长相等， 在正四棱柱，作四棱锥， 为底面正方形的中心， 作截面平行于帐篷底面，与帐篷和正四棱柱与正四棱锥相截， 截面分别为四边形，四边形，四边形，如图所示， 设截面与底面的距离为，设底面中心为， 截面中心为，则，， 所以，所以截面的面积为. 设四棱柱底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为， 所以，所以，为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为， 所以四边形的面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 故选：B. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $