重难点03：立体几何中线面垂直证明6大题型讲义-2026-2027学年高二上学期数学沪教版必修第三册

本讲义聚焦立体几何中线面垂直证明核心知识点，系统梳理直线与平面垂直的定义、判定及性质定理，平面与平面垂直的判定及性质定理，构建线线、线面、面面垂直证明方法的学习支架，形成从基础定义到定理应用再到综合证明的完整知识脉络。 该资料以题型分类为特色，涵盖线线、线面、面面垂直证明及探索性、翻折类问题，方法点拨具体（如线线垂直七种证明方法），例题涉及正方体、四棱锥等多种几何体。通过多样题型培养学生空间观念（数学眼光）和逻辑推理（数学思维），符号与图形语言结合提升表达能力（数学语言），课中辅助教师系统教学，课后帮助学生查漏补缺，强化垂直证明能力。

2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点03 立体几何中线面垂直证明 知识点一、直线与平面垂直 1、直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直 2、直线与平面垂直的判定定理及性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 知识点二、平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质 定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 知识点三、“垂直关系”常见证明方法 1、直线与直线垂直的证明 （1）利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直,等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂直等。 （2）看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。 （3）利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。 （4）利用平面与平面垂直的性质推论：如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。 2、直线与平面垂直的证明 （1）利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面 等 （2）看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。 （3）利用直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。 （4） 利用平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 3、平面与平面垂直的证明 （1）利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等 （2）看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这两个平面互相垂直。 （3）利用平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 题型一、证明线线垂直 【方法点拨】证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质； ⑦平行线垂直直线的传递性． 1. 如图在正四棱柱中，为底面的对角线，为的中点，求证： 证明：因为四边形为正方形所以 又因为平面平面 所以因为相交于点所以平面因为平面 所以 2. 如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，． (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析； 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、已知线面角求其他量、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，再由线面垂直的性质定理得证线线垂直； 【详解】（1）因为是正方形，则， 因为平面平面,平面平面,平面， 所以平面， 又因为平面，所以； 3. 空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.求证：AC⊥BD. 【答案】证明见解析 【分析】异面直线所成角为90°，则两直线垂直. 【详解】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GEBD，同理GFAC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角． 在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°.∴AC⊥BD. 4.如图，四棱锥的底面是矩形，平面，E，F分别的中点，且． (1)求证：平面； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过构造平行四边形的方法来证得线面平行； （2）结合线面垂直的判定定理来证得平面，进而可证明线线垂直. 【详解】（1）设是的中点，由于是的中点， 所以, 由于是的中点，四边形是矩形, 所以. 所以, 所以四边形是平行四边形, 所以, 因为平面,平面, 所以平面. （2）由于平面， 平面，所以, 因为,,平面， 所以平面, 因为平面,所以, 因为是的中点,所以, 因为,平面, 以平面, 又因为平面,所以. 5.如图，桌面上摆放了两个相同的正四面体和. (1)求证：； (2)若，求四面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接与相交于点，证得为的中点，连接，，利用线面垂直的判定定理证得平面，即可得到； （2）过点分别作，得到分别为和的中心，分别求得的长度，结合平面，及，即可求解. 【详解】（1）证明：因为与共面，所以连接与相交于点， 因为和是相同的正四面体，所以四边形为菱形，则为的中点， 连接，，因为，，所以， 又因为，所以平面，所以； （2）解：在四边形中，过点分别作，垂足分别为， 如图所示，可得分别为等边和等边的中心， 因为，在等边中，可得，则，， 在直角中，可得， 同理可得，所以， 由（1）知，平面，可得平面， 所以. 6.如图，已知为等腰梯形， ，，平面，. (1)求证：； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接，利用等腰梯形的性质证得，再利用线面垂直的性质判定推理即得. （2）取的中点，作出二面角的平面角，在中求解即得. 【详解】（1）连接，在等腰梯形中，，，， 则，于是，即， 由平面，平面，得， 而平面，因此平面，又平面， 所以. （2）取的中点，连接，由，得， 在中，， 由平面，平面，得， 则，于是， 因此为二面角的平面角， 因为，平面， 则平面，又平面，则， 在中，，，则， 所以二面角的大小为. 7.如图，三棱锥中，，，，E为的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求平面和平面所成的锐二面角． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）连接，由题设易得、，进而有，再根据线面垂直的判定和性质证结论； （2）由题设易知是平行四边形，并证，构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的大小. 【详解】（1）连接，由，E为的中点，故， 由，，易知， 所以，E为的中点，则， 又，面，故面， 由面，故. （2）由，即，故是平行四边形， 由（1）及题设易知，，则， 所以，故，又面， 可构建空间直角坐标系，则， 所以， 若为面的一个法向量，则，令，则； 若为面的一个法向量，则，令，则； 所以平面和平面所成角余弦值， 故平面和平面所成的锐二面角为. 8．（2024·上海金山·二模）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，点是的中点，点在上，异面直线与所成的角是．    (1)求证：； (2)若，，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意易得，结合，可证平面，进而可证结论； （2）法一：取的中点，连接，，，取中点，连接，，，可得为所求二面角的平面角，进而求解可得二面角E−AG−C的大小． 法二：以为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式可求得二面角E−AG−C的大小． 【详解】（1）因为，所以是直线与所成角，为， 所以，得，                        又因为，且，平面，平面， 所以平面， 由平面，得． （2）解法一：取的中点，连接，，． 因为， 所以四边形为菱形， 所以． 取中点，连接，，．    则，， 所以为所求二面角的平面角． 又，所以． 在中，由于， 由余弦定理得， 所以，因此为等边三角形， 因此二面角E−AG−C的大小为． 解法二：以为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意得，，，，    故，，， 设是平面的一个法向量． 由，可得， 取，可得平面的一个法向量． 设是平面的一个法向量． 由，可得， 取，可得平面的一个法向量． 所以． 因此二面角E−AG−C的大小为． 题型二、证明线面垂直 【方法点拨】判定线面垂直的四种方法 9. 如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点，求证：平面EAB． 【答案】见解析 【分析】通过证明和，进而可得证. 【详解】 E，F分别是棱，的中点， 在Rt△和Rt△中，， 所以Rt△ Rt△，所以△， 因为，所以， 所以，即， 又因为正方体中，平面,平面， 所以，和平面EAB内的两条相交直线， 所以平面EAB. 10.如图，是棱长为1的正方体，是的中点。证明：平面 平面平面又交于点 平面又平面 连接交于点， 平面 又交于点平面 11.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，D是BC的中点，P是C C1的中点，求证： (1)A1B平面A C1D (2)B1P⊥平面A C1D 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）连接交于点，连接，证明，原题即得证； （2）证明和，原题即得证. 【详解】（1）连接交于点，连接，在正三棱柱中，， 侧面是正方形， 点是的中点，又点是的中点，故是△的中位线． ，又平面，平面，平面． （2）由（1）知，侧面是正方形，又、分别为、的中点，△△， ，， 在正三棱柱中，是的中点，，又侧面底面，且侧面底面，底面， 平面， 又平面， ，又，平面 平面. 12．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE. 证明：BD⊥平面PAC 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理和性质定理证明即可. 【详解】证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD ∴PA⊥BD．同理由PC⊥平面BDE，可证得PC⊥BD． 又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC． 13. 如图，在五面体中，平面，，，，，，分别为的中点，连接． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明即可； 【详解】（1）因为平面平面，所以． 又因为，平面，所以平面． 又平面，所以． 又因为为线段的中点，所以． 因为，所以． 因为分别为线段的中点，所以． 又，所以．即四点共面． 又平面平面， 所以平面． 14. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，且，，. (1)若F为PA的中点，求证平面PCD (2)求证平面PCD. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取PD中点E，连接EF、EC，可得且，则四边形EFBC为平行四边形，则，根据线面平行的判定定理，即可得证 （2）根据三角形性质，可证，结合（1）可得，根据线面垂直的判定定理，即可得证 【详解】（1）取PD中点E，连接EF、EC，如图所示 因为E、F分别为PD、PA中点， 所以，且， 又因为，且， 所以且， 所以四边形EFBC为平行四边形， 所以， 因为平面PCD，平面PCD， 所以平面PCD （2）因为，F为PA中点， 所以，则， 因为，平面PCD， 所以平面PCD. 15.如图，已知四棱锥的底面为菱形，. (1)求证：平面BDS； (2)若，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）由菱形与等腰三角形的性质，可得线线垂直，根据线面垂直判定，可得答案； （2）由菱形的性质与勾股定理，根据（1）可分割三棱锥的底与高，结合体积公式，可得答案. 【详解】（1）设AC与BD相交于点， 因为底面ABCD为菱形，所以，且为中点. 又因为，所以平面BDS， 所以平面BDS. （2）因为底面ABCD是菱形，，所以是等边三角形，则. 在中，，满足， 根据勾股定理逆定理可知，即. 由（1）知平面BDS，所以，. 在中，，则. 16.如图，在四棱锥中，底面，，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)若四棱锥的体积为，，，，，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理即得. （2）由（1）的信息确定二面角的平面角，利用锥体体积公式求出，再在直角三角形中求出解即可. 【详解】（1）由底面，平面，得， 由，得，而平面， 所以平面． （2）由（1）知，平面，而平面，则，又， 因此是二面角的平面角， 在中，， 显然，四边形为矩形，于是， 而四棱锥的体积，解得， 在中，，因此， 所以二面角的大小为. 17.在三棱锥中，，，，E为中点，为中点，设平面与平面交于直线. (1)证明：； (2)若，，取中点，证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由中位线得到，进而证明平面，再由线面平行的性质定理即可求证； （2）由，通过平方得到，在中，由余弦定理得到，，在中，得到 ，进而得到 ，再由 ，通过平方得到.进而得到.即可求证. 【详解】（1）因为为，中点， 所以，且. 因为平面，平面， 所以平面. 因为平面， 平面平面， 所以 （2）因为，N是中点， 所以. 在中，， 故. 又，，， 可得：. 在中，， 解得，所以. 在中，， 所以， ，所以. 在中，. 因为，且， 所以， 得. 在中，， 所以. 因为，平面， 所以平面. 题型三、证明面面垂直 【方法点拨】证明面面垂直的两种方法 18.（2025·上海长宁·二模）如图，在直三棱柱中，，点D是棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离以及三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见详解 (2)； 【分析】(1)利用面面垂直的判定定理进行证明； (2)利用等体积法求解即可. 【详解】（1） 连接，取的中点，连接，， ，， 在直三棱柱中，平面平面， 平面平面，平面， 平面， 分别为，的中点，且， 点D是棱的中点，且， 且，四边形是平行四边形， ，平面， 平面，平面平面； （2），，， 点D是棱的中点，， ，， 由(1)知平面，， ， ，， 设点到平面的距离为， ， ，， 点到平面的距离为，三棱锥的体积为. 19.如图，已知平面，为矩形，分别为的中点. (1)证明：； (2)若，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）平行四边形思想，平行线的传递性，线面垂直的判定定理和性质定理结合即可；（2）线面垂直性质定理，面面垂直的判定定理解决即可. 【详解】（1）设为的中点，连接. 因为分别为的中点， 所以，. 所以， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面ABCD，所以. 又因为，且平面 所以平面，所以. 因为，所以. （2）因为，所以，所以. 又平面，，所以平面，所以. 又因为平面，所以平面. 因为，所以平面.又因为平面，所以平面平面. 19.如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点． 求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】证明出平面PAD，由，得到CF⊥平面PAD，故证明面面垂直. 【详解】因为平面，AB平面ABCD，所以， 因为，所以， 因为，平面PAD， 所以平面PAD， 因为，所以平面PAD， 因为平面CFG， 所以平面平面PAD； 20.在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若，，． (1)证明：平面⊥平面； (2)求四棱锥的体积与表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)体积为，表面积为 【分析】（1）作出辅助线，由等腰三角形三线合一得到，求出各边长，由勾股定理逆定理得到，证明出线面垂直，得到面面垂直； （2）在（1）的基础上，得到为四棱锥的高，由体积公式求出四棱锥的体积，得到△QAB和△QCD均为直角三角形，△QAD和△QCB均为等腰三角形，求出四个三角形面积，求出表面积. 【详解】（1）取AD的中点为O，连接QO，CO． 因为，，则， 而，，故． 在正方形ABCD中，因为，故，故， 因为，故， 故为直角三角形且， 因为，平面，故⊥平面， 因为QO平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD． （2）取中点，连接， 由（1）可知为四棱锥的高，且， 底面正方形ABCD的边长为2， 所以四棱锥的体积， 由（1）可知平面QAD⊥平面ABCD， 又因为，AB平面ABCD，平面QAD平面， 所以AB⊥平面QAD， 又因为AQ平面QAD，QD平面QAD， 所以，，故 又，， 故⊥，△QAB和△QCD均为直角三角形，△QAD和△QCB均为等腰三角形, 其中， 四边形的面积为，三角形的面积为， 三角形的面积为，， 所以棱锥的表面积为． 21.如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形. （1）求证：平面平面； （2）设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证； （2）利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以， 因为底面是正方形，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 因为四棱锥的体积为， 所以，解得， 又平面，所以， 所以，, 所以正三角形面积为， 设点到平面的距离为， 则由可得：， 即，解得. 即点到平面的距离为. 22. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为PC中点，在棱PB上. (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】证明面面垂直、空间位置关系的向量证明、求平面的法向量、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）由面面垂直的判定定理即可证明； 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，，， 所以，所以， 又，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 23．（2024·上海杨浦·二模）如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形.    (1)求证：平面平面； (2)若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据给定条件，利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得. （2）连接，作于，证明平面，再计算即得. 【详解】（1）连接，交于点，由为等边三角形，得是的中心，则， 而平面，平面，则，又平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面.    （2）连接，作于，由（1）知平面，平面，则， 而平面，则平面， 显然，，则， 而，于是≌，因此， 所以点到平面的距离为. 题型四、线面垂直的探索性问题 24.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1⊥CC1，BC1⊥A1C，且E，F分别是BC，A1B1的中点. （1）求证：EF∥平面A1C1CA； （2）在线段AB上是否存在点P，使得BC1⊥平面EFP？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）证明：取A1C1中点G，连接FG，CG. 因为F，G分别是A1B1，A1C1的中点， 所以FG∥B1C1且FG＝B1C1. 在平行四边形BCC1B1中，B1C1∥BC且B1C1＝BC， 因为E是BC的中点，所以EC∥B1C1且EC＝B1C1. 所以EC∥FG且EC＝FG，所以四边形FECG是平行四边形，所以FE∥GC， 又因为FE⊄平面A1C1CA，GC⊂平面A1C1CA，所以EF∥平面A1C1CA. （2）当点P为线段AB的中点时，BC1⊥平面EFP，理由如下： 取AB的中点P，连接PE，PF. 因为BC1⊥CC1，BC1⊥A1C，A1C∩CC1＝C，所以BC1⊥平面ACC1A1， 因为P，E分别为AB，BC的中点， 则PE∥AC， 因为PE⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，则PE∥平面ACC1A1， 又因为EF∥平面ACC1A1，EF∩PE＝E，所以平面EFP∥平面ACC1A1， 所以BC1⊥平面EFP. 故当点P是线段AB的中点时，BC1⊥平面EFP，此时＝ 25. 如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点． (1)求证：平面PAD； (2)试确定当△PAD中PA与AD满足什么关系时，MN⊥平面PCD？并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)当时，MN⊥平面PCD 【分析】（1）根据题意可证∥且，则为平行四边形，即∥，结合线面平行的判定定理说明；（2）根据线面垂直的判定和性质均可得MN⊥平面PCD⊥PD． 【详解】（1）取的中点，连接 ∵分别为的中点，则∥且 又∵M是AB的中点且四边形ABCD为矩形，则∥且 则∥且，即为平行四边形，则∥ 平面PAD，平面PAD ∴平面PAD （2）若MN⊥平面PCD，∥，则⊥平面PCD ∴⊥PD，且为的中点 ∴ 若且为的中点，则⊥PD ∵PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD 四边形ABCD为矩形，则AD⊥CD ，则CD⊥平面PAD 平面PAD，则⊥CD ，则⊥平面PCD ∥，则MN⊥平面PCD 综上所述：当时，MN⊥平面PCD 26.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点． （1）求证：BM//平面PAD． （2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在；N为AE的中点． 【分析】（1）取PD的中点E，连接EM，AE，由中位线性质可证ABME是平行四边形，根据线面平行的判定可证BM∥平面PAD． （2）由线面垂直的判定及性质可得PD⊥平面ABME，作MN⊥BE，交AE于点N，由线面垂直的性质得MN⊥PD，即有MN⊥平面PBD，利用△BME∽△MEN得到线段比例关系证N为AE的中点. 【详解】（1）证明：取PD的中点E，连接EM，AE，则有且，而且， ∴，. ∴四边形ABME是平行四边形，即BM∥AE． ∵AE⊂平面PAD，BM⊄平面PAD， ∴BM∥平面PAD． （2）解：当N为AE的中点时，MN⊥平面PBD．理由如下： ∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，即AB⊥平面PAD， ∵PD⊂平面PAD， ∴AB⊥PD，又PA＝AD，E是PD的中点，即AE⊥PD，而AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面ABME． 作MN⊥BE，交AE于点N， ∴MN⊥PD，又PD∩BE＝E， ∴MN⊥平面PBD． 易知△BME∽△MEN，而， ∴，即，而， ∴N为AE的中点． 【点睛】关键点点睛： （1）由中位线性质证平行四边形，根据线面平行的判定证线面平行； （2）综合应用线面垂直的判定及性质证MN⊥平面PBD，结合三角形相似确定N的位置. 题型五、面面垂直的探索性问题 27.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，AB⊥AD，且CD＝2AB． (1)若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为，求二面角P﹣CD﹣B的大小 (2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并说明理由． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）先由题设条件与线面垂直的判定定理证得CD⊥AD，CD⊥PD，故∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，由此可求得二面角P﹣CD﹣B的大小； （2）先由三角形相似证得CO＝2AO，进而得到，从而证得PA//EO，再由线面垂直的性质证得EO⊥底面ABCD，由此可证平面EBD⊥平面ABCD． 【解析】（1）∵AB⊥AD，CD//AB，∴CD⊥AD， 又PA⊥面ABCD，面ABCD，∴PA⊥CD， 又面PAD，则CD⊥面PAD， 又面PAD，∴CD⊥PD， ∴∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角， ∵直线PB与CD所成的角为，CD∥AB， ∴直线PB与AB所成的角为，即， 故在直角三角形PBA中，PA＝AB，又AB＝AD， ∴在直角三角形PDA中，PA＝AD， ∴∠PDA＝45°，即二面角P﹣CD﹣B为45°. （2）当点E在线段PC上，且PE：EC＝2：1时，平面EBD垂直平面ABCD． 理由如下： 连结AC、BD交于O点，连EO． 由△AOB∽△COD，且CD＝2AB，得CO＝2AO，则， ∴PA∥EO， ∵PA⊥底面ABCD， ∴EO⊥底面ABCD， 又EO在平面EBD内， ∴平面EBD⊥平面ABCD． . 28.如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合，可得，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点，可证明平面平面，即此时平面平面，再计算的值即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为是线段的中点，所以， 结合得，所以四点共面． 又因为，所以， 由平面得． 又因为平面，平面，， 所以平面． （2）如图，将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 从而平面平面，即平面平面． 在中，，设，则，，， 所以． 设， 因为三点共线，所以，解得． 所以，故． 29.如图，直三棱柱中，点为棱的中点， ．    (1)求证：平面； (2)判断是否存在经过的平面满足，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)不存在，理由见详解. 【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线的性质可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）假设存在经过的平面满足，推导出，与矛盾，进而可得出结论. 【详解】（1）证明：连接交于点，连接，    在三棱柱中，四边形为平行四边形， 因为，则为的中点， 又因为为的中点，故， 因为平面，平面，因此平面. （2）解：假设存在经过的平面满足，因为平面，则， 因为平面，平面，， ，、平面，平面， 平面，， 事实上，，，故为等腰直角三角形，且，矛盾. 因此，不存在经过的平面满足. 30.直三棱柱中， ， ， ，点是线段上的动点. （1）当点是的中点时，求证： 平面； （2）线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，试求出的长度；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）如图，连接，交于点，连接，则点是的中点， 又点是的中点，由中位线定理得， 因为平面， 平面， 所以平面. （2）当时平面平面. 证明：因为平面， 平面，所以． 又， ，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 故点满足. 因为， ， ，所以， 故是以角为直角的三角形， 又，所以. 31.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，为等腰直角三角形，，，F是BC的中点． (1)在AD上是否存在点E，使得平面平面，若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由． (2)为等边三角形，在（1）的条件下，求直线SE与平面SBC所成角的正弦值． 【答案】(1)存在，E为AD的中点 (2) 【分析】(1)E为AD的中点，连接EF，SE，SF，则由已知条件可证得AD⊥平面SEF，再由面面垂直的判定定理可证得结论，(2)根据直线与平面的夹角的定义，确定直线SE与平面SBC所成角，再解三角形求其大小. 【详解】（1）在线段AD上存在点E满足题意，且E为AD的中点． 如图，取AD中点E连接EF，SE，SF，因为四边形ABCD是矩形，所以．又E，F分别是AD，BC的中点，所以，． 因为为等腰直角三角形，，E为AD的中点，所以． 因为，平面，平面， 所以平面． 又平面．所以平面平面． 故AD上存在中点E，使得平面平面． （2）过点E作于点G，由（1）知平面，又 则平面，平面， 所以，又，所以平面， 所以直线SE与平面SBC所成的角为， 由为等腰直角三角形，，得，．又， 因为为等边三角形，，所以, 在中，， 所以． 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 32. 在长方体中，，，E为棱上一动点， (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． 【答案】(1)1； (2)存在，且. 【分析】（1）连接，交于，在面内过作，交于，根据线面平行的判定找到的位置，进而求线段长； （2）问题化为证面，进而求的位置，即可得线段长. 【详解】（1）连接，交于，在面内过作，交于， 由面，面，则面， 故与重合时，满足题设要求， 根据长方体的性质，易知是的中点，故，即所求是中点， 所以； （2）存在，且，理由如下， 要使恒成立，只需垂直于所在平面即可， 当面，而面，故， 此时，即， 所以，则，可得. 题型六、立体几何中翻折类垂直问题 33. 在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．    (1)求证：平面； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)当为中点时，平面平面，证明见解析. 【分析】（1）连接，证明，，根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）取中点为，连接，，，先根据面面平行的判定定理，证明平面平面，再由平面平面，即可证明平面平面. 【详解】（1）因为，又为的中点， 所以为等边三角形，四边形为菱形，所以， 因为为的中点，所以，所以，即 连接，所以， 若使构成的四棱锥体积最大，则平面， 因为平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面；    （2）当为中点时，平面平面. 取中点为，连接，，，因为为边的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 所以平面平面， 由（1）得平面，又平面，所以平面平面， 所以平面平面.    34.如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2. (1)求证：DE∥平面A1CB； (2)求证：A1F⊥BE； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）证明DE∥BC，原题即得证； （2）证明A1F⊥平面BCDE，原题即得证. 【详解】（1）证明：因为D，E分别为AC，AB的中点， 所以DE∥BC. 又因为DE⊄平面A1CB，BC平面A1CB， 所以DE∥平面A1CB. （2）证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC， 所以DE⊥AC. 因为DE⊥A1D，DE⊥CD，又平面A1DC， 所以DE⊥平面A1DC. 而A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F. 又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，平面BCDE. 所以A1F⊥平面BCDE. 又平面BCDE, 所以A1F⊥BE. 35.如图甲，在四边形PBCD中，PD//BC，．现将△ABP沿AB折起得图乙，点M是PD的中点．证明： (1)； (2)PC⊥平面ABM． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图，取AB的中点E，连接PE，CE，AC，由题意可证△PBA、△ABC是正三角形，则PE⊥AB、EC⊥AB．根据线面垂直的判定定理和性质即可证明； （2）如图，取PC的中点N，连接MN，BN，则MN//AB，即A，B，N，M四点共面，得BN⊥PC．由（1），结合线面垂直的判定定理即可证明. 【详解】（1）如图，取AB的中点E，连接PE，CE，AC， ∵AD＝BC且AD//BC，故四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD且AB//CD． 又PB＝PA＝CD， ∴PA＝PB＝AB，即△PBA是正三角形， ∴PE⊥AB，在图甲中，，则， 由，知△ABC是正三角形，故EC⊥AB． 又，平面PEC， ∴AB⊥平面PEC，又平面PEC， ∴AB⊥PC． （2）如图，取PC的中点N，连接MN，BN， ∵M是PD的中点，∴MN//CD．由（1）知AB∥CD， ∴MN//AB，∴A，B，N，M四点共面． ∵PB＝BC，∴BN⊥PC． 由（1）AB⊥PC，又，平面ABNM， ∴PC⊥平面ABNM，即PC⊥平面ABM． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点03 立体几何中线面垂直证明 知识点一、直线与平面垂直 1、直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直 2、直线与平面垂直的判定定理及性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 知识点二、平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质 定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 知识点三、“垂直关系”常见证明方法 1、直线与直线垂直的证明 （1）利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直,等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂直等。 （2）看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。 （3）利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。 （4）利用平面与平面垂直的性质推论：如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。 2、直线与平面垂直的证明 （1）利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面 等 （2）看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。 （3）利用直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。 （4） 利用平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 3、平面与平面垂直的证明 （1）利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等 （2）看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这两个平面互相垂直。 （3）利用平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 题型一、证明线线垂直 【方法点拨】证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质； ⑦平行线垂直直线的传递性． 1. 如图在正四棱柱中，为底面的对角线，为的中点，求证： 2. 如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，． (1)求证：； 3. 空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.求证：AC⊥BD. 4.如图，四棱锥的底面是矩形，平面，E，F分别的中点，且． (1)求证：平面； (2)求证：． 5.如图，桌面上摆放了两个相同的正四面体和. (1)求证：；(2)若，求四面体的体积. 6.如图，已知为等腰梯形， ，，平面，. (1)求证：； (2)求二面角的大小. 7.如图，三棱锥中，，，，E为的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求平面和平面所成的锐二面角． 8．（2024·上海金山·二模）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，点是的中点，点在上，异面直线与所成的角是．    (1)求证：； (2)若，，求二面角的大小． 题型二、证明线面垂直 【方法点拨】判定线面垂直的四种方法 9. 如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点，求证：平面EAB． 10.如图，是棱长为1的正方体，是的中点。证明：平面 11.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，D是BC的中点，P是C C1的中点，求证： (1)A1B平面A C1D (2)B1P⊥平面A C1D 12．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE. 证明：BD⊥平面PAC 13. 如图，在五面体中，平面，，，，，，分别为的中点，连接． (1)求证：平面； 14. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，且，，. (1)若F为PA的中点，求证平面PCD (2)求证平面PCD. 15.如图，已知四棱锥的底面为菱形，. (1)求证：平面BDS； (2)若，求四棱锥的体积. 16.如图，在四棱锥中，底面，，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)若四棱锥的体积为，，，，，求二面角的大小． 17.在三棱锥中，，，，E为中点，为中点，设平面与平面交于直线. (1)证明：； (2)若，，取中点，证明：平面. 题型三、证明面面垂直 【方法点拨】证明面面垂直的两种方法 18.（2025·上海长宁·二模）如图，在直三棱柱中，，点D是棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离以及三棱锥的体积． 19.如图，已知平面，为矩形，分别为的中点. (1)证明：； (2)若，求证：平面平面. 19.如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点． 求证：平面平面； 20.在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若，，． (1)证明：平面⊥平面； (2)求四棱锥的体积与表面积． 21.如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形. （1）求证：平面平面； （2）设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 22. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为PC中点，在棱PB上. (1)求证：平面平面； 23．（2024·上海杨浦·二模）如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形.    (1)求证：平面平面； (2)若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离. 题型四、线面垂直的探索性问题 24.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1⊥CC1，BC1⊥A1C，且E，F分别是BC，A1B1的中点. （1）求证：EF∥平面A1C1CA； （2）在线段AB上是否存在点P，使得BC1⊥平面EFP？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 25. 如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点． (1)求证：平面PAD；(2)试确定当△PAD中PA与AD满足什么关系时，MN⊥平面PCD？并说明理由． 26.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点． （1）求证：BM//平面PAD． （2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由． 题型五、面面垂直的探索性问题 27.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，AB⊥AD，且CD＝2AB． (1)若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为，求二面角P﹣CD﹣B的大小 (2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并说明理由． 28.如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 29.如图，直三棱柱中，点为棱的中点， ．    (1)求证：平面； (2)判断是否存在经过的平面满足，并说明理由． 30.直三棱柱中， ， ， ，点是线段上的动点. （1）当点是的中点时，求证： 平面； （2）线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，试求出的长度；若不存在，请说明理由. 31.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，为等腰直角三角形，，，F是BC的中点． (1)在AD上是否存在点E，使得平面平面，若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由． (2)为等边三角形，在（1）的条件下，求直线SE与平面SBC所成角的正弦值． 32. 在长方体中，，，E为棱上一动点， (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． 题型六、立体几何中翻折类垂直问题 33. 在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．    (1)求证：平面； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论． 34.如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2. (1)求证：DE∥平面A1CB； (2)求证：A1F⊥BE； 35.如图甲，在四边形PBCD中，PD//BC，．现将△ABP沿AB折起得图乙，点M是PD的中点．证明： (1)； (2)PC⊥平面ABM． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $