第07讲 球与组合体 讲义-2026-2027学年高二上学期数学沪教版必修第三册

本讲义聚焦球与组合体核心知识，系统梳理球的定义、表面积与体积公式、截面性质，多面体与旋转体分类，以及外接球、内切球、拼接型组合体三大模型，构建从基础概念到复合应用的递进式学习支架。 资料通过6个易错辨析（如公式记忆、截面关系等）培养数学思维的严谨性，9类典例（含上海本地考题）结合挡车球、浮球等现实情境训练数学眼光，分层作业助力课后查漏补缺，课中辅助教师高效授课，提升学生用数学语言规范表达和解决问题的能力。

第07讲 球与组合体 （核心知识+6易错辨析+9典例精讲+课后作业） 【题型一】球的截面的性质及计算 【题型六】由平面图形旋转得旋转体 【题型二】球的体积的有关计算 【题型七】组合体 【题型三】球的表面积的有关计算 【题型八】求组合多面体、组合旋转体的表面积 【题型四】多面体概念及分类、性质探究 【题型九】求组合体、旋转体的体积 【题型五】多面体与球内切外接问题 【知识点01】球的概念、公式与核心性质 1. 球的定义 几何定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的旋转体叫做球体（简称球），半圆的圆心为球心，半圆的半径、直径分别为球的半径、直径。 空间定义：空间内到定点（球心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合，球是封闭的曲面旋转体。 2. 球的核心计算公式（必考） 设球的半径为，则球的表面积、体积标准公式： 表面积： 体积： 3. 球的截面核心性质 任意平面截球，所得截面均为圆形。设：球半径、截面圆半径、球心到截面的垂直距离，三者满足立体几何核心勾股定理： ① 大圆：平面过球心，，，为球最大截面圆； ② 小圆：平面不过球心，，。 4. 球面距离 球面上两点间的最短路径为过两点的大圆劣弧长度，称为球面距离。若两点对应的球心角为（弧度制），则： . 【知识点02】多面体与旋转体基础分类 1. 多面体 由若干个平面多边形围成的封闭几何体，无曲面、无弧度，所有棱、顶点均由平面相交形成。 常见类型：棱柱（直棱柱、斜棱柱）、棱锥、棱台，是组合体的核心内嵌几何体。 2. 旋转体 由一个平面图形绕平面内一条定直线（旋转轴）旋转一周形成的封闭几何体，包含曲面结构。 常见类型：圆柱、圆锥、圆台、球。其中球是唯一仅由曲面构成的旋转体，无棱、无顶点、无平面。 【知识点03】组合体三大核心模型 组合体指由球与多面体、旋转体通过外接、内切、拼接形成的复合几何体，沪教必修三核心考查三类模型。 1. 几何体外接球模型 定义：几何体所有顶点均落在球面上，球外接于几何体，几何体内接于球。 核心特征：球心到几何体所有顶点距离相等，均等于球半径。 高频结论： ① 正方体（棱长）：外接球直径=体对角线，； ② 长方体（长宽高）：； ③ 直三棱柱：球心为上下底面三角形外心连线的中点。 2. 几何体内切球模型 定义：球与几何体所有面相切，球内切于几何体，几何体外切于球。 核心特征：球心到几何体各个面的距离相等，均等于内切球半径。 通用万能公式（等体积法）： 特殊结论：正方体内切球直径等于棱长，。 3. 拼接型组合体 由球、圆柱、圆锥、棱柱等几何体拼接组合而成，无内嵌内切关系。解题核心：体积直接相加；表面积需扣除几何体拼接重合的遮挡面。 易错点1：球公式记忆混淆、系数遗漏 错误误区：混淆表面积与体积公式，记错系数，将体积写为、表面积写为。 正确辨析：表面积为二次公式，体积为三次公式，系数固定不可更改。 易错点2：球截面三边关系颠倒 错误误区：误写截面公式，混淆三者大小。 正确辨析：球半径为直角三角形斜边，恒满足，最大。 易错点3：球面距离与弦长概念混淆 错误误区：将球面上两点的直线弦长当作球面距离。 正确辨析：弦长是空间直线距离，球面距离是大圆劣弧曲线长度，二者物理意义、计算公式完全不同。 易错点4：内外接球核心特征混淆 错误误区：外接球看面距、内切球看顶点距。 正确辨析：外接球对标顶点（等距顶点），内切球对标平面（等距切面）。 易错点5：球面距离角度制直接代入计算 错误误区：球心角为角度制时，直接用计算。 正确辨析：该公式仅适用于弧度制，角度制必须先转化为弧度再计算。 易错点6：组合体表面积计算不扣重合面 错误误区：组合体表面积=各几何体表面积直接求和。 正确辨析：拼接重合的面被遮挡，不属于外表面，必须扣除两倍重合面积（双方遮挡）。 【题型一】球的截面的性质及计算 【典例1-1】（24-25高二·上海·课堂例题）球的半径为10cm，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（    ） A．6cm； B．4cm； C．8cm； D．9cm． 【变式1-1】（25-26高二上·上海黄浦·期末）在球中，一条直径AB垂直于小圆所在的平面，垂足为.若，则小圆的半径为____________. 【变式1-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）设地球的半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们的经度相差90°，求：这两点所对的纬线劣弧长． 【变式1-3】已知球的直径长为10，过直径上一点且垂直于直径的平面截球面得圆． (1)若，求圆的半径； (2)若圆的面积为，求球心到该截面的距离． 【题型二】球的体积的有关计算 【典例2-1】大圆面积为的球的体积是________． 【变式2-1】（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）如图是青浦高级中学高二教学楼前的花岗岩挡车球，也叫石球．该石球是空心球，它的外直径为，内直径为，石球材料的密度为，则该石球的质量为___________千克（,答案精确到0.01千克） 【变式2-2】（25-26高二上·上海·期末）球面上三点A、B、C所确定的截面到球心的距离等于球半径的四分之一，且，，，则球的体积为________． 【变式2-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，用一平面去截球O，所得截面面积为，球心O到截面的距离为3cm，为截面小圆圆心，AB为截面小圆的直径．求球O的体积．    【题型三】球的表面积的有关计算 【典例3-1】（25-26高二下·上海·阶段检测）半径为的球的表面积为_____ 【变式3-1】（25-26高二上·上海·期末）设一个球的大圆面积为，则该球的表面积为______． 【变式3-2】（25-26高二上·上海·期中）湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为cm，深为cm的空穴，则这个球的表面积为___________． 【变式3-3】（25-26高二上·上海闵行·期中）如图，半球内有一内接正方体（即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球上）；若正方体的棱长为，求： (1)半球的半径； (2)半球的表面积和体积． 【题型四】多面体概念及分类、性质探究 【典例4-1】一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角和为，则它的棱数为（    ） A．24 B．22 C．18 D．16 【变式4-1】数学家欧拉发现简单凸多面体的顶点数V、棱数E及面数F之间有固定的关系，即著名的欧拉公式：．如图所示为上世纪八十年代科学家首次发现的碳60的电子显微镜图，它是由五边形和六边形面构成的多面体，共有60个顶点，每个顶点均为碳原子，且每个顶点引出三条棱，形似足球．根据以上信息知，碳60的所有面中六边形的个数是（    ） A．12 B．20 C．32 D．40 【变式4-2】如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则______是正多面体.（写出所有正确的序号）    【变式4-3】（24-25高二·上海·随堂练习）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体的所有棱长和为________． 【题型五】多面体与球体内切外接问题 【典例5-1】（24-25高二下·上海·期中）如图，半球内有一内接正四棱锥，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·上海·期中）长方体的8个顶点都在同一个球面上，且，，则球的表面积为___________． 【变式5-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）某圆柱形容器里有一个球，该球与圆柱形容器的底面和侧面都相切，若球的体积为 则圆柱的表面积为_______． 【变式5-3】（2025高二上·上海·专题练习）棱长为的正四面体的内切球半径为，若，求正四面体体积． 【题型六】由平面图形旋转得旋转体 【典例6-1】（25-26高二下·上海·期中）若把该立体图形绕某条直线旋转角度，，使之与原图形重合，则该直线称为该立体图形的旋转轴．侧棱互相垂直的正三棱锥的旋转轴的条数为（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 【变式6-1】（25-26高二上·上海·期中）一只充满气的游泳圈可由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图像是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，该几何体是由哪个平面图形旋转得到的？画出其余平面图形旋转得到的几何体．（  ）    A．   B．   C．   D．   【变式6-3】（24-25高二上·上海·课前预习）我们已经知道，圆柱和圆锥都是旋转体，还有什么生活中常见的几何体也是旋转体？ 【题型七】组合体 【典例7-1】圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】图中的十面体的面是由四个正五边形，四个三角形和两个正方形组成的，则图中上正方形面积是下正方形面积的（    ）倍. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个过球心的平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】指出下图中的几何体是由哪些简单几何体组成的． 【题型八】求组合多面体、组合旋转体的表面积 【典例8-1】在矩形中，为边的中点，，，分别以、为圆心，为半径作圆弧、（在线段上）.由两圆弧、及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积为________. 【变式8-1】（24-25高三上·上海松江·开学考试）正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是______． 【变式8-2】（24-25高二上·上海静安·期中）如图所示，一种机器零件由两部分组成，下部分是实心的正六棱柱，上部分是实心的圆柱（尺寸单位：）电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11千克，则电镀10000个这种零件需要锌____千克.（结果精确到0.01）      【变式8-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）在正方体中，E、F、M分别为棱AD、AB、的中点，现从顶点A处截去三棱锥，仿此同样方式，在顶点B、C、D、、、、处各截去一个三棱锥，设剩下的几何体为， (1)几何体是几面体？共有多少条棱？（直接写出结论，不需要说明理由） (2)若正方体的棱长为2，求几何体的表面积． 【题型九】求组合体、旋转体的体积 【典例9-1】若和围成的封闭平面图形绕轴旋转一周，则所得体积与绕轴旋转一周所得体积之比是（    ）． A． B． C． D． 【变式9-1】某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）.现把半径为10cm的圆形蛋皮分成相同的5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的体积（精确到0.1）. 【变式9-2】（25-26高二上·上海普陀·期中）如图所示，正方体的棱长为3，试计算以其所有面的中心为顶点的多面体的体积. 【变式9-3】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知，都垂直于平面，且 是的中点，求： (1)绕着直角边旋转一周，求旋转后几何体的表面积 (2)求证：平面 1. 球核心考点总结 牢记球的表面积、体积两大基础公式；掌握截面勾股模型；区分大圆与小圆、球面距离与弦长，弧度制是球面距离计算的关键前提。 2. 几何体分类要点 多面体全平面无曲面，旋转体含曲面；球为特殊旋转体，是组合体考查的核心载体，常与棱柱、长方体结合出题。 3. 组合体解题口诀 外接看顶点，直径对对角线；内切看切面，等体积求半径； 组合体积直接加，表面积必扣重合；截面问题找直角，球面计算用弧度。 4. 考场避错核心 杜绝公式记错、概念混淆、区间公式颠倒、角度混用、表面积重复计算五大失分点，规范步骤书写，轻松应对选择、填空、解答大题。 一、单选题 1．（2025高二上·上海·专题练习）给出下列空间几何体：①球；②建筑用的方砖；③茶杯；④埃及的金字塔．其中属于多面体的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法中正确的个数是（   ） ①半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆 A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，已知多面体的底面与顶面平行且均为矩形.若，，则该多面体的体积为（    ）    A． B．37 C． D．47 二、填空题 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知球的体积为，则球的表面积为______. 5．（25-26高二上·上海黄浦·期末）已知一几何体有六个顶点，它们是某个正方体六个面的中心.若该几何体的体积为36，则这个正方体的棱长为____________. 6．（25-26高二上·上海·期中）如图，已知平面，，，，，是的中点，则绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积是___________． 7. （24-25高二上·上海·阶段检测）已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面，，且，，则球的表面积为________. 三、解答题 8．（24-25高二·上海·课堂例题）求底面半径为10、母线长为26的圆锥的内切球的表面积及体积． 9.（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，在中，，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，交BC于点N），求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积． 10．如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是，圆柱筒的高是． (1)求这种“浮球”的体积； (2)现要在这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要花费防水漆元，共需花费多少费用？ 11．（25-26高二上·上海闵行·期中）如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥；已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为． (1)计算该模型的体积； (2)现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方厘米元，总费用是多少？ 12．（25-26高二上·上海浦东新·期中）如图，观察足球：这是由块黑皮（正五边形）和块白皮（正六边形）缝合在一起形成的面体.记面数为，棱数为，顶点数为.作如下研究：    (1)数一数，能发现： 每块黑皮相邻有（   ）块白皮，（   ）块黑皮. 每块白皮相邻有（   ）块白皮，（   ）块黑皮. (2)想一想，用“”“”表示、两个量：（   ），（   ）.结合欧拉公式“”，计算可得（   ），（   ）. (3)足球充足气之后，该面体可视作近似的球体，假设棱长为，请估算足球的直径.（结果保留到整数）（数据参考：，，） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 球与组合体 （核心知识+6易错辨析+9典例精讲+课后作业） 【题型一】球的截面的性质及计算 【题型六】由平面图形旋转得旋转体 【题型二】球的体积的有关计算 【题型七】组合体 【题型三】球的表面积的有关计算 【题型八】求组合多面体、组合旋转体的表面积 【题型四】多面体概念及分类、性质探究 【题型九】求组合体、旋转体的体积 【题型五】多面体与球内切外接问题 【知识点01】球的概念、公式与核心性质 1. 球的定义 几何定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的旋转体叫做球体（简称球），半圆的圆心为球心，半圆的半径、直径分别为球的半径、直径。 空间定义：空间内到定点（球心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合，球是封闭的曲面旋转体。 2. 球的核心计算公式（必考） 设球的半径为，则球的表面积、体积标准公式： 表面积： 体积： 3. 球的截面核心性质 任意平面截球，所得截面均为圆形。设：球半径、截面圆半径、球心到截面的垂直距离，三者满足立体几何核心勾股定理： ① 大圆：平面过球心，，，为球最大截面圆； ② 小圆：平面不过球心，，。 4. 球面距离 球面上两点间的最短路径为过两点的大圆劣弧长度，称为球面距离。若两点对应的球心角为（弧度制），则： . 【知识点02】多面体与旋转体基础分类 1. 多面体 由若干个平面多边形围成的封闭几何体，无曲面、无弧度，所有棱、顶点均由平面相交形成。 常见类型：棱柱（直棱柱、斜棱柱）、棱锥、棱台，是组合体的核心内嵌几何体。 2. 旋转体 由一个平面图形绕平面内一条定直线（旋转轴）旋转一周形成的封闭几何体，包含曲面结构。 常见类型：圆柱、圆锥、圆台、球。其中球是唯一仅由曲面构成的旋转体，无棱、无顶点、无平面。 【知识点03】组合体三大核心模型 组合体指由球与多面体、旋转体通过外接、内切、拼接形成的复合几何体，沪教必修三核心考查三类模型。 1. 几何体外接球模型 定义：几何体所有顶点均落在球面上，球外接于几何体，几何体内接于球。 核心特征：球心到几何体所有顶点距离相等，均等于球半径。 高频结论： ① 正方体（棱长）：外接球直径=体对角线，； ② 长方体（长宽高）：； ③ 直三棱柱：球心为上下底面三角形外心连线的中点。 2. 几何体内切球模型 定义：球与几何体所有面相切，球内切于几何体，几何体外切于球。 核心特征：球心到几何体各个面的距离相等，均等于内切球半径。 通用万能公式（等体积法）： 特殊结论：正方体内切球直径等于棱长，。 3. 拼接型组合体 由球、圆柱、圆锥、棱柱等几何体拼接组合而成，无内嵌内切关系。解题核心：体积直接相加；表面积需扣除几何体拼接重合的遮挡面。 易错点1：球公式记忆混淆、系数遗漏 错误误区：混淆表面积与体积公式，记错系数，将体积写为、表面积写为。 正确辨析：表面积为二次公式，体积为三次公式，系数固定不可更改。 易错点2：球截面三边关系颠倒 错误误区：误写截面公式，混淆三者大小。 正确辨析：球半径为直角三角形斜边，恒满足，最大。 易错点3：球面距离与弦长概念混淆 错误误区：将球面上两点的直线弦长当作球面距离。 正确辨析：弦长是空间直线距离，球面距离是大圆劣弧曲线长度，二者物理意义、计算公式完全不同。 易错点4：内外接球核心特征混淆 错误误区：外接球看面距、内切球看顶点距。 正确辨析：外接球对标顶点（等距顶点），内切球对标平面（等距切面）。 易错点5：球面距离角度制直接代入计算 错误误区：球心角为角度制时，直接用计算。 正确辨析：该公式仅适用于弧度制，角度制必须先转化为弧度再计算。 易错点6：组合体表面积计算不扣重合面 错误误区：组合体表面积=各几何体表面积直接求和。 正确辨析：拼接重合的面被遮挡，不属于外表面，必须扣除两倍重合面积（双方遮挡）。 【题型一】球的截面的性质及计算 【典例1-1】（24-25高二·上海·课堂例题）球的半径为10cm，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（    ） A．6cm； B．4cm； C．8cm； D．9cm． 【答案】C 【分析】利用球的截面性质结合勾股定理求解即可. 【详解】由球的截面性质得，截面面积一定为圆，设圆的半径为， 所以，解得，设球心到截面的距离为， 由勾股定理得，故C正确. 故选：C 【变式1-1】（25-26高二上·上海黄浦·期末）在球中，一条直径AB垂直于小圆所在的平面，垂足为.若，则小圆的半径为____________. 【答案】4 【分析】作球的大圆截面，根据圆的有关性质可求截面圆的半径. 【详解】经过球心，截面圆心作球的截面，如图： 球的直径为，所以球的半径为. 在中，，，所以. 所以小圆的半径为4. 故答案为：4 【变式1-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）设地球的半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们的经度相差90°，求：这两点所对的纬线劣弧长． 【答案】 【分析】先求出北纬圈的半径，再根据弧长公式结合两点的经度差求出两点在纬线圈上的劣弧长． 【详解】    如图所示，北纬圈半径， 两点的经度相差， 圆心角弧度， 由弧长公式得：． 两点在纬线圈上的劣弧长为． 【变式1-3】已知球的直径长为10，过直径上一点且垂直于直径的平面截球面得圆． (1)若，求圆的半径； (2)若圆的面积为，求球心到该截面的距离． 【答案】(1)4；(2) 【分析】（1）利用勾股定理计算可得； （2）记圆的半径为，球心到该截面的距离为，由截面圆的面积求出，再由计算可得； 【详解】（1）解：因为球的半径，所以． （2）解：记圆的半径为，球心到该截面的距离为， 则，得， 因此． 【题型二】球的体积的有关计算 【典例2-1】大圆面积为的球的体积是________． 【答案】 【分析】先利用球的大圆面积求出球的半径，再代入球的体积公式计算即可得到结果. 【详解】设球的半径为，球的大圆为过球心的截面圆，其半径等于球的半径. 由题意知，解得，所以. 【变式2-1】（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）如图是青浦高级中学高二教学楼前的花岗岩挡车球，也叫石球．该石球是空心球，它的外直径为，内直径为，石球材料的密度为，则该石球的质量为___________千克（,答案精确到0.01千克） 【答案】418.25 【分析】根据球的体积公式即可结合质量公式求解. 【详解】由题意可知：, 故石球的质量为 故答案为：418.25 【变式2-2】（25-26高二上·上海·期末）球面上三点A、B、C所确定的截面到球心的距离等于球半径的四分之一，且，，，则球的体积为________． 【答案】 【分析】求出的外心，利用球心到所在平面的距离为球半径的四分之一，求出球的半径，即可求出球的体积． 【详解】由题意，，，，可知三角形是直角三角形， 三角形的外心是的中点，球心到截面的距离就是球心与三角形外心的距离， 设球的半径为R，球心到所在平面的距离为球半径的， 所以，解得，则. ∴球的体积为. 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，用一平面去截球O，所得截面面积为，球心O到截面的距离为3cm，为截面小圆圆心，AB为截面小圆的直径．求球O的体积．    【答案】 【详解】运用球的截面性质，结合勾股定理和体积公式解题. 解：由题意可得截面圆的半径，则球O的半径，所以球O的体积． 【题型三】球的表面积的有关计算 【典例3-1】（25-26高二下·上海·阶段检测）半径为的球的表面积为_____ 【答案】 【详解】因为球的半径为，所以球的表面积为. 【变式3-1】（25-26高二上·上海·期末）设一个球的大圆面积为，则该球的表面积为______． 【答案】 【分析】利用球体表面积公式可求得结果. 【详解】设该球的半径为，则该球的大圆面积为， 故该球的表面积为. 【变式3-2】（25-26高二上·上海·期中）湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为cm，深为cm的空穴，则这个球的表面积为___________． 【答案】 【分析】根据截面圆半径、截面距球心的距离、球的半径之间的关系，列出方程可求出球的半径，则球的表面积可求. 【详解】设球的半径为，如图所示，， 所以，解得， 所以球的表面积为， 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高二上·上海闵行·期中）如图，半球内有一内接正方体（即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球上）；若正方体的棱长为，求： (1)半球的半径； (2)半球的表面积和体积． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用球的截面小圆性质结合已知求出半球半径即可. （2）利用球的表面积公式和球的体积公式求解表面积与体积即可. 【详解】（1）由题意得正方体的棱长为， 则在半球上的正方体4个顶点所在小圆半径为， 而半球球心到此截面小圆距离为， 因此半球半径. （2）由球的表面积公式得半球的表面积， 由球的体积公式得体积. 【题型四】多面体概念及分类、性质探究 【典例4-1】一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角和为，则它的棱数为（    ） A．24 B．22 C．18 D．16 【答案】D 【分析】先求得第个面的内角和，从而得出第个面的边数，利用两个面共用一条棱可得棱数． 【详解】凸多面体的面数为8，各面多边形的内角和为， 故每个面的内角和可看成， 故每个面应为四边形， 由于两个面共用一条棱， 故它的棱数为：， 故选：D． 【变式4-1】数学家欧拉发现简单凸多面体的顶点数V、棱数E及面数F之间有固定的关系，即著名的欧拉公式：．如图所示为上世纪八十年代科学家首次发现的碳60的电子显微镜图，它是由五边形和六边形面构成的多面体，共有60个顶点，每个顶点均为碳原子，且每个顶点引出三条棱，形似足球．根据以上信息知，碳60的所有面中六边形的个数是（    ） A．12 B．20 C．32 D．40 【答案】B 【分析】设五边形面有个，六边形面有个，即可得到总棱数和顶点数，再根据欧拉公式列出方程组，即可求出结果 【详解】设五边形面有个，共条棱，六边形面有个，共条棱， 因为每条棱出现在两个面中，所以总棱数， 因为每个顶点出现在三个面中， 所以总顶点数为，得， 所以， 所以由欧拉公式得，，得， 所以， 所以由，得， 所以碳60的所有面中六边形的个数为20 个， 故选：B 【变式4-2】如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则______是正多面体.（写出所有正确的序号）    【答案】（1）（2）（4） 【分析】由题意，逐项判别，可得答案. 【详解】对于（1），该多面体由全等的正三角形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（2），该多面体由全等的正四边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（3），该多面体由全等的正三角形组成，且顶点聚集的棱有条也有3条，不符合题意； 对于（4），该多面体由全等的正五边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 故答案为：（1）（2）（4）. 【变式4-3】（24-25高二·上海·随堂练习）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体的所有棱长和为________． 【答案】/ 【分析】从图形中作一个最大的水平截面，它是一个正八边形，八个顶点都在边长为的正方形边上，由此可计算出棱长． 【详解】取半正多面体的截面正八边形ABCDEFGH，由正方体的棱长为1，可知，易知， 设半正多面体的棱长为x，过B，C分别作于M，于N， 则，，解得， 故该半正多面体的所有棱长和为． 故答案为： 【题型五】多面体与球体内切外接问题 【典例5-1】（24-25高二下·上海·期中）如图，半球内有一内接正四棱锥，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的外接圆半径即为球的半径可求解. 【详解】因为四边形为正方形，且边长为2. 所以正方形外接圆半径为：，即为已知半球的半径. 所以半球的表面积为：. 故选：C 【变式5-1】（25-26高二上·上海·期中）长方体的8个顶点都在同一个球面上，且，，则球的表面积为___________． 【答案】 【分析】利用长方体的体对角线就是外接球直径，从而可求球的表面积. 【详解】    由题可得：， 因为长方体的外接球的一条直径是，所以外接球的半径为， 由球的表面积公式可得：， 故答案为： 【变式5-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）某圆柱形容器里有一个球，该球与圆柱形容器的底面和侧面都相切，若球的体积为 则圆柱的表面积为_______． 【答案】 【分析】根据球的体积公式可得，即可根据圆柱的体积公式求解. 【详解】可设球的半径为，则根据题意可知圆柱的底面半径也为， 圆柱的高等于球的直径，即为，由球的体积为， 利用球的体积公式可得：，解得：， 再由圆柱的表面积公式得： ． 故答案为：. 【变式5-3】（2025高二上·上海·专题练习）棱长为的正四面体的内切球半径为，若，求正四面体体积． 【答案】 【分析】根据正四面体体积，表面积，内切球半径的关系式求解即可. 【详解】如图所示：设正四面体的边长为，在底面的射影为，连接，    则，， ， 则正四面体的体积，表面积为. 如图所示，设为正四面体内切球的球心，半径，    因为正四面体的体积 ， 所以，解得，即. 【题型六】由平面图形旋转得旋转体 【典例6-1】（25-26高二下·上海·期中）若把该立体图形绕某条直线旋转角度，，使之与原图形重合，则该直线称为该立体图形的旋转轴．侧棱互相垂直的正三棱锥的旋转轴的条数为（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【详解】侧棱互相垂直的正三棱锥中，仅过顶点与底面中心的直线为旋转轴(绕其旋转或重合)，其余直线无法满足旋转重合的条件. 【变式6-1】（25-26高二上·上海·期中）一只充满气的游泳圈可由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得选项C绕对称轴旋转才能形成充满气的游泳圈. 【变式6-2】如图，该几何体是由哪个平面图形旋转得到的？画出其余平面图形旋转得到的几何体．（  ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据旋转体的形成过程，借助直观想象，逐一分析每个选项. 【详解】B选项，旋转一周后，为两个圆锥拼成的几何体； C选项，旋转一周后，为圆锥和圆柱拼成的几何体； D选项，旋转一周后，是上下两个圆锥，中间用圆柱相连的几何体； A选项，旋转一周后，是圆台和圆锥形成的几何体，只有A符合题意. 其余平面图形旋转得到的几何体如图：      故选：A 【变式6-3】（24-25高二上·上海·课前预习）我们已经知道，圆柱和圆锥都是旋转体，还有什么生活中常见的几何体也是旋转体？ 【答案】球、圆台等． 【分析】根据旋转体的定义即可解答. 【详解】旋转体的定义为：由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体，生活中常见的旋转体除了圆柱和圆锥外，还有圆台、球... 【题型七】组合体 【典例7-1】圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据截面在圆柱底面所形成的截痕直接判断即可. 【详解】圆柱底面为正三棱锥底面三角形的外接圆，如下图所示， 则过棱锥的一条侧棱和高作截面，棱锥顶点为圆柱上底面的中心，可得截面图如下图， 故选：D. 【变式7-1】图中的十面体的面是由四个正五边形，四个三角形和两个正方形组成的，则图中上正方形面积是下正方形面积的（    ）倍. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由图形分析出上下底面正方形的边长，即可求解 【详解】观察两个相邻的正五边形，它们的组成的图形是对称的， 由于它们的一侧可以夹一个正方形， 所以另一侧也可以加一个正方形， 因此，图中的三角形为等腰直角三角形， 不妨设正五边形的边长为， 则等腰直角三角形的斜边为， 所以下底面正方形的边长为1，上底面正方形的边长为， 所以上底面正方形的面积为2，下底面正方形的面积为1， 所以上正方形面积是下正方形面积的2倍， 故选：B 【变式7-2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个过球心的平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用过球心的截面去截球，分截面与正方体侧面的不同关系，即可判断选项. 【详解】当截面过球心，且截面不平行于任何侧面，且不过体对角线时，截面图形是A； 当截面过正方体的两条相交的体对角线时，截面图形是B； 当截面过球心，且平行于正方体的一个侧面时，截面图形是C； 过球心的截面不能为D. 故选：D 【变式7-3】指出下图中的几何体是由哪些简单几何体组成的． 【答案】答案见解析． 【分析】由组合体结合简单几何体判断． 【详解】第一个组合体由一个四棱柱，一个长方体，一个四棱台，四棱台上方挖去一个长方体的组合体； 第二个组合体是大圆柱中间挖去一个小圆柱与另一圆柱同样挖去小圆柱垂直嵌进去，在圆柱外面一个四棱柱与一个三棱柱贴在圆柱侧面(一个面变成了曲面），四棱柱的两个角刨圆成圆柱侧面（可认为是两个四分之一的圆柱与一个小四棱柱的组合体），中间还挖去两个小圆柱． 【题型八】求组合多面体、组合旋转体的表面积 【典例8-1】在矩形中，为边的中点，，，分别以、为圆心，为半径作圆弧、（在线段上）.由两圆弧、及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积为________. 【答案】 【分析】由已知可得，旋转得到的几何体为圆柱去掉两个半径为1的半球，该几何体的表面包括圆柱的侧面以及两个半球的表面，分别求出圆柱的侧面积以及球的表面积即可得出答案. 【详解】由已知可得，该几何体为圆柱去掉两个半径为1的半球. 圆柱的底面半径，母线，所以圆柱的侧面积为. 两个半球的表面积为. 该几何体的表面包括圆柱的侧面以及两个半球的表面，所以几何体的表面积为. 故答案为：. 【变式8-1】（24-25高三上·上海松江·开学考试）正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是______． 【答案】 【分析】先确定旋转体是母线且同底的两个圆锥构成的几何体，进而可得. 【详解】由题意知，为等腰三角形，且， 所以以为轴旋转一周，得到的旋转体是以为中心轴， 和分别为母线且同底的两个圆锥构成的几何体， 可得圆锥的底面半径为，所以旋转体的表面积． 故答案为：. 【变式8-2】（24-25高二上·上海静安·期中）如图所示，一种机器零件由两部分组成，下部分是实心的正六棱柱，上部分是实心的圆柱（尺寸单位：）电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11千克，则电镀10000个这种零件需要锌____千克.（结果精确到0.01）      【答案】 【分析】分别求出一个底面六棱柱的表面积以及上面圆柱的表面积，然后求出一个零件的表面积，利用每平方米用锌千克，求出所用锌的总数． 【详解】把六棱柱的底面分为六个全等的等边三角形， 每个等边三角形的面积为， 六棱柱的底面积为， 六棱柱的侧面积为， 六棱柱的表面积为， 圆柱的侧面积为， 圆柱的底面积和六棱柱的部分底面积重合 零件的表面积 电镀10000个零件需锌 （千克）． 故答案为：. 【变式8-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）在正方体中，E、F、M分别为棱AD、AB、的中点，现从顶点A处截去三棱锥，仿此同样方式，在顶点B、C、D、、、、处各截去一个三棱锥，设剩下的几何体为， (1)几何体是几面体？共有多少条棱？（直接写出结论，不需要说明理由） (2)若正方体的棱长为2，求几何体的表面积． 【答案】(1)几何体是十四面体，几何体共有24条棱 (2) 【分析】（1）根据题意可知：几何体是由6个全等的正方形面和8个全等的三角形面构成，即可得结果； （2）根据题意结合（1）中结论分析求解. 【详解】（1）几何体是由6个全等的正方形面和8个全等的三角形面构成， 所以几何体是十四面体，几何体共有24条棱． （2）图形可知几何体的各条棱长均为，    6个全等的正方形面的总面积为； 8个全等的三角形面的总面积为． 所以几何体的表面积． 【题型九】求组合体、旋转体的体积 【典例9-1】若和围成的封闭平面图形绕轴旋转一周，则所得体积与绕轴旋转一周所得体积之比是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥的体积计算以及组合体体积计算方法，计算出两个几何体体积，进而求得体积的比值. 【详解】由解得或. 和围成的封闭平面图形绕轴旋转一周所得几何体为圆锥，图形如下图所示， 故体积为. 和围成的封闭平面图形绕轴旋转一周所得几何体为圆柱挖掉两个圆锥，图形如下图所示， 故体积为. 所以两个图形的体积比为. 故选：A 【点睛】本小题主要考查圆锥和组合体体积计算，属于中档题. 【变式9-1】某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）.现把半径为10cm的圆形蛋皮分成相同的5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的体积（精确到0.1）. 【答案】 【分析】设圆锥底面半径和高，由圆形蛋皮的周长等于5倍圆锥的底面周长求得圆锥底面半径，进一步求出圆锥的高，然后直接利用体积公式求解. 【详解】设圆锥底面半径为，高为，因为， 得，则，所以该蛋筒的体积为 【变式9-2】（25-26高二上·上海普陀·期中）如图所示，正方体的棱长为3，试计算以其所有面的中心为顶点的多面体的体积. 【答案】 【分析】结合图形分析可得以正方体所有面的中心为顶点的多面体是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的八面体,根据棱锥的体积公式可求得其体积. 【详解】由题意知，所给的几何体是八面体，它由两个有公共底面的正四棱锥组合而成. 因为正方体的棱长为3，所以四棱锥的高为. 因为正方体任意两个相邻的侧面中心间的距离等于其面对角线的一半，即，所以该正四棱锥底面面积为. 所以这个八面体的体积为. 【变式9-3】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知，都垂直于平面，且 是的中点，求： (1)绕着直角边旋转一周，求旋转后几何体的表面积 (2)求证：平面 【答案】(1) (2)见详解. 【分析】（1）先根据直角三角形绕直角边旋转的性质，确定形成的几何体是圆锥，再确定圆锥的底面半径（直角边长度）、母线长（直角三角形的斜边长度），最后利用圆锥侧面积（）和底面积（）的公式，求和得到总表面积； （2）先构造辅助线：取线段中点（如的中点），连接相关线段（,），再通过中位线定理（或已知条件），证明待证直线（）与平面内的某条直线（）平行，最后结合“直线在平面外，直线与平面内直线平行”的条件，推导线面平行即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 所以是直角三角形（），绕旋转一周形成的是圆锥， 则圆锥的底面半径 ， 圆锥的母线长 ， 又因为圆锥的表面积=： ， ， 因此，旋转后几何体的表面积为：. （2）取 的中点 ，连接 ，， 因为 是 的中点，所以是的中位线， 故且， 已知平面，平面，所以，且， 因此，且，四边形是平行四边形，故， 又因为平面 ，平面， 根据线面平行的判定定理，可得平面.       1. 球核心考点总结 牢记球的表面积、体积两大基础公式；掌握截面勾股模型；区分大圆与小圆、球面距离与弦长，弧度制是球面距离计算的关键前提。 2. 几何体分类要点 多面体全平面无曲面，旋转体含曲面；球为特殊旋转体，是组合体考查的核心载体，常与棱柱、长方体结合出题。 3. 组合体解题口诀 外接看顶点，直径对对角线；内切看切面，等体积求半径； 组合体积直接加，表面积必扣重合；截面问题找直角，球面计算用弧度。 4. 考场避错核心 杜绝公式记错、概念混淆、区间公式颠倒、角度混用、表面积重复计算五大失分点，规范步骤书写，轻松应对选择、填空、解答大题。 一、单选题 1．（2025高二上·上海·专题练习）给出下列空间几何体：①球；②建筑用的方砖；③茶杯；④埃及的金字塔．其中属于多面体的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】结合多面体与旋转体的定义检验各几何体，即可判断． 【解答】易知①球为旋转体；②建筑用的方砖，属于多面体，③茶杯属于旋转体；④埃及的金字塔属于多面体． 故选：B 2．下列说法中正确的个数是（   ） ①半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据球的概念判断即可. 【详解】半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球面，球面围成的几何体叫球，故①错误；②正确； 球面和球是两个不同的概念，故③错误； 若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故④错误， 所以说法正确的有1个. 3．如图，已知多面体的底面与顶面平行且均为矩形.若，，则该多面体的体积为（    ）    A． B．37 C． D．47 【答案】C 【分析】设在底面的投影分别为，该几何体的体积可分割为两个几何体的体积加两个几何体的体积再加长方体的体积，计算得解. 【详解】    如图所示，设在底面的投影分别为， 延长分别交底面矩形于两点，延长交于两点， 由条件易得，所以， 所以几何体的高为， 该几何体的体积可分割为两个几何体的体积 加两个几何体的体积再加长方体的体积. 易得， 同理， ， 故该几何体体积为：. 二、填空题 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知球的体积为，则球的表面积为______. 【答案】 【分析】设球的半径为，利用球的体积公式，列出方程求得，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】设球的半径为，因为球的体积为，可得，解得， 所以球的表面积为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·上海黄浦·期末）已知一几何体有六个顶点，它们是某个正方体六个面的中心.若该几何体的体积为36，则这个正方体的棱长为____________. 【答案】6 【分析】依题意作出图形，根据正方体的对称性，可得该几何体是由两个全等的正四棱锥组成，设正方体的棱长为，用表示出正四棱锥的相关量，利用体积公式计算即得. 【详解】如图，该几何体是由两个四棱锥组成的八面体，其中分别是正方体的六个面的中心， 根据正方体的对称性，可知该几何体是由两个全等的正四棱锥组成，故其体积为. 设正方体的棱长为，取边的中点，连接，易得，且， 故，即正方形的边长为，正四棱锥的高长为， 依题意，解得. 故答案为：6.    6．（25-26高二上·上海·期中）如图，已知平面，，，，，是的中点，则绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积是___________． 【答案】 【分析】绕直线旋转一周所构成的旋转体，是以为底面半径、为高的圆锥中挖去一个以为底面半径、为高的小圆锥，从而可求体积． 【详解】在中，由 与， 得：， 又因为是的中点，所以. 绕直线旋转一周所构成的旋转体， 是以为底面半径、为高的圆锥中挖去一个以为底面半径、为高的小圆锥. 故绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积： . 故答案为： 7. （24-25高二上·上海·阶段检测）已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面，，且，，则球的表面积为________. 【答案】 【分析】依题意可通过构造长方体求出外接球的半径，即可得出其表面积. 【详解】根据题意分别以为棱长构造长方体如下图所示： 易知三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，设其半径为， 因此， 所以球的表面积为. 故答案为： 三、解答题 8．（24-25高二·上海·课堂例题）求底面半径为10、母线长为26的圆锥的内切球的表面积及体积． 【答案】， 【分析】首先根据图形，结合等面积转化，求内切球的半径，再代入球的表面积和体积公式，即可求解. 【详解】下图是圆锥的轴截面，设圆锥内切球的半径为， 由题意得：圆锥的高为． ， ∴，∴， ． 9.（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，在中，，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，交BC于点N），求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积． 【答案】 【分析】根据题意图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体为一个圆锥中间挖掉一个球，在三角形中分别求出圆锥的母线和底面半径，球的半径，最后结合体积公式计算得出结果. 【详解】如图，连接OM，则，，在中，， 则，解得． 在中，，，则， 图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体为一个圆锥中间挖掉一个球， 其中圆锥的高为，底面圆的半径为3，球的半径为， 所以所求体积为． 10．如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是，圆柱筒的高是． (1)求这种“浮球”的体积； (2)现要在这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要花费防水漆元，共需花费多少费用？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可； （2）由球的表面积公式和圆柱的侧面积公式求出几何体的表面积，即可估计费用. 【详解】（1）因为该“浮球”的圆柱筒底面半径和半球的半径， 圆柱筒的高，所以两个半球的体积之和为 ， 圆柱的体积 ， ∴该“浮球”的体积是； （2）根据题意，上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒的侧面积为， ∴“浮球”的表面积； 所以共需花费（元）. 11．（25-26高二上·上海闵行·期中）如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥；已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为． (1)计算该模型的体积； (2)现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方厘米元，总费用是多少？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）计算出圆柱和圆锥的体积，然后将圆柱的体积减去圆锥的体积可得出几何体的体积； （2）计算出每个几何体的表面积，结合题意可得出涂个这样的模型所花的费用. 【详解】（1）设圆锥的高为，由题意得圆锥母线为，圆锥的底面半径为，则， 设圆柱的底面半径为，高为，由已知可得，， 所以圆柱的体积， 圆锥的体积， 故该几何体的体积为. （2）圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为， 圆锥侧面积为. 一个模型的表面积， 所以总费用为（元）. 12．（25-26高二上·上海浦东新·期中）如图，观察足球：这是由块黑皮（正五边形）和块白皮（正六边形）缝合在一起形成的面体.记面数为，棱数为，顶点数为.作如下研究：    (1)数一数，能发现： 每块黑皮相邻有（   ）块白皮，（   ）块黑皮. 每块白皮相邻有（   ）块白皮，（   ）块黑皮. (2)想一想，用“”“”表示、两个量：（   ），（   ）.结合欧拉公式“”，计算可得（   ），（   ）. (3)足球充足气之后，该面体可视作近似的球体，假设棱长为，请估算足球的直径.（结果保留到整数）（数据参考：，，） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察图可知结果； （2）根据图中棱与棱的关系、顶点与顶点的关系，再结合面数，列出方程组即可求解出结果； （3）先计算出一个正五边形和正六边形的面积，然后根据球的表面积等于所有正五边形和正六边形的面积之和，由此可求得结果. 【详解】（1）观察图可知， 每块黑皮相邻有块白皮，块黑皮， 每块白皮相邻有块白皮，块黑皮. （2）由题意可知，， 因为黑皮有条棱，白皮有条棱，且每条棱会被重复计算两次，所以， 因为每条棱有个顶点，每个顶点会被重复计算次，所以， 由条件可知，解得. （3）如图所示，    由题意可知，，， 因为，所以， 所以正五边形的面积为：， 因为， 所以正六边形的面积：， 因为球的表面积等于所有正五边形和正六边形的面积之和，设球的直径为， 所以， 代入数据，解得， 所以足球的直径约为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $