精品解析：湖南长沙外国语学校2026-2027学年上学期九年级 第一次限时训练数学试卷 （10月）

长沙外国语学校初三数学第一次作业检测 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 数中最大的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知矩形的面积为，相邻两条边长分别为和，则关于的函数图像大致是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，对角线与交于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：）分别为，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（　　） A. 这组数据的平均数 B. 这组数据的方差 C. 这组数据的众数 D. 这组数据的中位数 9. 若点，，都在反比例函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 10. 根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 如图，菱形的对角线与相交于点O，若菱形的面积为24，，则的长为_______． 12. 当分式与的值互为相反数时，x的值为_____． 13. 将二次函数化为的形式，结果为_____． 14. 如图，若点在反比例函数的图象上，且的面积是，则________． 15. 如图，直线过正方形的顶点，点、点到直线的距离分别为1和2，则正方形的边长是_____________． 16. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确的是________ 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：，并把不等式组解集在数轴上表示出来 19. 如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，垂足为，求证：． 20. 在一项“综合与实践”活动中，需要了解本校学生每周参加体育锻炼的时间（单位：），某位同学随机调查了该校50名学生，得到一组数据，并将这些数据绘制成如下的统计图． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）在箱线图中，__________；在扇形统计图中，的值是__________；众数为__________； （2）求本次调查中，样本数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有学生2000人，估计该校每周参加体育锻炼的时间至少为的学生约有多少人？ 21. 如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，． （1）求证：； （2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，，求BD的长及四边形ABCD的周长． 22. 为落实中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求，某校九年级（1）班计划开展花样跳绳活动，需购买A，B两种跳绳．已知购买A，B两种跳绳的数量与总费用信息如下表： A种跳绳（根） B种跳绳（根） 总费用（元） 2 1 18 3 2 31 （1）求A，B两种跳绳的单价； （2）若九年级（1）班计划购买A，B两种跳绳共40根，且A种跳绳的数量不超过B种跳绳数量的7倍，不少于B种跳绳数量的4倍，应如何购买才能使总费用最低，最低费用是多少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标； （2）观察图象，不等式的解集为______； （3）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 24. 图1是即将建造的“碗形”景观池的模拟图，设计师将它的外轮廓设计成如图2所示的图形．它是由线段，线段，曲线，曲线围成的封闭图形，且，在x轴上，曲线与曲线关于y轴对称．已知曲线是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为：（p 为常数，）． （1）当时，求曲线的函数解析式． （2）如图3，用三段塑料管，，围成一个一边靠岸的矩形荷花种植区，E，F分别在曲线，曲线上，G，H在x轴上． 记米时所需的塑料管总长度为，米时所需的塑料管总长度为．若，求p的取值范围． 当与的差为多少时，三段塑料管总长度最大？请你求出三段塑料管总长度的最大值． 25. 对于函数与函数作如下定义：若函数与函数只有一个公共点，则称函数与函数互为“单融创函数”，唯一的公共点记为．若函数与函数有两个不重合的公共点，则称函数与函数互为“双融创函数”，两个公共点记为且． （1）下列函数与一次函数互为“单融创函数”的是_____； ①；②；③． （2）已知函数与函数互为“单融创函数”． ①求公共点的坐标； ②若将函数向下平移个单位得到函数，则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为_____（若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点为整点） （3）若函数（，为常数，且）与函数（为常数且）互为“双融创函数”，且其中一个公共点在轴上，函数的图象经过函数的图象的顶点．当常数满足时，求函数的图象与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙外国语学校初三数学第一次作业检测 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 数中最大的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴最大的数是． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的运算法则和单项式乘多项式法则计算各选项即可判断正误． 【详解】选项A，∵ ，∴选项A错误； 选项B，∵，∴选项B错误； 选项C，∵，∴选项C错误； 选项D，∵，∴选项D正确． 3. 如图，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质求解即可． 【详解】，， ． 4. 已知矩形的面积为，相邻两条边长分别为和，则关于的函数图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，由题意可得，则与之间的函数图象是反比例函数图象，并且分布在第一象限，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和， ∴， ∴函数解析式为：， ∴与之间的函数图象大致是： 故选：A． 5. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，判断判别式的符号，即可得到方程根的情况． 【详解】解：， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根； 故选：B． 6. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得解． 【详解】解：由题意得， 平移后的抛物线为． 7. 如图，在矩形中，对角线与交于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质得到，从而得到，再得到，则是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即， ∴． 8. 为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：）分别为，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（　　） A. 这组数据的平均数 B. 这组数据的方差 C. 这组数据的众数 D. 这组数据的中位数 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，选择方差即可求解． 【详解】解：依题意，给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是这组数据的方差， 故选：B． 【点睛】本题考查了选择合适的统计量，熟练掌握平均数、众数、中位数、方差的意义是解题的关键． 9. 若点，，都在反比例函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴双曲线过一，三象限，在每一个象限内，随的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上，， ∴． 故选：D． 10. 根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是方程解与对应数值变化的关系，利用“数值由负变正必经过”的逻辑是解题的关键．根据表格可知， 时函数值为（负）、时函数值为（正），进而确定方程的一个解的范围． 【详解】当时，； 当时，， 方程的一个解满足． 故选：． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 如图，菱形的对角线与相交于点O，若菱形的面积为24，，则的长为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：∵菱形的面积为24，， ∴, ∴． 12. 当分式与的值互为相反数时，x的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据互为相反数的两数之和为列出分式方程，解分式方程并检验即可得到结果． 【详解】解：分式与的值互为相反数， 去分母，两边同乘，得： 去括号，得： 合并同类项，得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解； 13. 将二次函数化为的形式，结果为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 如图，若点在反比例函数的图象上，且的面积是，则________． 【答案】 【解析】 【分析】过双曲线上任一点作坐标轴的垂线，这一点与原点所连线段，原点与垂足的连线段，这三条线段围成的直角三角形面积是一个定值，即． 【详解】解： 的面积为， ． ． 图象在第二象限， ． ． 15. 如图，直线过正方形的顶点，点、点到直线的距离分别为1和2，则正方形的边长是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，过点分别作的垂线，垂足分别为，证明得出，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， 四边形是正方形， ，． ，， ，． ． ． 点、到直线的距离分别是和，即，， ． ∴． 故答案为：． 16. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确的是________ 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系逐一分析即可解答． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线， ∴，， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴，故①正确； ②根据图形可得二次函数图象与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ③由图象可得，当时，此时，故，故③正确； ④∵， ∴， 由图象可得当时，此时，故，故④正确； ⑤由时函数取最小值可得， ∴，故⑤错误． 综上，正确的结论是①②③④， 故答案为：①②③④． 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、算术平方根、绝对值、零指数幂的法则，掌握相关运算法则是解题关键．根据题意利用负整数指数幂、算术平方根、绝对值、零指数幂的法则进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：，并把不等式组解集在数轴上表示出来 【答案】， 【解析】 【分析】分别根据不等式的性质解两个不等式，找到这两个解集的公共部分，即为不等式组的解集，并在数轴上表示不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①， ， ， ； 解不等式②， ， ； 不等式组的解集为． 数轴略． 19. 如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，垂足为，求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：平分， ， ∵， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，全等三角形的判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用平行线的性质求出，再利用角平分线的定义求出； （2）根据证明三角形全等即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ， 由题意平分， ； 【小问2详解】 略 20. 在一项“综合与实践”活动中，需要了解本校学生每周参加体育锻炼的时间（单位：），某位同学随机调查了该校50名学生，得到一组数据，并将这些数据绘制成如下的统计图． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）在箱线图中，__________；在扇形统计图中，的值是__________；众数为__________； （2）求本次调查中，样本数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有学生2000人，估计该校每周参加体育锻炼的时间至少为的学生约有多少人？ 【答案】（1）7；28； （2）本次调查中，样本数据的平均数是； （3）估计该校每周参加体育锻炼的时间至少为的人数约有400人 【解析】 【分析】（1）先由扇形图百分比和为算出；再用总人数50乘各占比，得各时长人数；最后根据箱线图中中位数定义，第25、26个数据（均为7），得的值；根据各时长人数得出众数即可； （2）根据加权平均数的计算方法计算平均数； （3）用总人数乘占比，算出估计人数即可． 【小问1详解】 解：扇形统计图中各部分百分比之和为， 因此：， 根据样本容量50， 计算各时间段人数：：（人）， ：（人）， ：（人）， ：（人）， ：（人）， ：（人）， 箱线图中， b为中位数：为第25、26个数据的平均数，前个数据中，第25、26个数据均为7，故中位数； 各时间段人数中，人数最多的是，故众数是； 【小问2详解】 解：， 则本次调查中，样本数据的平均数是； 【小问3详解】 解：时间不少于的学生，对应和两个时间段， 总占比为， 该校共有学生2000人，因此估计人数为：（人）， 答：估计该校每周参加体育锻炼的时间至少为的人数约有400人． 21. 如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，． （1）求证：； （2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，，求BD的长及四边形ABCD的周长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边，， 四边形是菱形， ； （2），四边形ABCD的周长为 【解析】 【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证； （2）根据三角形中位线的性质可得，进而可得的长，中，勾股定理求得，根据菱形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点E，F分别为AD，AO的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， 在中，，， ， 菱形形的周长为． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，三角形中位线的性质，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 22. 为落实中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求，某校九年级（1）班计划开展花样跳绳活动，需购买A，B两种跳绳．已知购买A，B两种跳绳的数量与总费用信息如下表： A种跳绳（根） B种跳绳（根） 总费用（元） 2 1 18 3 2 31 （1）求A，B两种跳绳的单价； （2）若九年级（1）班计划购买A，B两种跳绳共40根，且A种跳绳的数量不超过B种跳绳数量的7倍，不少于B种跳绳数量的4倍，应如何购买才能使总费用最低，最低费用是多少？ 【答案】（1）A种跳绳单价为元，B种跳绳单价为元 （2）购买A种跳绳根，B种跳绳根时总费用最低，最低费用为元 【解析】 【分析】（1）设A种跳绳单价为x元，B种跳绳单价为y元，根据表格中数据列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A种跳绳m根，则购买B种跳绳根，根据A种跳绳的数量不超过B种跳绳数量的7倍，不少于B种跳绳数量的4倍，列出不等式组，求出m的取值范围，设两种跳绳总花费为w元，根据两种跳绳的单价得出，再根据一次函数增减性，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设A种跳绳单价为x元，B种跳绳单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：A种跳绳单价为元，B种跳绳单价为元； 【小问2详解】 解：设购买A种跳绳m根，则购买B种跳绳根，根据题意得： ， 解得：， 设两种跳绳总花费为w元，则： ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w最小， 即购买A种跳绳根，B种跳绳根时总费用最低，且最低费用为元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标； （2）观察图象，不等式的解集为______； （3）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3）点P的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先将点B的纵坐标代入直线中，得到点B的完整坐标；其次将点B坐标代入反比例函数中，推出k的值，得到反比例函数解析式；最后联立两个函数的方程，求出交点A的坐标． （2）首先明确不等式的几何意义，对应图象中一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，然后结合两个交点确定解集． （3）首先根据直线与x轴交点求出点C坐标，得到的长度，即两个三角形的底边均为的长；然后结合点A纵坐标计算出，从而得到；设出点P坐标，根据反推出点P纵坐标，代入反比例函数解析式，即可得到点P坐标． 【小问1详解】 解：将点B的坐标代入中，得 解得，即点． 将代入到中，得 解得 ∴反比例函数的解析式为． 联立， 得 解得，． 当时，代入，得 ∴点A的坐标为． 【小问2详解】 解:不等式表示一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 两个函数的交点为和，反比例函数自变量取值范围为，观察图象可得：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值， 因此不等式的解集为或． 【小问3详解】 解:将代入直线中，得，即点，． ∵点A纵坐标为2， ∴， ∴． 设点，则，得． 当时，代入反比例函数得，解得； 当时，点P与点B重合，为． ∴点P的坐标为或． 24. 图1是即将建造的“碗形”景观池的模拟图，设计师将它的外轮廓设计成如图2所示的图形．它是由线段，线段，曲线，曲线围成的封闭图形，且，在x轴上，曲线与曲线关于y轴对称．已知曲线是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为：（p 为常数，）． （1）当时，求曲线的函数解析式． （2）如图3，用三段塑料管，，围成一个一边靠岸的矩形荷花种植区，E，F分别在曲线，曲线上，G，H在x轴上． 记米时所需的塑料管总长度为，米时所需的塑料管总长度为．若，求p的取值范围． 当与的差为多少时，三段塑料管总长度最大？请你求出三段塑料管总长度的最大值． 【答案】（1） （2）；当与的差为时，三段塑料管总长度最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出点C的坐标，根据对称性求出点A的坐标，即可求出抛物线的解析式； （2）设， ，根据，得出关于p的不等式解得即可；设，三段塑料管总长度为L，根据题意得出化简即可得出答案． 【小问1详解】 解：当时，C坐标为， 由对称得点A坐标为， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：根据题意，设， ， ， ， 即：， 化简得：， ， ； 解：设，三段塑料管总长度为L， 根据题意可得：， ， 化简得：， 当时，L有最大值110， 当与的差为时，三段塑料管总长度最大，最大值为． 25. 对于函数与函数作如下定义：若函数与函数只有一个公共点，则称函数与函数互为“单融创函数”，唯一的公共点记为．若函数与函数有两个不重合的公共点，则称函数与函数互为“双融创函数”，两个公共点记为且． （1）下列函数与一次函数互为“单融创函数”的是_____； ①；②；③． （2）已知函数与函数互为“单融创函数”． ①求公共点的坐标； ②若将函数向下平移个单位得到函数，则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为_____（若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点为整点） （3）若函数（，为常数，且）与函数（为常数且）互为“双融创函数”，且其中一个公共点在轴上，函数的图象经过函数的图象的顶点．当常数满足时，求函数的图象与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围． 【答案】（1）①③ （2）①的坐标为；②个 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“单融创函数”的定义，建立其他函数与函数的方程，解方程即可得到答案； （2）①根据“单融创函数”的定义，联立函数与函数的解析式得到方程，根据有唯一解得到，进而得到点的坐标； ②根据二次函数的平移规律得到函数的解析式，联立函数与函数的解析式得到方程，解得封闭图形内的取值范围为，根据的整数解对应的整数解，取得所有封闭图形内的整点坐标，进而得到答案； （3）根据函数与函数其中一个公共点在轴上，函数的图象经过函数的图象的顶点，得到函数的解析式为，进而得到函数与轴和轴的交点坐标，进而列出函数与轴，轴所围成的三角形面积的表达式，根据的取值范围进而得到的取值范围． 【小问1详解】 解：①直线与直线不平行， 当时，解得：，故有唯一点； ②反比例函数的图象经过第一、三象限， 当时，解方程，即， 解得：，，故有两个不重合的公共点， 直线与反比例函数的图象有两个交点； ③二次函数图象开口向上，顶点是原点， 当时，解方程， 解得：， 二次函数与直线有一个交点， 与一次函数互为“单融创函数”的是①③； 【小问2详解】 解：①函数与函数互为“单融创函数”， 有唯一解，即方程有唯一解， ， 解得：， 原方程为， 解得：， 函数为：， ， 的坐标为； ②函数向下平移个单位得， 函数， 当时，即， 解得：， 即交点的横坐标约为， 当时，整数可以取， 当时，，整点可以取到、、，共个， 当时，，整点可以取到、、、，共个， 当时，，整点可以取到、、，共个， 总的整点数为个， 函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点有，共个； 【小问3详解】 解：令抛物线中，则， 即该抛物线与轴的交点为，且其中一个公共点在轴上，则， ， 函数的顶点坐标为， 点在上， ，解得：， 函数的解析式为， 令函数中，则， 解得：， 即函数与轴的交点为，与轴的交点为， 函数与轴，轴所围成的三角形面积， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， ∴函数与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $