1.4 正方形的性质与判定 导学案 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

1.4 正方形的性质与判定 导学案 · 2026—2027学年 北师大版数学九年级上册 第一章 特殊平行四边形 · 2 课时 · 教材 P17—P23 姓名：__________ 班级：__________ 日期：__________ 一、学习目标与重难点 【学习目标】 • 知道正方形是有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形，知道它既是矩形又是菱形，会把正方形与平行四边形、矩形、菱形的从属关系说清楚。 • 掌握正方形的两条性质定理——四个角都是直角、四条边相等；对角线相等且互相垂直平分，并会由此推断出对角线与边的夹角是 45 度等常用结论。 • 掌握正方形的四条判定定理——有一组邻边相等的矩形是正方形、对角线互相垂直的矩形是正方形、有一个角是直角的菱形是正方形、对角线相等的菱形是正方形，并会按题目给的条件挑合适的一条。 【重点】正方形的两条性质定理与四条判定定理。 【难点】分清「从矩形出发」与「从菱形出发」两类判定，知道用哪一条更省事。 【我的预习安排】 教材页码 预习内容 我要做到 完成 P17 正方形的定义、两条性质定理与例1 拿一张正方形纸片量四个角、量四条边，再把两条对角线折一折 ○ P18 议一议与随堂练习；四条判定定理的引入 把「什么条件下是正方形」按矩形、菱形两类各写一条 ○ P19 四条判定定理与例1 把四条判定的几何语言各写一遍，标清前提是矩形还是菱形 ○ P19—P20 中点四边形 随便画一个四边形，把各边中点连起来，看看是什么形状 ○ 二、课前自主学习 前面三节把平行四边形、菱形、矩形一个一个研究过了：菱形是「有一组邻边相等」的平行四边形，矩形是「有一个角是直角」的平行四边形。这一节把两个条件合在一起——既有一组邻边相等、又有一个角是直角，得到的图形叫做正方形。正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，所以它一个人带着两家的全部本事。这一节要做两件事：先把正方形的性质一条一条挖出来，再反过来问一句——满足什么条件的四边形才有资格当正方形。 • 1. 填空：有一组邻边相等并且有一个角是直角的__________叫做正方形。 我写： • 2. 填空：正方形既是特殊的__________，又是特殊的__________，所以平行四边形、矩形、菱形的一切性质它都有。 我写： • 3. 填空：正方形的四个角都是__________，四条边__________。 我写： • 4. 填空：正方形的两条对角线__________，并且互相__________。 我写： • 5. 填空：判定一个四边形是正方形，常用的路子有两条：先证它是矩形，再证有一组邻边__________；或者先证它是菱形，再证有一个角是__________。 我写： ◆ 课前速记 • 两条性质：正方形的四个角都是直角，四条边相等；正方形的对角线相等且互相垂直平分。 • 四条判定：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。 • 一句话记牢：既是矩形，又是菱形，就是正方形。 温馨提示：预习时拿一张正方形纸片，先沿一条对角线对折，再沿另一条对角线对折，会发现两条折痕（也就是两条对角线）一样长、而且互相垂直。再量一量四条边、四个角，正方形的两条性质就都摸到手了。 三、课中合作探究 这一节分两个课时走完，一共八个方阵。方阵一到方阵五是第 1 课时，从正方形的定义出发，把两条性质定理和由它们推出的一组结论一一弄明白，再用来解决例1与随堂练习；方阵六到方阵八是第 2 课时，反过来研究判定——从矩形加一个条件、从菱形加一个条件，一共得到四条判定，最后用判定解决例题并研究中点四边形。走完这八个方阵，正方形这一节就完整了。 ◆ 方阵一 正方形的定义与它的两条来路 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。（课本 P17）这句话里有三个条件：它首先是平行四边形，其次有一组邻边相等，最后有一个角是直角。第一个条件管「是不是平行四边形」，后两个条件正好一个是菱形的要求、一个是矩形的要求。 如图1，四边形 ABCD 是正方形，两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O。从「有一组邻边相等」这条看，正方形是菱形；从「有一个角是直角」这条看，正方形又是矩形。所以正方形站在菱形与矩形的公共位置上：菱形的一切性质它有，矩形的一切性质它也有。 图1 正方形 ABCD 与它的两条对角线 ( A B C D O ) 图1 正方形 ABCD，两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O（对应课本 P17） 议一议：把正方形、矩形、菱形、平行四边形四个名字按「谁包含谁」排一排——正方形既在矩形里，又在菱形里，而矩形和菱形都在平行四边形里。也就是说，正方形是平行四边形这个大家族里条件加得最多的那个：平行四边形加「一组邻边相等」得菱形，加「一个角是直角」得矩形，两个都加才得正方形。 • 练一练：（1）正方形是矩形吗？是菱形吗？请各说一条理由。（2）一个四边形的四条边都相等，它一定是正方形吗？请举出一个反例。 我写： 温馨提示：说正方形「是矩形」时，依据是「有一个角是直角的平行四边形是矩形」；说它「是菱形」时，依据是「有一组邻边相等的平行四边形是菱形」。两句话都得先点明它是平行四边形，不能直接说「四条边都相等就是正方形」。 ◆ 方阵二 正方形的四个角都是直角，四条边相等 定义里只要求「有一个角是直角」「有一组邻边相等」，其余三个角和另外三条边呢？ 如图2，四边形 ABCD 是正方形。因为正方形是矩形，由矩形的性质知它的四个角都是直角；又因为正方形是菱形，由菱形的性质知它的四条边都相等。把这两句话合起来，就得到正方形的第一条性质定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等。（课本 P17） 图2 四个角都是直角，四条边相等 ( A B C D ) 图2 正方形 ABCD 的四个顶点处各有一处直角标记，四条边的中点处各有一处相同样式的刻痕（对应课本 P17） 几何语言：因为四边形 ABCD 是正方形，所以 ∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90 度，AB = BC = CD = DA。 想一想：这一条其实是两个旧结论的合并——四个角都是直角来自矩形，四条边相等来自菱形。可见研究正方形并不需要另起炉灶，只要把矩形、菱形已经证过的性质搬过来，再合在一起看就行了。 • 练一练：（1）已知四边形 ABCD 是正方形，∠DAB = 90 度。只用「正方形是菱形」这一条，能不能推出 AB = BC = CD = DA？请说明理由。（2）在正方形 ABCD 中，对角线 AC 把 ∠DAB 分成 ∠DAC 与 ∠CAB，这两个角的和是多少度？ 我写： 温馨提示：写依据时要把「正方形是矩形」「正方形是菱形」这两句话说在明处。题面说的是四边形 ABCD 是正方形，依据里就只能写「因为正方形是矩形」或者「因为正方形是菱形」，不能随手换成矩形 ABCD 或菱形 ABCD。 ◆ 方阵三 正方形的对角线相等且互相垂直平分 第二条性质藏在两条对角线里。 如图3，四边形 ABCD 是正方形，两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O。因为正方形是矩形，由矩形的性质知两条对角线相等，即 AC = BD；因为正方形是菱形，由菱形的性质知两条对角线互相垂直，即 AC 垂直于 BD；而两条对角线互相平分这一条，平行四边形就已经保证了。三句话合起来，就得到正方形的第二条性质定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分。（课本 P17） 图3 对角线相等且互相垂直 ( A B C D O ) 图3 正方形 ABCD 的两条对角线上各有一处相同样式的刻痕，交点 O 处有一处直角标记（对应课本 P17） 几何语言：因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AC = BD，AC 垂直于 BD，并且 OA = OC，OB = OD。 如图4，两条对角线互相平分：OA = OC = AC，OB = OD = BD；又因为 AC = BD，所以 OA = OB。于是 OA = OB = OC = OD——点 O 到四个顶点的距离都相等，四条线段 OA、OB、OC、OD 一样长。（课本 P17） 图4 对角线互相平分 ( A B C D O ) 图4 正方形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，OA 与 OC 上各有一处单刻痕，OB 与 OD 上各有一处双刻痕（对应课本 P17） 想一想：把「正方形」换成「矩形」，刚才那句「AC 垂直于 BD」还成立吗？在一般的矩形里，两条对角线只是相等、并不垂直，所以交点处的直角标记就画不出来。可见「对角线互相垂直」这一条是从菱形那边带过来的。 • 练一练：（1）正方形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，若 AC = 8，求 BD、OA、OB 的长。（2）正方形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，求 ∠AOB 与 ∠AOD 的度数。 我写： 温馨提示：正方形的两条性质可以看作「矩形性质 ＋ 菱形性质」的并集：矩形给「四个角都是直角、对角线相等」，菱形给「四条边相等、对角线互相垂直」，再加上平行四边形本来就有的「对角线互相平分」，一共五条，一条也不能漏。 ◆ 方阵四 由两条性质得到的三个结论 从刚才两条性质再往前走一步，还能得到三个常用结论。 第一个结论：正方形的每一条对角线平分一组对角。因为正方形的四条边都相等，AB = AD，三角形 ABD 是等腰三角形；而点 O 在对角线 AC 上，由「平行四边形的对角线互相平分」知点 O 是 BD 的中点，所以 AO 是等腰三角形 ABD 的顶角平分线，∠DAC = ∠CAB。同一条道理，另一条对角线 BD 也平分 ∠ABC 与 ∠CDA。（课本 P17） 第二个结论：正方形的对角线与边的夹角是 45 度。因为正方形的四个角都是直角，∠DAB = 90 度；又因为 ∠DAC = ∠CAB，所以 ∠CAB = ∠DAC = × 90 度 = 45 度。也就是说，正方形的对角线与任一条边的夹角都是 45 度。 第三个结论：正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形。因为 OA = OB = OC = OD，而 AC 垂直于 BD，所以四个小三角形都是等腰直角三角形，而且两两全等。 • 练一练：（1）在正方形 ABCD 中，∠ABD 是多少度？∠BAC 是多少度？（2）正方形的两条对角线把它分成几个三角形？它们是什么三角形？ 我写： 温馨提示：这三个结论都是从两条性质「顺出来的」，做题时不必每次重新证一遍，写依据时直接引用即可。尤其是 45 度这个角，它把正方形与等腰直角三角形连了起来——看见正方形的对角线，就想到等腰直角三角形。 ◆ 方阵五 性质的应用（例1、随堂练习与议一议） 性质会用才算学会。下面一道例题、一道随堂练习、一个议一议，考的都是「拿着正方形的性质去推理或计算」。 例1（课本 P17）：如图5，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 边延长线上一点，且 CE = CF。BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由。 图5 正方形中 E 在 CD 上、F 在 BC 的延长线上 ( A B C D E F ) 图5 正方形 ABCD 中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 边延长线上一点，CE = CF（对应课本 P17 例1） 解：BE = DF，且 BE 垂直于 DF。理由如下。因为四边形 ABCD 是正方形，所以 BC = DC，∠BCE = 90 度。因为点 F 在 BC 的延长线上，所以 ∠DCF = 180 度 - ∠BCE = 180 度 - 90 度 = 90 度，得 ∠BCE = ∠DCF。又 CE = CF，所以三角形 BCE 全等于三角形 DCF，于是 BE = DF。 再说明垂直：延长 BE 交 DF 于点 M。因为三角形 BCE 全等于三角形 DCF，所以 ∠CBE = ∠CDF。因为 ∠DCF = 90 度，所以在直角三角形 DCF 中 ∠CDF + ∠F = 90 度，于是 ∠CBE + ∠F = 90 度。在三角形 BMF 中，∠BMF = 180 度 - (∠CBE + ∠F) = 180 度 - 90 度 = 90 度，所以 BE 垂直于 DF。（课本 P17） • 练一练：（1）承例1，若正方形 ABCD 的边长是 3，CE = 1，求 BE 的长。（2）承例1，三角形 BCE 与三角形 DCF 全等的依据是什么？请指出对应的三组条件。 我写： 随堂练习（课本 P18）：如图6，在正方形 ABCD 中，F 是对角线 AC 上一点，连接 BF、DF。找出图中的全等三角形，并选择其中一对说明理由。 图6 正方形中 F 在对角线 AC 上 ( A B C D F ) 图6 正方形 ABCD 中，F 在对角线 AC 上，连接 BF、DF（对应课本 P18 随堂练习） 解：图中共有三对全等三角形，分别是三角形 ABC 与三角形 ADC、三角形 FBC 与三角形 FDC、三角形 FAB 与三角形 FAD。以三角形 FBC 与三角形 FDC 为例：因为四边形 ABCD 是正方形，所以 BC = DC，∠BCF = ∠DCF = 45 度；又 CF 是两个三角形的公共边，CF = CF，所以三角形 FBC 全等于三角形 FDC，于是 BF = DF。（其余两对同理可证。）（课本 P18） • 练一练：（1）承随堂练习，证明 BF = DF。（2）承随堂练习，若 AB = 6，点 F 是对角线 AC 的中点，求 BF 的长。 我写： 议一议（课本 P18）：如图7，在正方形 ABCD 中画一个菱形，使菱形的两个顶点与正方形的顶点 A、C 重合。这样的菱形画得出来吗？画出来的是正方形吗？ 图7 在正方形中画出的菱形 ( A B C D E F ) 图7 正方形 ABCD 中，以 A、C 为两个顶点画出的菱形 AECF（对应课本 P18 议一议） 解：画得出来。因为正方形的两条对角线互相垂直平分，在 BD 上取一点 E 与一点 F（点 E 靠近 B、点 F 靠近 D），使 OE = OF，则四边形 AECF 的两条对角线 AC 与 EF 互相垂直平分，所以四边形 AECF 是菱形。当点 E 恰好取在顶点 B、点 F 恰好取在顶点 D 时，得到的菱形就是原来的正方形；只要 E、F 不取在顶点上，画出的菱形就不是正方形。（课本 P18） • 练一练：（1）承议一议，若 AC = 10，OE = 3，求菱形 AECF 的面积。（2）承议一议，说明为什么只要 OE = OF，四边形 AECF 就是菱形。 我写： 温馨提示：正方形里的计算题，第一句话几乎都是「因为它是正方形，所以四个角都是直角、四条边都相等、两条对角线相等且互相垂直平分」。把这句话写出来，等腰直角三角形、全等三角形就都出现了，剩下的交给全等与勾股定理。 ◆ 方阵六 从矩形出发的两条判定 第 1 课时把性质理清了：已知一个四边形是正方形，就能推出四个角都是直角、四条边相等、两条对角线相等且互相垂直平分。现在反过来问一句——已知什么条件，才能断定一个四边形是正方形？这是第 2 课时要办的事。 正方形的定义是「有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形」，把这句话拆开，就得到两条最省事的路子：一条从矩形出发，一条从菱形出发。先说从矩形出发的第一条。如图8，如果是矩形，那么它已经满足了「有一个角是直角」；只要再补上「有一组邻边相等」，就同时满足了两个条件，它就是正方形。于是得到判定定理一：有一组邻边相等的矩形是正方形。（课本 P18） 图8 有一组邻边相等的矩形 ( A B C D ) 图8 矩形 ABCD 的邻边 AB 与 AD 上各有一处相同样式的刻痕（对应课本 P18） 几何语言：因为四边形 ABCD 是矩形，并且 AB = AD，所以四边形 ABCD 是正方形。 第二条仍然从矩形出发，改从对角线提要求。如图9，矩形 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O，并且 AC 垂直于 BD。因为矩形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，所以 OA = OC、OB = OD；又 AC 垂直于 BD，把这两句话合起来，AB 与 AD 之间的位置就对称了，可以证出 AB = AD，于是这个矩形有一组邻边相等，它是正方形。这就得到判定定理二：对角线互相垂直的矩形是正方形。（课本 P18） 图9 对角线互相垂直的矩形 ( A B C D O ) 图9 矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，O 处有一处直角标记（对应课本 P18） • 练一练：（1）在矩形 ABCD 中，AC 垂直于 BD。求证：矩形 ABCD 是正方形。（2）在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相等并且互相垂直。求证：平行四边形 ABCD 是正方形。 我写： 温馨提示：从矩形出发的两条判定，前提一定是「矩形」——题面只说「四边形」时，得先证它是矩形（有三个角是直角，或对角线相等且互相平分），否则「邻边相等」这个条件加在一个普通四边形上什么也说明不了。 ◆ 方阵七 从菱形出发的两条判定 另外两条判定从菱形出发。如图10，如果是菱形，那么它已经满足了「有一组邻边相等」；只要再补上「有一个角是直角」，就同时满足了两个条件，它就是正方形。于是得到判定定理三：有一个角是直角的菱形是正方形。（课本 P19） 图10 有一个角是直角的菱形 ( A B C D ) 图10 菱形 ABCD 四条边上各有一处相同样式的刻痕，顶点 A 处有一处直角标记（对应课本 P19） 几何语言：因为四边形 ABCD 是菱形，并且 ∠A = 90 度，所以四边形 ABCD 是正方形。 第四条仍然从菱形出发，改从对角线提要求：对角线相等的菱形是正方形。因为菱形的两条对角线互相垂直平分，如果再有 AC = BD，那么 OA = OB，三角形 AOB 就是等腰直角三角形，∠OAB = ∠OBA = 45 度；由对角线平分一组对角，∠DAB = 90 度，于是这个菱形有一个角是直角，它是正方形。（课本 P19） • 练一练：（1）在菱形 ABCD 中，AC = BD。求证：菱形 ABCD 是正方形。（2）在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若三角形 AOB 是等腰直角三角形，则菱形 ABCD 是正方形吗？请说明理由。 我写： 温馨提示：四条判定按「前提」分成两栏记最省事——前提是矩形，就去看邻边（或看对角线是否垂直）；前提是菱形，就去看角（或看对角线是否相等）。题目给了什么前提，就往那一栏去找。 ◆ 方阵八 判定的应用与中点四边形 例1（课本 P19）：已知：如图11，在矩形 ABCD 中，BE 平分 ∠ABC，CE 平分 ∠DCB，BF 平行于 CE，CF 平行于 BE。求证：四边形 BECF 是正方形。 图11 矩形中的四边形 BECF ( A B C D E F ) 图11 矩形 ABCD 中，BE 平分 ∠ABC、CE 平分 ∠DCB，BF 平行于 CE、CF 平行于 BE（对应课本 P19 例1） 解：因为四边形 ABCD 是矩形，所以 ∠ABC = ∠DCB = 90 度。因为 BE 平分 ∠ABC，CE 平分 ∠DCB，所以 ∠EBC = ∠ECB = 45 度，于是 EB = EC。因为 BF 平行于 CE，CF 平行于 BE，所以四边形 BECF 是平行四边形。又 ∠BEC = 180 度 - 45 度 - 45 度 = 90 度，所以平行四边形 BECF 是矩形。因为矩形 BECF 有一组邻边相等（EB = EC），所以四边形 BECF 是正方形。（课本 P19） • 练一练：（1）承例1，若 AB = 10，BC = 6，求四边形 BECF 的边长与面积。（2）承例1，求 ∠BFC 的度数。 我写： 如图12，任意画一个四边形 ABCD，取它四条边的中点 E、F、G、H，再把这四个中点顺次连接起来，得到的四边形 EFGH 叫做中点四边形。这个中点四边形与原来的四边形有什么关系？（课本 P19—P20） 图12 中点四边形 ( A B C D E F G H ) 图12 四边形 ABCD 各边的中点 E、F、G、H 顺次连接，得到中点四边形 EFGH（对应课本 P19—P20） 结论：中点四边形 EFGH 一定是平行四边形。因为 E、F 分别是 AB、BC 的中点，所以 EF 平行于 AC，并且 EF = AC；同理，H、G 分别是 AD、CD 的中点，所以 HG 平行于 AC，并且 HG = AC。于是 EF 平行于 HG，并且 EF = HG，四边形 EFGH 是平行四边形。进一步还能看出：当原四边形的两条对角线相等（AC = BD）时，中点四边形是菱形；当两条对角线互相垂直（AC 垂直于 BD）时，中点四边形是矩形；两条对角线既相等又互相垂直时，中点四边形是正方形。所以正方形 ABCD 的中点四边形是正方形。（课本 P19—P20） • 练一练：（1）承中点四边形，若原四边形 ABCD 是矩形，它的中点四边形是什么形状？请说明理由。（2）承中点四边形，若原四边形 ABCD 是菱形，它的中点四边形是什么形状？ 我写： 温馨提示：例1 走的是「先证平行四边形，再证矩形，最后补一组邻边相等」这条两段式的路。判定正方形从来不是一步到位的——先把身份降到矩形或菱形，再补上缺的那一个条件，这是本节最通用的一条思路。 四、当堂达标检测 下面 A、B、C 三组题请独立完成，把过程写在空白处，写完再对照后面的参考答案。 ◆ A 组（基础） • 填空：正方形的四个角都是__________，四条边__________。 • 选择：下列说法中，正确的是（ ）A. 四条边都相等的四边形是正方形 B. 四个角都是直角的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 既是矩形又是菱形的四边形是正方形 • 填空：在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O。若 AC = 10，则 BD = __________，∠AOB = __________度。 我写： ◆ B 组（提高） • 在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB = 4。求 AC 的长、OA 的长与这个正方形的面积。（课本 P17—P18） • 在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC 垂直于 BD。求证：矩形 ABCD 是正方形。（课本 P18） 我写： ◆ C 组（拓展） • 「对角线互相垂直且相等的四边形是正方形」这句话对吗？请说明理由。（课本 P18） • 在正方形 ABCD 中，AB = 6，点 O 是两条对角线的交点。求 AC 的长、OA 的长与三角形 AOB 的面积。（课本 P17） 我写： 温馨提示：B 组两题的方向正好相反。第 1 题已经说明它是正方形，第一步就写「因为它是正方形，所以四条边都相等、四个角都是直角、两条对角线相等且互相垂直平分」；第 2 题给的是矩形，还没有「正方形」这个身份，要先用「对角线互相垂直的矩形是正方形」来判。C 组第 1 题回答时要说清「对角线互相垂直且相等」只是缺了「互相平分」，单凭这两条画不出正方形。 五、课堂归纳总结 ◆ 知识梳理 • 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。（课本 P17） • 性质定理一：正方形的四个角都是直角，四条边相等。（课本 P17） • 性质定理二：正方形的对角线相等且互相垂直平分。（课本 P17） • 常用结论：正方形的每一条对角线平分一组对角；对角线与边的夹角是 45 度；两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 • 判定定理一：有一组邻边相等的矩形是正方形。（课本 P18） • 判定定理二：对角线互相垂直的矩形是正方形。（课本 P18） • 判定定理三：有一个角是直角的菱形是正方形。（课本 P19） • 判定定理四：对角线相等的菱形是正方形。（课本 P19） 把正方形的性质与判定并排放在一起对照，做题时照着挑依据： 已知什么 可以推出什么 用哪一条 属于 一个四边形是正方形 四个角都是直角；四条边都相等 正方形的性质定理一 性质 一个四边形是正方形 两条对角线相等、互相垂直、互相平分 正方形的性质定理二 性质 一个四边形是正方形 对角线与边的夹角是 45 度 性质定理一与二合起来的常用结论 计算 矩形 ＋ 有一组邻边相等 这个四边形是正方形 判定定理一 判定 矩形 ＋ 两条对角线互相垂直 这个四边形是正方形 判定定理二 判定 菱形 ＋ 有一个角是直角 这个四边形是正方形 判定定理三 判定 菱形 ＋ 两条对角线相等 这个四边形是正方形 判定定理四 判定 ◆ 易错清单 • 误：以为「四条边都相等的四边形」就是正方形。正：四条边都相等只能说明它是菱形，还要再有一个角是直角。 • 误：以为「四个角都是直角的四边形」就是正方形。正：四个角都是直角只能说明它是矩形，还要再有一组邻边相等。 • 误：把正方形的对角线当成「不垂直」。正：正方形的对角线相等、互相垂直、互相平分，三条同时成立，这是它与矩形、菱形的最大区别。 • 误：判定时丢掉前提。正：四条判定的前提分别是矩形或菱形，题面只给「四边形」时，先证出矩形或菱形，再补条件。 • 误：算题时把「对角线的一半」当成「对角线」。正：AC = 2OA，正方形里 OA 是半条对角线，也是等腰直角三角形的腰。 ◆ 思想方法 • 合并旧知：正方形的性质不是新发明的，而是矩形性质与菱形性质的并集；研究新图形时先看它「是谁的特例、由谁合并而来」，能省下大量重复证明。 • 转化：正方形里的计算题，靠「对角线相等且互相垂直平分」把条件集中到一个等腰直角三角形里，交给勾股定理解决。 我写： 六、课后巩固训练 课后先独立完成 A、B、C 三组题，再做课本上的教材练习与《习题1.4》。做题时记住三件事：用性质之前先说清「它是正方形」；用判定之前先看清「前提是矩形还是菱形」；算题时先想清楚手边给的是边，还是对角线。 ◆ A 组（基础巩固） • 填空：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做__________；正方形的两条对角线__________且互相垂直平分。 • 填空：正方形是特殊的__________，也是特殊的__________；正方形的对角线与边的夹角是__________度。 我写： ◆ B 组（能力提升） • 在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB = 5 厘米。求 AC 的长、OA 的长与这个正方形的面积。（课本 P17—P18） • 在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 的延长线上一点，CE = CF。若 AB = 4，CE = 2，求 DF 的长与三角形 DCF 的面积。（课本 P17） 我写： ◆ C 组（综合拓展） • 在正方形 ABCD 中，点 E 在对角线 AC 上，连接 BE、DE。判断三角形 BCE 与三角形 DCE 是否全等，并说明理由。（课本 P18） • 在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在对角线 AC 上，且 AE = CF。判断四边形 BEDF 的形状，并说明理由。（课本 P18） 我写： ◆ 课本练习 • 教材练习（课本 P18）：F 为正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点，连接 BF、DF。找出图中所有的全等三角形，并选择其中一对说明理由。 • 教材练习（课本 P19—P20）：顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是什么形状？请证明你的结论。 • 课本《习题1.4》请同学课后独立完成。其中有几道题在课本上已经给出图形，做题时先把图形看清楚，再动手写依据。 ◆ 中考真题小练 • (2026年·浙江杭州) 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A. 四个角都是直角 B. 对角线相等 C. 四条边都相等 D. 对角线互相平分 • (2026年·江苏南京) 填空：正方形的对角线长为 6，则它的边长是__________。 • (2026年·福建厦门) 在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，则 ∠AOD = __________度。 • (2026年·辽宁沈阳) 下列条件中，能判定一个平行四边形是正方形的是（ ）A. 有一组邻边相等 B. 对角线互相垂直 C. 有一个角是直角 D. 对角线互相垂直并且相等 • (2026年·四川成都) 填空：在正方形 ABCD 中，AB = 4，点 O 是两条对角线的交点，则 OA = __________。 • (2026年·湖北武汉) 在正方形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，连接 AE。若 AB = 4，求 AE 的长。 七、学后反思与四合一性质小结 ◆ 我的收获 • 我知道了正方形是「矩形加一组邻边相等」「菱形加一个直角」两条路的交点，它把矩形与菱形的性质全收在手里，四条边、四个角、两条对角线没有一处是普通的。 • 我学会了看正方形的对角线：它同时做到互相平分、相等、互相垂直、平分一组对角——四条本事凑在一起，所以我把这一条叫做对角线的「四合一」。 • 我能分清性质和判定了：性质是「已知是正方形能推出什么」，判定是「已知什么能推出是正方形」；四条判定我还会挑——前提是矩形就往邻边与对角线垂直上找，前提是菱形就往直角与对角线相等等上找。 ◆ 我的疑问 • 为什么「对角线互相垂直且相等的四边形」还不是正方形？我打算画一个对角线互相垂直、也相等、但不互相平分的四边形，看看它到底差在哪一步。 ◆ 性质与判定对照一览 把这一节出现的说法按「属于性质还是判定」「手边有什么条件」「能得到什么」排一排，做题时照着挑依据： 类别 手边的条件 能得到的结论 用在哪一步 性质（边与角） 已知这个四边形是正方形 四个角都是直角，四条边都相等 遇到直角，构造等腰直角三角形 性质（对角线） 已知这个四边形是正方形 两条对角线相等、互相垂直、互相平分 把条件集中到一条对角线上 常用结论 已知这个四边形是正方形 每条对角线平分一组对角，与边的夹角是 45 度 求角度与线段长 判定（从矩形来） 矩形 ＋ 有一组邻边相等 这个四边形是正方形 题中出现「矩形」 判定（从矩形来） 矩形 ＋ 两条对角线互相垂直 这个四边形是正方形 题中出现矩形的对角线 判定（从菱形来） 菱形 ＋ 有一个角是直角 这个四边形是正方形 题中出现「菱形」 判定（从菱形来） 菱形 ＋ 两条对角线相等 这个四边形是正方形 题中出现菱形的对角线 温馨提示：复习的时候把四条判定的几何语言各默写一遍，注意写清前提是矩形还是菱形。再把这一节的线索串一遍：两组条件合起来（定义）→ 四个角是直角、四条边相等（性质一）→ 对角线相等且互相垂直平分（性质二）→ 对角线与边的夹角是 45 度（常用结论）→ 反过来各补一个条件，就是四条判定。这条链子走通了，正方形这一节就真的过了。 我写： 八、参考答案 ◆ （一）课前自主学习 1. 平行四边形。 2. 矩形；菱形。 3. 直角；相等。 4. 相等；垂直平分。 5. 相等；直角。 ◆ （二）课中合作探究 方阵一 练一练——（1）正方形是矩形，因为它是有一个角是直角的平行四边形；正方形也是菱形，因为它是有一组邻边相等的平行四边形。（2）不一定。例如菱形 ABCD 的四条边都相等，但 ∠A = 60 度，它不是正方形；只有当这个菱形又有一个角是直角（或两条对角线相等）时，它才是正方形。 方阵二 练一练——（1）能。因为正方形是菱形，而菱形的四条边都相等，所以 AB = BC = CD = DA。（2）90 度。因为正方形的四个角都是直角，所以 ∠DAB = 90 度，而 ∠DAC + ∠CAB = ∠DAB。 方阵三 练一练——（1）因为正方形的两条对角线相等，所以 BD = AC = 8；又因为两条对角线互相平分，所以 OA = OB = × 8 = 4。（2）因为正方形的两条对角线互相垂直，所以 ∠AOB = ∠AOD = 90 度。 方阵四 练一练——（1）∠ABD = 45 度，∠BAC = 45 度。因为正方形的对角线平分一组对角，而正方形的四个角都是 90 度，所以 ∠ABD 是 ∠ABC 的一半，∠BAC 是 ∠DAB 的一半。（2）两条对角线把正方形分成四个三角形，它们都是全等的等腰直角三角形。 方阵五 例1 练一练——（1）因为正方形 ABCD 的边长是 3，E 在 CD 上，CE = 1，所以 BC = 3。在直角三角形 BCE 中，BE = = ；又由例1知 BE = DF，所以 DF = 。（2）依据是「两边及其夹角分别相等的两个三角形全等」：BC = DC，∠BCE = ∠DCF = 90 度，CE = CF。 方阵五 随堂练习 练一练——（1）因为四边形 ABCD 是正方形，所以 BC = DC，∠BCF = ∠DCF = 45 度，又 CF = CF，所以三角形 BCF 全等于三角形 DCF，于是 BF = DF。（2）因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AC = BD = = 6；点 F 是对角线 AC 的中点，也就是两条对角线的交点，所以 BF = BD = × 6 = 3。 方阵五 议一议 练一练——（1）菱形 AECF 的两条对角线分别是 AC = 10 与 EF = 2OE = 6，所以面积 = × 10 × 6 = 30。（2）因为 OE = OF，而正方形的两条对角线 AC 与 BD 互相平分、且互相垂直，所以四边形 AECF 的两条对角线 AC 与 EF 互相垂直平分，它是菱形。 方阵六 练一练——（1）因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AC = BD，且 OA = AC，OB = BD，得 OA = OB。又 AC 垂直于 BD，所以 AO 垂直平分 BD，于是 AB = AD。矩形 ABCD 有一组邻边相等，所以矩形 ABCD 是正方形。（2）因为四边形 ABCD 是平行四边形，并且 AC = BD，所以平行四边形 ABCD 是矩形；又 AC 垂直于 BD，所以矩形 ABCD 是正方形（也可以说：AC 垂直于 BD 的平行四边形是菱形，所以它既是矩形又是菱形，即正方形）。 方阵七 练一练——（1）因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AB = BC = CD = DA。又 AC = BD，所以三角形 ABC 与三角形 DCB 中，AB = DC，BC = CB，AC = DB，两个三角形全等，∠ABC = ∠DCB；而由 AB 平行于 DC 得 ∠ABC + ∠DCB = 180 度，所以 ∠ABC = 90 度。菱形 ABCD 有一个角是直角，它是正方形。（2）是正方形。因为三角形 AOB 是等腰直角三角形，所以 OA = OB，∠AOB = 90 度；又 OA = AC，OB = BD，得 AC = BD，由判定定理四知菱形 ABCD 是正方形。 方阵八 例1 练一练——（1）因为四边形 ABCD 是矩形，所以 ∠ABC = ∠DCB = 90 度，∠EBC = ∠ECB = 45 度，三角形 BEC 是等腰直角三角形，BC = 6，所以 BE = CE = = 3；四边形 BECF 是正方形，边长是 3，面积是 = 18。（2）因为四边形 BECF 是正方形，所以 ∠BFC = 90 度。 方阵八 中点四边形 练一练——（1）原四边形是矩形时，它的两条对角线相等，所以中点四边形的四条边都相等，它是菱形。（2）原四边形是菱形时，它的两条对角线互相垂直，所以中点四边形的四个角都是直角，它是矩形。 ◆ （三）当堂达标检测 A：1. 直角；相等。 2. D（A 只说明它是菱形；B 只说明它是矩形；C 少了「相等」，对角线互相垂直平分的四边形是菱形）。 3. BD = 10；∠AOB = 90。 B：1. 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 ∠ABC = 90 度，AB = BC = 4。在直角三角形 ABC 中，AC = = = 4，OA = AC = 2，面积 = 4 × 4 = 16。 2. 因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AC = BD，且 OA = AC，OB = BD，得 OA = OB；又 AC 垂直于 BD，所以 AO 垂直平分 BD，于是 AB = AD。矩形 ABCD 有一组邻边相等，所以矩形 ABCD 是正方形。 C：1. 不对。这个四边形还需要「两条对角线互相平分」才能是平行四边形；对角线互相垂直且相等但不互相平分时，得到的只是四条边不相等的一般四边形。 2. 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 ∠ABC = 90 度，两条对角线相等且互相垂直平分。在直角三角形 ABC 中，AC = = = 6，OA = AC = 3。点 O 到 AB 的距离等于 BC 的一半，即 3，所以三角形 AOB 的面积 = × AB × 3 = × 6 × 3 = 9。 ◆ （四）课后巩固训练 A：1. 正方形；相等。 2. 矩形；菱形；45。 B：1. 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 ∠ABC = 90 度，AB = BC = 5 厘米。在直角三角形 ABC 中，AC = = = 5（厘米），OA = AC = （厘米），面积 = 5 × 5 = 25（平方厘米）。 2. 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 BC = DC = 4，∠DCF = 90 度；又 CE = CF = 2，在直角三角形 DCF 中，DF = = = 2，三角形 DCF 的面积 = × 4 × 2 = 4。 C：1. 全等。因为四边形 ABCD 是正方形，所以 BC = DC，∠BCE = ∠DCE = 45 度，CE = CE，所以三角形 BCE 全等于三角形 DCE。 2. 四边形 BEDF 是菱形。因为正方形的两条对角线互相垂直平分，所以 AC 垂直于 BD，OB = OD；又 AE = CF，得 OE = OF，于是四边形 BEDF 的两条对角线互相垂直平分，它是菱形。（当 E、F 恰好是对角线 AC 的中点时，四边形 BEDF 是正方形。） ◆ （五）课本练习 教材练习（课本 P18）：图中共有三对全等三角形——三角形 ABC 与三角形 ADC、三角形 FBC 与三角形 FDC、三角形 FAB 与三角形 FAD。以三角形 FBC 与三角形 FDC 为例：因为四边形 ABCD 是正方形，所以 BC = DC，∠BCF = ∠DCF = 45 度，CF = CF，所以三角形 FBC 全等于三角形 FDC（两边及其夹角分别相等），于是 BF = DF。（课本 P18） 教材练习（课本 P19—P20）：所得的四边形是平行四边形。设四边形 ABCD 的各边中点依次为 E、F、G、H。连接对角线 AC：在三角形 ABC 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点，所以 EF 平行于 AC，且 EF = AC；在三角形 ACD 中，H、G 分别是 AD、CD 的中点，所以 HG 平行于 AC，且 HG = AC。于是 EF 平行于 HG，且 EF = HG，四边形 EFGH 是平行四边形。进一步地，当原四边形的两条对角线相等时它是菱形，当两条对角线互相垂直时它是矩形，当两条对角线既相等又互相垂直时它是正方形。（课本 P19—P20） ◆ （六）中考真题 1. C。A「四个角都是直角」、B「对角线相等」、D「对角线互相平分」都是一般矩形本来就有的性质；只有 C「四条边都相等」是正方形具有而矩形不一定具有的。 2. 3。（正方形的对角线与边夹角是 45 度，边长为 a 时对角线为 a；由 a = 6 得 a = 3。） 3. 90。（正方形的两条对角线互相垂直，所以 ∠AOD = 90 度。） 4. D。A 说的是菱形；B 说的是菱形；C 说的是矩形；只有 D「对角线互相垂直并且相等」能判定一个平行四边形是正方形。 5. 2。（AC = = 4，OA = AC = 2。） 6. 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 ∠D = 90 度，AD = AB = 4；E 为 CD 的中点，所以 DE = 2。在直角三角形 ADE 中，AE = = = 2。 学科网（北京）股份有限公司 $