第1章 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形（导学案）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“内嵌于正方形的正八边形”，引导学生理解其定义与核心特征，掌握尺规作图方法。课堂导入通过复习正多边形的边与角特点、内角外角计算，搭建从旧知到新知的学习支架，自然过渡到新知探究。 以建筑装饰图案为情境，培养数学眼光中的几何直观与空间观念。通过“分析特征—设计思路—操作验证”的探究过程，提升数学思维中的推理意识与运算能力，结合例题计算与多种作图方法，强化数学语言表达，习题层次分明，助力学生掌握核心知识与问题解决能力。

第1章 特殊平行四边形 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 【学习目标】 1.理解“内嵌于正方形的正八边形”的定义，掌握正八边形的核心特征. 2.经历“分析图形特征一设计作图思路一尺规操作验证”的探究过程，提升几何推理与尺规作图能力。 3.体会数学与建筑艺术的联系，培养问题解决的条理性与合作交流意识. 学习重点：理解“内嵌于正方形的正八边形”的定义，掌握正八边形的核心特征. 学习难点：经历“分析图形特征一设计作图思路一尺规操作验证”的探究过程，提升几何推理与尺规作图能力. 【复习导入】 问题1：正多边形的特点是什么？ 问题2：回想正多边形的性质，你知道正 n 边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？ 【合作探究】 探究点：作内嵌于正方形的正八边形 问题：(1) 观察这个建筑装饰图案，你能看到哪些我们学过的几何图形？ (2) 它们的位置关系有什么特点？  引入概念：如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形. 理解问题 (1) 正八边形内嵌于正方形，可能有哪些情形？请你画出相应的草图. (2) 正八边形有哪些具体特征？ 例1 如图，正八边形 ABCDEFGH 内嵌于正方形 MNPQ，正方形边长为 a。 (1) 设正方形四个角上的等腰直角三角形的直角边长为 x，请用含 x 的式子表示正八边形的边长. (2) 求 x 的值和正八边形的边长. 例2 已知正方形 ABCD，请用尺规作图的方法，画出一个内嵌于它的正八边形，写出作图步骤. (至少两种方法). 练一练 1. 已知正方形 ABCD，请用尺规作图的方法，画出一个有 4 个顶点在正方形的边中点的正八边形，保留作图痕迹. 当堂反馈 1.若正方形边长为 6，求内嵌正八边形的周长和面积. 2. 当一个矩形的四个顶点都在已知菱形的边上时，我们称这个矩形为菱形的内接矩形. 菱形的内接矩形有哪些不同的情况? 参考答案 【复习导入】 问题1：每条边相等，每个内角相等. 问题2： 每个内角的度数是 每个外角的度数是 【合作探究】 探究点：作内嵌于正方形的正八边形 问题： (1) 正方形、正八边形 (2) 正八边形在正方形内部，且部分顶点落在正方形的边上. 理解问题 (1) ①正八边形的 8 个顶点都在正方形的边上，每条边 2 个顶点 ②正八边形有 4 个顶点在正方形的边中点 (2) 8 条边相等，8 个内角相等，每个内角为 135°， 中心到各顶点距离相等. 例1 解：(1) 等腰直角三角形的斜边就是正八边形的边长， 如图，在Rt△MHA 中，根据勾股定理，AH = 正八边形的边长为 (2) 由 (1) 得，AH = HG = ， 正方形的一条边由两段直角边和段正八边形的边长组成，因此 MP = MH + HG + GP = a， x + + x = a. 化简得 x( 2 + ) = a 正八边形的边长为 例2 方法一：对角线交点法 1.作正方形 ABCD 的两条对角线 AC、BD，交于中心 O. 2.以 A、B、C、D 为圆心，以OA 为半径画弧，分别与正方形的四条边交于两个点. 3.顺次连接这 8 个交点，得到正八边形 EFGHIJKL. 方法二：截取等长线段法 1.设正方形边长为 a， 计算得角上等腰直角三角形的直角边长 ； 2. 以 A、B、C、D 为圆心，x 为半径，在每条边上截取两个点. 3. 顺次连接这 8 个点，得到正八边形. 练一练1. 当堂反馈 1.解：由题意分析得，设四个等腰直角三角形的直角边长为 x，则斜边长为 √2x，也就是正八边形的边长. 根据正方形边长可得 x + √2x + x = 6. x=6−3√2 正八边形的边长为 √2x=6√2−6. 周长为 8×(6√2−6)=48(√2−1) 正八边形的面积为 6×6－4×1/2×(6−3√2)^2=72(√2−1) 2. 情况 1：中心型(最常规） 矩形四边顶点分别落在菱形四条边上，矩形对角线重合于菱形中心，两组对边分别平行于菱形两条对角线，无数个同类型矩形（只要过中心作两组垂线与四边相交即可）. 情况2：顶点贴合型 矩形有 2 个顶点落在菱形顶点上， 剩余 2 个顶点在对边上（受菱形内角限制， 仅特定角度菱形存在. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $