第1章 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形（导学案）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

 第1章  特殊平行四边形

问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形

【学习目标】

1.理解“内嵌于正方形的正八边形”的定义，掌握正八边形的核心特征. 

2.经历“分析图形特征一设计作图思路一尺规操作验证”的探究过程，提升几何推理与尺规作图能力。

3.体会数学与建筑艺术的联系，培养问题解决的条理性与合作交流意识.

学习重点：理解“内嵌于正方形的正八边形”的定义，掌握正八边形的核心特征.

学习难点：经历“分析图形特征一设计作图思路一尺规操作验证”的探究过程，提升几何推理与尺规作图能力.

【复习导入】

问题1：正多边形的特点是什么？

 

问题2：回想正多边形的性质，你知道正 n 边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？

 

                 

【合作探究】

探究点：作内嵌于正方形的正八边形

问题：(1) 观察这个建筑装饰图案，你能看到哪些我们学过的几何图形？

 

 

 

                      

 

(2) 它们的位置关系有什么特点？

                      

  

 引入概念：如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形.

 

理解问题

(1) 正八边形内嵌于正方形，可能有哪些情形？请你画出相应的草图.

 

 

 

 

 

(2) 正八边形有哪些具体特征？

 

 

 

 

例1  如图，正八边形 ABCDEFGH 内嵌于正方形 MNPQ，正方形边长为 a。

(1) 设正方形四个角上的等腰直角三角形的直角边长为 x，请用含 x 的式子表示正八边形的边长.

(2) 求 x 的值和正八边形的边长.

 

 

 

 

 

例2  已知正方形 ABCD，请用尺规作图的方法，画出一个内嵌于它的正八边形，写出作图步骤.

(至少两种方法).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

练一练

1. 已知正方形 ABCD，请用尺规作图的方法，画出一个有 4 个顶点在正方形的边中点的正八边形，保留作图痕迹.

 

 

 

 

 

 

 

             

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