精品解析：浙江宁波市慈溪实验中学2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试卷

2026学年第一学期 慈溪实验中学八年级数学阶段性测试试卷（2） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列人工智能助手图标中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题是假命题的是（ ） A. 等角的补角相等 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 对顶角相等 D. 两直线平行，同位角相等 3. 如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长，支撑板顶端的恰好是托板的中点，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（ ） A. 5cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 6. 等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边边长为（ ） A. B. C. D. 或 7. 如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原中的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，是边上的中线，且．若、分别是、上的动点，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9. 我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽将“勾股形”分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示长方形是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为（ ） A. 52 B. 104 C. 48 D. 96 10. 如图，在中，，平分交于点平分交于点交于点．则下列说法正确的个数为（ ） ①；②，③若，则；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 如图，点B，F，E，C在同一直线上，，且，要使，则可以添加的条件是_______．（只需填上一个即可） 12. 如图，是等边三角形，，，则的度数为______． 13. 如图，的边的垂直平分线交于点，若，则的长为______． 14. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 15. 若等腰三角形一边上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于 _________________． 16. 在三角形中，，高，交于点H，M，N分别为，的中点，连接．若，则=______． 三、解答题（共8小题，第17－21题各8分，第22题，第23题10分，第24题12分，共72分） 17. 已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，AC=EF,AD=BE，∠A=∠E， （1）求证：△ABC≌△EDF； （2）当∠CHD=120°，猜想△HDB的形状，并说明理由． 18. 如图，中，． （1）用直尺和圆规作边上的中线． （2）若，求中线的长 19. 如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E，过点D作于点F． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 20. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位． （1）在图1中画出一个以为一边，面积为12的三角形； （2）在图2中画出一个以为腰的等腰三角形 （3）在图 3中画出的角平分线BE（的三个顶点都在格点上）．按要求完成作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹；③标注相关字母． 21. 如图，在中，，垂足为，，垂足为，为边的中点，连接、、． （1）求证：为等腰三角形； （2）设，请直接写出之间的数量关系，并证明． 22. 同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ （1）填空：如图①，若直角边，直角边，则斜边________； （2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边、在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明； （3）如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长． 23. 如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． （1）如图①，当________时，的面积等于面积的一半； （2）如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 24. 【问题初探】 如图，和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，即，，． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，连接、，则线段与的数量关系是　　，位置关系是　　； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 如图（3），在四边形中，，，，连接，，，点到直线的距离为7，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期 慈溪实验中学八年级数学阶段性测试试卷（2） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列人工智能助手图标中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项：把该图形沿着虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合， 该图形是轴对称图形，故Ａ选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合， 该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合， 该图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合， 该图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意． 2. 下列命题是假命题的是（ ） A. 等角的补角相等 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 对顶角相等 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、等角的补角相等，为真命题； B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是假命题； C、对顶角相等，为真命题； D、两直线平行，同位角相等，为真命题． 3. 如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据ASA证明全等解答即可． 【详解】解：由图可得，三角形已知一个锐角和一个直角，以及两角的夹边， 所以根据ASA证明三角形全等， 故选：C． 【点睛】此题考查直角三角形的全等，关键是根据全等三角形的判定方法解答． 4. 在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和为，逐个判断条件能否推出三角形有一个内角为90°，即可得到符合要求的条件个数． 【详解】解：三角形内角和为，逐个推导如下， ① ， ， 代入内角和得，得， 是直角三角形； ② ， 设， 则，解得， ， 是直角三角形； ③ ， ， ， 是直角三角形； ④ ，， ， 是钝角三角形，不是直角三角形． 综上，能确定是直角三角形的条件共3个． 5. 如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长，支撑板顶端的恰好是托板的中点，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（ ） A. 5cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据是的中点可求的长度，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求解，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：过点作，垂足为点， 是的中点，， ， ，，射线是的平分线， ， 故选：． 6. 等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边边长为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题分为两种情况：是等腰三角形的底边或是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形． 【详解】解：当是等腰三角形的底边时，则其腰长是，，能够组成三角形； 当是等腰三角形的腰时，则其底边是，，能够组成三角形． 故该等腰三角形的底边长为：或． 7. 如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现和的倍数关系是解答此题的关键．根据在中，得出，根据折叠和三角形内角和定理得出，得，求出结果即可． 【详解】解：在中， 则， 根据折叠的性质知：，， 在中，则有：， 即； ，得， 解得． 故选：D． 8. 如图，在中，，，是边上的中线，且．若、分别是、上的动点，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴垂直平分， ∴， 如图，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长， ∵， ∴， 即的最小值是． 9. 我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽将“勾股形”分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示长方形是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为（ ） A. 52 B. 104 C. 48 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质等知识，理解题意是关键；由题意得，，设，则，在中利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，由题意得四边形是正方形，则， 由题意得， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，在中，，平分交于点平分交于点交于点．则下列说法正确的个数为（ ） ①；②，③若，则；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据三角形内角和定理可得可得，然后根据平分平分，可得，，再根据三角形内角和定理即可进行判断； ②当是的中线时，，进而可以进行判断； ③根据，证明为等边三角形，根据三线合一的性质进而可以进行判断； ④作的平分线交于点，可得，证明，，可得，进而可以判断； ⑤过作于点，由④知，为的角平分线，可得，所以可得，根据，进而可以进行判断． 【详解】解：①在中，， ∴， ∵平分平分， ∴，， ∴，故①正确； ②当是的中线时，，故②错误； ③∵， ∴为的中线， ∵为的角平分线， ∴， ∴为等边三角形， ∴，故③正确； ④如图，作的平分线交于点， 由①得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ⑤过作，于点， 由④知，为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，故⑤正确． 综上所述：正确的有①③④⑤，共4个， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形全等的性质和判定，作辅助线，构建三角形全等是解题关键． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 如图，点B，F，E，C在同一直线上，，且，要使，则可以添加的条件是_______．（只需填上一个即可） 【答案】(答案为唯一) 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．根据全等三角形的判定方法即可解决问题； 【详解】解：∵，∴， 又∵， 根据只要添加：或； 根据只要添加：或； 根据只要添加：， 故答案为：(答案为唯一)． 12. 如图，是等边三角形，，，则的度数为______． 【答案】##75度 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得出，，然后证得是等腰三角形，求得，然后根据三角形外角的性质求得即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13. 如图，的边的垂直平分线交于点，若，则的长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】先根据垂直平分线的性质得，，再结合，即可求解． 【详解】解：∵ 的边的垂直平分线交于点， ∴，， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 14. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】根据互逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题 【详解】解：将原命题改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等”， 其中题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“这个三角形的两个底角相等”， 互换题设和结论后，得到逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 15. 若等腰三角形一边上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于 _________________． 【答案】，或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，因而应分三种情况进行讨论，根据题意画出图形，即可求解． 【详解】①当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形的内部，如图1． ，取的中点，则 ∴是等边三角形， ∵ ， ． ②当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形的外部，如图2． ， 同理可得是等边三角形， ， ． ③当底边上的高等于底边的一半时， 如图所示， ， 同理可得是等边三角形， ∴， 综上，此三角形的底角为，或． 16. 在三角形中，，高，交于点H，M，N分别为，的中点，连接．若，则=______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、斜边上中线的性质、勾股定理等知识点．连接，可证，进一步可推出为等腰直角三角形，即可求解．遇见中点和直角，联想斜边上中线的性质作辅助线是解题关键． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵M，N分别为，的中点， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∵，， ∴ 故答案为： 三、解答题（共8小题，第17－21题各8分，第22题，第23题10分，第24题12分，共72分） 17. 已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，AC=EF,AD=BE，∠A=∠E， （1）求证：△ABC≌△EDF； （2）当∠CHD=120°，猜想△HDB的形状，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵AD=BE， ∴AD+DB=BE+DB, ∴AB=ED， 在△ABC和△EDF中， , ∴△ABC≌△EDF（SAS）； （2）△HDB为等边三角形；理由如下： ∵△ABC≌△EDF， ∴∠HDB=∠HBD， ∵∠CHD=∠HDB+∠HBD=120°， ∴∠HDB=∠HBD=60°， ∠DHB=60°． ∴△HDB为等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据SAS即可证明：△ABC≌△EDF； （2）由（1）可知∠HDB=∠HBD，再利用三角形的外角关系即可得三角形HDB为等边三角形． 【详解】(1)略 (2) 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的外角关系，掌握相关定理是解题关键． 18. 如图，中，． （1）用直尺和圆规作边上的中线． （2）若，求中线的长 【答案】（1） 就是所求作图形． （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，作中线； （1）根据尺规作图作边上的中线即可； （2）由等腰三角形得到，再根据勾股定理得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是边上的中线，， ，， 由勾股定理得：． 19. 如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E，过点D作于点F． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、勾股定理、三角形的面积，根据平行线的性质和勾股定理解答是解题的关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可； （2）由（1）得，再根据平行线的性质得，然后由勾股定理求得，再利用等积法求出，最后由勾股定理求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 20. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位． （1）在图1中画出一个以为一边，面积为12的三角形； （2）在图2中画出一个以为腰的等腰三角形 （3）在图 3中画出的角平分线BE（的三个顶点都在格点上）．按要求完成作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹；③标注相关字母． 【答案】（1） 如图，即为所求作； （2） 即为所求作； （3） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式，由底为6、高为4，作出图形即可； （2）根据等腰三角形的定义，以及，作出图形即可； （3）取格点F，连接交格点O，作射线交于E，则即为所求． 【小问1详解】 ∵， ∴边上的高， 【小问2详解】 由勾股定理可得， 如图， 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，角平分线等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 21. 如图，在中，，垂足为，，垂足为，为边的中点，连接、、． （1）求证：为等腰三角形； （2）设，请直接写出之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：∵为边的中点，，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2），证明如下： ∵为边的中点，，， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，即，即可得到为等腰三角形； （2）直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，根据等边对等角得到，则，同理可得，再根据证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ （1）填空：如图①，若直角边，直角边，则斜边________； （2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边、在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明； （3）如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长． 【答案】（1）； （2） 证明：图②的面积， 又图②的面积， ∴， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】本题主要勾股定理的证明，几何图形面积的计算，矩形与折叠中勾股定理的运用． （1）运用勾股定理可得的值； （2）图②的面积，又图②的面积，由此即可求解； （3）根据折叠，长方形的性质，在中，运用勾股定理，可得，设，则，在中，运用勾股定理得，即可求解． 【小问1详解】 解：根据勾股定理得，， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由折叠的性质得：， ∵四边形是长方形， ∴， 在中，，即， 解得：， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴． 23. 如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． （1）如图①，当________时，的面积等于面积的一半； （2）如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】（1）或 （2）点Q的运动速度为或 【解析】 【分析】本题考查三角形面积的求法，三角形中线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用．理解题意，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可求出，分类讨论：①当点P在上时；②当点P在上时；③当点P在上时，分别列方程求解即可； （2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∴． 分类讨论：①当点P在上时，不存在； ②当点P在上时，此时，如图， ∴， ∴； ③当点P在上时，此时，如图， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴． 综上可知当或时，的面积等于面积的一半； 【小问2详解】 解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 24. 【问题初探】 如图，和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，即，，． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，连接、，则线段与的数量关系是　　，位置关系是　　； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 如图（3），在四边形中，，，，连接，，，点到直线的距离为7，请直接写出的面积． 【答案】（1），； （2），，理由如下： ， ， ，， ， ，， 延长与交于点，如图2， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判断方法，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质判断出即可得出，，然后推导出，进而得出，即可得解； （2）先证明得到，，再延长与交于点，证明即可得到； （3）过作交延长线于，可证得，可得，，进而得到，再由求出和的长即可． 【详解】解：（1）；，证明如下， 延长交于点，如图1所示， 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板， ，，， ， ，， ， ． ． ， ， （2）略 （3）过作交延长线于，过作交于，如图3， ， ， ， ，，， ， ，， ， 到直线的距离为7， ， ， ， ， ，即， 解得，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $