1.3勾股定理的应用 讲义 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

北师大版（新教材）八年级上册1.3勾股定理的应用 【知识点1】勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 1.（2025春•昭通期中）《算法统宗》记载“昨日丈量田地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘？”译文：“昨天量了田地回到家里，记得长方形田的长为30步，宽及其对角线之和为50步，不知该田有几亩？”请运用所学知识求解这块地有（　　）亩（1亩=240平方步） A．2 B．3 C．4 D．5 2.（2025春•麻章区期末）如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 3.（2024秋•揭阳校级期末）如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为______cm2． 4.（2025春•武威校级期末）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西18°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则渔船从港口O出发的方向为______． 5.（2025秋•苏州期末）如图，汽车卸货，AC=120cm,BC=50cm,∠ACB=90°，求AB的长． 6.（2025秋•兰州期末）数学课上老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片ABC，已知底边BC=20cm,点D是腰AB上一点，且CD=16cm,BD=12cm. （1）请你判断△BCD的形状，并说明理由： （2）求三角形腰AB的长度． 北师大版（新教材）八年级上册1.3勾股定理的应用 (参考答案) 【知识点1】勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 1.（2025春•昭通期中）《算法统宗》记载“昨日丈量田地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘？”译文：“昨天量了田地回到家里，记得长方形田的长为30步，宽及其对角线之和为50步，不知该田有几亩？”请运用所学知识求解这块地有（　　）亩（1亩=240平方步） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】设长方形田的宽为x步，则其对角线的长为（50-x）步，根据勾股定理可得x2+302=（50-x）2，解方程求出宽，再根据长方形面积公式求出面积即可得到答案． 【解答】解：设长方形田的宽为x步， 根据题意得x2+302=（50-x）2， 解得x=16， ∴长方形田的宽为16步， ∴长方形田的面积为16×30÷240=2亩， 故选：A． 2.（2025春•麻章区期末）如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 【答案】A 【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD-AB即为橡皮筋拉长的距离． 【解答】解：Rt△ACD中，AC=AB=4cm,CD=3cm； 根据勾股定理，得：AD==5（cm）； ∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2（cm）； 故橡皮筋被拉长了2cm. 故选：A． 3.（2024秋•揭阳校级期末）如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为______cm2． 【答案】64 【分析】由勾股定理和正方形的面积公式解答． 【解答】解：由图可知正方形的边长为=8cm,正方形的面积为8×8=64cm2． 4.（2025春•武威校级期末）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西18°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则渔船从港口O出发的方向为______． 【答案】南偏西72°． 【分析】根据勾股定理的逆定理得出∠MON=90°，再根据平角定义求出即可． 【解答】解：由题意知OM=60，ON=80，MN=100， ∵602+802=1002， ∴OM2+ON2=MN2， ∴△OMN是直角三角形，∠MON=90°， 又∠EOM=18°， ∴∠NOF=180°-∠EOM-∠MON=180°-18°-90°=72°， ∴渔船从港口O出发的方向为南偏西72°， 故答案为：南偏西72°． 5.（2025秋•苏州期末）如图，汽车卸货，AC=120cm,BC=50cm,∠ACB=90°，求AB的长． 【答案】AB的长为130cm． 【分析】据此直角三角形的边长，结合勾股定理计算即可． 【解答】解：∵AC=120cm,BC=50cm,∠ACB=90°， ∴， 故AB的长为130cm. 6.（2025秋•兰州期末）数学课上老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片ABC，已知底边BC=20cm,点D是腰AB上一点，且CD=16cm,BD=12cm. （1）请你判断△BCD的形状，并说明理由： （2）求三角形腰AB的长度． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）依据勾股定理的逆定理，即可得到∠BDC=90°，即可得到CD⊥AB； （2）设腰长为x cm,则AD=（x-12）cm,由（1）可知AD2+CD2=AC2，解方程（x-12）2+162=x2，即可得到腰长． 【解答】解：（1）△BCD为直角三角形，理由如下： ∵已知底边BC=20cm,点D是腰AB上一点，且CD=16cm,BD=12cm. ∴BD2+CD2=162+122=400，BC2=202=400， ∴BD2+CD2=BC2， ∴△BCD为直角三角形； （2）设腰长为AB=AC=x cm,则AD=（x-12）cm, 由（1）可知∠ADC=∠BDC=90°， 由勾股定理可知，AD2+CD2=AC2， 即：（x-12）2+162=x2， 解得， ∴腰AB长为． 学科网（北京）股份有限公司 $