1.3 勾股定理的应用（暑假预科讲义）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 1.3勾股定理的应用 知识归纳与题型总结 考点01 勾股定理与网格问题 1.核心知识点总结：找直角边长度→套a²+b²=c²  格点线段当斜边：横向纵向数格子得两直角边，直接计算。 非水平垂直边：补直角三角形，用大减小算边长。 2.易错点警示 斜着数格子错，必须用横纵差值。 网格有单位长度（如1格=2），要先乘单位再平方。 考向01 勾股定理与网格问题 【例1】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 【对点1】如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是）中，标记格点（网格线的交点），，，，则下列线段中，长度为的是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 考点02 勾股定理与折叠问题 1.核心知识点总结 折叠性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，利用全等转化边长。 折叠后形成直角三角形，结合勾股定理列方程求解未知边。 2.高频考点梳理 长方形折叠(如折顶点到对边，求折痕长度或剩余线段长度)。 直角三角形折叠(折叠直角边或斜边，利用勾股定理求重叠部分)。 3.易错点警示 折叠后未准确识别对应边(如长方形折叠后，顶点落在对边上，需明确折痕两侧的相等边)。 忽略折叠后的直角关系(如折叠后形成的新直角三角形，未利用勾股定理)。 例：如图，长方形纸片 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°。将纸片沿 AE、EF 折叠，使点 D 落在D’处，点C落在AB边上的A处，且点 A、F、D 在同一直线上。则AE=CE，AD’=CD，∠C=D’AE=90°。 考向01 勾股定理与折叠问题 【例1】如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． 【对点1】如图，在中，，，，把沿折叠，使点B落在边上的点D处，则______． 考点03 勾股定理的应用 一、求梯子滑落高度 1.核心知识点总结 直接应用勾股定理：直角三角形中，（为斜边）。 梯子长度为斜边，墙与地面垂直构成直角三角形，顶端下滑/底端滑动后仍满足勾股定理。 2.高频考点梳理 已知初始状态两边长度，求滑动距离（顶端下滑高度或底端滑动距离）。 多步计算：先求初始高度/水平距离，再求滑动后对应边长，差值为滑动距离。 3.易错点警示 误将梯子顶端下滑距离与底端滑动距离相等（实际不相等，需通过勾股定理计算）。 忽略梯子长度不变（始终为斜边），错把滑动后某边当作原边长。 4.解题技巧拆解 步骤：①确定直角三角形三要素（斜边=梯子长）；②代入勾股定理求未知边；③计算滑动前后边长差值。 二、解决水杯中筷子问题 1.核心知识点总结 圆柱形容器内，筷子最长时为斜边（底面直径+高为直角边），最短时为容器高度。 露在外面长度，最值对应容器内长度最值。 2.高频考点梳理 已知容器底面直径、高和筷子总长，求露在外面长度的取值范围。 逆向问题：已知露在外面长度，求筷子总长或容器尺寸。 3.易错点警示 混淆底面直径与半径（计算直角边时需用直径）。 忽略“最长长度”为斜边，误将筷子长度直接等于容器高度。 4.解题技巧拆解 关键公式： 容器内筷子长度 计算方式 最长（斜放） （为底面直径，为容器高） 最短（竖放） （容器高度） 取值范围：。 3、 解决航海问题 1.核心知识点总结 结合方位角（北偏东/南偏西等）构造直角三角形，方位角夹角为90°时直接构成直角。 路程=速度×时间，通过勾股定理求两船距离或某船速度。 2.高频考点梳理 已知两船航向（夹角90°）、速度和时间，求距离。 已知距离和一船速度，求另一船速度。 3.易错点警示 方位角判断错误（如北偏东30°与南偏东60°夹角为90°，需准确画图）。 忽略时间单位统一（如速度为海里/时，时间为小时，路程单位为海里）。 4.解题技巧拆解 步骤：①画方位角示意图，确定直角三角形直角边（两船路程）；②计算路程；③用勾股定理求斜边(两船距离)或未知边(速度)。 4、 求河宽问题 1.核心知识点总结 河宽用勾股定理，核心是构造直角三角形，河宽为其中一条直角边。 2.经典题型梳理 题型1 标杆测距 在河岸选点A，对岸对应点B，沿河岸走AC⊥AB，量AC长度，测∠ACB，再找C到B的斜线长，河宽AB=√(AC²-BC²)。 题型2 折叠/镜像测距 在A点看对岸B，沿岸边后退到C，使AC与岸边垂直，再向前走相同距离到D，找D看B对齐的点E，河宽AB=DE，或用AB=√(BE²-AE²)。 5、 求台阶上地毯长度 1.核心知识点总结 台阶地毯总长=台阶总高度+总水平长度，不用算每级斜边，勾股平移超简单。 原理：把每级台阶的高、水平长分别平移，拼起来就是直角边，总长和斜边无关。 2.经典题型梳理 台阶高每级20cm、共5级，水平每级30cm、共5级， 总高=20×5=100cm，总水平长=30×5=150cm，地毯长=100+150=250cm。 进阶题：已知台阶总高3m，斜边5m，先算总水平长=√(5²-3²)=4m，地毯长=3+4=7m。 六、判断汽车是否超速 1.核心知识点总结 核心：算刹车距离，和规定距离对比，判断超速 1. 刹车痕迹=斜边，刹车时车轮抱死路线为直角边，用勾股算实际刹车路程 2. 用路程、时间算车速，和路段限速比对 2.经典题型梳理 路面刹车：车在平直路刹车，痕迹长s，结合反应距离，总距=反应距+s，用v=s/t算速度。 坡道/路口：构造直角△，比如车冲过路口，横向纵向刹车痕为直角边，算实际行驶斜边=真实刹车距，再算速度。 七、判断是否受台风影响 1.核心知识点总结 求点到直线的距离(海港到台风移动路线的垂直距离)，判断是否小于影响半径。 影响时间=影响路段长度÷台风移动速度(影响路段为圆与直线的交点间距离)。 2.高频考点梳理 已知台风移动路线、海港位置(三角形三边)，判断是否受影响。 计算影响持续时间(求弦长)。 3.易错点警示 误将海港到台风初始位置的距离当作点到直线距离(需用面积法求垂直距离)。 漏算影响路段长度(弦长=2，为影响半径，为垂直距离)。 4.解题技巧拆解 关键步骤： 求垂直距离：用三角形面积公式(为台风路线长度)。 判断影响：若，受影响；反之不受。 求影响时间：弦长，时间。 8、 选址使到两地距离相等 1.核心知识点总结 利用勾股定理列方程：设选址点到某点距离为，表示出到另一点的距离，列等式求解。 直角三角形中，斜边相等或直角边相等的建模。 2.高频考点梳理 公路上选址，使到两侧村庄距离相等。 结合垂直距离(村庄到公路的距离)构造直角三角形。 3.易错点警示 设未知数时混淆线段关系，需准确表示 遗漏垂直条件(村庄到公路的距离为直角边，不可忽略)。 4.解题技巧拆解 建模方法：设停靠站到距离为，则到距离为(为总长)，列方程： (、为两村庄到公路的垂直距离)。 九、求最短路径 1.核心知识点总结 化曲为直：将长方体/圆柱表面展开为平面图形，最短路径为两点间线段。 长方体有3种展开方式，圆柱侧面展开为长方形(长=底面周长)。 2.高频考点梳理 长方体表面两点间最短路径(比较3种展开方式的线段长度)。 圆柱侧面缠绕问题(展开后求斜边，多圈缠绕需乘以圈数)。 3.易错点警示 长方体展开时漏算一种方式(需计算、、三种情况)。 圆柱缠绕多圈时，底面周长未乘以圈数(如2圈则展开长=2×底面周长)。 4.解题技巧拆解 长方体最短路径计算表： 展开方式 直角边1 直角边2 路径长度 前+右 前+上 左+上 圆柱侧面路径：（为圈数，为底面周长，为圆柱高）。 十、勾股定理逆定理的实际应用 1.核心知识点总结 勾股逆定理核心：三边满足a²+b²=c²，就是直角三角形，实操全靠这个判断。 2.经典题型梳理 检测垂直（最常用） 比如砌墙/架电线杆，量3、4、5尺三段，能围成三角形就是直角，保证墙体垂直。 判断路线/地形是否直角 两点横向距6，纵向距8，连线长10，因6²+8²=10²，可判定路线垂直转弯。 检测物体是否方正 测桌面四边，再测两对角线，若三边满足勾股关系，说明桌面四角是直角、形状方正。 考向01 求梯子滑落高度 【例1】消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 考向02 解决水杯中筷子问题 【例2】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度（1丈等于10尺）． 考向03 解决航海问题 【例3】如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以0.7米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？ 考向04 求河宽 【例4】我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 考向05 求台阶上地毯长度 【例5】如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（     ） A． B． C． D． 考向06 判断汽车是否超速 【例6】如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方12米的处，过了0.5秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米．这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒？若此路段限速120千米/小时，问该小汽车是否超速，说明理由． 考向07 判断是否受台风影响 【例7】某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 考向08 选址使到两地距离相等 【例8】如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 考向09 求最短路径 【例9】如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______． 考向10 勾股定理逆定理的实际应用 【例10】如图，四边形是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知，，，，且． (1)求点到点的距离； (2)根据要求，该零件需要，，三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个零件是否合格． 【对点1】如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为． (1)求这架云梯顶端A处的高度； (2)当这架云梯的顶端下滑时，底端也沿的向外移动吗? 【对点2】如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？ 【对点3】如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【对点4】如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【对点5】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【对点6】县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 【对点7】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，某台风中心沿直线从左向右移动，已知点为某海港，点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)当地气象部门在通知中说海港会受到台风影响，请用所学数学知识说明缘由； (3)若台风的速度为，则台风持续影响该海港的时间有多长？ 【对点8】如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．，快递投放点C的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求小区A到快递投放点C的距离． (2)在街道l上有另一个快递投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B，D之间的距离． 【对点9】如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面的容器上底边点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为（  ）． A．12 B．13 C． D． 【对点10】学校花园有一个不规则的池塘，A，B两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端A，B间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使；第二步：在的一侧选点D，使点D能直接到达A，B，C三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端A，B之间的距离． 一、选择题 1．如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 2．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点得，则边上的高是（    ） A． B． C． D． 3．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 4．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，若是的边上的高，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A相对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24厘米， 圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（     ） A．13厘米 B．17厘米 C． 厘米 D．5厘米 9．如图，一个长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果以的速度从长方体的表面的点处爬到点处，最快爬行的时间是（    ） A． B． C． D． 10．如图，长方体的长，宽，高，点 M 在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M ，需要爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．高师傅有5根长度（单位：dm）分别为的钢条，准备选三根焊接一个直角三角形钢架，请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合________． 12．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____． 13．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使C、A两点重合，点D落在点G处．已知，．则线段的长是_______． 14．如图，为的直径，交于点，过点作切线交的延长线于点，连接．若，则的半径为________，四边形的面积为________． 15．如图所示的网格是正方形网格，则_______°（点，，是网格线交点）． 三、解答题 16．现有5个边长为1的正方形，排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形． 要求： (1)在图①中画出分割线并在图②正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形； (2)求新的正方形的面积． 17．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 18．如图，正方形网格中的，若小方格边长为1． (1)判断是否为直角三角形并说明理由； (2)求最长边上的高． 19．如图，某乡村有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别种植梨树和桃树两种不同的果树，经测量，，米，米，米，米，米，求四边形的面积． 20．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 1.3勾股定理的应用 知识归纳与题型总结 考点01 勾股定理与网格问题 1.核心知识点总结：找直角边长度→套a²+b²=c²  格点线段当斜边：横向纵向数格子得两直角边，直接计算。 非水平垂直边：补直角三角形，用大减小算边长。 2.易错点警示 斜着数格子错，必须用横纵差值。 网格有单位长度（如1格=2），要先乘单位再平方。 考向01 勾股定理与网格问题 【例1】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、，，， ， ，正确，不符合题意； C、，结论错误，符合题意； D、设点到直线的距离为， ， ， 则， 解得，即点到直线的距离是2，正确，不符合题意． 【对点1】如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是）中，标记格点（网格线的交点），，，，则下列线段中，长度为的是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】利用勾股定理分别计算各线段的长即可得解． 【详解】解：由图可知，， ， ， ， 长度为的是线段． 考点02 勾股定理与折叠问题 1.核心知识点总结 折叠性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，利用全等转化边长。 折叠后形成直角三角形，结合勾股定理列方程求解未知边。 2.高频考点梳理 长方形折叠(如折顶点到对边，求折痕长度或剩余线段长度)。 直角三角形折叠(折叠直角边或斜边，利用勾股定理求重叠部分)。 3.易错点警示 折叠后未准确识别对应边(如长方形折叠后，顶点落在对边上，需明确折痕两侧的相等边)。 忽略折叠后的直角关系(如折叠后形成的新直角三角形，未利用勾股定理)。 例：如图，长方形纸片 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°。将纸片沿 AE、EF 折叠，使点 D 落在D’处，点C落在AB边上的A处，且点 A、F、D 在同一直线上。则AE=CE，AD’=CD，∠C=D’AE=90°。 考向01 勾股定理与折叠问题 【例1】如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． 【答案】4 【分析】设，则由折叠可得，，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设，则， 由折叠可得， ∵，点D为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴线段的长为． 【对点1】如图，在中，，，，把沿折叠，使点B落在边上的点D处，则______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，设，则，在中，利用勾股定理解出x的值即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质得：，，， 设，则，，， ∵在中，， 即， 解得：， 即． 考点03 勾股定理的应用 一、求梯子滑落高度 1.核心知识点总结 直接应用勾股定理：直角三角形中，（为斜边）。 梯子长度为斜边，墙与地面垂直构成直角三角形，顶端下滑/底端滑动后仍满足勾股定理。 2.高频考点梳理 已知初始状态两边长度，求滑动距离（顶端下滑高度或底端滑动距离）。 多步计算：先求初始高度/水平距离，再求滑动后对应边长，差值为滑动距离。 3.易错点警示 误将梯子顶端下滑距离与底端滑动距离相等（实际不相等，需通过勾股定理计算）。 忽略梯子长度不变（始终为斜边），错把滑动后某边当作原边长。 4.解题技巧拆解 步骤：①确定直角三角形三要素（斜边=梯子长）；②代入勾股定理求未知边；③计算滑动前后边长差值。 二、解决水杯中筷子问题 1.核心知识点总结 圆柱形容器内，筷子最长时为斜边（底面直径+高为直角边），最短时为容器高度。 露在外面长度，最值对应容器内长度最值。 2.高频考点梳理 已知容器底面直径、高和筷子总长，求露在外面长度的取值范围。 逆向问题：已知露在外面长度，求筷子总长或容器尺寸。 3.易错点警示 混淆底面直径与半径（计算直角边时需用直径）。 忽略“最长长度”为斜边，误将筷子长度直接等于容器高度。 4.解题技巧拆解 关键公式： 容器内筷子长度 计算方式 最长（斜放） （为底面直径，为容器高） 最短（竖放） （容器高度） 取值范围：。 3、 解决航海问题 1.核心知识点总结 结合方位角（北偏东/南偏西等）构造直角三角形，方位角夹角为90°时直接构成直角。 路程=速度×时间，通过勾股定理求两船距离或某船速度。 2.高频考点梳理 已知两船航向（夹角90°）、速度和时间，求距离。 已知距离和一船速度，求另一船速度。 3.易错点警示 方位角判断错误（如北偏东30°与南偏东60°夹角为90°，需准确画图）。 忽略时间单位统一（如速度为海里/时，时间为小时，路程单位为海里）。 4.解题技巧拆解 步骤：①画方位角示意图，确定直角三角形直角边（两船路程）；②计算路程；③用勾股定理求斜边(两船距离)或未知边(速度)。 4、 求河宽问题 1.核心知识点总结 河宽用勾股定理，核心是构造直角三角形，河宽为其中一条直角边。 2.经典题型梳理 题型1 标杆测距 在河岸选点A，对岸对应点B，沿河岸走AC⊥AB，量AC长度，测∠ACB，再找C到B的斜线长，河宽AB=√(AC²-BC²)。 题型2 折叠/镜像测距 在A点看对岸B，沿岸边后退到C，使AC与岸边垂直，再向前走相同距离到D，找D看B对齐的点E，河宽AB=DE，或用AB=√(BE²-AE²)。 5、 求台阶上地毯长度 1.核心知识点总结 台阶地毯总长=台阶总高度+总水平长度，不用算每级斜边，勾股平移超简单。 原理：把每级台阶的高、水平长分别平移，拼起来就是直角边，总长和斜边无关。 2.经典题型梳理 台阶高每级20cm、共5级，水平每级30cm、共5级， 总高=20×5=100cm，总水平长=30×5=150cm，地毯长=100+150=250cm。 进阶题：已知台阶总高3m，斜边5m，先算总水平长=√(5²-3²)=4m，地毯长=3+4=7m。 六、判断汽车是否超速 1.核心知识点总结 核心：算刹车距离，和规定距离对比，判断超速 1. 刹车痕迹=斜边，刹车时车轮抱死路线为直角边，用勾股算实际刹车路程 2. 用路程、时间算车速，和路段限速比对 2.经典题型梳理 路面刹车：车在平直路刹车，痕迹长s，结合反应距离，总距=反应距+s，用v=s/t算速度。 坡道/路口：构造直角△，比如车冲过路口，横向纵向刹车痕为直角边，算实际行驶斜边=真实刹车距，再算速度。 七、判断是否受台风影响 1.核心知识点总结 求点到直线的距离(海港到台风移动路线的垂直距离)，判断是否小于影响半径。 影响时间=影响路段长度÷台风移动速度(影响路段为圆与直线的交点间距离)。 2.高频考点梳理 已知台风移动路线、海港位置(三角形三边)，判断是否受影响。 计算影响持续时间(求弦长)。 3.易错点警示 误将海港到台风初始位置的距离当作点到直线距离(需用面积法求垂直距离)。 漏算影响路段长度(弦长=2，为影响半径，为垂直距离)。 4.解题技巧拆解 关键步骤： 求垂直距离：用三角形面积公式(为台风路线长度)。 判断影响：若，受影响；反之不受。 求影响时间：弦长，时间。 8、 选址使到两地距离相等 1.核心知识点总结 利用勾股定理列方程：设选址点到某点距离为，表示出到另一点的距离，列等式求解。 直角三角形中，斜边相等或直角边相等的建模。 2.高频考点梳理 公路上选址，使到两侧村庄距离相等。 结合垂直距离(村庄到公路的距离)构造直角三角形。 3.易错点警示 设未知数时混淆线段关系，需准确表示 遗漏垂直条件(村庄到公路的距离为直角边，不可忽略)。 4.解题技巧拆解 建模方法：设停靠站到距离为，则到距离为(为总长)，列方程： (、为两村庄到公路的垂直距离)。 九、求最短路径 1.核心知识点总结 化曲为直：将长方体/圆柱表面展开为平面图形，最短路径为两点间线段。 长方体有3种展开方式，圆柱侧面展开为长方形(长=底面周长)。 2.高频考点梳理 长方体表面两点间最短路径(比较3种展开方式的线段长度)。 圆柱侧面缠绕问题(展开后求斜边，多圈缠绕需乘以圈数)。 3.易错点警示 长方体展开时漏算一种方式(需计算、、三种情况)。 圆柱缠绕多圈时，底面周长未乘以圈数(如2圈则展开长=2×底面周长)。 4.解题技巧拆解 长方体最短路径计算表： 展开方式 直角边1 直角边2 路径长度 前+右 前+上 左+上 圆柱侧面路径：（为圈数，为底面周长，为圆柱高）。 十、勾股定理逆定理的实际应用 1.核心知识点总结 勾股逆定理核心：三边满足a²+b²=c²，就是直角三角形，实操全靠这个判断。 2.经典题型梳理 检测垂直（最常用） 比如砌墙/架电线杆，量3、4、5尺三段，能围成三角形就是直角，保证墙体垂直。 判断路线/地形是否直角 两点横向距6，纵向距8，连线长10，因6²+8²=10²，可判定路线垂直转弯。 检测物体是否方正 测桌面四边，再测两对角线，若三边满足勾股关系，说明桌面四角是直角、形状方正。 考向01 求梯子滑落高度 【例1】消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)点处与地面的距离为米 (2)消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确确定每个线段的长度． （1）由题意可得，米，米，米，利用勾股定理求得，即可求解； （2）根据题意可得，，米，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，米，米，米， 由勾股定理可得，（米）， （米）， 则点处与地面的距离为米； （2）解：由题意可得，（米），米， 根据勾股定理可得，（米）， ∴（米）， 则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 考向02 解决水杯中筷子问题 【例2】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度（1丈等于10尺）． 【答案】12尺 【分析】设水池深度为尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：设水池深度为尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：水池的深度为12尺． 考向03 解决航海问题 【例3】如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以0.7米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？ 【答案】9米 【分析】先算收绳后绳长，再分别在两个直角三角形中用勾股定理求出初始水平距离和收绳后水平距离，最后用得到船移动的距离． 【详解】解：∵此人以米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置， ∴收绳长度：（米）， ∵开始时绳子的长为17米， ∴（米）， 在中，米，米， ∴（米） 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， 答：船向岸边移动了9米． 考向04 求河宽 【例4】我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据勾股定理列方程，先根据题意表示出长方形对角线的长度，再利用直角三角形勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设长方形田的宽为步，宽与对角线的和为步， 则对角线长为步， ∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为步， ∴根据勾股定理可得 ，C选项符合题意． 考向05 求台阶上地毯长度 【例5】如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当地毯铺满楼梯时，其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 考向06 判断汽车是否超速 【例6】如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方12米的处，过了0.5秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米．这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒？若此路段限速120千米/小时，问该小汽车是否超速，说明理由． 【答案】小汽车速度为32米/秒，该小汽车不超速，理由见解析 【分析】根据勾股定理求出的值，根据速度公式求出小汽车在段的速度，与限速比较即可． 【详解】解：由题意可知米，米，， ∴米， ∴小汽车速度为米/秒， ∵32米/秒千米/小时千米/小时， ∴不超速． 考向07 判断是否受台风影响 【例7】某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1) (2)海港C受台风影响， 理由如下：过点C作， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， 海港C受台风影响； (3)海港C受台风影响的时间会持续． 【分析】（1）依据勾股定理求解即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：， ， ，， ； （2）略 （3）解：如图，当，时，正好影响C港口， ，， ， 台风的速度为， ， 答：海港C受台风影响的时间会持续． 考向08 选址使到两地距离相等 【例8】如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 【答案】E站应建在离A站处 【分析】设，可将和的长表示出来，然后根据勾股定理可得，即可列出方程进行求解． 【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴． ∵于A，于B， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：E站应建在离A站处． 考向09 求最短路径 【例9】如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______． 【答案】 【详解】解：如图， ∴． 考向10 勾股定理逆定理的实际应用 【例10】如图，四边形是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知，，，，且． (1)求点到点的距离； (2)根据要求，该零件需要，，三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个零件是否合格． 【答案】(1) (2)这个零件合格． 【分析】（1）根据勾股定理列式计算，即可作答． （2）先分别算出得出，满足勾股逆定理，得出是直角三角形，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵，，． ∴ （2）解：这个零件是合格的，理由如下： 由（1）得， ∵，， ∴ 即 ∴是直角三角形， ∴这个零件是合格的． 【对点1】如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为． (1)求这架云梯顶端A处的高度； (2)当这架云梯的顶端下滑时，底端也沿的向外移动吗? 【答案】(1)； (2)底端沿向外移动距离不是 【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这架云梯的顶端A处的高度是； （2）解：∵梯子的顶端A下滑了至点， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ， ∴， ∴ 底端沿向外移动了，不是． 【对点2】如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？ 【答案】13尺 【分析】设这根芦苇的长度是x尺，则水深为尺，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：设这根芦苇的长度是x尺，则水深为尺， 由勾股定理得， 解得， 即这根芦苇的长度为13尺． 【对点3】如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【答案】(1)500海里 (2)360海里 【分析】（1）根据题意可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作于点E，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； （2）解：如图所示，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里， ∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 【对点4】如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【答案】18米 【分析】可证明，则，据此利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵米，米，米， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵米， ∴米， ∴米， 答：点、之间的距离为18米． 【对点5】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 【对点6】县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 【答案】是 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理计算出的长度，进而计算出小汽车的速度，即可判断． 【详解】解：由题意知，，，， ， 小汽车从C到B用了， 小汽车的速度为， ， 小汽车是超速， 故答案为：是． 【对点7】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，某台风中心沿直线从左向右移动，已知点为某海港，点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)当地气象部门在通知中说海港会受到台风影响，请用所学数学知识说明缘由； (3)若台风的速度为，则台风持续影响该海港的时间有多长？ 【答案】(1)见解析 (2)海港C会受到台风影响，理由见解析 (3)台风持续影响该海港 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴； （2）解：海港C会受到台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D点， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响； （3）解：由（2）得， 如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有． 【对点8】如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．，快递投放点C的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求小区A到快递投放点C的距离． (2)在街道l上有另一个快递投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B，D之间的距离． 【答案】(1)小区A到快递投放点C的距离为 (2)快递投放点B，D之间的距离为 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵小区A在点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 【对点9】如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面的容器上底边点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为（  ）． A．12 B．13 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到圆柱形玻璃容器的展开图，确定A、B的位置，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：圆柱形玻璃容器的展开图如下，，作于； ∵底面周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【对点10】学校花园有一个不规则的池塘，A，B两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端A，B间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使；第二步：在的一侧选点D，使点D能直接到达A，B，C三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端A，B之间的距离． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)池塘两端A，B之间的距离为 【分析】（1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）利用勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）知：是直角三角形，且， ∴， ∵，， ∴； 答：池塘两端A，B之间的距离为． 一、选择题 1．如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】C 【分析】根据题意，分点D在上且靠近点B的三等分点时和点D在上且靠近点C的三等分点时两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：①当点D在上且靠近点B的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ②当点D在上且靠近点C的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， 综上所述，或． 2．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点得，则边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用填充法算出的面积，即正方形的面积减去，和的面积和，再利用勾股定理算出的长度，利用面积法列方程，即可解决． 【详解】解：如图，作于点， 小正方形边长为， ，， ∴， 同理，，， 正方形的面积为：， ∴， 在中，， ∵， ∴ 3．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理列方程即可求解水深． 【详解】解：∵水池边长为丈，丈尺，葭生长在池中央， ∴池中心到岸边的水平距离为尺， 设池水深度为尺，则葭长为尺，引葭到岸边后，水深、池中心到岸边的水平距离、葭长构成直角三角形，葭长为斜边， 根据勾股定理可得：， 展开得：， 移项，合并同类项，得：， 解得：， ∴池水深度为尺． 4．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，若是的边上的高，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理计算的长，利用割补法可得三角形的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ， ． 5．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别考虑直吸管在罐体内两种极端情况：当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长；当直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短；结合勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长， 最大值为， ∴此时直吸管露在罐外部分的长度最小，最小值为； 由垂线段最短可知，当直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短，最小值等于圆柱形饮料罐的高， ∴此时直吸管露在罐外部分的长度最大，最大值为； 综上，的范围是． 6．已知如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵长方形， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， . 7．如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将线段进行平移，平移以后利用勾股定理求出三角形的各个边，利用勾股定理的逆定理进行判断求解． 【详解】解：如图所示， A、由方格纸知：可平移到与重合，此时：，， ∴与不垂直，不符合题意； B、可平移至与重合，此时与不垂直，不符合题意； C、可平移至与重合，此时： ， ， ∴，符合题意； D、可平移至与重合， ∴，与题意不符． 8．如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A相对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24厘米， 圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（     ） A．13厘米 B．17厘米 C． 厘米 D．5厘米 【答案】A 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解： 如图所示： 由于圆柱体的底面周长为 ， 则 （）． 又因为 ， 所以 （）． 故蚂蚁爬行的最短距离为 ． 9．如图，一个长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果以的速度从长方体的表面的点处爬到点处，最快爬行的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分三种情况：①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，③当沿长方体的后侧和上面进行展开时，利用勾股定理求出最短路径，进而可求出最快爬行的时间． 【详解】解：由题意得： ①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，如图所示： ，， 在中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ，， 在中，； ③当沿长方体的后侧和上面进行展开时，如图所示： ，， 在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是25， ∴最快爬行的时间是． 10．如图，长方体的长，宽，高，点 M 在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M ，需要爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分三种情况，结合勾股定理计算，并比较大小即可得出结果． 【详解】解：分三种情况： 如图①，蚂蚁爬行的最短路线为， 此时； 如图②，蚂蚁爬行的最短路线为， 此时； 如图③，蚂蚁爬行的最短路线为， 此时； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M ，需要爬行的最短距离是． 二、填空题 11．高师傅有5根长度（单位：dm）分别为的钢条，准备选三根焊接一个直角三角形钢架，请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合________． 【答案】5，12，13和9，12，15 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是利用基础勾股数及其倍数规律快速筛选，再通过“最长边优先”原则验证，减少无效计算． 先列出常见基础勾股数及其倍数，与题目中的钢条长度比对，直接锁定符合条件的组合；再按最长边优先原则验证，排除其余组合． 【详解】解：常见基础勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25等，其正整数倍仍为勾股数． 5，12，13为基础勾股数，故组合5，12，13满足条件． 9，12，15是3，4，5的3倍，故组合9，12，15满足条件． 其余组合均不满足勾股定理的逆定理． 故答案为：5，12，13 和 9，12，15． 12．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____． 【答案】12尺 【分析】根据题意可得芦苇长度，设水的深度为尺，然后在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵水面是一个边长为10尺的正方形，点是的中点， ∴尺， 设水的深度为尺， ∵尺，， ∴尺， ∵， ∴尺， ∵在中，根据勾股定理可得：， ∴，整理得：，解得：， ∴尺． 13．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使C、A两点重合，点D落在点G处．已知，．则线段的长是_______． 【答案】 【分析】设 ，根据折叠性质可得 ， ，在 中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设， 四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：， 线段的长是． 14．如图，为的直径，交于点，过点作切线交的延长线于点，连接．若，则的半径为________，四边形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，勾股定理，圆的性质，圆周角定理，切线的性质定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点． 首先根据圆的性质和锐角三角函数值得到，继而根据勾股定理得到，即可得到的半径；连接，通过证明，得到，根据等面积法得到，继而根据勾股定理得到，通过证明，得到对应线段成比例，继而得到，根据，分别计算两个三角形的面积再相加即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴的半径为； 如图，连接， ∵为的直径， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，即， ∴， ∵， ∴在中，， ∵是的切线， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴， ， ∴. 15．如图所示的网格是正方形网格，则_______°（点，，是网格线交点）． 【答案】45 【分析】本题考查正方形网格中的角度计算，解题核心是通过构造辅助线，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质，求出相关角的度数，再计算差值． 【详解】解：如图所示，连接各格点， ，，， ， ，， ，， ， 三、解答题 16．现有5个边长为1的正方形，排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形． 要求： (1)在图①中画出分割线并在图②正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形； (2)求新的正方形的面积． 【答案】(1) (2)新的正方形的面积是5 【分析】（1）根据作图前后，图形的面积保持不变列方程求出分割线长度，逆推画图即可； （2）割补前后图形面积相等． 【详解】（1）解：设新正方形的边长为， 割补前后图形面积相等， ， 解得：， 即新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长， 即分割线长为， 如图所示即为分割线，如图所示为新正方形（见答案）． （2）解：割补前后图形面积相等， 面积为5． 17．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际中的应用，正确理解勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，可知，利用勾股定理即可解答； （2）结合题意得出，则，再利用勾股定理，算出的长，的大小即为物体升高的高度． 【详解】（1）解：由题可知，，， 绳长， 答：绳子的总长度为． （2）解：由题可知，滑块向左是水平滑动，则， ， 在直角三角形中， ， ， 物体升高， 答：物体升高了． 18．如图，正方形网格中的，若小方格边长为1． (1)判断是否为直角三角形并说明理由； (2)求最长边上的高． 【答案】(1)为直角三角形，理由见解析 (2)2 【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理可直接判断； （2）根据三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：为直角三角形，理由： 由勾股定理得，， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：设最长边上的高为， 由题意得，， ∴． 19．如图，某乡村有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别种植梨树和桃树两种不同的果树，经测量，，米，米，米，米，米，求四边形的面积． 【答案】四边形的面积为1800平方米 【分析】连接，利用勾股定理求得，，再利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，然后根据求解即可． 【详解】解：连接， 在中，由勾股定理得，（米）， 在中，由勾股定理得，， 在中，， 是直角三角形，且， （平方米）． 20．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 【答案】(1)点C到铁路的距离为 (2)会，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为 【分析】（1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【详解】（1）解：过点C作于点D，如图． 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $