第1章 勾股定理 问题解决策略：反思教学设计 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦几何体表面最短距离问题及解后反思策略，以“蚂蚁觅食”情境切入，结合视频展示蚂蚁借信息素觅食机制，从生活现象抽象数学问题，通过动手操作圆柱形水杯、动画演示曲面展开，联系平面最短路径知识，搭建转化思想学习支架。 特色在于跨学科情境融合与反思策略显性化，通过“蚂蚁爬圆柱”“彩带缠绕”等实例，培养数学眼光（抽象能力、空间观念）和数学思维（推理能力），采用问题驱动与分层探究，助学生形成反思习惯，为教师提供可操作的反思教学流程，提升教学实效。

世界、用数学语言表达现实世界的意识。 对象，同时让学生感受到数学是源于生活、用于生活的智慧，初步养成用数学眼光观察现实 物行为中抽象出“蚂蚁爬圆柱”的数学问题，发展学生的抽象能力，使学生明确本节课研究 设计意图：以“蚂蚁觅食”这一自然现象切入，融合跨学科知识，激发学生兴趣。从生 那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物， 问题1：如图，圆柱的高为12cm，底面圆的周长为18cm。在圆柱下底 慧，并习得反思这一重要的问题解决策略。 助信息素找寻最优路径的觅食机制，自然引出本课主题：探究“怎么走最近”背后的数学智 以“为什么蚂蚁会沿着相同的路径前往食物源”激发学生好奇心，观看视频了解蚂蚁借 一、情境引入，感受数学智慧 教学过程 形成反思意识，并将反思策略有效运用于解决不同知识领域的问题。 教学难点： 反思的方法，了解反思策略的意义、常见视角。 通过“蚂蚁爬行的最短路线问题”这一具体案例外化解后反思的过程和视角，总结解后 教学重点： 教学内容 3.积累解决不同知识领域问题后进行反思的经验，发展解决问题后进行反思的能力。 2.经历解决问题后的反思过程，了解反思策略的意义、常见视角，形成反思的意识。 应用能力。 1.通过探究“曲面上的最短距离 ”这一现实问题，总结解决此类问题的一般方法，发展迁移 教学目标 出版社：北京师范大学出版社 出版日期：2025年7月 教科书 书 名：义务教育教科书 数学 八年级上册 教材 课题 问题解决策略：反思 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课程基本信息 教学设计 连接 AB，AB 即为最短路线。 2 AC= 12cm，BC = CC'= 9cm， 1 解：如图，将圆柱侧面展开，则 学生参考。 鼓励学生按照自己拟订的计划自主解决问题，同时呈现解决问题的大致步骤供有困难的 （三）实施计划 定”突破问题解决的难点，动画直观演示展开过程，帮助学生发展空间观念。 设计意图：进一步细化问题解决思路，通过具体思考“如何转化”、“点的位置如何确 定？ 2.如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题？各个点的位置如何确 步思路，渗透转化的数学思想，启迪学生类比已有经验解决新的问题。 设计意图：引导学生回顾已有经验，通过对比新旧问题的区别和联系得到解决问题的初 追问：通过回顾以前研究的问题，能给你什么启发？ 1.以前研究过最短路线问题吗？这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同？ （二）拟订计划 生更好理解题意，形成对问题的直观理解。 设计意图：让学生动手感受沿侧面爬行的可能路线和最短路线，借助体验性活动帮助学 际感受一下。 2.沿侧面爬行的可能路线有哪些？什么情况下路线最短？请你用圆柱形水杯等物品实 即可求”的数学逻辑，形成良好的研究习惯，为后续反思奠定基础。 设计意图：引导学生进行一般性思考，进一步明确题目的已知条件和目标，理解“确定 1.在这个问题中，已知条件有哪些？你认为已知条件足够解决这个问题吗？ （一）理解问题 二、问题解决，总结反思方法 AB = AC + BC = 5 + 12 = 13 ， 2 2 2 2 2 2 在Rt△ACB中，由勾股定理，可得 连接AB，AB即为蚂蚁爬行的最短路线。 2 BC= 13− 1= 12cm，AC = AA'= 5cm， 1 ∠ACB= 90°，BD= 1cm， 解：如图，将圆柱侧面展开，根据题意，得 沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 处有一只蚂蚁，它想吃到与点A相对、离上底面1cm的点B处的食物，那么它 问题2：如图，圆柱的高为13cm，底面周长为10cm，在圆柱的下底面点A 其余问题让学生在课后研究。 组织学生进行小组合作，展开深入探讨。对于学生提出的新问题，选择一些在课上解决， 2.这个问题中，影响结果的量有哪些？如果改变有关的量，你还能求解吗？ 数学思想。同时，进一步强化运用波利亚四步范式解决问题的思维，增强反思意识。 巩固应用勾股定理解决问题的一般步骤，发展数学建模能力，渗透类比、转化、数形结合等 决问题的过程，强化解决问题的经验。总结立体图形中两点之间最短路线问题的一般方法， 设计意图：鼓励学生积极分享学习经验，培养合作交流能力。引导学生从多角度回顾解 1.在拟订解决问题的方案和实施方案的过程中，你获得了哪些经验？与同伴进行交流。 （四）回顾反思 和独立解决问题的能力。 设计意图：考虑学生认知特点适当分层教学，增强学生探究能力、分析能力、操作能力 ∴蚂蚁爬行的最短路程是15cm。 ∴AB= 15cm。 AB = AC + BC = 12 + 9 = 15 。 2 2 2 2 2 2 在Rt△ACB中，由勾股定理，可得 少米？ 底面周长为2m。如果希望彩带从圆柱底端绕圆柱4圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带多 问题4：为了营造节日气氛，学校准备在大厅圆柱上缠绕彩带。已知大厅圆柱的高为6m， 题的方案。 4.生活中还有哪些现实问题涉及几何体表面上的最短距离？举几个实例，并思考解决问 适性。 变式”的一个有效示范，让学生在实践中学会通过改变条件主动构造新问题，检验方法的普 的相对位置，抓住问题的数学本质。这一追问既有助于学生巩固分类讨论思想，也是“反思 促使学生探究“为何有盖未产生更短路程”，从而理解最短路径的决定因素是展开后点与点 实际上，对于本题的长方体而言，有盖情形下计算出的最短路程仍是20cm，这能进一步 供学生课下研究，进一步强化解决此类问题的经验。 能力，在解决长方体表面最短路程问题的过程中体会分类讨论的数学思想，并追问有盖情形 设计意图：思考解决问题的经验、方法的迁移应用，通过具体问题发展学生迁移应用的 追问：如果长方体形盒子是有盖的呢？又会存在几种情况？请同学们课后继续探究。 最短路程是20cm。 ∴蚂蚁爬行的最短路线为AB′， ∵400< 464， 情况二：A'B = 8 + 8+ 12 = 464。 2 2 2 情况一：AB' = 8+ 8 + 12 = 400； 2 2 2 分析：长方体形盒子是无盖的，展开图有两种情况。 你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 8cm、12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的外表面爬到盒顶的点B处， 问题3：如图，一个无盖长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm、 几何体表面两点之间的最短距离问题？ 3.解决这个问题的经验，还可以应用到哪些问题中？例如，能否解决正方体、长方体等 新问题，发展学生提出问题的能力，培养发散思维和创新意识。 设计意图：引导学生思考影响结果的因素，尝试通过改变各因素的具体特征产生更多的 ∴最短路程是13cm。 ∴AB=13cm。 预设：（1）方法一：列表观察，代数验证。将这两个数分别表示为(6+ x)和(6− x)， （3）你还能提出哪些类似的问题？与同伴进行交流。 （2）解决这个问题的过程中你积累了哪些经验？ （1）你有哪些解决问题的方法？ 问题5：两个正数的和是12，求它们积的最大值。 三、策略巩固，提升反思能力 思考的核心问题，提高反思能力。 设计意图：对反思策略进行再反思，引导学生进一步总结反思的方法、常见视角及需要 小组交流，并整理在学习任务单上。 追问2：每个视角下需要思考的核心问题有哪些？ 追问1：我们可以从哪些方面进行反思呢？ 5.对于解决问题之后的回顾反思，你有哪些体会？与同伴进行交流。 言表达现实世界的能力。 反思策略的意义，发展学生用数学眼光观察现实世界、用数学思维思考现实世界、用数学语 现所学方法在生活中的迁移应用，再次让学生感受到数学是源于生活并服务于生活的，理解 设计意图：鼓励学生自主寻找生活中的有关问题，并尝试用所获得的方法解决问题，实 ∴至少需要彩带10米。 ∴AC= 10m。 AC = AB + BC = 8 + 6 = 10 。 2 2 2 2 2 2 在Rt△ABC中，由勾股定理，可得 AB= 2× 4= 8m，BC= 6m， 解：如图，将彩带路径展开，得 面周长。 分析：彩带从圆柱底端绕圆柱4圈后正好到达顶端，相当于在水平方向上展开了4个底 认同。将“反思”从一节课的学习策略，转化为学生终身受用的核心习惯。 设计意图：将数学思维融入更宏大的人文背景中，连接古今中外，增强文化自信与学科 鼓励学生在日常学习中深化反思意识、培养反思习惯。 的论述，再次提醒学生反思的意义，布置分层课后作业和“建立数学反思日志”的实践作业， 引用中国古代思想家孔子“学而不思则罔” 的教诲和西方现代数学家波利亚关于反思 （二）作业布置，习惯培养 创造价值”的科学观念和创新意识。 认知闭环，提升反思这一策略的格局和价值，帮助学生塑造“万事万物皆可反思，反思能够 设计意图：在课尾将封闭的数学课堂升华为开放的、充满生命力的科学发现故事，实现 物流科技中！ 思蚂蚁的行为，开发出蚁群算法，而这一算法就正在被应用于当今世界最前沿的人工智能和 实际上，科学家们所做的，正是对我们今天整个学习过程的一次终极“反思”！他们通过反 对学生的积极思考和反思成果予以正向评价，由课首的“蚂蚁爬行”延伸至“蚁群算法”： （一）首尾呼应，升华主题 四、拓展延伸，形成反思习惯 通过以上问题帮助学生实现对反思策略的具体运用，增强解后反思的能力。 生反思解题过程，总结解题经验；第3问引导学生思考问题变式，鼓励学生提出更多的问题。 第1问引导学生从数和形两方面思考解决问题的不同方法，形成多样的方法；第2问引导学 设计意图：从几何问题转向代数问题，积累解决不同知识领域问题后进行反思的经验。 （3）可以通过改变条件、改变结论、逆向思考等方式提出新问题。 （2）解决问题可以从数入手，也可从形考虑，可以采用多种方法验证结论的准确性。 析得到长方形的长与宽相等（即为正方形时）面积最大，此时a= 6，因此积的最大值为36。 则另一个数为 (12− a)，积即为一个两边长分别为a和(12− a)的长方形面积，借助图形分 则积为(6+ x)(6− x)= 36−  ≥ 36；方法二：数形结合，直观分析。设其中一个数为a， 2 学科网（北京）股份有限公司 $