精品解析：广东省深圳市龙岗区多校联考2026-2027学年高三上学期第一次阶段性考试数学试卷

广东省深圳市龙岗区多校联考2026-2027学年高三上学期 第一次阶段性考试数学试卷 注意事项: 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.试卷共4页，答题前请核对页数是否完整. 2.答题前，请将自己的班级、姓名、学号、考场号填写在答题卡指定位置. 3.答题时，请将答案填涂在答题卡指定位置，超出答题区域或写在草稿纸上的答案无效. 4.考试期间不得使用计算器、电子词典等与考试无关的物品. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由， 则. 2. 已知一组数据为：1，2，5，3，7，10，4，6，8，9，则该组数据的第60百分位数是（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】将数据从小到大排列为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共10个数据， 因为，所以该组数据的第60百分位数是. 3. 已知命题，命题，则p是q成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用反例证明充分性不成立，利用不等式性质证明必要性成立，则得到答案. 【详解】若则满足命题，但不满足后者命题， 故命题无法推出命题， 而若，则，对两边同乘得，即， 故命题可以推出命题， 故是的必要不充分条件， 故选：B. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 5. 若的展开式中常数项为15，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的展开式的通项公式为， 令，得，则，解得 6. 已知函数，设，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定函数的单调性，然后比较的大小后可得结论． 【详解】由，， 因为函数在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 而， 则，即. 7. 甲、乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响.现每人分别投篮两次，则在甲比乙进球数多1个的前提下，乙没有进球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设甲比乙进球数多1个为事件，乙没有进球为事件， 由题意，， ， 所以. 8. 设函数，则（ ） A. 2是的极小值点 B. 方程有2个不同的实数解 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将含绝对值函数写成分段形式，求导分析单调性与极值；A：根据导数符号判断是极大还是极小值点；B：分段解方程，统计不同实数解个数；C：利用内函数单调性，转化比较自变量大小，判断存在性；D：代入区间检验，举出反例判断全称命题是否成立. 【详解】先去掉绝对值，写出函数表达式 当时，，在单调递增； 当时，，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 对于A，处左增右减，是极大值点，故A错误； 对于B：解方程， ①，由题意得，在上恒成立， 此时单调递增，，， 而，可得该区间存在个实根， ②，令， 可得根为，该区间内方程共有个不同实数解， 综上共个不同实根，故B错误； 对于C：，则， 由已知得在单调递增， 要判断是否存在，使得， 等价于存在，即， 解不等式，根为， 而，故存在这样的，故C正确； 对于D：，证明， 代入，， ， 得到，也就是不满足题意，故D错误. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若x，y均为负数，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举特例判断A；根据基本不等式求解判断BCD. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，由于x，y均为负数，则， 所以，当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，由于，则， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数恒过定点 B. 函数的图象关于轴对称 C. 函数的单调增区间为 D. 函数在上的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据对数函数的定点求解即可；对于B，先判断函数的奇偶性，进而判断即可；对于C，求出函数的定义域即可判断；对于D，整理得到，令，进而结合函数的单调性求解判断即可. 【详解】对于A，函数，恒过定点，故A正确； 对于B，函数，， 而，则函数为偶函数， 其图象关于轴对称，故B正确； 对于C，函数， 由，解得， 则函数的定义域为，故C错误； 对于D，函数，， 令，则，而函数在上单调递增， 则时，，即函数在上的最大值为，D正确. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 定义在上的函数满足，若曲线与恰有个交点、、、，则 D. 当实数时，关于的方程恰有四个不同的实数根 【答案】BCD 【解析】 【分析】由奇偶性和函数关系确定周期，并判断函数值及图象对称性，可判断AB选项；利用两个函数的对称关系配对交点，可判断C选项；作出函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围，可判断D选项. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且满足， 由可得，故为函数的一个周期. 因为，所以函数图象关于直线对称. 因为，且，从而，A错误，B正确； 因为可知，函数的图象关于点对称， 因为，可得，函数的图象关于点对称， 所以函数曲线与的交点关于点对称， 不妨设，则，且， ，且， 所以，C正确； 构造函数，因为函数为奇函数， 则，即函数为偶函数， 当时，， 因为函数的图象关于点对称，当时，， 此时， 此时， 因为函数是周期为的周期函数，则当时，， 所以， 当时，，， 当时，， 则， 当时，由可得， 作出函数的图象如下图所示： 当时，的图象可由曲线向右平移个单位得到， 故在时的图象为曲线， 当时，的图象可由曲线向右平移个单位得到， 故在时的图象为曲线， 时，考虑直线与曲线、相切， 联立可得， ，又因为，解得， 联立可得， ，解得， 结合图象可知，当时，直线与函数的图象有四个交点， 由对称性可知，当时，直线与函数的图象有四个交点， 故当实数时，关于的方程恰有四个不同的实数根，D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的定义域为_______. 【答案】 【解析】 【详解】由，解得且， 则函数的定义域为. 13. 函数，若，则_______. 【答案】2 【解析】 【详解】由，则， 所以， 又，所以，即. 14. 已知实数满足且，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量，，以及换元可得，进而根据圆的性质求解. 【详解】设，，，． 则且． 因为， 整理得．这是以为圆心、半径为2的圆， 则，可得． 又因为． 由得， 所以的取值范围是． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 等差数列的前项和，等比数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及与的关系求出，再利用等比数列的通项公式即可求解； （2）根据（1）的结论得出，再利用分组求和、裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 由，当时，， 当时，， 显然满足上式，则. 设等比数列的公比为， 因为，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由， 则 . 16. 已知函数. （1）若，求； （2）若，求的最小值并求出取得最小值时相应的的值； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1）7 （2）最小值为，此时 （3）4 【解析】 【分析】（1）将的平方展开，建立与的关系． （2）令，把转化为关于的二次式，配方求最小值，再解指数方程确定取等时的． （3）利用分离参数，将恒成立问题转化为求的最小值，并核对取等条件． 【小问1详解】 因为，所以． 当时，． 【小问2详解】 由（1）中的恒等式得． 令，因为、，由基本不等式得，当且仅当时等号成立． 于是，当且仅当时等号成立． 此时，令，则，解得或，均满足，故或． 因此的最小值为，在时取得． 【小问3详解】 令，由（2）得，且可在时取得，再由（1）中的恒等式得． 所以原不等式等价于，由于，可化为． 由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，对应． 因此，要使原不等式对任意恒成立，必须且只需，故的最大值为4． 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）若，的面积为，为边的中点，求的长度； （2）若为边上一点，且，，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据三角形的面积公式得到，再根据余弦定理得到，进而结合向量的运算及模长公式即可求出的长度； （2）根据题意及得到，整理得到，再结合“1”的妙用及基本不等式即可求出的最小值． 【小问1详解】 由，的面积为， 则，则， 又，则由余弦定理得， 即，得， 又为边的中点，则， 则， 即，所以的长度为． 【小问2详解】 由为边上一点，且，， 则，， 又，且， 即， 整理得，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 18. 已知函数. （1）若函数在处的切线平行于直线，求实数的值； （2）若方程在上恰有3个不相等的实数解，求实数的取值范围； （3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】第一问先利用导数求切线斜率，再利用两直线平行，斜率相等构建等式求解即可. 第二问把方程在上恰有3个不相等的实数解转化为新函数有3个零点，讨论单调性，满足极值点在上，极大值大于零，极小值小于零，，，构建不等式组求解即可. 第三问不等式对恒成立，分离参数转化为，求新函数的最小值即可. 【小问1详解】 ，，函数在处的切线斜率为， 又因为函数在处的切线平行于直线，所以， 即. 【小问2详解】 即整理得， 因为方程在上恰有3个不相等的实数解， 所以在上恰有3个不相等的实数解， 令，即时，恰有3个零点； 时，恒成立，单调递增，不可能有3个零点； 时，令得或， 令得, 所以在和时单调递增，在时单调递减； 因为时，恰有3个零点， 所以化简得 求解得取交集得. 【小问3详解】 不等式对恒成立，即， 化简有， 因为所以，即， 令 ，， 令 ，恒成立， 即时，单调递增， 又因为，所以时恒成立， 即时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，综上：. 19. 对于函数，和，，设，若，且，皆有成立，则称函数对于“具有性质”． （1）若，对于“具有性质”，且是偶函数，求证：也是偶函数； （2）函数，对于“具有性质”，求的取值范围； （3）若函数对于“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，求证：． 【答案】（1）由，对于“具有性质”， 即对任意，且，皆有成立， 令，，（其中），代入上式得， 又是偶函数，则对任意，都有，则， 又，即，即对任意非零成立， 又当时，，即也成立， 所以也是偶函数． （2） （3）由函数对于“具有性质”， 则对任意，且，皆有， 又函数在上存在两个零点，则， 所以，即， 设，即，， 则，且等号仅在处成立， 所以函数在上单调递减，且， 不妨设，则，所以，即， 又，则， 又，当时，；当时，， 所以函数在上单调递减；在上单调递增， 又，则，，所以，即， 所以，又，即等号取不到， 故成立，证毕． 【解析】 【分析】（1）根据函数的新定义，偶函数的性质，及绝对值的非负性即可得到，进而得证； （2）根据函数的新定义，代入化简可得对恒成立，进而即可求出的范围； （3）根据函数的新定义，得到，构造函数，求得，从而得到的单调性，不妨设，再结合即可得到，求，从而得到的单调性，即可得到，再结合基本不等式即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由函数，对于“具有性质”， 则，，且，， 即，整理得， 则对恒成立， 又，，则，，即，则， 所以的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市龙岗区多校联考2026-2027学年高三上学期 第一次阶段性考试数学试卷 注意事项: 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.试卷共4页，答题前请核对页数是否完整. 2.答题前，请将自己的班级、姓名、学号、考场号填写在答题卡指定位置. 3.答题时，请将答案填涂在答题卡指定位置，超出答题区域或写在草稿纸上的答案无效. 4.考试期间不得使用计算器、电子词典等与考试无关的物品. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知一组数据为：1，2，5，3，7，10，4，6，8，9，则该组数据的第60百分位数是（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 8 3. 已知命题，命题，则p是q成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若的展开式中常数项为15，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 已知函数，设，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响.现每人分别投篮两次，则在甲比乙进球数多1个的前提下，乙没有进球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，则（ ） A. 2是的极小值点 B. 方程有2个不同的实数解 C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若x，y均为负数，则 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 函数恒过定点 B. 函数的图象关于轴对称 C. 函数的单调增区间为 D. 函数在上的最大值为 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 定义在上的函数满足，若曲线与恰有个交点、、、，则 D. 当实数时，关于的方程恰有四个不同的实数根 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的定义域为_______. 13. 函数，若，则_______. 14. 已知实数满足且，则的取值范围是_______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 等差数列的前项和，等比数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知函数. （1）若，求； （2）若，求的最小值并求出取得最小值时相应的的值； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）若，的面积为，为边的中点，求的长度； （2）若为边上一点，且，，求的最小值． 18. 已知函数. （1）若函数在处的切线平行于直线，求实数的值； （2）若方程在上恰有3个不相等的实数解，求实数的取值范围； （3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 19. 对于函数，和，，设，若，且，皆有成立，则称函数对于“具有性质”． （1）若，对于“具有性质”，且是偶函数，求证：也是偶函数； （2）函数，对于“具有性质”，求的取值范围； （3）若函数对于“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $