4.5 二次函数的应用 同步练习 2026--2027学年湘教版九年级数学上册

湘教版（2024）九年级上册 4.5 二次函数的应用 同步练习 一、选择题 1．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=-（x-80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（　　） A．16米 B．米 C．16米 D．米 2．在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y（米）与飞行时间x（秒）之间的关系式为y=-x2+10x，则第5秒时炮弹的飞行高度为 （      ） A．25米 B．30米 C．40米 D．45米 3．如图，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)具有h=20t-5t2的函数关系，下列解释正确的是 A．小球的飞行高度为15 m时，小球飞行的时间是1 s B．小球飞行3 s时飞行高度为15 m，并将继续上升 C．小球从飞出到落地要用4 s D．小球的飞行高度可以达到25 m 4．黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，按国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y=-n2+14n-24，则没有盈利的月份为 A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月 5．如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线ACB)的薄壳屋顶.已知它的拱宽AB为4米，拱高CO为0.8米.为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求表达式.图②是以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的表达式为 （      ）  A．y=-0.2x2+0.8 B．y=-0.2x2-0.8 C．y=0.2x2+0.8 D．y=-0.2x+0.4 6．一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（　　） A．3.6 元 B．5 元 C．10 元 D．12 元 7．如图1是一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽AB=30米，拱顶O到水面AB的距离为9米，当水位上升5米时，则水面宽CD为 （      ）  A．10米 B．15米 C．18米 D．20米 8．某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则相应的减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（　　） A．140元 B．150元 C．160元 D．180元 9．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之间的解析式是h＝﹣5t2+30t（0≤t≤6），则小球到达最高高度时，运动的时间是（　　） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 10．在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为y=，当炮弹落到地面时，经过的时间为（　　） A．40秒 B．45秒 C．50秒 D．55秒 11．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元． A．60 B．65 C．70 D．75 12．某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，则t的取值范围是（　　） A．0≤t≤600 B．20≤t≤40 C．0≤t≤40 D．0≤t≤20 二、填空题 13．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽6 m，水面下降__________ m，水面宽8 m. 14．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，此时水面宽AB为3米，拱桥最高点C离水面的距离CO也为3米，则当水位上升1米后，水面的宽度为__________ 米. 15．某飞机着陆滑行的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=60t-1.5t2，那么飞机着陆后滑行__________米才能停止． 16．某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍数）之间的函数解析式为 　__________，宾馆利润最大利润是 __________元． 17．行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离我们将它称为“刹车距离”．某车的刹车距离与车速之间的函数关系是，现在该车在限速120 km/h的高速公路上出了交通事故，事后测得刹车距离为46.5 m，请推测该车刹车时是否超速 __________（填“是”或“否” ，车速为 __________km/h． 三、解答题 18．如图所示，一名男生掷出的实心球行进高度与水平距离之间的函数图象是一条抛物线，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．若实心球从起点到落地点的水平距离不小于时可得满分，问该男生此次抛掷能否得到满分？请说明理由． 19．某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现超市决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量（千克）与每千克降价（元），之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式． （2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？ （3）设销售这种菠萝蜜总共获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 20．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），顶点和点关于过点的直线对称.将二次函数图象向右平移个单位.再向上平移个单位，平移后的二次函数图象上存在一点，其横坐标为，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点坐标：若不存在，请说明理由. 21．工人师傅用8米长的铝合金材料制作一个如图所示的矩形窗框，图中的①、②、③区域都是矩形，且BE=2AE，M，N分别是AD、EF的中点．（说明：图中黑线部分均需要使用铝合金材料制作，铝合金材料宽度忽略不计）． (1) 当矩形窗框ABCD的透光面积是2.25平方米时，求AE的长度； (2) 当AE为多长时，矩形窗框ABCD的透光面积最大？最大面积是多少？ 22．为了加强中小学学生的劳动教育，2024年计划将该区1000 m2的土地作为社会实践基地，该基地准备种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系y＝x+10，其中200≤x≤600；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2． （1）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为w元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使w最小？ （2）学校计划今后每年在这1000 m2土地上，均按（1）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2026年的总种植成本为28920元？ 湘教版（2024）九年级上册 4.5 二次函数的应用 同步练习（参考答案） 一、选择题 1．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=-（x-80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（　　） A．16米 B．米 C．16米 D．米 【答案】B 【解析】解：∵AC⊥x轴，OA=10米，∴点C的横坐标为-10， 当x=-10时，y=-（x-80）2+16=-（-10-80）2+16=-， ∴C（-10，-），∴桥面离水面的高度AC为m． 2．在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y（米）与飞行时间x（秒）之间的关系式为y=-x2+10x，则第5秒时炮弹的飞行高度为 （      ） A．25米 B．30米 C．40米 D．45米 【答案】D 【解析】在y=-x2+10x中，当x=5时，y=-×52+10×5=45， ∴第5秒时炮弹的飞行高度为45米. 3．如图，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)具有h=20t-5t2的函数关系，下列解释正确的是 A．小球的飞行高度为15 m时，小球飞行的时间是1 s B．小球飞行3 s时飞行高度为15 m，并将继续上升 C．小球从飞出到落地要用4 s D．小球的飞行高度可以达到25 m 【答案】C 【解析】20t-5t2=15的两根为t1=1与t2=3， ∴小球的飞行高度是15 m时，小球的飞行时间是1 s或3 s，故A不符合题意； h=20t-5t2=-5(t-2)2+20， ∴对称轴为直线t=2，最大值为20，故D不符合题意； ∴t=3时，h=15，此时小球继续下降，故B不符合题意； ∵当h=0时，t1=0，t2=4， ∴t2-t1=4， ∴小球从飞出到落地要用4 s，故C符合题意. 4．黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，按国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y=-n2+14n-24，则没有盈利的月份为 A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月 【答案】D 【解析】∵y=-n2+14n-24=-(n-2)(n-12)，1≤n≤12且n为整数， ∴当y=0时，n=2或n=12，当y<0时，n=1. 5．如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线ACB)的薄壳屋顶.已知它的拱宽AB为4米，拱高CO为0.8米.为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求表达式.图②是以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的表达式为 （      ）  A．y=-0.2x2+0.8 B．y=-0.2x2-0.8 C．y=0.2x2+0.8 D．y=-0.2x+0.4 【答案】A 【解析】设题图②中的抛物线的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)， ∵AB=4，CO=0.8， ∴点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，0.8)， 将A(-2，0)，B(2，0)，C(0，0.8)代入y=ax2+bx+c，得 解得 ∴题图②中的抛物线的表达式为y=-0.2x2+0.8. 6．一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（　　） A．3.6 元 B．5 元 C．10 元 D．12 元 【答案】B 【解析】解：设每件降价x元，每天获得的利润记为W， 根据题意，W=（135-x-100）（100+4x）=-4x2+40x+3500 =-4（x-5）2+3600， ∵-4＜0， ∴当x=5时，W取得最大值，最大值为3600， 即每件降价5元时，每天获得的利润最大，最大利润为3600元． 7．如图1是一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽AB=30米，拱顶O到水面AB的距离为9米，当水位上升5米时，则水面宽CD为 （      ）  A．10米 B．15米 C．18米 D．20米 【答案】D 【解析】由题可知点A的坐标为(-15，-9)， 设抛物线表达式为y=ax2，把点A的坐标代入得225a=-9， 解得a=-， ∴抛物线表达式为y=-x2， 当水位上升5米时，y=-4， 即-x2=-4， 解得x=±10， ∴水面宽CD为10-(-10)=20（米）. 8．某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则相应的减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（　　） A．140元 B．150元 C．160元 D．180元 【答案】C 【解析】解：设每张床位提高x个20元，每天收入为y元． 则有y=（100+20x）（100-10x）=-200x2+1000x+10000． 当x=-=2.5时，可使y有最大值． 又x为整数，则x=2时，y=11200； x=3时，y=11200； 则为使租出的床位少且租金高，每张床收费=100+3×20=160元． 9．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之间的解析式是h＝﹣5t2+30t（0≤t≤6），则小球到达最高高度时，运动的时间是（　　） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】C 【解析】h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45， ∵﹣5＜0，0≤t≤6， ∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45， ∴小球运动3秒时，小球达到最高高度. 故选：C． 10．在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为y=，当炮弹落到地面时，经过的时间为（　　） A．40秒 B．45秒 C．50秒 D．55秒 【答案】C 【解析】在y＝﹣x2+10x中，令y＝0得： 0＝﹣x2+10x， 解得x＝0（舍去）或x＝50， ∴当炮弹落到地面时，经过的时间为50秒. 故选：C． 11．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元． A．60 B．65 C．70 D．75 【答案】C 【解析】每顶头盔降价x元，利润为w元， 由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000， ∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70， 即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元. 故选：C． 12．某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，则t的取值范围是（　　） A．0≤t≤600 B．20≤t≤40 C．0≤t≤40 D．0≤t≤20 【答案】D 【解析】由题意，＝﹣（t2﹣40t+400）+600＝﹣（t﹣20）2+600， ∴当t＝20时，飞机停了下来， ∴0≤t≤20． 故选：D． 二、填空题 13．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽6 m，水面下降__________ m，水面宽8 m. 【答案】 【解析】如图，以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点， 由题意可得AO＝BO＝3 m，顶点C坐标为(0，2)， 通过以上条件可设顶点式y＝ax2＋2. 把A点坐标(－3，0)代入抛物线表达式，得9a＋2＝0， 解得a＝－. 所以抛物线表达式为y＝－x2＋2. 当x＝4时，y＝－×16＋2＝－ ∴水面下降 m时，水面宽8 m. 14．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，此时水面宽AB为3米，拱桥最高点C离水面的距离CO也为3米，则当水位上升1米后，水面的宽度为__________ 米. 【答案】 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系， 设抛物线的表达式为y=ax2+3， ∵函数图像过点A， ∴0=a+3， 解得a=-， ∴抛物线的表达式为y=-x2+3， 当y=1时，1=-x2+3， 解得x1=，x2=-， ∴水面的宽度是米. 15．某飞机着陆滑行的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=60t-1.5t2，那么飞机着陆后滑行__________米才能停止． 【答案】600 【解析】解：∵-1.5＜0，∴函数有最大值． 当t=-=20时，s最大值==600， 即飞机着陆后滑行600米才能停止． 16．某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍数）之间的函数解析式为 　__________，宾馆利润最大利润是 __________元． 【答案】y＝ 10240 【解析】设设房价x元，宾馆的利润为y元，由题意得： y＝（x﹣40）（50﹣）＝， 即：y＝ ∵y＝＝﹣（x﹣360）2+10240， a＝﹣＜0，抛物线开口向下， ∴当x＝360时，y有最大值，为10240， 此时房间定价为360元， ∴房间定价为360元时，利润最大，最大利润为10240元． 故答案为：y＝ 10240． 17．行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离我们将它称为“刹车距离”．某车的刹车距离与车速之间的函数关系是，现在该车在限速120 km/h的高速公路上出了交通事故，事后测得刹车距离为46.5 m，请推测该车刹车时是否超速 __________（填“是”或“否” ，车速为 __________km/h． 【解析】是 150 三、解答题 18．如图所示，一名男生掷出的实心球行进高度与水平距离之间的函数图象是一条抛物线，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．若实心球从起点到落地点的水平距离不小于时可得满分，问该男生此次抛掷能否得到满分？请说明理由． 【答案】解：根据题意：设二次函数表达式为， 将点代入得：， 解得：， 二次函数表达式为：， ，且， 则，整理得：， 解得：或（舍去，不符合题意）， ， 该男生此次抛掷能得到满分． 19．某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现超市决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量（千克）与每千克降价（元），之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式． （2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？ （3）设销售这种菠萝蜜总共获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】解：（1）设y与x之间的函数关系式为， 由题意可知，将和代入中得， 解得： y与x之间的函数关系式为 故答案为： ； （2）根据题意得 整理得：， 解得：， 又要让顾客获得更大实惠， ． 答：这种干果每千克应降价12元． （3）销售这种菠萝蜜总共获利 ， ∵，， ∴当时，每天获利最大，最大利润为2645元， 此时销售单价为元 即：当销售单价为51.5元时，每天获利最大，最大利润是2645元． 20．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），顶点和点关于过点的直线对称.将二次函数图象向右平移个单位.再向上平移个单位，平移后的二次函数图象上存在一点，其横坐标为，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点坐标：若不存在，请说明理由. 【答案】解：或.理由如下： 由题意，令， ∴. ∴，. ∴. ∴顶点D的横坐标为. 连接，，作交与C， ∵D，B关于对称， ∴， ∵D是顶点， ∴ ∴是等边三角形， ∴，， ∵D点横坐标为， ∴， ∴， ∴ ∴. ∴. ∴. ∴抛物线解析式. 又∵抛物线图象向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后解析式. ∴当时，， ∴. 如图，若以为直角边，点M是直角顶点，在上方作等腰直角，则，直线交y轴于F点，作轴，， ∴ ∴ ∴. ∵， ∴H点横坐标为，， ∴， 可知此时F与E重合，为； 若以为直角边，点M是直角顶点，在下方作等腰直角， 同理可得：， 设直线解析式：， 则，解得：， ∴， 当时，，即； 综上所述或. 21．工人师傅用8米长的铝合金材料制作一个如图所示的矩形窗框，图中的①、②、③区域都是矩形，且BE=2AE，M，N分别是AD、EF的中点．（说明：图中黑线部分均需要使用铝合金材料制作，铝合金材料宽度忽略不计）． (1) 当矩形窗框ABCD的透光面积是2.25平方米时，求AE的长度； (2) 当AE为多长时，矩形窗框ABCD的透光面积最大？最大面积是多少？ 【答案】解： (1) ∵①、②、③号区域都是矩形，且BE=2AE，设AE=x米， ∴AE=MN=DF=x米，BE=CF=2x米， ∴BC=，∴•3x=2.25，解得x1=，x2=， ∴AE的长度是米或米； (2) 设矩形ABCD的面积是y平方米， 则y=3x•=-7x2+8x， 当x=-=时，y最大=×4=， 答：当AE为时，矩形窗框ABCD的透光面积最大，最大面积是． 22．为了加强中小学学生的劳动教育，2024年计划将该区1000 m2的土地作为社会实践基地，该基地准备种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系y＝x+10，其中200≤x≤600；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2． （1）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为w元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使w最小？ （2）学校计划今后每年在这1000 m2土地上，均按（1）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2026年的总种植成本为28920元？ 【答案】解：（1）当200≤x≤600时， ， ，抛物线开口向上， ∴当x＝400时，W有最小值，W最小值＝42000，则1000﹣x＝1000﹣400＝600， 当甲种蔬菜的种植面积为400 m2，乙种蔬菜的种植面积为600 m2时，w最小． （2）由题意可知：甲、乙两种蔬菜总种植成本是42000元， 乙种蔬菜的种植成本是50×600＝30000（元），甲种蔬菜的种植成本是42000﹣30000＝12000（元）， （1﹣10%）2×12000+（1﹣a%）2×30000＝28920， 设a%＝m，则（1﹣m）2＝0.64， 解得：m1＝0.2，m2＝1.8（舍去）， ∴a%＝20%， ∴a＝20． 答：当a为20时，2026年的总种植成本为28920元． 学科网（北京）股份有限公司 $