1.6 相似三角形的应用 同步练习 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

湘教版（2024）九年级上册 1.6 相似三角形的应用 同步练习 一、选择题 1．如图，为测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5 m，过点A作AB∥DE，交EC的延长线于点B，测出AB＝8 m，则池塘的宽DE为 （      ）  A．32 m B．36 m C．48 m D．56 m 2．如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若幻灯片到光源的距离为15 cm，到屏幕的距离为150 cm，且幻灯片上图形的高度为10 cm，则屏幕上图形的高度为（  ） A．100 cm B．105 cm C．110 cm D．115 cm 3．如图所示，某同学用如下方法测量教学楼AB的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离EA＝21 m，当他与镜子的距离CE＝2.5 m时，他刚好能从镜子中看到教学楼顶端B，已知他眼睛距地面的高度为1.6 m，则教学楼AB的高度为（  ） A．13.44 m B．32.8125 m C．84 m D．32.8 m 4．如图，棋盘上有A、B、C三个黑子和P、Q两个白子，若使△RPQ与△ABC相似，则第三个白子R应该放在（  ） A．甲处 B．乙处 C．丙处 D．丁处 5．如图所示是中国象棋的棋盘（各个小正方形的边长均相等），根据“马走日”的规则，“马”应该落在下列哪个位置处，能使“马”、“炮”、“兵”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“车”、“相”所在位置的格点构成的三角形相似（  ） A．① B．② C．③ D．④ 6．如图，为估算某河的宽度，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，DC⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20 m，CE＝10 m，DC＝20 m，则河的宽度AB等于 （      ）  A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m 7．如图，小李利用镜面反射原理测树高，小李在点A，镜子为点O，BD表示树，点A，O，B在同一水平线上，小李身高CA＝1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米，则树高为（  ） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 8．如图，小明同学自制了一个小孔成像装置，其中直筒的长度为10 cm．他准备了一支长为15 cm的蜡烛，想要得到高度为5 cm的像，蜡烛应放在距离直筒（  ）cm远的地方． A．10 B．15 C．20 D．30 9．身高为1.8 m的墨墨站在离路灯底部6 m处时发现自己的影长恰好为2 m，如图所示，则该路灯的高度是 （      ）  A．5.4 m B．6 m C．7.2 m D．8 m 10．小明在打网球时，为使球恰好能过网（网高0.8米），且落在对方区域离网5米的位置上，已知她的击球高度是2.4米，则她应站在离网的（  ） A．7.5米处 B．8米处 C．10米处 D．15米处 11．如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得地面上阴影部分的边缘超出桌面0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡距离桌面（  ） A．1米 B．2.25米 C．2米 D．3米 12．红星中学高二（2）班在布置“五．四”青年节联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形纸条．如图所示：在Rt△ACB中，AC＝30 cm，BC＝40 cm．依此裁下宽度为1 cm的纸条，若使裁得的纸条的长都不小于5 cm，则能裁得的纸条的张数（  ） A．24 B．25 C．26 D．27 二、填空题 13．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝0.4 m，BD＝0.2 m，AQ＝12 m，则树高PQ＝ __________ m． 14．如图，同一时刻，小明测得他在太阳光下的影子长为2米，他不远的一棵树的影子长为5米，已知小明的身高为1.6米，则这棵树的高是 __________ 米． 15．在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点C处的镜子中看到教学楼的顶部D时，测得小南的眼睛与地面的距离AB＝1.6 m，同时测得BC＝2.4 m，CE＝9.6 m，则教学楼高度DE＝ __________ m． 16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠C＝90°，AB＝2，BC＝7，CD＝6，若图中两个阴影部分的两个三角形相似，则点P到点B的距离为 __________ ． 17．如图，在等边△ABC中，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处读数分别为18，14，1，3，则： （1）等边△ABC的边长为 __________ cm； （2）直尺的宽为 __________ cm． 三、解答题 18．在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题： “今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何．” 用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座正方形小城，北门H位于DG的中点，南门K位于EF的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到C，再向西行1775步到B处，正好看到A处的树木（即点D在直线AB上），求小城的边长． 19．如图，小明拿着一把厘米刻度尺，站在距电线杆约30 m的地方，把手臂向前伸直．刻度尺竖直，刻度尺上18个刻度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60 cm，小明能求出电线杆的高度吗？若能求，请你替小明写出求解过程． 20．中午，一根1.5米长的木杆影长1.0米，一座高21米的住宅楼的影子是否会落在相距18米远的商业楼上？傍晚，该木杆的影子长为2.0米，这时住宅楼的影子是否会落在商业楼上？为什么？ 21．如图，△ABC是一块直角三角形的木块，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，AB＝5 cm，要利用它加工成一块面积最大的正方体木块，问按正方形CDEF加工还是按正方形PQRS加工？说出你的理由． 22．创新题推荐阅读理解题请阅读下列材料，完成相应的任务： 著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，解决更加广泛领域的问题．比如有这样一个题目：设有两只电阻，分别为R1和R2，问并联后的电阻值R是多少？ 我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下： 如图①，在直线l上任取两点A，B，分别过点A，B作直线l的垂线，并在这两条垂线上分别截取AC＝R1，BD＝R2，且点C，D位于直线l的同侧，连接AD，BC，交于点E，过点E作EF⊥直线l，则线段EF的长度就是并联后的电阻值R． 证明：∵EF⊥l，CA⊥l， ∴∠EFB＝∠CAB＝90°， 又∵∠EBF＝∠CBA， ∴△EBF∽△CBA（依据1）， ∴（依据2）． 同理可得：， ∴， ∴1， ∴， 即：． 任务： （1）上面证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是谁： 依据1：                    ； 依据2：                               ． （2）如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知R1＝3千欧，R2＝6千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值R的线段长． （3）受以上作图法的启发，小明提出了已知R1和R，求R2的一种作图方法，如图④，作△ABC，使∠C＝90°，AC＝BC＝R1，过点B作BC的垂线，并在垂线上截取BD＝R，使点D与点A在直线BC的同一侧，作射线AD，交CB的延长线于点E，则BE即为R2．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． 湘教版（2024）九年级上册 1.6 相似三角形的应用 同步练习（参考答案） 一、选择题 1．如图，为测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5 m，过点A作AB∥DE，交EC的延长线于点B，测出AB＝8 m，则池塘的宽DE为 （      ）  A．32 m B．36 m C．48 m D．56 m 【答案】C 【解析】∵AB∥DE， ∴△ABC∽△DEC， ∴， ∴， ∴DE＝48 m. 2．如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若幻灯片到光源的距离为15 cm，到屏幕的距离为150 cm，且幻灯片上图形的高度为10 cm，则屏幕上图形的高度为（  ） A．100 cm B．105 cm C．110 cm D．115 cm 【答案】C 【解析】如图所示：∵DE∥BC， ∴△AED∽△ACB， ∴， 设屏幕上的图形高是x，则， 解得：x＝110．经检验，x＝110是原方程的解， 故选：C． 3．如图所示，某同学用如下方法测量教学楼AB的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离EA＝21 m，当他与镜子的距离CE＝2.5 m时，他刚好能从镜子中看到教学楼顶端B，已知他眼睛距地面的高度为1.6 m，则教学楼AB的高度为（  ） A．13.44 m B．32.8125 m C．84 m D．32.8 m 【答案】A 【解析】依据题意，得∠DEF＝∠BEF， ∵∠DEF+∠DEC＝90°，∠BEF+∠BEA＝90°， ∴∠DEC＝∠BEA， ∵∠BAE＝∠DCE＝90°， ∴△BAE∽△DCE， ∴，即， ∴AB＝13.44 m， 故选：A． 4．如图，棋盘上有A、B、C三个黑子和P、Q两个白子，若使△RPQ与△ABC相似，则第三个白子R应该放在（  ） A．甲处 B．乙处 C．丙处 D．丁处 【答案】A 【解析】第三个白子R应该放在甲处，理由如下： 如图，连接PR，QR， 在△ABC中，AB，AC，BC＝2， 在△PQR中，PQ＝5，PR5，QR， ∵，，， ∴， ∴△ABC∽△PQR， 故选：A． 5．如图所示是中国象棋的棋盘（各个小正方形的边长均相等），根据“马走日”的规则，“马”应该落在下列哪个位置处，能使“马”、“炮”、“兵”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“车”、“相”所在位置的格点构成的三角形相似（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【解析】由图可知：“帅”、“车”、“相”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为4，2，2， “兵”、“炮”之间的距离为2， “炮”与②之间的距离为1， “兵”与②之间的距离为， ∵， ∴马应该落在②的位置， 故选：B． 6．如图，为估算某河的宽度，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，DC⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20 m，CE＝10 m，DC＝20 m，则河的宽度AB等于 （      ）  A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m 【答案】B 【解析】∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴△BAE∽△CDE， ∴， ∵BE＝20 m，CE＝10 m，DC＝20 m， ∴，解得AB＝40 m. 7．如图，小李利用镜面反射原理测树高，小李在点A，镜子为点O，BD表示树，点A，O，B在同一水平线上，小李身高CA＝1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米，则树高为（  ） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【答案】A 【解析】如图可知：∠CAO＝∠DBO＝90°，∠COF＝∠DOF， ∴∠COA＝90°﹣∠COF，∠DOB＝90°﹣∠DOF， ∴∠COA＝∠DOB， ∴△ACO∽△BDO， ∴， ∵AC＝1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米， ∴， 解得：BD＝4， 答：树高为4米． 故选：A． 8．如图，小明同学自制了一个小孔成像装置，其中直筒的长度为10 cm．他准备了一支长为15 cm的蜡烛，想要得到高度为5 cm的像，蜡烛应放在距离直筒（  ）cm远的地方． A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】D 【解析】如图：过点O作OE⊥AB，垂足为E，延长EO交CD于点F， 由题意得：EF⊥CD，AB∥CD， ∴∠OAB＝∠ODC，∠OBA＝∠OCD， ∴△OAB∽△ODC， ∴， ∴， 解得：OE＝30， ∴蜡烛应放在距离直筒30 cm远的地方， 故选：D． 9．身高为1.8 m的墨墨站在离路灯底部6 m处时发现自己的影长恰好为2 m，如图所示，则该路灯的高度是 （      ）  A．5.4 m B．6 m C．7.2 m D．8 m 【答案】C 【解析】如图，AB＝1.8 m，DB＝6 m，BE＝2 m， ∵△EAB∽△ECD， ∴， 即， 解得CD＝7.2 m. 10．小明在打网球时，为使球恰好能过网（网高0.8米），且落在对方区域离网5米的位置上，已知她的击球高度是2.4米，则她应站在离网的（  ） A．7.5米处 B．8米处 C．10米处 D．15米处 【答案】C 【解析】设她应站在离网的x米处， 根据题意得：， 解得：x＝10． 故选：C． 11．如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得地面上阴影部分的边缘超出桌面0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡距离桌面（  ） A．1米 B．2.25米 C．2米 D．3米 【答案】D 【解析】构造几何模型如图： 依题意知DE＝2米，BC＝2+1＝3（米），FG＝1.5米， 由△DAE∽△BAC得，即， 解得AF＝3， 答：灯泡距离桌面3米． 故选：D． 12．红星中学高二（2）班在布置“五．四”青年节联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形纸条．如图所示：在Rt△ACB中，AC＝30 cm，BC＝40 cm．依此裁下宽度为1 cm的纸条，若使裁得的纸条的长都不小于5 cm，则能裁得的纸条的张数（  ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】C 【解析】如图，设EF＝5 cm， ∵裁出的是矩形纸条， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ACB， ∴，即，解得AE＝3.75 cm， ∴CE＝AC﹣AE＝30﹣3.75＝26.25 cm， ∵裁得的纸条的长都不小于5 cm， ∴CE≤26.25 cm， ∵纸条宽度为1 cm， ∴CE最大是26 cm， ∴最多可以裁得的纸条的张数为26． 故选：C． 二、填空题 13．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝0.4 m，BD＝0.2 m，AQ＝12 m，则树高PQ＝ __________ m． 【答案】6 【解析】由题意可得，BC∥PQ，AB＝0.4 m，BD＝0.2 m，AQ＝12 m， ∴△ABD∽△AQP， ∴，即， 解得QP＝6， ∴树高PQ＝6 m， 故答案为：6． 14．如图，同一时刻，小明测得他在太阳光下的影子长为2米，他不远的一棵树的影子长为5米，已知小明的身高为1.6米，则这棵树的高是 __________ 米． 【答案】4 【解析】根据题意得：， ∵小明的影子长为2米，树的影子长为5米，小明的身高为1.6米， ∴， ∴这棵树的高是4米． 故答案为：4． 15．在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点C处的镜子中看到教学楼的顶部D时，测得小南的眼睛与地面的距离AB＝1.6 m，同时测得BC＝2.4 m，CE＝9.6 m，则教学楼高度DE＝ __________ m． 【答案】6.4 【解析】由题意可知，AB∥DE， ∴△ABC∽△DEC， ∴， ∴， 解得DE＝6.4， 则教学楼高度DE＝6.4 m， 故答案为：6.4． 16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠C＝90°，AB＝2，BC＝7，CD＝6，若图中两个阴影部分的两个三角形相似，则点P到点B的距离为 __________ ． 【答案】3或4或 【解析】设BP＝x，则PC＝7﹣x， 当△ABP∽△PCD时，，即， 解得，x1＝3，x2＝4， 当△ABP∽△DCP时，，即， 解得，x， 综上所述，图中两个阴影部分的两个三角形相似，则点P到点B的距离为3或4或， 故答案为：3或4或． 17．如图，在等边△ABC中，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处读数分别为18，14，1，3，则： （1）等边△ABC的边长为 __________ cm； （2）直尺的宽为 __________ cm． 【答案】4 ； 【解析】（1）由题意得：BC＝18﹣14＝4（cm）， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝4 cm， ∴等边△ABC的边长为4 cm， 故答案为：4； （2）过点A作AF⊥DE，垂足为F，延长AF交BC于点G， ∵△ABC是等边三角形，AG⊥BC， ∴BGBC＝2（cm）， ∵AB＝4 cm， ∴AG2（ cm）， 由题意得：DE＝3﹣1＝2（cm），DE∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∴AF cm， ∴FG＝AG﹣AF（cm）， ∴直尺的宽为 cm， 故答案为：． 三、解答题 18．在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题： “今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何．” 用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座正方形小城，北门H位于DG的中点，南门K位于EF的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到C，再向西行1775步到B处，正好看到A处的树木（即点D在直线AB上），求小城的边长． 【答案】解：设小城的边长为x步，根据题意， Rt△AHD∽Rt△ACB， ∴， 即， 去分母并整理，得x2+34x﹣71000＝0， 解得x1＝250，x2＝﹣284（不合题意，舍去）， ∴小城的边长为250步． 19．如图，小明拿着一把厘米刻度尺，站在距电线杆约30 m的地方，把手臂向前伸直．刻度尺竖直，刻度尺上18个刻度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60 cm，小明能求出电线杆的高度吗？若能求，请你替小明写出求解过程． 【答案】解：作AN⊥EF于N，交BC于M， ∵BC∥EF， ∴AM⊥BC于M， ∴△ABC∽△AEF， ∴， ∵AM＝0.6 m，AN＝30 m，BC＝0.18 m， ∴EF9（m）． 答：电线杆的高度为9米． 20．中午，一根1.5米长的木杆影长1.0米，一座高21米的住宅楼的影子是否会落在相距18米远的商业楼上？傍晚，该木杆的影子长为2.0米，这时住宅楼的影子是否会落在商业楼上？为什么？ 【答案】解：1.5米长的木杆影长1.0米时，实际高度和影长之比为，即， 所以实际高度为21米的楼房此时影长为14米， 所以不会落在18米以外． 而当木杆影长为2米时，实际高度和影长之比为即， 所以此时楼的影长为28米，大于18米，会落在商业楼上． 先不会，傍晚会． 21．如图，△ABC是一块直角三角形的木块，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，AB＝5 cm，要利用它加工成一块面积最大的正方体木块，问按正方形CDEF加工还是按正方形PQRS加工？说出你的理由． 【答案】解：（1）∵ED∥BC， ∴△AED∽△ABC， 设正方形CDEF的边长为x，则有， 解得x cm； （2）∵SR∥AB， ∴△CSR∽△CAB， 设正方形PQRS的边长为y，作CN⊥NB于N交RS于M， ∵BC•ACAB•CN， ∴CN， ∴， ∴， 解得（ cm）， x﹣y0，故x＞y， 所以按正方形CDEF加工，可得面积最大的正方形． 22．创新题推荐阅读理解题请阅读下列材料，完成相应的任务： 著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，解决更加广泛领域的问题．比如有这样一个题目：设有两只电阻，分别为R1和R2，问并联后的电阻值R是多少？ 我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下： 如图①，在直线l上任取两点A，B，分别过点A，B作直线l的垂线，并在这两条垂线上分别截取AC＝R1，BD＝R2，且点C，D位于直线l的同侧，连接AD，BC，交于点E，过点E作EF⊥直线l，则线段EF的长度就是并联后的电阻值R． 证明：∵EF⊥l，CA⊥l， ∴∠EFB＝∠CAB＝90°， 又∵∠EBF＝∠CBA， ∴△EBF∽△CBA（依据1）， ∴（依据2）． 同理可得：， ∴， ∴1， ∴， 即：． 任务： （1）上面证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是谁： 依据1：                    ； 依据2：                               ． （2）如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知R1＝3千欧，R2＝6千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值R的线段长． （3）受以上作图法的启发，小明提出了已知R1和R，求R2的一种作图方法，如图④，作△ABC，使∠C＝90°，AC＝BC＝R1，过点B作BC的垂线，并在垂线上截取BD＝R，使点D与点A在直线BC的同一侧，作射线AD，交CB的延长线于点E，则BE即为R2．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． 【答案】解：（1）∵EF⊥l，CA⊥l， ∴∠EFB＝∠CAB＝90°， 又∵∠EBF＝∠CBA， ∴△EBF∽△CBA（两组角对应相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形的对应边成比例）． 故答案为：两组角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例； （2）如图，线段表示R的长． 在AB上取点M，使BM＝3，在CD上取点N，使CN＝6，连接CM，BN交于点E，过点E作EF⊥BC于点F， 则线段EF为所求线段． （3）小明的方法正确． 理由：∵∠C＝90°， ∴CA⊥BC， ∵BD⊥BC， ∴BD∥AC， ∴△DBE∽△ACE， ∴， 由题意可知DB＝R，AC＝R1，CE＝R1+BE， ∴， ∴BE， ∵， ∴R2， ∴BE＝R2． 学科网（北京）股份有限公司 $