1.5二次函数的应用同步练习2025-2026学年湘教版数学九年级下册

二次函数的应用 一、单选题 1．如图，将一根长的铁丝弯成一个长方形(铁丝正好全部用完且无损耗)，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则y与x之间的函数关系式为 （   ） A． B． C． D． 2．一个小球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）和弹起的最高高度（米）分别是（   ） A．1，4 B．2，5 C．5，10 D．10，20 3．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（    ） A． B． C． D． 5．某商家代销一种产品，销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件产品下降1元时，日销售量增加2件．已知每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品售价为（元），商家每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 6．第十五届中国国际航空博览会于2024年11月12日至17日在珠海举办，歼（图甲）是人民空军现役主力战斗机，是一把对空、对海作战，夺取制空权的利剑，它着陆后滑行的距离s与时间t的函数关系如图乙所示（图为抛物线的一部分，其中点P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（   ） A．歼滑行6秒停止 B．歼滑行12秒停止 C．歼向前滑行的速度不变 D．歼向前滑行的速度越来越大 7．如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 8．一个乒乓球从光滑斜面自由滚下的路程y（米）与时间x（秒）的平方成正比例，当乒乓球滚下3米时，经过的时间为1.5秒，当秒时，乒乓球所经过的路程为（   ） A．1.5米 B．米 C．米 D．米 9．掷实心球是2025年体育中考的项目之一，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度(米)与飞行的水平距离(米)之间具有函数关系则小明这次实心球训练的成绩为(   ) A． B．12 C．8 D．10 10．随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱成抛物线形．如图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．喷灌器与围墙的距离为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知，如图，正方形的边长为4，是边上的动点，作交边于点，则的最大值为 ． 12．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是．那么小球到达最大高度的时间是 13．湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ． 14．如图，张爷爷计划在一边靠墙处，用一段长度为的篱笆围成一个长方形菜园，设边长为，菜园面积为，则与之间的函数关系为 ． 15．从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是 ． 16．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为：．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间t为 秒． 三、解答题 17．A公司电商平台，在2024年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，周销售量（件）与售价（元/件）之间的函数图象如图所示． (1)求关于的函数解析式； (2)若该商品进价为30元/件，当售价为多少元时，周销售利润最大？并求出此时的最大利润． 18．掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线．设沙包飞行的水平距离为（单位：m），相对应的飞行高度为（单位：m）．李华在处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，为抛物线的顶点，已知布幔垂直于轴，且，布幔上的目标与的距离为0.26米． (1)求沙包飞行轨迹抛物线的解析式 （无需写出自变量的取值范围）； (2)为了击中目标，应将布幔向前或后移动多少米？ 19．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售个，月份销售个，且从9月份到月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)已知类头盔的进价为元/个，在销售中，该商家发现当每个售价元时，每个月可售出个；若在此基础上售价每上涨5元/个；则月销售量将减少个．设类头盔售价每个元（），表示该商家每月销售类头盔的利润（单位：元），求关于的函数解析式并求最大利润． 20．打乒乓球是一项有氧运动，能提升反应速度、增强体力、释放压力、改善视力……乒乓球桌的标准长度为，小浩从球桌边沿正上方击打乒乓球向正前方运动，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．以球桌面所在直线为轴、所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球击打后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系． (1)此次击打乒乓球运行的最大竖直高度是多少？ (2)击打后乒乓球能过球桌正中间的网（网高），并落到对方桌面上，算击打成功．请你通过计算，判断这次乒乓球击打是否成功． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C D A D C D C 1．B 【分析】本题考查求二次函数关系式，根据这个长方形的一边长为，可得另一条边长为，再利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 2．B 【分析】此题考查了求二次函数的应用． 根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到回到地面所花的时间（秒）．化为顶点式可求出弹起的最高高度（米）． 【详解】解：球弹起后又回到地面时，即， 解得（不合题意，舍去），， ∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2． ∵， ∴弹起的最高高度（米）是5． 故选：B． 3．C 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故③正确，符合题意； ∵， ∴铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为， 故②正确，符合题意； 当时，， 故①错误，不符合题意； 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点， 则：O为原点，，， 设函数解析式为，把A点坐标代入得， ∴抛物线解析式为， 当水面上升，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴此时的水面宽度为， 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数解析式是解题关键．先求出日销售量为件，再根据利润（售价支付厂家和其他的费用）日销售量即可得． 【详解】解：设每件产品售价为（元），则日销售量为件， ∵每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元， ∴， 故选：D． 6．A 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，二次函数的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．先由函数图象可知，当时，滑行的距离最大，再结合随着时间的推移，滑行的距离变化越来越平缓，即滑行的速度越来越小，即可作答． 【详解】解：由函数图象可知，当时，滑行的距离最大， ∴歼滑行6秒停止，故A说法正确，B说法错误； 由函数图象可知，随着时间的推移，滑行的距离变化越来越平缓，即滑行的速度越来越小，故C、D说法错误， 故选A． 7．D 【分析】本题考查了一次函数，二次函数．根据题意分别求出y与t，S与t满足的函数关系式，然后判定作答即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，， ∴y是t的一次函数，S是t的二次函数， 故选：D． 8．C 【分析】先由待定系数法求出函数关系式，再代入即可求出结论． 本题考查的是二次函数的应用，确定函数表达式是本题解题的关键． 【详解】解：设， 将代入上式得： 解得：， 则函数的表达式为：， 当时，， 即乒乓球所经过的路程是米． 故选：C． 9．D 【分析】本题考查了二次函数的应用，求小明这次实心球训练的成绩，即求时的值． 【详解】解：令，即 解得：或（舍去） 故选：D． 10．C 【分析】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是根据题意，求出相应的函数解析式． 先建立平面直角坐标，再求出相应的函数解析式，再令求出的值，即可得到的值． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵点在函数图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴ 故选：C． 11．1 【分析】本题考查几何综合，涉及正方形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识，读懂题意，作出图形，熟练掌握相关性质是解决问题的关键． 设，证明，可得，即可求解． 【详解】解：设， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为1． 故答案为：1 12．3 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是关键；把二次函数解析式配方即可求得小球到达最高点时的时间． 【详解】解：， ∵二次项系数为负， ∴当时，小球运动到最高点． 故答案为：3． 13． 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的的值，进而可求解． 【详解】解：依题意得： 当，， 当水位上升 时，则此时， 则：， 解得：或， ∴水面宽为：， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了与图形有关的二次函数的应用；根据题意表示出长方形的长，由长方形面积即可得到函数式． 【详解】解：由题意知，， ∴； 故答案为：． 15．45 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用知识点，解题的关键是将二次函数解析式化为顶点式来求最值． 已知小球高度与运动时间的关系式为二次函数，通过将其化为顶点式，根据二次函数性质求出最大值． 【详解】对于二次函数，先对其进行配方： 因为二次项系数，所以该二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值， 当时，取得最大值45，又因为3在这个取值范围内， 所以小球运动中的最大高度是45m． 故答案为：45． 16．2 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，将代入求解即可． 【详解】解：当时，即 解得，（舍去） ∴该物体落回地面所需要的时间t为2秒． 故答案为：2． 17．(1)与的函数表达式为 (2)当时，周销售利润最大，最大利润为元； 【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，解本题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式． （1）设，把和代入可得解析式． （2）根据利润（售价进价）数量，得，再化成顶点式，顶点的纵坐标是最大值． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为，将点和代入得： ， 解得：， 与的函数表达式为； （2）由题意得：， ， 当时，周销售利润最大，最大利润为元． 18．(1) (2)前移动 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）由顶点式，可设抛物线的解析式为，再把代入求出a的值即可； （2）求出时，即可解得． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线顶点为． 故可设抛物线的解析式为， 又抛物线过， ， ， 解析式为； （2）当时， 即 （舍），， ， 应将布幔向前移动． 19．(1) (2)，最大值为1920元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题时要能读懂题意，列出方程组和函数关系式是关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“该品牌头盔9月份销售个，月份销售个，且从9月份到月份销售量的月增长率相同”列出方程求解； （2）依据题意，该商家每月销售A类头盔的利润为，又，抛物线开口向下，对称轴为直线，故当时，w随a的增大而增大，最后结合，进而可以计算得解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：由题意得，该商家每月销售A类头盔的利润为 ， ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，w随a的增大而增大． ∴当时，故当时，w取最大值为1920元． 20．(1)此次击打乒乓球运行的最大竖直高度是 (2)这次乒乓球击打不成功 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题关键是将二次函数由一般式化为顶点式． （1）通过将二次函数表达式化为顶点式，再求出最大值； （2）求出当时的函数值与比较后得出结论． 【详解】（1）解：， ∵二次项系数为，∴抛物线的开口向下， ∴当时，有最大值． （2）∵乒乓球桌的标准长度为， ∴球桌正中间， 当时，， ∴这次乒乓球击打不成功． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $