26.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 知识清单 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.2.2 二次函数 y = a(x − h)2 + k 的图象和性质　知识清单 人教版（2024）九年级数学上册　第二十六章　二次函数　26.2 二次函数的图象和性质（第 2 课时） 知识地图 ① 本节定位　26.2 的第 2 课时，教材约 P37—P41。把 的图象上下、左右平移，就得到本节的主角 —— 顶点式 。 ② 一条主线　形状不变，只搬位置： 先上下平移得到 ，左右平移得到 ，两次合起来就是 。 ③ 上下平移　「上加下减」： 的顶点是 (0, k)，对称轴仍是 y 轴；k > 0 向上移，k < 0 向下移。 ④ 左右平移　「左加右减」： 的顶点是 (h, 0)，对称轴是直线 x = h；h > 0 向右移，h < 0 向左移。 ⑤ 顶点式　 的顶点是 (h, k)，对称轴是直线 x = h；顶点是最低点（a > 0）或最高点（a < 0），最值就是 k。 ⑥ ★ 必记　括号里取「相反数」得 h，括号外的常数就是 k；a 定开口方向，|a| 定开口大小，h、k 只管位置。 一、学习目标与重难点 学习目标：① 会由 的图象经过平移画出 、、 的图象；② 掌握平移规律「上加下减、左加右减」，能说出平移的方向和距离；③ 会由顶点式直接读出开口方向、对称轴、顶点和最值；④ 会用顶点式求解析式，会比较函数值的大小。 重　　点：平移规律； 的图象特征与性质（开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值）。 难　　点：★★ 一是「左加右减」的符号 —— 括号里是 x − h 才向右移 h，是 x + h 反而向左移 h；二是顶点坐标的符号 —— 的顶点是 (−3, 1) 而不是 (3, 1)；三是分清「谁管方向、谁管位置」：a 管开口方向，|a| 管开口大小，h 管左右、k 管上下。 二、从 y = ax2 到 y = ax2 + k：上下平移 1. 三张表只差一个常数 先看三个最简单的二次函数 、、。取同样的一组 x，算出对应的 y，列成表： x −2 −1 0 1 2 4 1 0 1 4 5 2 1 2 5 3 0 −1 0 3 观察这三行数： 的每一个函数值都比 的多 1， 的每一个函数值都比 的少 1 —— 就是在括不住 x 的地方加了个常数。 2. 图象怎么动：整体上下平移 把这三组点描在同一坐标系里，再用平滑曲线连线（图 1 右），可以看到：三条抛物线的形状完全相同，只是整体沿着 y 轴上下错开了。 图 1　从 到 ：三条曲线形状相同，整条曲线沿 y 轴上下平移（绿线比蓝线高 1 个单位，红线比蓝线低 1 个单位） 一般地： 的图象，就是把 的图象沿 y 轴向上（k > 0）或向下（k < 0）平移 |k| 个单位长度得到的。 口诀：上加下减 —— 常数项「+ k」就向上移，「− k」就向下移，移动的就是 |k| 个单位。 变化在哪里：顶点从 (0, 0) 上移或下移到 ；对称轴没有动，仍是 y 轴；开口方向和开口大小也没有变（因为 a 没变）。 3. y = ax2 + k 的性质 看什么 a > 0（开口向上） a < 0（开口向下） 对称轴 y 轴，即直线 y 轴，即直线 顶点 (0, k)，是图象的最「低」点 (0, k)，是图象的最「高」点 增减性 x < 0 时 y 随 x 增大而减小；x > 0 时 y 随 x 增大而增大 x < 0 时 y 随 x 增大而增大；x > 0 时 y 随 x 增大而减小 最值 当 x = 0 时，y 有最小值 k 当 x = 0 时，y 有最大值 k ★ 与 相比：对称轴、增减性、开口全都一样，只是顶点由 (0, 0) 搬到了 (0, k)，最值由 0 变成了 k。 三、从 y = ax2 到 y = a(x − h)2：左右平移 1. 顶点「搬家」，取点也要跟着搬 仿照上面的做法，先看 、、。以 为例，只有 x = 2 时 y = 0，所以取 x 时要「围着 2 对称」取： x −1 0 1 2 3 4 5 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 的取值表与它完全一样，只不过整行 x 向左挪了 4（顶点从 2 挪到 −2）。 2. 图象怎么动：整体左右平移 图 2　从 到 ：三条曲线形状相同，整条曲线沿 x 轴左右平移，顶点从 (0, 0) 搬到 (2, 0) 和 (−2, 0) 一般地： 的图象，就是把 的图象沿 x 轴向右（h > 0）或向左（h < 0）平移 |h| 个单位长度得到的。 顶点与对称轴：顶点由 (0, 0) 搬到 ；对称轴由 y 轴搬到直线 x = h。这条直线过顶点，且与 y 轴平行。 不变的是什么：形状、开口方向、开口大小都不变 —— 因为 a 没有变，只是位置变了。 3. 「左加右减」到底怎么记 这条规律最容易被记反，关键是要盯住括号里 x 的变化： 解析式 括号里的式子 顶点 对称轴 怎样平移 x − 2 (2, 0) x = 2 由 向右平移 2 个单位 x + 2 (−2, 0) x = −2 由 向左平移 2 个单位 左加右减：括号里是「x 减 2」，图象就向右移 2 个单位（减号对的是「右」）；括号里是「x 加 2」，图象就向左移 2 个单位。 为什么：要让 x = 2 处的函数值等于原来 x = 0 处的函数值，自变量就必须「多跑」2 格，图象自然是向右挪。 四、y = a(x − h)2 + k 的图象与性质 1. 两次平移合起来 把上面的两种平移接起来做：先把 的图象左右平移 |h| 个单位，再上下平移 |k| 个单位，就得到 的图象。两种平移先做哪个后做哪个都可以，结果完全一样。 为什么可以任意交换顺序：左右平移只动横坐标，上下平移只动纵坐标，各管各的，互不干扰。 顶点与对称轴：顶点从 (0, 0) 一路搬到 ，对称轴跟着顶点搬，是直线 x = h。 最值：因为顶点是图象的最高或最低点，所以当 x = h 时，y 取到最值 k：a > 0 时是最小值 k，a < 0 时是最大值 k。 2. 读图「四看」 看什么 a > 0（开口向上） a < 0（开口向下） 看开口方向 向上 向下 看对称轴 直线 x = h（看清 h 的正负） 直线 x = h（看清 h 的正负） 看顶点 (h, k)，是最低点，此时 y 最小 = k (h, k)，是最高点，此时 y 最大 = k 看增减性 x < h 时 y 随 x 增大而减小；x > h 时 y 随 x 增大而增大 x < h 时 y 随 x 增大而增大；x > h 时 y 随 x 增大而减小 图 3　 的图象与性质：顶点 (h, k)、对称轴直线 x = h，开口方向由 a 决定，增减性以 x = h 为界 3. 例 1：说出开口方向、对称轴和顶点 例 1　说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：，，，。 抛物线 开口方向 对称轴 顶点 向上 x = −3 (−3, 0) 向下 x = 1 (1, 2) 向下 x = 2 (2, 0) 向上 x = −1 (−1, −3) 解：读顶点式只要两步 —— 第一步看括号外面的系数 a 定开口方向；第二步把括号里的式子看成 (x − h)： ① ：括号里是 x + 3 = x − (−3)，所以 h = −3、k = 0。先定号：a = 2 > 0，开口向上；对称轴 x = −3；顶点 (−3, 0)。 ② ：a = −3 < 0，开口向下；括号里 x − 1 说明 h = 1，括号外常数是 2；对称轴 x = 1；顶点 (1, 2)。 ③ ：a = −1 < 0，开口向下；h = 2、k = 0；对称轴 x = 2；顶点 (2, 0)。 ④ ： > 0，开口向上；括号里是 x + 1 = x − (−1)，h = −1，k = −3；对称轴 x = −1；顶点 (−1, −3)。 ★ 一句话：括号里取「相反数」就是 h，括号外的常数就是 k —— 的顶点是 (−3, 1)，不是 (3, 1)； 的顶点才是 (3, −1)。 4. 例 2（教材例）：由平移反推解析式 例 2　把二次函数 的图象先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，得到二次函数 的图象。（1）试确定 a、h、k 的值；（2）指出 的开口方向、对称轴和顶点坐标。 解：（1）平移只改变顶点的位置，也就是只影响 h 和 k。设所求函数为 。把它向左平移 2 个单位长度，顶点横坐标「左减」2，h 变成 h − 2；再向上平移 4 个单位长度，顶点纵坐标「上加」4，k 变成 k + 4。 平移后得到的函数是： 　　 它和已知的 是同一个函数。因为两边的二次项系数都是 1（括号里都是「1 个 x」），所以可以逐项对照： 　　① 系数：； 　　② 括号里：，即 ，解得 ； 　　③ 括号外：，解得 。 所以 ，，，所求函数是 。 验证： 向左平移 2 个单位长度得 ，再向上平移 4 个单位长度得 ，与已知相符。 （2）由（1）得所求函数为 。因为 > 0，所以开口向上；对称轴是直线 x = 1；顶点坐标是 (1, −5)。 ★ 平移的可逆性：「左移 2、上移 4」的逆操作就是「右移 2、下移 4」。左右平移改括号里的数（左加右减），上下平移改括号外的常数（上加下减）。 五、平移规律总览与口诀 图 4　平移路线总览：由 上下平移得 ，左右平移得 ，两次合起来得 从 y = ax2 出发 平移方向与距离 顶点 对称轴 上下平移 |k| 个单位 → k > 0 向上，k < 0 向下 (0, k) y 轴（x = 0） 左右平移 |h| 个单位 → h > 0 向右，h < 0 向左 (h, 0) 直线 x = h 两次平移合起来 → 两个方向都移，顺序可以交换 (h, k) 直线 x = h 六、用顶点式比较大小与判断点是否在图象上 1. 办法没变，只是对称轴「搬了家」 比较函数值大小、判断点在不在图象上，这两件事的做法与上一课时完全一样；唯一的变化是：对称轴不再是 y 轴，而是直线 ，顶点也不再是原点，而是 。 ① 同侧：两个横坐标都在 的同一侧时，直接用增减性： 时离对称轴越远越高， 时离对称轴越远越低。 ② 异侧：分居两侧时，先用对称性把点「搬」到同侧 —— 关于 对称的两点横坐标之和为 ，即 ，再按同侧去比。 ③ 算距离：也可以直接算「点到对称轴的距离」 ： 时距离越大函数值越大， 时距离越大函数值越小。 ④ 保底办法：拿不准就把横坐标代入顶点式，算出函数值再比 —— 慢一点，但一定不会错。 2. 例 3：比较函数值的大小 已知二次函数 ，点 、 都在它的图象上，比较 与 的大小。 解法一（直接算值）：，，所以 。 解法二（看距离，更见功力）：因为 ，抛物线开口向上，对称轴是直线 。算两个点到对称轴的距离：，。开口向上时离对称轴越远函数值越大，因为 ，所以 。 ★ 记牢：开口向上时「离对称轴越远越高」，开口向下时「离对称轴越远越低」。这里的两点分居对称轴两侧，所以要先把「远近」算清楚再下结论，绝不能只比 就断言谁大谁小。 3. 例 4：判断点是否在抛物线上 判断点 、、 是否在抛物线 上。 点 代入求得的 y 与纵坐标比较 结论 -1 ≠ 1，不相等 不在图象上 5 = 5，相等 在图象上 -1 = -1，相等 在图象上 ★ 一个快捷判断（以 为例）：因为 ，顶点是最低点 ，所以函数值一定不小于 −3。凡是纵坐标小于 −3 的点一定不在图象上；反过来， 时函数值一定不大于 k，纵坐标大于 k 的点一定不在图象上。 七、易错清单与错解辨析 1. 七个高频失分点 ① 「左加右减」记反：括号里是 才是向右移 个单位；是 反而向左移 个单位 —— 看到的加减号与移动方向「相反」。 ② 顶点坐标符号搞错： 的顶点是 而不是 ；括号里取「相反数」得到横坐标，括号外的常数照抄得纵坐标。 ③ 把「上加下减」用到括号里：上下平移改的是括号外的常数 k；左右平移改的是括号里的数 h。两处不要互换。 ④ 以为平移会改变开口大小：平移只改变图象的位置，不改变形状，所以 始终不变，开口方向和大小都不变。 ⑤ 增减性「跨轴」乱用：增减性只在对称轴的同侧成立。分居两侧的两个点，必须先算到对称轴的距离或先用对称性转化到同侧，不能直接比横坐标。 ⑥ 平移顺序与距离说不清：「先左右再上下」与「先上下再左右」结果完全一样，一句话说清「向哪边、移几个单位」即可，别把方向说反。 ⑦ 漏掉前提 ：本节讨论的一律是 （）；若 ，图象就退化成一条直线了，不成抛物线。 2. 错解辨析 （一）把「左加右减」用反了 题目：把抛物线 向右平移 3 个单位长度，得到哪条抛物线？ 错解：向右是「加」，所以得到 。 错在哪里：把「左加右减」理解成了「向右就用加号」。其实口诀说的是括号里与平移方向「相反」：向右移 3 个单位，括号里应是 。 正解：顶点由 向右移到 ，即 ，所以得到 。验证：取 ，得 ，正好是新的最低点。 （二）顶点坐标符号与「形状变没变」同时出错 题目：抛物线 的顶点坐标是多少？它的形状与 相同吗？ 错解：顶点是 ；而且图象向右平移过，开口比 变小了。 错在哪里：括号里是 ，即 ，所以 ，顶点横坐标是 −1 而不是 1；另外，平移只改变位置、不改变形状，开口大小由 决定，始终没变。 正解：顶点是 ，对称轴是直线 ；它由 向左平移 1 个单位、再向上平移 4 个单位得到，形状完全相同，开口都向下、一样宽。 八、方法总结 1. 本节知识结构 图 5　26.2.2 知识结构：由 出发，两次平移得到顶点式 ，以及 、、 各管什么 2. 一句话方法 记口诀：上加下减常数项，左加右减在括号 —— 前者管 ，后者管 。 读顶点式：括号里取相反数得 ，括号外的常数是 ；顶点 ，对称轴 。 平移三步走：① 定 （形状）→ ② 由 定左右 → ③ 由 定上下。 比大小：先看两个横坐标在对称轴的同侧还是异侧；同侧用增减性，异侧先算距离 再比；拿不准就代入算值。 九、课后巩固 （一）对接教材 P40~P41 练习（改编） 题 题目 答案 1 说出抛物线 的开口方向、对称轴和顶点坐标；它由 怎样平移得到？ 开口向上；对称轴直线 ；顶点 ；由 向左平移 3 个单位得到。 2 说出抛物线 的开口方向、对称轴、顶点坐标，并求它的最值。 开口向下；对称轴直线 ；顶点 ；当 时 y 有最大值 2。 3 把抛物线 先向右平移 2 个单位长度、再向上平移 1 个单位长度，求所得抛物线的解析式。 （顶点由 移到 ）。 4 抛物线 由 怎样平移得到？ 向左平移 2 个单位长度、再向下平移 4 个单位长度（顶点由 移到 ）。 5 判断点 、、 是否在抛物线 上。 点 在（）；点 在（）；点 不在（）。 （二）自编巩固（含答案，★ 不超纲） (6) 已知抛物线 的顶点是 ，且经过原点 ，求 的值。 　　答：顶点是 ，得 、，所以设 ；把 代入得 ，即 ，所以 。 (7) 已知二次函数 的图象开口向下，求 的取值范围。 　　答：开口向下要求 ，所以 。 (8) 已知二次函数 。① 说出它的对称轴和顶点；② 当 x 取何值时 y 有最大值，最大值是多少？③ 比较 与 的大小。 　　答：① 对称轴直线 ，顶点 。② 因为 、开口向下，所以 时 y 最大，最大值是 4。③ ，，所以 （也可看作： 距对称轴 2， 距对称轴 3，开口向下时离对称轴越远越小）。 十、技能自查 能否独立做到 自检 ① 说清 → → → 的平移路线 □ 能　□ 还不太熟 ② 用「上加下减、左加右减」说出平移的方向和距离 □ 能　□ 还不太熟 ③ 由顶点式直接读出开口方向、对称轴 、顶点 和最值 □ 能　□ 还不太熟 ④ 由顶点和图象上另一个点求出 的值，写出顶点式解析式 □ 能　□ 还不太熟 ⑤ 会由平移反推解析式，会判断平移方向 □ 能　□ 还不太熟 ⑥ 会用「离对称轴的远近」比较函数值大小，会判断点是否在抛物线上 □ 能　□ 还不太熟 十一、知识追问（想清楚再合上本子） ① 把 的图象向右平移 2 个单位，为什么得到的是 而不是 ？请用「顶点从 搬到 」来说明。 ② 把抛物线先左右平移、再上下平移，与先上下平移、再左右平移，得到的是同一条抛物线吗？为什么？ ③ 平移前后抛物线开口一样大吗？请从「 变没变」和「图象的形状变没变」两个角度说明。 ④ 顶点式 为什么叫「顶点式」？它比 多出的 、 各自决定了图象的什么？ ⑤ 已知 ，点 与 中，哪一个函数值更大？请说出两种判断办法。 十二、本节在章中的位置与中考对接 1. 本节在章中的位置 章内课节 研究内容 与本节的联系 26.1 二次函数的概念 认识二次函数、会判断、会列关系式 先有「式」，本节才研究「图」 26.2.1 二次函数 的图象和性质 描点法画图、抛物线、开口、对称轴、顶点、增减性、最值 本节的一切平移，都以它为「起点」 26.2.2 二次函数 的图象和性质（本节） 上下平移、左右平移、平移规律与顶点式 本章「图象与性质」的关键一跃 26.2.3 与 26.2 其余课时 继续研究更一般的二次函数的图象与性质 都要在本节「平移 + 顶点式」的基础上再推广 26.3 、26.4 二次函数与一元二次方程；实际问题与二次函数 都要以本节「顶点、对称轴、最值」为基础 2. 中考对接 本节是二次函数「图象变换」题的核心工具，中考里以 ★ ~ ★★ 的基础题为主，常考五类：① 说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与最值；② 判断怎样平移（说出方向和距离）；③ 由平移前后的图象写出解析式；④ 由顶点和一个点求解析式；⑤ 用「离对称轴的远近」比较函数值大小。这些题的共同点是把「式」和「形」连起来看，只要把平移规律和顶点式读熟，就能稳拿分。 3. 三个必背 ① 平移口诀：上加下减常数项（管 ），左加右减在括号（管 ）；平移只改变位置，不改变形状。 ② 顶点式三段： 的对称轴是直线 ，顶点是 ； 时顶点最低、有最小值 ， 时顶点最高、有最大值 。 ③ 远近视大小： 时离对称轴越远函数值越大， 时离对称轴越远函数值越小；分居两侧时先算 再比。 4. 一句话总结 二次函数 的图象，就是把 的抛物线「整体搬家」： 管左右、 管上下， 始终不变 —— 记住「上加下减、左加右减」，顶点跑到哪儿，对称轴和最值就跟到哪儿。 学科网（北京）股份有限公司 $