高三上学期数学一轮复习作业设计

高三上学期高考复习作业设计 一、基础信息 年级 高三年级 学期 教材版本 人教A版（2019）必修第二册 二、学情分析（作业难度预估） 知识模块 对应题号 已掌握情况 存在问题 复数 1、9 四则运算、模的计算基本掌握 复数几何意义、共轭与实部虚部辨析易错 平面向量 3、10、12、14 线性运算、共线判定较好 基底分解、系数和结论、与最值结合的综合题失分多 立体几何初步 4、5、8、11、13、15 点线面位置关系判定定理能初步运用 表面最短路径、外接球、截面与轨迹问题空间想象不足，需强化展开与建系 统计与概率 2、6、7、17 频率分布直方图读数、古典概型基础尚可 70%分位数需先排序；分层抽样的权重与分层方差公式掌握不牢 解三角形 16 正、余弦定理基本公式会套用 面积最大值与基本不等式结合的迁移能力弱 三、作业目标 1. 巩固复数的概念与四则运算、平面向量的线性运算与基底表示、空间点线面位置关系的判定与证明、抽样与统计量的计算、解三角形正余弦定理等必修二核心知识，会运用通性通法解题。 2. 通过圆锥侧面展开求最短路径、几何体外接球与截面轨迹、分层方差与赋分等级等问题，提升空间想象、数形结合与数据分析素养，发展数学运算与逻辑推理能力。 3. 通过新定义“平均向量与几何平均模长”等拓展问题，培养阅读理解、信息加工与创新迁移能力。 4. 借助分层作业与全批统计，帮助学生构建全册知识网络，查漏补缺，形成规范的书写与答题习惯，提升期末综合应考能力。 四、作业内容 题号 知识点 考察角度 难度 （基础/提高/拓展） 预计完成时间 来源 1 复数的概念与运算 由复数等式求复数并计算模 基础 3分钟 试卷原创题 2 百分位数 样本数据排序后求70%分位数 基础 4分钟 试卷原创题 3 平面向量基本定理与共线 用基底分解判断点的位置关系、共线充要条件与最值 提高 8分钟 试卷原创题 4 空间线面平行垂直关系 以反例与定理辨析命题真假 基础 5分钟 试卷原创题 5 圆锥侧面展开与最短路径 蚂蚁爬行一周转化为展开图两点间线段，求表面积 提高 8分钟 试卷原创题 6 分层随机抽样与方差 按抽样比分配人数，用分层方差公式求合并方差 提高 8分钟 试卷原创题 7 古典概型与事件独立性 先后掷骰构造事件，计算概率并判定独立性 提高 8分钟 试卷原创题 8 圆锥与外接球 侧面上点与底面投影条件确定球心，求外接球表面积最小值 拓展 10分钟 试卷原创题 9 复数的概念与复平面 复数运算结果与对应点位置、实部虚部判断（多选） 基础 5分钟 试卷原创题 10 正多边形与向量加法 利用几何中心与对称性化简向量和（多选） 提高 8分钟 试卷原创题 11 直四棱柱中的动点问题 线面平行条件求最值、轨迹长度与截面形状分类（多选） 拓展 10分钟 试卷原创题 12 向量坐标运算 由模长条件列方程求点的坐标 基础 5分钟 试卷原创题 13 棱台的结构与体积 由面面交线被截线段长反推棱台高，求体积 提高 8分钟 试卷原创题 14 三角形中的向量运算 由线段交点与比例关系求参数λ 提高 8分钟 试卷原创题 15 线面垂直证明与异面直线所成角 圆锥与圆中证明线面垂直，几何法或向量法求异面直线所成角的正弦值 基础 12分钟 试卷原创题 16 解三角形 正余弦定理解三角形；结合基本不等式求面积最大值 提高 15分钟 试卷原创题 17 统计综合与赋分制 频率分布直方图、等比例分层抽样、众数与平均分估计、按排名判定赋分等级 提高 15分钟 试卷原创题（新高考情境） 五、作业类型 类型 内容与组织建议 课堂作业 第1、2、4、9、12、15题（基础题组，约35分钟）：随堂限时完成，当堂讲评，重点规范证明书写步骤（如第15题“判定定理—性质定理”的推理链条）。 课后作业 第3、5、6、7、10、13、14、16、17题（提高题组，约80分钟）：当晚独立完成，次日批改讲评；圆锥展开、分层方差、赋分等级等薄弱点安排微课补充。 长周期作业 第8、11（拓展题组，一周内完成）：以4人学习小组为单位，先独立试做、再集体研讨，每组提交解题报告并在班级展示，教师点评最佳方案。 六、实施建议 环节 具体建议 作业布置 ①先复习后作业：布置前发知识清单（复数/向量/立几/统计/解三角形五张），要求学生回顾后再动笔；②审题提示：第2题分位数必须先排序，第6题分清“组内方差”与“合并方差”，第17题按排名区间对号入座，第19题按“读定义—套公式—验证”三步处理；③规范书写：立体几何证明“因为…所以…”步步有据，解答题分步得分；④分层选做：基础层必做基础题组，提高层加做提高题组，拓展层完成长周期任务。 启发引导 对完成困难的学生：圆锥表面最短路径提示“侧面展开成扇图，曲面上最短路径化为平面上线段”；外接球问题提示“先找球心到各顶点距离相等”；分层方差提示“总方差=组内方差加权平均+组均值差的加权平方”；二面角与轨迹问题优先建系用向量法降低空间想象门槛。 批改方面 ①全批全改与重点面批结合，基础题组全批，拓展题组面批典型样本；②逐题统计正确率，建立错题归因表；③对第8、11题等难题实施“二次批改”与错题回炉，一周内安排变式重做；④结合统计结果动态调整讲评重点与后续复习计划。 七、作业具体内容 高三上学期高考复习数学试卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （原创）1.若复数满足= 1 + 2(其中是虚数单位) ，则= A. B. C. D. （原创）2.某班级10名学生的数学测验成绩（单位：分）为：72, 78, 80, 90, 75, 82, 95, 85, 88, 92，则这组数据的70%分位数是（ ） A. 85 B. 86.5 C. 88 D. 89 （原创）3.已知，为两个不共线的向量，设，下列说法错误的是 A.若在线段上，则：=：. B.若三点共线，则点在线段或的延长线上的充要条件是. C.若点位于△的内部，则. D.若三点共线，则的最小值为. （原创）4.已知为空间中两条不同的直线，为两个不重合的平面，则下列说法正确的是 A.若，，，则 B.若，，则 C.若，，，则 D.若，，，则 （原创）5.如图，一只每秒钟爬行1cm的蚂蚁在母线长为2cm的圆锥表面从底面圆上一点开始爬行，沿最短路径在圆锥的侧面爬行一周后回到点，总用时2秒，则此圆锥的表面积为 A.c B.c C.c D.c （原创）6.从学校初中组40人、高中组20人中，按照分层随机抽样的方法从两组共抽取6人参加“绿色校园”环保知识竞赛。已知初中组抽取成员答对题目数的平均数为2，方差为1；高中组抽取成员答对题目数的平均数为5，方差为1，则这6人答对题目数的方差为 A.3.0 B.2.5 C.3.5 D.4.0 （原创）7.甲、乙两人先后投掷一枚骰子（六个面分别标有16六个数字，抛掷后，以向上一面的点数为准），记甲所得点数为，记事件：“9”，事件：“”，则下列说法错误的是 A. B. C. D.事件与事件相互独立 （原创）8.如图所示，圆锥的底面圆半径为，母线长为，为圆的直径.已知点为圆锥侧面上一点，点在圆锥的底面的投影点为，且2，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为 A. B. C. D. 2、 选择题：.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. （原创）9.已知复数，，则 A.复数在复平面上对应的点位于正半轴上 B复数的虚部为. C.复数的实部为. D.1. （原创）10.正多边形是数学中十分优美的平面几何图形，如图123所示的是正六边形、正八边形、正十边形三个边数为偶数的正多边形.已知（1，2，3，4，5，6），几何中心为点，下列说法正确的是 图1 图2 图3 A.++2. B.+++++. C.++++. D.4. （原创）11.已知直四棱柱的棱长均为2，=，点为侧面上的动 点（包含边界），下列说法正确的是 A.若平面，则的最小值为2. B.若 =，则点的轨迹长度为. C.已知点不在线段上，直四棱柱被所截，截面图形有三 角形、平行四边形和梯形三种. D.已知点不在线段上，直四棱柱被所截，当截面图形的 三、填空题： （原创）12.在平面直角坐标系中，已知，为坐标原点，为平面上一点，满足 2 3，则点的坐标为 . （原创）13.已知正四棱台的侧棱长为1，上下底面的面积之比为1：4，若平面与平面的交线被正四棱台所截得的线段长为，则该四棱台的体积为 . （原创）14.在△中，已知 ，分别为线段上的点，且于点，交于点. 若，则 = . 四、解答题：本题共5小题，.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （原创）15. 如图，圆锥的底面圆半径为2，高为4，为圆的直径，为的中点，为圆的点， ，且. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值. （原创）16. 已知△中，角所对应的边分别为，，，且. （1）若，求； （2）若，求△的面积的最大值. （原创）17. 已知某中学高一年级进行了一次化学周测，为了解本次周测的情况，在整个年级中随机抽取了400名学生的化学周测成绩，将成绩分为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，共5组，得到如图所示的频率分布直方图，回答下列问题 （1）在样本中，采用等比例分层抽样的方法从成绩在[60,100)内的学生中抽取11名，则成绩在[80,100]的同学有几个？ （2）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； （3）新高考制度下，化学学科成绩采用赋分制，机制如下： 根据原始得分在全体考生中的排名，按下表划定等级 等级 （0%—16%） （17%—50%） （51%—85%） （86%—98%） （99%—100%） 赋分 86—100 71—85 56—70 41—55 30—40 （注：（0%—16%）表示当学生的原始得分排名在前0%—16%时，划为等级，赋分区间为[86,100]） 根据上表信息，试通过计算估计：原始得分在的学生的赋分等级是中的哪一个等级。 八、作业解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （原创）1. 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求复数的模，复数的乘法运算 【分析】先把分母乘到等式右边，求出，再由模长的定义计算 【详解】因为= 1 + 2，由此可得= (1 + 2) () + 2 = 5 + ，所以= 故选B. （原创）2. 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】先将这组数据按从小到大的顺序排列，再计算70%分位数 【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列得72, 75, 78, 80, 82, 85, 88, 90, 92, 95 由题知该组数据有10个，10 70% = 7，第7个和第8个数分别为88、90，则它们的平均数为89，所以这组数据的70%分位数是89，故答案为D. （原创）3. 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】向量共线定理、基本不等式 【分析】充分利用已知结论向量共线定理来逐一推断各选项 【详解】 对于选项A，若在线段上，根据，且均大于0可得，：=：，故A正确 对于选项B，若三点共线，则有， 则 又因为，所以， 同理 又因为，所以 所以若，则要么，要么。若在的延长线上；若，则在的延长线上。故能推出在线段或的延长线上，充分性得证 同理若在线段或的延长线上，则一定有或，即，必要性得证 所以点在线段或的延长线上的充要条件是，B正确 对于选项C，若点位于△的内部，则可以连接并延长并与交于点， 设，因为三点共线，所以设，所以 ，又，所以 所以，故C正确 对于选项D，由向量共线定理可知，，则 3 + 2，但此不等式仅在都为正数时成立，但由B选项得出的结论知，可能小于0，则一定不是其最小值，故D错误. 故答案为D. （原创）4. 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】面面关系有关命题的判断、判断面面平行 【分析】根据空间中线面之间的位置关系，判断面面平行，逐个选项判断是否正确 【详解】 A.如图，若相交，且都平行于交线时，满足，但不平行于 B.可能也在上，故B错误 C.因为，，所以，又因为，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则，故C正确 D.如图，若相交，且都平行于交线时，满足，但不平行于 （原创）5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】圆锥的侧面展开图、圆锥表面积的计算 【分析】画出圆锥的侧面展开图，分析出最短路径，求出底面圆的半径，进而计算表面积 【详解】如图所示，将圆锥的侧面沿母线展开，得到一个扇形，则蚂蚁爬行的最短路径为线段的长度，由题目条件易得cm，扇形的半径为母线长2cm，因此圆锥侧面展开图扇形的圆心角为120度，所以该扇形的弧长为cm，即底面圆的周长为cm，求得底面圆半径为cm，所以此圆锥的表面积为侧面积加上底面积，侧面积为c，底面积为c，表面积为c，故选B. （原创）6. 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】估计总体的方差、标准差 【分析】先求得整体平均数，然后根据总方差的计算公式求得正确答案 【详解】采用分层抽样，则初中组和高中组抽取的人数分别为4和2， 则整体平均数为 故这6人答对题目数的方差为 3.0 故答案为A. （原创）7. 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型的概率计算方法，通过枚举法找出所有的样本点计算概率 【详解】先计算事件发生的概率，甲、乙两人先后投掷一枚骰子，那么一共有6 种可能的结果，符合事件的样本点为： 、， 所以 ，故A正确 事件：“”包含的样本点为： ， 所以 ，故B正确 ，故C正确 ，所以事件与事件不相互独立，故D错误 故答案为D. （原创）8. 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】找到三棱柱的外接球球心位置，分析半径的最小值即可 【详解】 图1 如图1，连接并延长，与底面圆交于点，连接，则过点，因为2，且，则 ，因此可知点为的中点，则 设 ，则由正弦定理，△的外接圆半径满足2 设△的外接圆圆心为，则 ，过点作平面的垂线 取的中点为，过点作的垂线，垂足为，即为三棱锥的外接球球心 设外接球半径为，则 因此，当三棱锥的外接球的表面积取得最小值时，取得最大值，取得最大值，为钝角，则取最小的钝角， 如图2，下面来看何时取最小 1 1 图2 在△中，为△的中线，则 且由余弦定理可得 所以 因此 ，所以 则 这表明恒为钝角，且当取得最大值时，最大，最小， 取得最大，进而外接球半径最小，由基本不等式可知， 当且仅当时等号成立，此时，△恰好为等腰三角形， ，则三棱锥的外接球的表面积为 ，故答案为A. 3、 选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. （原创）9. 【答案】AD 【难度】0.94 【知识点】复数的四则运算，复数与复平面上对应的点的对应关系，复数的模的计算 【分析】利用复数乘法和除法的运算规则和模长的定义，逐一判断各选项 【详解】 () () ，虚部为，在复平面上对应的点位于正半轴上， 故B错误，A正确 ，所以的实部为，故C错误 1，故D正确 故答案为AD. （原创）10. 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】平面向量的加法运算、数量积运算，向量的平行、和角正余弦和二倍角公式 【分析】利用正多边形的几何性质和向量数量积的定义进行计算，逐一验证后可得正确选项。 【详解】 A. ， 所以++4，故A错误 B.由正六边形的对称性知，结论显然成立，B正确 C.由正十边形的对称性知++、+、+的终点都落在直线上，故这些向量都平行，C正确 D. 如图，设为与的交点，由正八边形的性质知， 因为 1 1 所以 ， 所以 () () 再由余弦定理，， 4 + 4 8 8 ， 因此 ()，故D正确 故答案为BCD. （原创）11. 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状，线面平行的性质定理、立体几何动点轨迹问题 【分析】找到满足条件的动点轨迹即可 【详解】A.作出平面的平行平面，平面与侧面的交线为，则 点的轨迹为线段，当时，有最小值，故错误 B.若 = ，点一定在以点为球心，为半径的球面，又因为在侧面上的，记为的中点，易知侧面，即到侧面的距离为，由勾股定理可求得 =，则以为为半径的，如图1，作出侧面，则点的轨迹长度为，故正确 C. 如图2，直四棱柱被所截，截面图形有三 角形、平行四边形和梯形三种，故正确 D.以正方形的对角线为分界线，若点在对角线及其上方区域，所得截面为三角形，我们将延长与棱相交于点，则截面三角形为，点由移动到的过程中，△的面积逐渐增大（范围是，显然不可能满足题意），若点在对角线下方区域，所得截面为梯形或平行四边形，我们将延长与棱相交于点，并过点，则截面四边形为，设，则，，，，四边形面积的函数解析式为 ，令 ，解得，则点的轨迹是当作为的中点时对应的线段，当时，有最小值为，故正确 图1 图2 三、填空题： （原创）12. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示，向量的加法与减法 【分析】先求的坐标，再求的坐标，即为点的坐标 【详解】2 3， （原创）13.已知正四棱台的侧棱长为1，上下底面的面积之比为1：4，若平面与平面的交线被正四棱台所截得的线段长为，则该四棱台的体积为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】棱台体积的有关计算，平面的交线问题 【分析】先找到交线，再利用等腰梯形的几何关系求出四棱台上下底面的边长，再求出高，进而利用棱台的体积公式求体积 【详解】如图所示，作出正四棱台 设为平面与平面的交线，则由题目条件， ，因为四棱台上下底面的面积之比为1：4，所以上下底面的边长之比为1：2，设上底面的边长为，则下底面的边长为2，而由，，则有 ，解得， 且可以求得四棱台的高为 故四棱台的体积为() = （原创）14 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解三角形、二倍角、和角的正切公式、三角形面积的计算、角平分线的性质 【分析】本题利用了角平分线的性质，将面积之比转化为线段长之比，简化了计算，要充分挖掘本题中的几何关系，即可求解 【详解】如图所示，设，则易得， 所以 ，由 ，可得 ，所以 ， 因为 ， 所以 即 ，而 2 所以 2 ， ，所以 所以 所以 因为 所以 () 1，解得 ，则 ， 所以， 则 所以 = 四、解答题： （原创）15. 【答案】（1）证明见解析（2） 【难度】0.85 【知识点】证明线面平行、异面直线所成角的正弦值的计算 【分析】第一问找出平面中与平行的直线，即可证明；第二问将两条异面直线平移，使其具有一个公共点，然后运用正弦定理在三角形中求所成角的正弦值 【详解】 （1）设为的中点，连接， 因为为的中点，所以，且 · 又因为 ，且· 所以 ， 所以四边形是平行四边形，所以·· 又因为平面，所以平面 （2） 因为圆锥的高为，则 ， ，· 所以 所以在△中，由正弦定理得· 所以 · 故异面直线与所成角的正弦值为.· （原创）16. 【答案】（1）（2） 【难度】0.65 【知识点】运用正余弦定理解三角形，三角形的面积最值问题 【分析】运用正余弦定理解三角形、三角形的内切圆半径与面积的转化关系即可求解 【详解】 （1） 在△中，由正弦定理得 （2） ∵ ∴ 2 ( ∴ ·· 等式两边同时平方得 ，又有1 ∴3 解得 ，则= （2）∵ ∴( ( ∴ ++· ∴ 设，则 · 在△中，由余弦定理得 · 则 ∴ 所以△的面积的最大值为 （原创）17.（15分） 已知某中学高一年级进行了一次化学周测，为了解本次周测的情况，在整个年级中随机抽取了400名学生的化学周测成绩，将成绩分为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，共5组，得到如图所示的频率分布直方图，回答下列问题 （1）在样本中，采用等比例分层抽样的方法从成绩在[60,100)内的学生中抽取11名，则成绩在[80,100]的同学有几个？ （2）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； （3）新高考制度下，化学学科成绩采用赋分制，机制如下： 根据原始得分在全体考生中的排名，按下表划定等级 等级 （0%—16%） （17%—50%） （51%—85%） （86%—98%） （99%—100%） 赋分 86—100 71—85 56—70 41—55 30—40 （注：（0%—16%）表示当学生的原始得分排名在前0%—16%时，划为等级，赋分区间为[86,100]） 根据上表信息，试通过计算估计：原始得分在的学生的赋分等级是中的哪一个等级 【答案】（1）2（2）众数为70，平均数为 （3）见解析 【难度】0.85 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计 【分析】 （1）根据频率分布直方图的性质，求出参数，根据分层抽样的规则，计算抽取人数 （2）根据频率分布直方图估计平均分和众数的方法，计算总体的平均数和众数 （3）求出所给分数区间对应的百分位数范围即可判断对应等级 【详解】（1）由性质知，(20.004+0.010+0.014+)，故 0.018 采取分层抽样，[80,100]的同学个数为：11 2 （2）由频率分布直方图可知，众数为：70·· 平均数为：100.004300.010 （3） 原始得分在[80,100]的频率为0.004··· 原始得分在[75,80]的频率为0.36· 原始得分在[60,75]的频率为 · 原始得分在[56,60]的频率为0.28 因此原始得分在[56,75]的频率为， 当原始得分为75时，对应的排名为第前17%名； 当原始得分为65时，对应的排名为第前49.6%名，这符合等级的条件，故原始得分在的学生的赋分等级是等级. 学科网（北京）股份有限公司 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