精品解析：陕西咸阳市实验中学2026-2027学年高一上学期第一次质量检测数学试卷

咸阳市实验中学2026—2027学年度第一学期第一次质量检测 高一数学 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 因为，所以. 2. 已知命题，．则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得命题，的否定为，，故C正确. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义分析选项即可. 【详解】由可知，不满足充分性， 由可知，满足必要性， 即“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将原不等式转化为两个不等式组,求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集. 【详解】原式等价于,解得,即. 5. 已知，则的最大值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将原式变形，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，所以， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 6. 已知集合，若，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①，②，结合集合中元素的互异性以及集合相等的定义可求出结果. 【详解】由可知，， 因为，所以或， ①当时，得或（舍），则，解得或（舍）， 此时，符合题意， 此时； ②当时，得或（舍），则，解得或（舍）， 此时，符合题意， 此时. 综上所述：. 故选：C 7. 命题，是假命题．则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，是真命题，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】因为，是假命题， 所以，是真命题， 当时，不等式恒成立，满足题意； 当时，需使，解得. 综上，实数的取值范围是. 8. 已知，，且．判断下面3个命题： （1） （2） （3） 其中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式验证命题（1）与命题（2）的正确性，利用作差法举反例得到命题（3）错误，最终判断命题的正确个数即可. 【详解】对于（1），因为， 由基本不等式， 所以，所以. 当且仅当,即时取等号.故（1）正确. 对于（2），由， 当时，不满足题意. 当时，， 当且仅当时取等号. 故（2）错误. 对于（3），由（2）可知， 取，则， 与矛盾，故（3）错误. 综上所述，命题正确的个数有1个. 二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【详解】A选项：若，取，则，但，故A错误； B选项：由同向不等式可加性，若，则，故B正确； C选项：若，则，两边同除以得，故C正确； D选项：， 因为，所以，， 所以，即，故D错误. 10. 设集合，或，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合中子集，元素与集合的关系的定义，列出不等式，进而求解. 【详解】对于选项A，当时，则，所以，选项A正确； 对于选项B，当，即，解得，选项B错误； 对于选项C，若，则，解得，选项C正确； 对于选项D，若，则或，解得，选项D错误. 11. 设集合是实数集的非空子集，若对任意，，都有且，则称为归一集，下列命题为真命题的是（ ） A. 存在有限集是归一集 B. 集合是归一集 C. 任意两个不同归一集的并集一定等于 D. 存在两个归一集，，使得不为空集 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知中关于“归一集”的定义，利用题目四个结论中所给的运算法则，对所给的集合进行判断，特别是对特殊元素进行判断，即可得出答案. 【详解】对于A：取有限集,,,满足归一集的定义； 对于B：取,所以,,,所以,满足定义； 对于C：取,显然,不等于全体实数； 对于D：取，，满足条件. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 集合，用列举法表示________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以当时，， 当时，，当时，，因此. 13. 某社团开展球类活动，一共名同学喜欢篮球或羽毛球，其中人喜欢篮球，人喜欢羽毛球，则既喜欢篮球又喜欢羽毛球的人数为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用韦恩图法求解. 【详解】设既喜欢篮球又喜欢羽毛球的人数为，用集合表示喜欢篮球的同学构成的集合， 用集合表示喜欢羽毛球的同学构成的集合，如下图所示： 由题意可得，解得， 所以既喜欢篮球又喜欢羽毛球的人数为. 14. 若不等式的解集为，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用不等式的解集为得到，且，再代入，化简后求解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且，即. 对比原不等式可得. 所以可化简为， 因为，可得，解得， 所以不等式的解集为. 四．解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）比较与的大小． （2）已知，，求，的取值范围． 【答案】（1）（2）； 【解析】 【详解】（1）由题意得 ， ，，， 故. （2）因为；，所以； 因为， ，，得到． 16. 已知，；，． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若，中有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过分离参数，将全称命题转化为求在给定闭区间上的最小值问题，从而解出实数的取值范围； （2）先利用二次方程判别式求出特称命题为真的条件，再分“真假”与“假真”两种情况分别求解不等式组并取并集即可. 【小问1详解】 若p为真，在恒成立，即， 时，，故； 【小问2详解】 若q为真，方程有实根，，解得或， 由p、q一真一假： ①p真q假：，解得； ②p假q真：，解得； 综上： 17. “守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位：万元）． （1）要使不超过11.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值． 【答案】（1） （2）设备占地面积为25平方米时，的值最小，最小值为11万元. 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式即可； （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 令，即， 整理得，即， 解得， 所以设备占地面积的取值范围为； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以设备占地面积为25平方米时，的值最小，最小值为11万元. 18. 已知函数． （1）当时，解不等式； （2）若对于一切实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 【答案】（1） （2） （3）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）当时，将分解为，由开口向上得的解集为 ； （2）先排除，二次不等式对一切实数恒成立需开口向下且判别式 ，解得 ； （3）含参二次不等式按、、 分类讨论，比较两根与的大小后写出对应解集，注意时代入求解. 【小问1详解】 当时，由，可得，即，解得． 所以当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 恒成立， 当时，恒成立，需满足： ，解得：； 当时，不等式为，得，不符合题意． 综上的取值范围为． 【小问3详解】 由，得． 若，不等式即为，解得； 若，不等式可化为， 此时方程的两根分别为，， 当时，即，不等式即为，即，解得； 当或时，， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 19. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点. （2）若二次函数有两个不相等的不动点，且 求的最小值； （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 和 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义列方程，解二次方程即可； （2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可； （3）根据不动点定义得，结合判别式可得恒成立，结合恒成立问题运算求解即可． 【小问1详解】 令，整理可得，解得或， 所以二次函数的不动点为和. 【小问2详解】 令，可得， 可知是方程的两个不相等的正实数根， 则，解得， 可得， 因为，则，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4. 【小问3详解】 令，整理可得， 由题意可知：方程有解， 则，可得， 因为是任意实数，则， 整理可得，解得， 且，可得，所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳市实验中学2026—2027学年度第一学期第一次质量检测 高一数学 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，．则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最大值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 6. 已知集合，若，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 无法确定 7. 命题，是假命题．则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，且．判断下面3个命题： （1） （2） （3） 其中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 设集合，或，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 设集合是实数集的非空子集，若对任意，，都有且，则称为归一集，下列命题为真命题的是（ ） A. 存在有限集是归一集 B. 集合是归一集 C. 任意两个不同归一集的并集一定等于 D. 存在两个归一集，，使得不为空集 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 集合，用列举法表示________． 13. 某社团开展球类活动，一共名同学喜欢篮球或羽毛球，其中人喜欢篮球，人喜欢羽毛球，则既喜欢篮球又喜欢羽毛球的人数为________． 14. 若不等式的解集为，则不等式的解集为________． 四．解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）比较与的大小． （2）已知，，求，的取值范围． 16. 已知，；，． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若，中有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 17. “守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位：万元）． （1）要使不超过11.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值． 18. 已知函数． （1）当时，解不等式； （2）若对于一切实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 19. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点. （2）若二次函数有两个不相等的不动点，且 求的最小值； （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $