1.2一元二次方程的解法专题训练 2026—2027学年苏科版数学九年级上册

一元二次方程的解法专题苏科版九上数学2026—2027学年 解一元二次方程——直接开平方法 1．方程的解是_____________． 2．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 3．解方程： (1) (2) 4．用直接开平方法解方程，下列结果正确的是（     ） A． B． C．或 D．或 解一元二次方程——配方法 5．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．用配方法解一元二次方程时，可化为的形式，则的值是（     ） A．7 B．13 C．10 D．3 7．用配方法解方程，配方后得到（     ） A． B． C． D． 8．若将一元二次方程化成的形式，则的值为（     ） A． B． C．2 D．1 配方法的应用  9．对于任意一个实数，具有非负性，即“”这个结论在数学中非常有用．很多情况下我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用“”来解决问题． 例如： (1)填空：_____； (2)填空：的最小值为_____； (3)请用作差法比较与的大小，并写出解答过程． 10．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是___________． 11．求出当x取何值时，代数式的值最小？最小值是多少？ 根据判别式判断一元二次方程根的情况   12．已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求的取值范围． 13．一元二次方程的根的情况为（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 14．关于的方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 15．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，原方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根为矩形的两条邻边的长，当为何值时，矩形为正方形？求出正方形边长． 一元二次方程的根与系数的关系  根据判别式判断一元二次方程根的情况 16．关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根为，，且满足，求的值． 17．已知关于的方程 (1)求证：无论取任何实数，方程恒有实数根； (2)若方程有两个解时，求的值． 根据一元二次方程根的情况求参数  由一元二次方程的定义求参数 18．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 19．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 20．关于的一元二次方程有实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C．且 D．且 21．等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则为_______． 公式法解一元二次方程 22．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 24．若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（     ） A． B． C． D． 因式分解法解一元二次方程 25．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 26．解下列方程： (1)； (2)． 解一元二次方程 27．解方程 (1) (2) (3) (4) 28．用适当的方法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 换元法解一元二次方程 29．已知实数x，y满足，则__________． 30．若，则的值是（     ） A．或 B． C．或 D． 一元二次方程的根与系数的关系 31．已知一元二次方程的两个根为，． (1)求、的值． (2)求的值． 32．已知、是关于的方程的两个根，求下列各式的值． (1) (2) 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《一元二次方程的解法专题苏科版九上数学2026—2027学年》参考答案 题号 4 6 7 8 13 14 20 23 24 30 答案 C B A A A A C D D D 1． 【详解】解：， 或 ． 2．(1)， (2)， 【分析】（1）通过移项、系数化为，将方程整理成的形式，直接开平方求出方程的两个根； （2）将等式左边写成完全平方形式，然后直接开平方求出方程的两个根． 【详解】（1）解：已知， 则， 解得，． （2）解：已知， 则， 可得， 解得，． 3．(1)， (2) 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 4．C 【详解】解：由， 得或， 所以或． 5．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1） 解： 即 开方得 解得； （2）解： 配方得 即 开方得 解得 ； （3）解： 配方得 即 开方得 解得； （4）解： 配方得 即 开方得 解得 ． 6．B 【分析】将、均化为一般式，根据一次项系数、常数项相等列等式，即可作答． 【详解】解：化为一般式是：， 化为一般式是：， 根据题意：，， 解得：，， ∴． 7．A 【分析】先将常数项移到等号的右侧，把含未知数的项留在等号左侧，若二次项系数为，在等式两侧同时加上一次项系数一半的平方，将左侧改写为完全平方式． 【详解】解：将常数项移到等号右边，得， 一次项系数为，其一半为，平方后为，等式两侧同时加上，左边变为完全平方式：，化简得． 8．A 【分析】利用配方法可得，进而求得m、n值，然后代入中求解即可． 【详解】解：由得 ∴，则， ∴，， ∴． 9．(1)， (2) (3)解： ， ， ， ． 【分析】（1）由，再配方即可； （2）由，再利用非负数的性质可得答案； （3）由，再利用非负数的性质可得答案． 【详解】（1）解： . （2）解： ， ∴的最小值为2． （3）略 10．1 【分析】利用公式法解方程得到或，根据“邻根方程”的定义得到，则可推出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵关于的方程是“邻根方程”， ∴关于的方程有两个实数根， 解方程得或， 由“邻根方程”的定义可得， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴t的最大值为． 11． 当时，代数式的值最小，最小值是． 【分析】通过配方法将代数式变形为完全平方式与常数的和，利用完全平方式的非负性求最值． 【详解】解： 对代数式进行配方，得 ∵ ∴ ∴ 当，即时，代数式取得最小值． 12．(1)证明：∵， ∴方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）先求解方程的两根，结合一根大于2的条件列不等式求a的范围． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 解得：， ∵方程有一个根大于2， ∴， 解得：． 13．A 【分析】先求一元二次方程的判别式，由判别式与0的大小关系来判断方程根的情况即可． 【详解】解：一元二次方程中，，， ∴， ∴方程没有实数根． 14．A 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根. 15．(1)证明：， ∴无论取何值，原方程总有两个实数根； (2)当时，矩形为正方形，这个正方形的边长为 【详解】（1）略 （2）解：若矩形为正方形，则矩形的两条邻边相等， ∵方程的两个根为矩形的两条邻边的长， ∴当方程有两等根时，矩形为正方形，此时， 解得． ∴方程化为，即， 解得，即正方形边长为， ∴当时，矩形为正方形，这个正方形的边长为． 16．(1)证明：∵， ∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）先表示出根的判别式，再判断其正负即可证明结论； （2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，代入求出k的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵已知关于的一元二次方程的两根为，， ∴由根与系数的关系可知：，， ∵， ∴，解得． 17．(1)证明：当时，原方程为， 解得，有实数根； 当时，原方程为一元二次方程，， ， 无论为任何实数，方程总有实数根； (2) 【分析】（1）分，时分别验证，当时，求出，即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，代入进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程有两个解 ∴，， ∵ ∴ ∴ 18． 且 【分析】一元二次方程要求二次项系数 ，两个不相等的实数根等价于 ，联立求交集，即可求解． 【详解】解：∵ 方程 是关于 的一元二次方程， ∴ ． 又∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即 ，化简得 ， ∴ ． ∴ 的取值范围是 且 ． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列不等式并解不等式即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系得到，，代入得到方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴， 解得； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为 ∴，， ∵． ∴， 解得 20．C 【分析】根据一元二次方程定义，二次项系数，一元二次方程有实数根即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 整理得， ， ∴且． 21．或 【分析】当底边长为4时，则腰长为方程的两个根，利用判别式得到m的值,再求出方程的解，然后运用三角形的三边关系加以判断即可；当腰长为4，则将代入方程求解，然后根据三角形三边的关系加以判断即可． 【详解】解：∵方程， ∴方程， 当底边长为4时，则腰长为方程的两个根， ∴，解得； 方程可化为，解得， ∵， ∴4、3、3符合三角形三边的关系． 当腰长为4，则为方程的一个根， ∴，解得， 方程可化为，解得， ∵， ∴2、4、4符合三角形三边的关系． 综上，m的值为或． 22．(1)， (2) (3)， (4)， 【详解】（1）解： ，，， ∴， ∴， 解得，； （2）解： ，，， ∴， ∴， 解得； （3）解： ，， ∴， ∴， 解得，； （4）解： ，， ∴， ∴， 解得，． 23．D 【分析】利用求根公式即可解答． 【详解】解：， ，，， ， 即“”处应填． 24．D 【分析】对比一元二次方程求根公式的结构，对应确定方程的各项系数． 【详解】解：∵ 一元二次方程的求根公式为，题中方程的根为， ∴ 对比分母得，即， ∴ 对比分子不含根号的项得，即， ∴ 对比根号内的表达式得，代入得， ∴ 该一元二次方程为. 25．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： 或 解得 ； （2）解： 或 解得 ； （3）解： 或 解得 ； （4）解： 或 解得 ． 26．(1)， (2)， 【分析】（1）利用提公因式法解出方程即可． （2）利用因式分解解出方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得， 提公因式得， ， 或， ，． （2）解：， 因式分解得， 或， ，． 27．(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ，， ∴ 解得，； （3）解： 解得，； （4）解： 或 解得，． 28．(1)， (2)， (3)原方程无实数根 (4)， 【分析】（1）提取公因式因式分解，令每个因式等于0求解； （2）用配方法，配方后开平方求根； （3）利用判别式判断根的情况，小于0，无实数根； （4）移项后直接开平方，得到两个一元一次方程求解． 【详解】（1）解：， ， 或， 、； （2）解：， ， ， ， ， 、； （3）解：在中、、， 判别式：， ∵， ∴该方程无实数根； （4）解：， ， ， 、． 29． 【分析】利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】解：令，则， ∴， ∴， ∴或， 即或（舍去）． 30．D 【分析】将视为整体换元，转化为一元二次方程求解，结合的非负性筛选结果． 【详解】解：设，则， 原方程化为， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ ， ∴ ，即． 31．(1)，． (2)3 【分析】（1）根据，求解即可． （2）先化简分式，然后代入（1）中的计算结果求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，． ∴，． （2）解：． 32．(1) (2) 【分析】（1）先根据根与系数的关系得到，然后将变形为，即可代入求值； （2）先根据根与系数的关系得到，然后将变形为，即可代入求值． 【详解】（1）解：∵、是关于的方程的两个根， ∴ ∴ （2）解：∵、是关于的方程的两个根， ∴ ∴ 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $