专题08 配方法的应用专项训练（10大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题08 配方法的应用 题型01 利用配方法求值 题型02 利用配方法比较大小 题型03 利用配方法求最值 题型04 利用配方法进行因式分解 题型05 利用配方法进行证明 题型06 配方法与几何图形的面积 题型07 配方法与三角形 题型08 配方法与二次根式 题型09 配方法与分式 题型10 利用配方法求取值范围 ▌题型01 利用配方法求值 【典例1】若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求的值． 解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∴m+n＝0，n﹣3＝0，∴n＝3，m＝﹣3， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）若x2+4x+4+y2﹣8y+16＝0，求的值； （2）试说明：不论x，y取何值，多项式x2+y2﹣2x+2y+3的值总是正数． （3）已知a，b，c是不等边△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC的最长边长，求c的取值范围． 【变式1-1】阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣10m+25＝0，求m，n的值． ∵2m2﹣2mn+2n2﹣10m+25＝0， ∴（m2﹣2m+n2）+（n2﹣10m+25）＝0． ∴（m﹣n）2+（n﹣5）2＝0． ∵（m﹣n）2≥0，（n﹣5）2≥0， ∴m﹣n＝0，n﹣5＝0． ∴n＝5，m＝5． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知：x2+2xy+2y2+4y+4＝0，求x﹣y的值； （2）已知：△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足：a2+b2﹣8a﹣12b+52＝0，求△ABC的周长的最大值； （3）已知：△ABC的三边长是a，b，c，且满足：a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断△ABC是什么形状的三角形并说明理由． 【变式1-2】阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2 例如： 一个二次三项式有不同的配方形式：，三种不同形式的配方（即余项分别是常数项、一次项、二次项——见横线上的部分），请根据阅读材料解决下列问题： （1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+9三种不同形式的配方： x2﹣4x+9＝　 　 ＝　 　 ＝　 　 ； （2）将a2﹣ab+b2配方（至少两种形式）：a2﹣ab+b2＝　 　 ＝　 　 ； （3）我们由x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3和完全平方的非负性知道：代数式x2﹣2x+4的最小值为3，同时由知道：代数式﹣2x2+4x﹣1的最大值为2； 解决问题：某农场要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上建一个长方形鸡笼，鸡笼一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x米，请问：当x取何值时，鸡笼的面积最大？最大面积是多少？ （4）拓展延伸：已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，求（a+c）﹣b的值． 【变式1-3】阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加为问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本P＝2a2﹣8a+10，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：P＝2（a2﹣4a）+10＝2（a2﹣4a+4﹣4）+10＝2[（a﹣2）2﹣4]+10＝2（a﹣2）2+2． ∵（a﹣2）2≥0∴当a＝2时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）求最小值：a2﹣4a+3的最小值　 　 ； （2）已知x2+2y2+6x﹣8y+17＝0，求xy的值　 　 ； （3）若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，三角形面积为S，用配方法求S的最大值． ▌题型02 利用配方法比较大小 【典例1】已知a是任何实数，若M＝（2a﹣3）（3a﹣1），N＝2a（a）﹣1，则M、N的大小关系是（　　） A．M≥N B．M＞N C．M＜N D．M，N的大小由a的取值范围 【变式1-1】已知M＝a2+3b2，N＝2b2+2ab，则M，N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M＜N C．M≥N D．M≤N 【变式1-2】定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式． 例如，若n2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝（m﹣n）2+（n﹣4）2， 则多项式m2﹣2mn+2n2﹣8n+16就是双平方多项式． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）判断：多项式x2﹣2xy+2y2是不是双平方多项式，如果是，请说明理由． （2）若多项式x2+y2﹣2x+6y+k是双平方多项式，求整数k的值． （3）已知P＝2x2+4y+13，Q＝x2﹣y2+6x﹣1，比较P，Q的大小． 【变式1-3】请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值． x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4， ∵（x+3）2≥0， ∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）求m2+4m+3的最小值； （2）比较3a2+10与2a2+6a的大小． ▌题型03 利用配方法求最值 【典例1】配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它．下面我们就求函数的极值，介绍一下配方法． 例：已知代数式，当　 　时，它有最小值，是　 　． 解： 因为，所以． 所以当时，它有最小值，是． 参考例题，试求： (1)填空：当　 　时，代数式有最小值，是　 　． (2)已知代数式，当为何值时，它有最小值，是多少？ 【变式1-1】已知a，b满足﹣a2+3a﹣b+1＝0，则2a+b有（　　） A．最小值 B．最小值7 C．最大值 D．最大值7 【变式1-2】小李同学在解决问题“已知x﹣y＝4，求xy的最小值”时，给出框图中的思路： ∵x﹣y＝4， ∴x＝y+4， 则xy＝（y+4）y＝y2+4y＝（y+2）2﹣4， ∵（y+2）2≥0， ∴（y+2）2﹣4≥﹣4， ∴xy的最小值为﹣4． 结合以上小李同学的思路探究：若x+3y＝6，则下列关于式子6﹣xy的说法正确的是（　　） A．有最小值3 B．有最大值3 C．有最小值﹣6 D．有最大值6 【变式1-3】阅读与思考 下面是小明在数学兴趣活动中遇到的一个问题，请认真阅读并完成相应的任务． 阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现，当a＞0，b＞0时，有，∴，当且仅当a＝b时，取等号． 【问题解决】 例如：当a＞0时，求的最小值． 解：∵， 又∵，∴． 当且仅当，即a＝2时，取等号， ∴的最小值为4． 任务： （1）当m＞0时，的最小值为　 　 ． （2）当b＞0时，求的最小值． =▌题型04 利用配方法进行因式分解 【典例1】在实数范围内因式分解：． 【变式1-1】对于部分不是完全平方形式的代数式，往往可以通过配成完成平方的方式进行因式分解，比如把代数式x2﹣6x﹣7因式分解： 解：x2﹣6x﹣7＝x2﹣6x+9﹣9﹣7 ＝（x﹣3）2﹣16 ＝（x﹣3+4）（x﹣3﹣4） ＝（x+1）（x﹣7） （1）请你仿照上面的方法，把代数式x2﹣8x+7因式分解； （2）若代数式x2+8x﹣9＝0，则x的值为　 　 ． 【变式1-2】阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． ． ∵（x+2）2≥0，∴当（x+2）2＝0时，原式有最小值，最小值为﹣9． 根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法分解因式：x2+2x﹣8； （2）求多项式x2+4x﹣2020的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c满足求△ABC的周长． 【变式1-3】我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式（注意：完全平方式是多项式的结构形式，区别于完全平方公式，完全平方公式是等式形式的运算规律）．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，应用广泛． （1）配方法因式分解：x2﹣56x﹣816； （2）已知a、b、c是△ABC的三条边长．若a、b、c满足a25＝4a+b﹣|c﹣2|，试判断△ABC的形状，并说明你的理由； （3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD＝8，则四边形ABCD面积的最大值为多少？ ▌题型05 利用配方法进行证明 【典例1】我们知道a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2≥0．求证：不论x，y为何值，整式x2y2﹣4xy+5的值总为正数． 【变式1-1】阅读例题，解答下列问题． 例：试说明对于任何实数x，均有2x2+4x+3＞0． 解：2x2+4x+3， ＝2（x2+2x）+3， ＝2（x2+2x+1）+3﹣2， ＝2（x+1）2+1， ∵（x+1）2≥0， ∴2x2+4x+3＞0． （1）试说明对于任何实数x，均有：x2+4x+7＞0； （2）利用例题中的代数式配方法，试判断代数式﹣2x2+6x+12的最值情况，当x＝　 时，函数存在　 （填“最大值”或“最小值”）请说明理由． （3）不论x为何实数，多项式3x2﹣5x﹣1的值总大于2x2﹣4x﹣2的值．（提示：可将这两个代数式作差） 【变式1-2】阅读材料：若x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0，求x、y的值． 解：∵x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0， ∴（x2﹣2xy+y2）+（y2﹣8y+16）＝0， ∴（x﹣y）2+（y﹣4）2＝0， ∴（x﹣y）2＝0，（y﹣4）2＝0， ∴y＝4，x＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）试说明不论x，y取什么有理数时，多项式x2+y2﹣2x+2y+3的值总是正数； （2）已知a、b满足2a2+b2+2ab﹣6a+9＝0，求a、b的值． 【变式1-3】定义：将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，我们称为配方．其本质是完全平方公式的逆用，即：a2±2ab+b2＝（a±b）2． 例如：若将多项式x2+2x+5进行配方，则x2+2x+5＝x2+2x+12+4＝（x+1）2+4． 配方法在解决最值问题、代数式求值问题等均有广泛应用． （1）将多项式x2﹣6x+13配方为（x+m）2+n的形式，则m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）若多项式A＝2x（x﹣2），B＝（x+3）（x﹣3），证明：无论x取何值，A﹣B＞0均成立； （3）已知e2+f2＝62，关于y的代数式（y﹣e）（y﹣f）可变形为（y﹣4）2+k（k为常数），求k的值． ▌题型06 配方法与几何图形的面积 【典例1】阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0 就可求出多项式x2+bx+c的最小值． 例题：求多项式x2﹣6x+11的最小值． 解：x2﹣6x+11＝（x﹣3）2+2 ∵（x﹣3）2≥0 ∴（x﹣3）2+2≥2 ∴当x＝3时，（x﹣3）2+2＝2． ∴（x﹣3）2+2 有最小值，最小值为2，即x2﹣6x+11的最小值为2． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 填空：①代数式A＝x2﹣10x+30，则A的最小值为 　 　 ； ②代数式B＝﹣y2+8y﹣10，则B的最大值为 　 　 ． （2）【类比应用】 我校劳动课基地有甲、乙两块长方形种植园，已知甲种植园的两边长分别是（3a+2）米、（2a+5）米，乙种植园的两边长分别是5a米、（a+5）米，试比较这两块种植园的面积S甲和S乙的大小，并说明理由． （3）【拓展升华】 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝10cm，点M、N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以1cm/s的速度向C点运动；同时点N从C点出发以2cm/s的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止．设时间为t，则当t为何值时，S△MCN的值最大，最大值为多少？ 【变式1-1】利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2， ∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．因此代数式x2+4x+2有最小值﹣2； ②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4． ∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．因此，代数式﹣x2+2x+3有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式﹣a2﹣6a+4的最大值为　 　 ； （2）求代数式a2+b2+4b﹣8a+11的最小值； （3）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，若AC+BD＝12，求四边形ABCD面积的最大值． 【变式1-2】阅读下列材料： 我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例1：求代数式x2+2x﹣4的最小值． x2+2x﹣4＝（x2+2x+1）﹣1﹣4＝（x+1）2﹣5， 可知当x＝﹣1时，x2+2x﹣4有最小值，最小值是﹣5． 例2：求代数式﹣x2+6x﹣4的最大值． ﹣x2+6x﹣4＝﹣（x2﹣6x+9）+9﹣4＝﹣（x﹣3）2+5， 可知当x＝3时，﹣x2+6x﹣4有最大值，最大值是5． （1）【直接应用】代数式x2+4x﹣5的最小值是　 　 ； （2）【类比应用】若多项式M＝a2+b2﹣2a+4b+10，试求M的最小值； （3）【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地有两面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【变式1-3】综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 （1）利用完全平方公式将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式x2+4x﹣1的最小值，由x2+4x﹣1＝x2+4x+　 　 ﹣1＝（x+2）2﹣5可知，当x＝﹣2时，x2+4x﹣1有最小值，最小值是　 　 ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式x2+2x﹣3，原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝　 　 ＝　 　 ． 【项目解决】 （2）当a，b，c分别为△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0时，c的取值范围是　 　 ． （3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD＝8，则四边形ABCD面积的最大值为　 　 ． ▌题型07 配方法与三角形 【典例1】阅读例题，然后解决问题． 若x2+2x+y2﹣6y+10＝0，求x，y的值． 解：∵x2+2x+y2﹣6y+10＝0可变形为x2+2x+1+y2﹣6y+9＝0， ∴（x+1）2+（y﹣3）2＝0， ∴（x+1）2＝0，（y﹣3）2＝0， ∴x＝﹣1，y＝3． （1）已知，求xy的值． （2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数． ①若a2+b2+c2＝ab+ac+bc，求△ABC的形状； ②若2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，则△ABC的周长为　 　 ． （3）①代数式5x2﹣4xy+y2+6x+25的最小值为　 　 ； ②当x，y为何值时，代数式﹣x2+2xy﹣2y2+6y+7取得最大值，最大值为多少？ 【变式1-1】先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值． 解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，即： ∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∴即：m+n＝0，n﹣3＝0， ∴m＝﹣3，n＝3． （1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求x﹣y的值． （2）若三角形三边a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|＝0，判断三角形的形状． 【变式1-2】阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣10n+25＝0，求m，n的值． 解：∵m2﹣2mm+2n2﹣10n+25＝0， ∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣10n+25）＝0， ∴（m﹣n）2+（n﹣5）2＝0， ∴m﹣n＝0，n﹣5＝0． ∴n＝5，m＝5． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知：x2+4xy+5y2+4y+4＝0，求yx的值； （2）已知：△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足：a2+b2﹣14a﹣16b+113＝0，求△ABC的周长最大值； （3）已知△ABC的三边长是a，b，c，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断△ABC是什么形状的三角形并说明理由． 【变式1-3】在求解一类代数问题时，我们常常将二次三项式x2+bx+c化成（x+m）2+n的形式，并利用（x+m）2的非负性解决问题．请阅读下列材料，并解决相关问题： 【例1】求代数式x2+4x+7的最小值． 解：x2+4x+7＝x2+4x+4+3＝（x+2）2+3． ∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+3≥3，即代数式x2+4x+7的最小值为3． 【例2】若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，即（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0， ∵（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0，∴，即m＝n＝4． （1）求代数式x2+6x+10的最小值； （2）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c． ①若△ABC是等腰三角形，且满足a2﹣8a+b2﹣14b+65＝0，直接写出△ABC的周长； ②若c﹣b＝1，且c（b﹣25）+2a2﹣20a+219＝0，试判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由． ▌题型08 配方法与二次根式 【典例1】阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵，∴，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题： （1）当x＞0时，的最小值为　 　 ；当x＜0时，的最大值为　 　 ． （2）当x＞0时，求的最小值． （3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值． 【变式1-1】阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵（）2＝a﹣2b≥0，∴a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： 例如：当a＞0时，求a的最小值． 解：∵a＞0，∴a又∵ ，∴a8，当a＝4时取等号．∴a的最小值为8． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当x＞0时，x的最小值为 　 　 ；当x＜0时，2x的最大值为 　 　 ． （2）当m＞0时，求的最小值． （3）请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为x米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【变式1-2】对于任意正实数a，b，因为，所以，所以．我们把这个不等式叫做“基本不等式”． （1）当a＝b时，比较大小：a+b　 　 ； （2）当x＞0时，有最小值　 　 ，此时x＝　 　 ； （3）请用你探究的结论，求的最小值． 【变式1-3】【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有0，所以a+b﹣20，即a+b≥2（当且仅当a＝b时取到等号）．特别地，a2（当且仅当a＝1时取到等号）．因此，当a＞0时，a有最小值2，此时a＝1． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． （1）函数y＝x（x＞0）的最小值是　 　 ； （2）对于函数y＝2﹣x（x＞0），当x＝　 　 时，y有最大值，最大值为　 　 ； 【能力提开】求函数y＝4x（x＞1）的最小值，并写出取最小值时x的值． ▌题型09 配方法与分式 【典例1】【阅读理解】 在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差 M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＝0，则M＝N；若M﹣N＜0，则M＜N． 例如：比较a2+1与2a的大小．解答如下： a2+1﹣2a＝（a﹣1）2≥0， ∴a2+1≥2a． 【知识运用】 若a＞b＞0，m＞0，，．试比较M与N的大小． 【解决问题】 （2）食堂采购员A与B采购大米：A每次固定支出500元，B每次固定采购100千克大米．分两次采购，第一次单价x元/千克，第二次y元/千克（x≠y）． ①求两人采购大米的平均单价； ②请通过计算判断，食堂采购员A与B的采购方式，哪种方式的平均单价更低？ 【变式1-1】材料一：假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式和的形式． 例如：； （1）根据以上思路，解决问题：将分式化为整式与分式和的形式为　 　 ． 材料二：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b， 则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b， ∵对于任意x上述等式成立， ∴解得：． ∴． 这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式． （2）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为　 　 ； （3）已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； （4）当﹣1≤x≤1时，分式的最小值为　 　 ． 【变式1-2】阅读材料：1261年，我国南宋数学家杨辉著《详解九章算法》，在注释中提到“杨辉三角”解释了二项和的乘方规律．在他之前，北宋数学家贾宪也用过此方法，“杨辉三角”又叫“贾宪三角”． 这个三角形给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序、b的次数由小到大的顺序排列）的系数规律．例如：在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等． 从二维扩展到三维：根据杨辉三角的规则，向下进行叠加延伸，可以得到一个杨辉三角的立体图形．经研究，它的每一个切面上的数字所对应的恰巧是展开式的系数． （1）根据材料规律，请直接写出（a+b）4的展开式； （2）根据材料规律，如果将a﹣b看成a+（﹣b），直接写出的展开式（结果化简）；若，求的值； （3）已知实数a、b、c，满足a2+b2+c2+2a﹣4b+6c＝﹣10，且，求a+b﹣c的值． 【变式1-3】阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是x+1，可设x2﹣x+5＝（x+1）（x+m）+n． 则x2﹣x+5＝（x+1）（x+m）+n＝x2+mx+x+m+n＝x2+（m+1）x+m+n． ∵对于任意x的值上述等式都成立，∴，解得． ∴． 这样，分式就拆分成了整式x﹣2与分式的和的形式． （1）若将分式拆分成（a，b为整数），则a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ． （2）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． （3）已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数x的值． ▌题型10 利用配方法求取值范围 【典例1】实数x，y满足x2+xy+y2＝2，记u＝x2﹣xy+y2，则u的取值范围是（　　） A．u≤6 B．u≤2 C．1≤u≤6 D．1≤u≤2 【变式1-1】若a、b满足a2+b2＝2+ab，则代数式6﹣5ab的范围为　 　 ． 【变式1-2】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 已知x可取任何实数，试求二次三项式2x2﹣12x+14的值的范围． 解：2x2﹣12x+14 ＝2（x2﹣6x）+14 ＝2（x﹣3）2﹣4． ∵无论x取何实数，总有（x﹣3）2≥0， ∴2（x﹣3）2﹣4≥﹣4． 即无论x取何实数，2x2﹣12x+14的值总是不小于﹣4的实数． 问题：已知x可取任何实数，试求二次三项式﹣x2﹣2x+3的值的范围． 【变式1-3】求代数式1的取值范围． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 配方法的应用 题型01 利用配方法求值 题型02 利用配方法比较大小 题型03 利用配方法求最值 题型04 利用配方法进行因式分解 题型05 利用配方法进行证明 题型06 配方法与几何图形的面积 题型07 配方法与三角形 题型08 配方法与二次根式 题型09 配方法与分式 题型10 利用配方法求取值范围 ▌题型01 利用配方法求值 【典例1】若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求的值． 解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∴m+n＝0，n﹣3＝0，∴n＝3，m＝﹣3， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）若x2+4x+4+y2﹣8y+16＝0，求的值； （2）试说明：不论x，y取何值，多项式x2+y2﹣2x+2y+3的值总是正数． （3）已知a，b，c是不等边△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC的最长边长，求c的取值范围． 【分析】（1）按照题目提供的方法将x2+4x+4+y2﹣8y+16＝0配方后求得x、y的值即可求解； （2）将多项式配方得到（x﹣1）2+（y+1）2+1，结合平方的非负性即可完成解答； （3）按照题目提供的方法将原式配方后得到（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，继而可得到a、b的值，然后利用三角形三边关系即可解答． 【解答】解：（1）由题意，∵x2+4x+4+y2﹣8y+16＝0，∴（x+2）2+（y﹣4）2＝0， ∴（x+2）2＝0，（y﹣4）2＝0， ∴x＝﹣2，y＝4， ∴2； （2）由题意得，x2+y2﹣2x+2y+3＝（x﹣1）2+（y+1）2+1， ∵（x﹣1）2≥0，（y+1）2≥0， ∴（x﹣1）2+（y+1）2+1≥1， ∴不论x，y取何值，多项式x2+y2﹣2x+2y+3的值总是正数； （3）∵a2+b2＝10a+8b﹣41， ∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0， ∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0， ∴a＝5，b＝4， ∵c是△ABC的最长边长， ∴5≤c＜9． 【变式1-1】阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣10m+25＝0，求m，n的值． ∵2m2﹣2mn+2n2﹣10m+25＝0， ∴（m2﹣2m+n2）+（n2﹣10m+25）＝0． ∴（m﹣n）2+（n﹣5）2＝0． ∵（m﹣n）2≥0，（n﹣5）2≥0， ∴m﹣n＝0，n﹣5＝0． ∴n＝5，m＝5． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知：x2+2xy+2y2+4y+4＝0，求x﹣y的值； （2）已知：△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足：a2+b2﹣8a﹣12b+52＝0，求△ABC的周长的最大值； （3）已知：△ABC的三边长是a，b，c，且满足：a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断△ABC是什么形状的三角形并说明理由． 【分析】（1）利用完全平方公式解答； （2）利用完全平方公式解答； （3）利用完全平方公式解答． 【解答】解：（1）x2+2xy+2y2+4y+4＝0， x2+2xy+y2+y2+4y+4＝0， （x+y）2+（y+2）2＝0， x+y＝0，y+2＝0， 解得y＝﹣2，x＝2， ∴x﹣y＝2﹣（﹣2）＝4； （2）a2+b2﹣8a﹣12b+52＝0， a2+b2﹣8a﹣12b+52＝0， a2﹣8a+16+b2﹣12b+36＝0， （a﹣4）2+（b﹣6）2＝0， ∴a＝4，b＝6， ∵2＜c＜10， ∴c最大为9， ∴△ABC的周长的最大值为4+6+9＝19； （3）a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0， a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0， a2﹣2ab+b2+b2+c2﹣2bc＝0， （a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形． 【变式1-2】阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2 例如： 一个二次三项式有不同的配方形式：，三种不同形式的配方（即余项分别是常数项、一次项、二次项——见横线上的部分），请根据阅读材料解决下列问题： （1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+9三种不同形式的配方： x2﹣4x+9＝　　 ＝　（x﹣2）2+5　 ＝　（x﹣3）2+2x ； （2）将a2﹣ab+b2配方（至少两种形式）：a2﹣ab+b2＝　　 ＝　　 ； （3）我们由x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3和完全平方的非负性知道：代数式x2﹣2x+4的最小值为3，同时由知道：代数式﹣2x2+4x﹣1的最大值为2； 解决问题：某农场要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上建一个长方形鸡笼，鸡笼一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x米，请问：当x取何值时，鸡笼的面积最大？最大面积是多少？ （4）拓展延伸：已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，求（a+c）﹣b的值． 【分析】（1）根据题中所给的已知材料可得x2﹣4x+9的多种配方形式； （2）根据题中所给的已知材料可得a2﹣ab+b2的多种配方形式； （3）设长方形鸡笼ABCD面积为S，则BC＝（20﹣2x）m，求出S＝20x﹣2x2，通过配方后，即可解答； （4）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值． 【解答】解：（1）x2﹣4x+9的三种配方分别为： x2﹣4x+9＝x2﹣4x+4﹣4+9＝（x﹣2）2+5， x2﹣4x+9＝x2﹣6x+9+2x＝（x﹣3）2+2x， ， ∴． 故答案为：； （2）a2﹣ab+b2＝a2﹣2ab+b2+ab＝（a﹣b）2+ab， ， ， ∴或或； 故答案为：或或； （3）设长方形鸡笼ABCD面积为S，则BC＝（20﹣2x）m， ∵墙长15m， ∴0＜20﹣2x≤15，即2.5≤x＜10， ∴S＝（20﹣2x）x，即S＝20x﹣2x2， ∵S＝20x﹣2x2＝﹣2（x﹣5）2+50， ∵（x﹣5）2≥0， ∴﹣2（x﹣5）2≤0， ∴﹣2（x﹣5）2+50≤50， ∴当﹣2（x﹣5）2＝0，即x＝5时，S有最大值50， 答：当x取5时，鸡笼的面积最大，最大面积为50m2； （4）∵a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0， ∴， ∴， ∴，，c﹣1＝0， ∴a＝1，b＝2，c＝1， 则． 【变式1-3】阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加为问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本P＝2a2﹣8a+10，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：P＝2（a2﹣4a）+10＝2（a2﹣4a+4﹣4）+10＝2[（a﹣2）2﹣4]+10＝2（a﹣2）2+2． ∵（a﹣2）2≥0∴当a＝2时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）求最小值：a2﹣4a+3的最小值　﹣1　 ； （2）已知x2+2y2+6x﹣8y+17＝0，求xy的值　﹣6　 ； （3）若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，三角形面积为S，用配方法求S的最大值． 【分析】（1）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （2）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出x、y的值，代入所求式子计算即可； （3）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为（12﹣a），，根据，确定出最大值即可． 【解答】解：（1）a2﹣4a+3 ＝a2﹣4a+4﹣4+3 ＝（a﹣2）2﹣1， ∵（a﹣2）2≥0， ∴当a＝2时，原式有最小值﹣1， 故答案为：﹣1； （2）∵x2+2y2+6x﹣8y+17＝0， ∴x2+6x+9+2y2﹣8y+8＝0， ∴（x+3）2+2（y﹣2）2＝0， ∴y﹣2＝0，x+3＝0， ∴y＝2，x＝﹣3， ∴xy＝﹣3×2＝﹣6， 故答案为：﹣6； （3）设其中一条直角边为a， ∴ ， ∵， ∴当a＝6时，S有最大值18． ▌题型02 利用配方法比较大小 【典例1】已知a是任何实数，若M＝（2a﹣3）（3a﹣1），N＝2a（a）﹣1，则M、N的大小关系是（　　） A．M≥N B．M＞N C．M＜N D．M，N的大小由a的取值范围 【答案】A 【分析】把M与N代入M﹣N中计算，判断差的正负即可得到结果． 【解答】解：∵M＝（2a﹣3）（3a﹣1），N＝2a（a）﹣1， ∴M﹣N ＝（2a﹣3）（3a﹣1）﹣2a（a）+1， ＝6a2﹣11a+3﹣2a2+3a+1 ＝4a2﹣8a+4 ＝4（a﹣1）2 ∵（a﹣1）2≥0， ∴M﹣N≥0，则M≥N． 故选：A． 【变式1-1】已知M＝a2+3b2，N＝2b2+2ab，则M，N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M＜N C．M≥N D．M≤N 【答案】C 【分析】根据非负数的性质及配方法解答即可． 【解答】解：M﹣N＝a2+3b2﹣（2b2+2ab）＝（a﹣b）2， ∵（a﹣b）2≥0， ∴M﹣N≥0，即M≥N． 故选：C． 【变式1-2】定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式． 例如，若n2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝（m﹣n）2+（n﹣4）2， 则多项式m2﹣2mn+2n2﹣8n+16就是双平方多项式． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）判断：多项式x2﹣2xy+2y2是不是双平方多项式，如果是，请说明理由． （2）若多项式x2+y2﹣2x+6y+k是双平方多项式，求整数k的值． （3）已知P＝2x2+4y+13，Q＝x2﹣y2+6x﹣1，比较P，Q的大小． 【分析】（1）把2y2拆成y2+y2，与原式中x2﹣2xy凑成完全平方式（x﹣y）2，余下y2，从而写成两个整式平方和的形式． （2）把原式化为（x﹣1）2+（y+3）2+（k﹣10）．要成为两个整式的平方和，常数项必须抵消为零，故k﹣10＝0，得k＝10． （3）用作差法比较大小，计算P﹣Q并配方为（x﹣3）2+（y+2）2+1，由平方非负性得P﹣Q≥1＞0，从而P＞Q． 【解答】解：（1）x2﹣2xy+2y2＝x2﹣2xy+y2+y2＝（x﹣y）2+y2， 这是两个整式（x﹣y）与y的平方和，所以x2﹣2xy+2y2是双平方多项式； （2）分别对x、y配方：x2+y2﹣2x+6y+k＝（x2﹣2x+1）+（y2+6y+9）+（k﹣10）＝（x﹣1）2+（y+3）2+（k﹣10）， 要成为两个整式的平方和，必须使多出来的常数项为零， 故k﹣10＝0⟹k＝10； （3）P﹣Q＝（2x2+4y+13）﹣（x2﹣y2+6x﹣1） ＝x2+y2﹣6x+4y+14 ＝（x2﹣6x+9）+（y2+4y+4）+1 ＝（x﹣3）2+（y+2）2+1， 因为（x﹣3）2≥0，（y+2）2≥0， 所以P﹣Q＝（x﹣3）2+（y+2）2+1≥1＞0， 即P﹣Q＞0，故P＞Q． 【变式1-3】请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值． x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4， ∵（x+3）2≥0， ∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）求m2+4m+3的最小值； （2）比较3a2+10与2a2+6a的大小． 【分析】（1）将原式进行配方即可； （2）利用作差法计算即可． 【解答】解：（1）m2+4m+3＝m2+4m+3+1﹣1＝（m+2）2﹣1． 当m＝﹣2时，m2+4m+3有最小值，为﹣1； （2）3a2+10﹣（2a2+6a） ＝3a2+10﹣2a2﹣6a ＝a2﹣6a+9+1 ＝（a﹣3）2+1 ∵（a﹣3）2+1＞0， ∴3a2+10＞2a2+6a． ▌题型03 利用配方法求最值 【典例1】配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它．下面我们就求函数的极值，介绍一下配方法． 例：已知代数式，当　 　时，它有最小值，是　 　． 解： 因为，所以． 所以当时，它有最小值，是． 参考例题，试求： (1)填空：当　 　时，代数式有最小值，是　 　． (2)已知代数式，当为何值时，它有最小值，是多少？ 【答案】(1) (2)当为时，有最小值，是 【分析】（1）根据平方的非负性，可知当时，取最小值0，所以当时，有最小值，易求此值； （2）先运用配方法变形，得出最小时，即，然后得出答案． 【详解】（1）解：， ， ∴当时，它有最小值，是． 故答案为：； （2）解：， ∴当，即时，最小， ∴当为时，有最小值，是． 【变式1-1】已知a，b满足﹣a2+3a﹣b+1＝0，则2a+b有（　　） A．最小值 B．最小值7 C．最大值 D．最大值7 【答案】C 【分析】利用配方法解答即可． 【解答】解：∵﹣a2+3a﹣b+1＝0， ∴b＝﹣a2+3a+1， ∴2a+b＝﹣a2+5a+1， ∵0， ∴2a+b有最大值为． 故选：C． 【变式1-2】小李同学在解决问题“已知x﹣y＝4，求xy的最小值”时，给出框图中的思路： ∵x﹣y＝4， ∴x＝y+4， 则xy＝（y+4）y＝y2+4y＝（y+2）2﹣4， ∵（y+2）2≥0， ∴（y+2）2﹣4≥﹣4， ∴xy的最小值为﹣4． 结合以上小李同学的思路探究：若x+3y＝6，则下列关于式子6﹣xy的说法正确的是（　　） A．有最小值3 B．有最大值3 C．有最小值﹣6 D．有最大值6 【答案】A 【分析】根据所给求最值的方式，将xy变形为﹣3（y﹣1）2+3，据此再进行计算即可． 【解答】解：∵x+3y＝6， ∴x＝﹣3y+6， 则xy＝（﹣3y+6）y＝﹣3y2+6y＝﹣3（y﹣1）2+3， ∵（y﹣1）2≥0， ∴﹣3（y﹣1）2+3≤3， ∴6﹣xy的最小值为6﹣3＝3． 故选：A． 【变式1-3】阅读与思考 下面是小明在数学兴趣活动中遇到的一个问题，请认真阅读并完成相应的任务． 阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现，当a＞0，b＞0时，有， ∴，当且仅当a＝b时，取等号． 【问题解决】 例如：当a＞0时，求的最小值． 解：∵， 又∵， ∴． 当且仅当，即a＝2时，取等号， ∴的最小值为4． 任务： （1）当m＞0时，的最小值为　2　 ． （2）当b＞0时，求的最小值． 【分析】（1）根据阅读中的公式计算即可； （2）首先化简得到，运用公式计算即可． 【解答】解：（1）当m＞0时， ∴的最小值为2； 故答案为：2； （2）∵b＞0，， ∴， 当且仅当，即时，取等号， ∴的最小值为， ∴的最小值为， ∴的最小值为． =▌题型04 利用配方法进行因式分解 【典例1】在实数范围内因式分解：． 【答案】 【分析】先提公因式，再进行配方，运用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ＝ ＝ ． 【变式1-1】对于部分不是完全平方形式的代数式，往往可以通过配成完成平方的方式进行因式分解，比如把代数式x2﹣6x﹣7因式分解： 解：x2﹣6x﹣7＝x2﹣6x+9﹣9﹣7 ＝（x﹣3）2﹣16 ＝（x﹣3+4）（x﹣3﹣4） ＝（x+1）（x﹣7） （1）请你仿照上面的方法，把代数式x2﹣8x+7因式分解； （2）若代数式x2+8x﹣9＝0，则x的值为　1或﹣9　 ． 【分析】（1）把x2﹣8x+7化为（x2﹣8x+16）﹣16+7，再进一步求解即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）原式＝（x2﹣8x+16）﹣16+7 ＝（x﹣4）2﹣9 ＝（x﹣4+3）（x﹣4﹣3） ＝（x﹣1）（x﹣7）； （2）原方程因式分解可得： （x﹣1）（x+9）＝0， ∴x1＝1，x2＝﹣9． 故答案为：1或﹣9． 【变式1-2】阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． ． ∵（x+2）2≥0，∴当（x+2）2＝0时，原式有最小值，最小值为﹣9． 根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法分解因式：x2+2x﹣8； （2）求多项式x2+4x﹣2020的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c满足求△ABC的周长． 【分析】（1）根据材料方法，对式子进行因式分解即可； （2）根据材料下对式子进行因式分解，再根据平方的非负性即可； （3）根据材料对a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c进行化简，求出a，b，c的值即可． 【解答】解：（1）x2+2x﹣8， ＝x2+2x+1﹣1﹣8， ＝（x+1）2﹣9， ＝（x+1+3）（x+1﹣3）， ＝（x+4）（x﹣2）． （2）x2+4x﹣2020， ＝x2+4x+22﹣22﹣2020， ＝（x+2）2﹣2024， ∵（x+2）2≥0， ∴当（x+2）2＝0时，原式有最小值，最小值为﹣2024． （3）∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c， ∴a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0， ∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0， ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∴， 解得：， ∴C△ABC＝3+4+5＝12． 【变式1-3】我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式（注意：完全平方式是多项式的结构形式，区别于完全平方公式，完全平方公式是等式形式的运算规律）．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，应用广泛． （1）配方法因式分解：x2﹣56x﹣816； （2）已知a、b、c是△ABC的三条边长．若a、b、c满足a25＝4a+b﹣|c﹣2|，试判断△ABC的形状，并说明你的理由； （3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD＝8，则四边形ABCD面积的最大值为多少？ 【分析】（1）把x2﹣56x﹣816化为x2﹣56x+784﹣1600的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解； （2）移项后利用完全平方公式变形，然后根据偶次方和绝对值的非负性求出a，b和c的值即可解答； （3）由S四边形ABCDAC•BD，结合AC+BD＝8，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣56x﹣816 ＝x2﹣56x+784﹣1600 ＝（x﹣28）2﹣402 ＝（x﹣28+40）（x﹣28﹣40） ＝（x+12）（x﹣68）； （2）△ABC是等边三角形，理由如下： ∵a2b2+5＝4a+b﹣|c﹣2|， ∴，即， ∴a＝2，，c﹣2＝0， ∴a＝2，b＝2，c＝2， ∴a＝b＝c，即△ABC是等边三角形； （3）由S四边形ABCDAC•BD， ∵AC+BD＝8， ∴S四边形ABCDAC•（8﹣AC） ， ∵， ∴， ∴四边形ABCD面积的最大值为8 ▌题型05 利用配方法进行证明 【典例1】我们知道a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2≥0．求证：不论x，y为何值，整式x2y2﹣4xy+5的值总为正数． 【分析】将x2y2﹣4xy+5变形为（xy﹣2）2+1，再结合a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2≥0得到（xy﹣2）2+1的取值范围，即可解题． 【解答】证明：原式＝（xy）2﹣4xy+4+1 ＝（xy﹣2）2+1， ∴（xy﹣2）2+1≥1， ∴整式x2y2﹣4xy+5的值总为正数． 【变式1-1】阅读例题，解答下列问题． 例：试说明对于任何实数x，均有2x2+4x+3＞0． 解：2x2+4x+3， ＝2（x2+2x）+3， ＝2（x2+2x+1）+3﹣2， ＝2（x+1）2+1， ∵（x+1）2≥0， ∴2x2+4x+3＞0． （1）试说明对于任何实数x，均有：x2+4x+7＞0； （2）利用例题中的代数式配方法，试判断代数式﹣2x2+6x+12的最值情况，当x＝　　 时，函数存在　最大值　 （填“最大值”或“最小值”）请说明理由． （3）不论x为何实数，多项式3x2﹣5x﹣1的值总大于2x2﹣4x﹣2的值．（提示：可将这两个代数式作差） 【分析】（1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干进行配方，进而判断即可； （3）将这两个代数式作差，根据差的正负即可判断大小． 【解答】（1）证明：x2+4x+7 ＝x2+4x+4+3 ＝（x+2）2+3， ∴x2+4x+7＞0； （2）解：当x时，函数存在最大值，理由如下： ﹣2x2+6x+12 ＝﹣2（x2﹣3x）+12 ， ∴， 即当x时，函数存在最大值， 故答案为：，最大值； （3）证明：3x2﹣5x﹣1﹣（2x2﹣4x﹣2） ＝3x2﹣5x﹣1﹣2x2+4x+2 ＝x2﹣x+1 ， ∵， ∴， 即不论x为何实数，多项式3x2﹣5x﹣1的值总大于2x2﹣4x﹣2的值． 【变式1-2】阅读材料：若x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0，求x、y的值． 解：∵x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0， ∴（x2﹣2xy+y2）+（y2﹣8y+16）＝0， ∴（x﹣y）2+（y﹣4）2＝0， ∴（x﹣y）2＝0，（y﹣4）2＝0， ∴y＝4，x＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）试说明不论x，y取什么有理数时，多项式x2+y2﹣2x+2y+3的值总是正数； （2）已知a、b满足2a2+b2+2ab﹣6a+9＝0，求a、b的值． =【分析】（1）根据配方法，利用完全平方公式把x2+y2﹣2x+2y+3配方为（x﹣1）2+（y+1）2+1，再利用平方的非负性，即可解答； （2）先通过配方法，利用完全平方公式进行配方，求出a，b的值． 【解答】解：（1）x2+y2﹣2x+2y+3＝（x﹣1）2+（y+1）2+1， ∵（x﹣1）2≥0，（y+1）2≥0， ∴（x﹣1）2+（y+1）2+1≥1， ∴不论x，y取什么有理数时，多项式x2+y2﹣2x+2y+3的值总是正数． （2）∵2a2+b2+2ab﹣6a+9＝0， ∴（a2+2ab+b2）+（a2﹣6a+9）＝0， ∴（a+b）2+（a﹣3）2＝0， ∴（a+b）2＝0，（a﹣3）2＝0， ∴a＝3，b＝﹣3． 【变式1-3】定义：将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，我们称为配方．其本质是完全平方公式的逆用，即：a2±2ab+b2＝（a±b）2． 例如：若将多项式x2+2x+5进行配方，则x2+2x+5＝x2+2x+12+4＝（x+1）2+4． 配方法在解决最值问题、代数式求值问题等均有广泛应用． （1）将多项式x2﹣6x+13配方为（x+m）2+n的形式，则m＝　﹣3　 ，n＝　4　 ； （2）若多项式A＝2x（x﹣2），B＝（x+3）（x﹣3），证明：无论x取何值，A﹣B＞0均成立； （3）已知e2+f2＝62，关于y的代数式（y﹣e）（y﹣f）可变形为（y﹣4）2+k（k为常数），求k的值． 【分析】（1）由x2﹣6x+13＝x2﹣6x+32+4＝（x﹣3）2+4，得到m，n的值； （2）把A，B的式子代入A﹣B，得到A﹣B＝（x﹣2）2+5，利用完全平方式的非负性，得到结果； （3）将（y﹣e）（y﹣f）＝（y﹣4）2+k化简，然后比较系数，得到e+f＝8，ef＝16+k，利用（e+f）2＝e2+2ef+f2，将e2+f2＝62，e+f＝8，ef＝16+k代入即可求出k的值． 【解答】（1）解：∵x2﹣6x+13 ＝x2﹣6x+9+4 ＝（x﹣3）2+4 ＝（x+m）2+n， ∴m＝﹣3，n＝4， 故答案为：﹣3，4； （2）证明：∵A＝2x（x﹣2），B＝（x+3）（x﹣3）， ∴A﹣B＝2x（x﹣2）﹣（x+3）（x﹣3） ＝2x2﹣4x﹣x2+9 ＝x2﹣4x+9 ＝x2﹣4x+4+5 ＝（x﹣2）2+5． ∵不论x为何值，（x﹣2）2≥0， ∴（x﹣2）2+5≥5， ∴无论x取何值，A﹣B＞0均成立； （3）∵（y﹣e）（y﹣f）＝（y﹣4）2+k， ∴y2﹣（e+f）y+ef＝y2﹣8y+16+k， ∴e+f＝8，ef＝16+k， ∵e2+f2＝62， ∴（e+f）2＝82， ∴e2+f2+2ef＝64， ∴62+2（16+k）＝64， 解得k＝﹣2． ▌题型06 配方法与几何图形的面积 【典例1】阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0 就可求出多项式x2+bx+c的最小值． 例题：求多项式x2﹣6x+11的最小值． 解：x2﹣6x+11＝（x﹣3）2+2 ∵（x﹣3）2≥0 ∴（x﹣3）2+2≥2 ∴当x＝3时，（x﹣3）2+2＝2． ∴（x﹣3）2+2 有最小值，最小值为2，即x2﹣6x+11的最小值为2． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 填空：①代数式A＝x2﹣10x+30，则A的最小值为 　5　 ； ②代数式B＝﹣y2+8y﹣10，则B的最大值为 　6　 ． （2）【类比应用】 我校劳动课基地有甲、乙两块长方形种植园，已知甲种植园的两边长分别是（3a+2）米、（2a+5）米，乙种植园的两边长分别是5a米、（a+5）米，试比较这两块种植园的面积S甲和S乙的大小，并说明理由． （3）【拓展升华】 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝10cm，点M、N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以1cm/s的速度向C点运动；同时点N从C点出发以2cm/s的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止．设时间为t，则当t为何值时，S△MCN的值最大，最大值为多少？ 【分析】（1）①利用配方法得A＝x2﹣10x+30＝（x﹣5）2+5，由此可得A的最小值； ②利用配方法得B＝﹣y2+8y﹣10＝﹣（y﹣4）2+6，由此可得B的最大值； （2）依题意得S甲＝（3a+2）（2a+5）＝6a2+19a+10，S乙＝5a（a+5）＝5a2+25a，进而得S甲﹣S乙＝a2+6a+10＝（a+3）2+1＞0，由此可得S甲与S乙的大小； （3）依题意得：AM＝tcm，CM＝（5﹣t）cm，t≤5s，则S△MCNCM•CN＝﹣（t）2，由此可得S△MCN的最大值． 【解答】解：（1）①A＝x2﹣10x+30＝（x﹣5）2+5， ∵（x﹣5）2≥0， ∴（x﹣5）2+5≥5， ∴当x＝5时，（x﹣5）2+5有最小值，最小值是5， 即A的最小值为5， 故答案为：5． ②B＝﹣y2+8y﹣10＝﹣（y﹣4）2+6， ∵﹣（y﹣4）2≤0， ∴﹣（y﹣4）2+6≤6， ∴当y＝4时，﹣（y﹣4）2+6有最大值，最大值是6， 即B的最大值为6． 故答案为：6． （2）S甲＞S乙，理由如下： ∵S甲＝（3a+2）（2a+5）＝6a2+19a+10，S乙＝5a（a+5）＝5a2+25a， ∴S甲﹣S乙＝6a2+19a+10﹣（5a2+25a）＝a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1， ∵（a﹣3）2≥0， ∴（a﹣3）2+1＞0， ∴S甲﹣S乙＞0， ∴S甲＞S乙； （3）依题意得：AM＝tcm，CN＝2tcm，t≤5s， ∴CM＝（5﹣t）cm， ∴S△MCNCM•CN2t（5﹣t）＝﹣（t）2， ∵﹣（t）2≤0， ∴﹣（t）2， ∴当t时，﹣（t）2有最大值，最大值为， ∴﹣（t）2的最大值为， 即当ts时，S△MCN的值最大，最大值cm2． 【变式1-1】利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2， ∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．因此代数式x2+4x+2有最小值﹣2； ②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4． ∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．因此，代数式﹣x2+2x+3有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式﹣a2﹣6a+4的最大值为　13　 ； （2）求代数式a2+b2+4b﹣8a+11的最小值； （3）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，若AC+BD＝12，求四边形ABCD面积的最大值． 【分析】（1）利用材料中的方法进行求解即可； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可； （3）S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC，由面积公式，将其转化为，设BD＝x，则AC＝12﹣x，代入化简计算，转化为上述求解方法计算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣（a+3）2+13， ∵﹣（a+3）2≤0， ∴﹣（a+3）2+13≤13， ∴﹣a2﹣6a+4的最大值为13， 故答案为：13； （2）原式＝a2﹣8a+16+b2+4b+4﹣9＝（a﹣4）2+（b+2）2﹣9， ∵（a﹣4）2≥0，（b+2）2≥0， ∴a2+b2+4b﹣8a+11＝（a﹣4）2+（b+2）2﹣9≥﹣9， ∴代数式的最小值为﹣9； （3）， 设BD＝x，则AC＝12﹣x， ∴， ∵， ∴， ∴最大值为18． 【变式1-2】阅读下列材料： 我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例1：求代数式x2+2x﹣4的最小值． x2+2x﹣4＝（x2+2x+1）﹣1﹣4＝（x+1）2﹣5， 可知当x＝﹣1时，x2+2x﹣4有最小值，最小值是﹣5． 例2：求代数式﹣x2+6x﹣4的最大值． ﹣x2+6x﹣4＝﹣（x2﹣6x+9）+9﹣4＝﹣（x﹣3）2+5， 可知当x＝3时，﹣x2+6x﹣4有最大值，最大值是5． （1）【直接应用】代数式x2+4x﹣5的最小值是　﹣9　 ； （2）【类比应用】若多项式M＝a2+b2﹣2a+4b+10，试求M的最小值； （3）【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地有两面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【分析】（1）配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用配方法把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （3）设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为（20﹣x）米，利用矩形的面积公式可得S＝（20﹣x）x，再利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【解答】解：（1）由题意得，x2+4x﹣5＝（x2+4x+4）﹣4﹣5＝（x+2）2﹣9，∵对于任意实数x都有（x+2）2≥0， ∴（x+2）2﹣9≥﹣9． ∴当x＝﹣2时，代数式x2+4x﹣5有最小值，最小值为﹣9， 故答案为：﹣9； （2）由题意，∵M＝a2+b2﹣2a+4b+10 ＝（a2﹣2a+1）+（b2+4b+4）﹣1﹣4+10 ＝（a﹣1）2+（b+2）2+5， ∴当a＝1，b＝﹣2时，M有最小值，最小值为5； （3）由题意，设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为（20﹣x）米， ∴S＝x（20﹣x）＝20x﹣x2＝﹣（x2﹣20x）＝﹣（x﹣10）2+100， ∴当x＝10时，S有最大值，最大值是100m2， ∴围成的菜地的最大面积是100m2． 【变式1-3】综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 （1）利用完全平方公式将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式x2+4x﹣1的最小值，由x2+4x﹣1＝x2+4x+　4　 ﹣1＝（x+2）2﹣5可知，当x＝﹣2时，x2+4x﹣1有最小值，最小值是　﹣5　 ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式x2+2x﹣3，原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝　（x+1）2﹣4　 ＝　（x+3）（x﹣1）　 ． 【项目解决】 （2）当a，b，c分别为△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0时，c的取值范围是　1＜c＜5　 ． （3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD＝8，则四边形ABCD面积的最大值为　8　 ． 【分析】（1）根据配方法进行配方即可； （2）把a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0化为a2﹣4a+4+b2﹣6b+9＝0，再进一步求解即可； （3）由，结合AC+BD＝8，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）由x2+4x﹣1＝x2+4x+4﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5可知，当x＝﹣2时，x2+4x﹣1有最小值，最小值是﹣5． 配方法也可以对一些多项式进行因式分解， 例如：分解因式x2+2x﹣3，原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+3）（x﹣1）． 故答案为：4；﹣5；（x+1）2﹣4；（x+3）（x﹣1）； （2）由条件可得：a2﹣4a+4+b2﹣6b+9＝0， ∴（a﹣2）2+（b﹣3）2＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣3＝0， ∴a＝2，b＝3， ∵b﹣a＜c＜b+a， ∴1＜c＜5． 故答案为：1＜c＜5； （3）由条件可知， ∵AC+BD＝8， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形ABCD面积的最大值为8． 故答案为：8． ▌题型07 配方法与三角形 【典例1】阅读例题，然后解决问题． 若x2+2x+y2﹣6y+10＝0，求x，y的值． 解：∵x2+2x+y2﹣6y+10＝0可变形为x2+2x+1+y2﹣6y+9＝0， ∴（x+1）2+（y﹣3）2＝0， ∴（x+1）2＝0，（y﹣3）2＝0， ∴x＝﹣1，y＝3． （1）已知，求xy的值． （2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数． ①若a2+b2+c2＝ab+ac+bc，求△ABC的形状； ②若2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，则△ABC的周长为　3　 ． （3）①代数式5x2﹣4xy+y2+6x+25的最小值为　16　 ； ②当x，y为何值时，代数式﹣x2+2xy﹣2y2+6y+7取得最大值，最大值为多少？ 【分析】（1）利用配方法求出x，y的值即可； （2）①利用配方法求出a＝b＝c，即可判断三角形形状； ②利用配方法求出a，b的值，再根据三角形边长的关系求出c的值，即可求出三角形的周长； （3）①先整理原式为（2x﹣y）2+（x+3）2+16，因为（2x﹣y）2+（x+3）2≥0，所以当x＝﹣3，y＝﹣6时，5x2﹣4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值为16，即可作答； ②先整理原式为﹣（x﹣y）2﹣（y﹣3）2+16，因为﹣（x﹣y）2﹣（y﹣3）2≤0，所以﹣（x﹣y）2﹣（y﹣3）2+16≤16，所以x﹣y＝0，y﹣3＝0时，即当x＝y，y＝3时，则﹣（x﹣y）2﹣（y﹣3）2+16＝16，即﹣x2+2xy﹣2y2+6y+7取得最大值，最大值为16． 【解答】解：（1）∵， ∴x2+xy2﹣6y+9＝0， ∴（x）2+（y﹣3）2＝0， ∴x，y＝3， ∴xy＝（）3； （2）①∵a2+b2+c2＝ab+ac+bc， ∴2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc， ∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0， ∴（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0， ∴a﹣b＝0，a﹣c＝0，b﹣c＝0， ∴a＝b，a＝c，b＝c， ∴△ABC是等边三角形； ②∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0， ∴2a2﹣4a+2+b2﹣6b+9＝0， ∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0， ∴a﹣1＝0，b﹣3＝0， ∴a＝1，b＝3， ∴2＜c＜4， ∵a、b、c都是正整数， ∴c＝3， ∴△ABC的周长为1+3+3＝7， 故答案为：7； （3）①5x2﹣4xy+y2+6x+25 ＝4x2﹣4xy+y2+x2+6x+9+16 ＝（2x﹣y）2+（x+3）2+16， ∵（2x﹣y）2+（x+3）2≥0， ∴2x﹣y＝0，x+3＝0时， 即当x＝﹣3，y＝﹣6时，则（2x﹣y）2+（x+3）2+16＝16， 即5x2﹣4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值为16， 故答案为：16； ②﹣x2+2xy﹣2y2+6y+7 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）﹣（y2﹣6y+9﹣9）+7 ＝﹣（x﹣y）2﹣（y﹣3）2+16， （x﹣y）2≥0，（y﹣3）2≥0， ∵﹣（x﹣y）2﹣（y﹣3）2≤0， ∴﹣（x﹣y）2﹣（y﹣3）2+16≤16， ∴x﹣y＝0，y﹣3＝0时，即当x＝y，y＝3时，则﹣（x﹣y）2﹣（y﹣3）2+16＝16， 即﹣x2+2xy﹣2y2+6y+7取得最大值，最大值为16． 【变式1-1】先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值． 解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，即： ∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∴即：m+n＝0，n﹣3＝0， ∴m＝﹣3，n＝3． （1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求x﹣y的值． （2）若三角形三边a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|＝0，判断三角形的形状． 【分析】（1）利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性分别求出x、y，计算即可； （2）利用配方法把原式变形，再根据偶次方、绝对值的非负性分别求出a、b、c，根据等边三角形的定义判断． 【解答】解：（1）x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0， 则x2﹣2xy+y2+y2+4y+4＝0， ∴（x﹣y）2+（y+2）2＝0， ∴x﹣y＝0，y＝﹣2， ∴x＝y＝﹣2， ∴x﹣y＝（﹣2）2＝4； （2）∵a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|＝0， ∴a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+|3﹣c|＝0， ∴（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣3＝0，3﹣c＝0， ∴a＝b＝c＝3， ∴该三角形为等边三角形． 【变式1-2】阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣10n+25＝0，求m，n的值． 解：∵m2﹣2mm+2n2﹣10n+25＝0， ∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣10n+25）＝0， ∴（m﹣n）2+（n﹣5）2＝0， ∴m﹣n＝0，n﹣5＝0． ∴n＝5，m＝5． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知：x2+4xy+5y2+4y+4＝0，求yx的值； （2）已知：△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足：a2+b2﹣14a﹣16b+113＝0，求△ABC的周长最大值； （3）已知△ABC的三边长是a，b，c，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断△ABC是什么形状的三角形并说明理由． 【分析】（1）已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果； （2）已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出a与b的值，进而确定出c的最大值，确定出周长的最大值即可； （3）已知等式整理后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质得到a，b，c的关系，即可作出判断． 【解答】解：（1）∵x2+4xy+5y2+4y+4＝0， ∴（x2+4xy+4y2）+（y2+4y+4）＝0，即（x+2y）2+（y+2）2＝0， ∴x+2y＝0，y+2＝0， 解得：x＝4，y＝﹣2， 则yx＝（﹣2）4＝16； （2）∵a2+b2﹣14a﹣16b+113＝0， ∴（a2﹣14a+49）+（b2﹣16b+64）＝0，即（a﹣7）2+（b﹣8）2＝0， ∴a﹣7＝0，b﹣8＝0， 解得：a＝7，b＝8， 由三角形的三边关系可知：1＜c＜15，且c为正整数， ∴c的最大值为14， 则△ABC的周长的最大值为29； （3）结论：△ABC为等边三角形， 理由为：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0， ∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， ∴a＝b＝c， 则△ABC是等边三角形． 【变式1-3】在求解一类代数问题时，我们常常将二次三项式x2+bx+c化成（x+m）2+n的形式，并利用（x+m）2的非负性解决问题．请阅读下列材料，并解决相关问题： 【例1】求代数式x2+4x+7的最小值． 解：x2+4x+7＝x2+4x+4+3＝（x+2）2+3． ∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+3≥3，即代数式x2+4x+7的最小值为3． 【例2】若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，即（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0， ∵（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0，∴，即m＝n＝4． （1）求代数式x2+6x+10的最小值； （2）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c． ①若△ABC是等腰三角形，且满足a2﹣8a+b2﹣14b+65＝0，直接写出△ABC的周长； ②若c﹣b＝1，且c（b﹣25）+2a2﹣20a+219＝0，试判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由． 【分析】（1）根据例题1的方法，进行求解即可； （2）①根据例题2的方法，得出a＝4，b＝7，进而根据等腰三角形的定义分类讨论即可求解； ②先根据完全平方公式因式分解，得b＝12，a＝5，c＝13，由勾股定理的逆定理可证△ABC是直角三角形． 【解答】解：（1）x2+6x+10＝（x+3）2+1． ∵（x+3）2≥0， ∴（x+3）2+1≥1，即代数式x2+6x+10的最小值为1． （2）①由条件可得（a2﹣8a+16）+（b2﹣14b+49）＝0， 即（a﹣4）2+（b﹣7）2＝0， ∵（a﹣4）2≥0，（b﹣7）2≥0， ∴， ∴a＝4，b＝7， 当a＝4是腰时，b＝7为底边， ∵4+4＞7，能构成等腰三角形， ∴△ABC的周长为：4+4+7＝15； 当b＝7是腰时，a＝4为底边， ∵4+7＞7，能构成等腰三角形， ∴△ABC的周长为：4+7+7＝18； ∴△ABC的周长为15或18； ②△ABC是直角三角形，理由如下： ∵c﹣b＝1，且c（b﹣25）+2a2﹣20a+219＝0， ∴（b+1）（b﹣25）+2a2﹣20a+219＝0， 即b2﹣24b﹣25+2a2﹣20a+219＝0， ∴（b﹣12）2+2（a﹣5）2＝0， ∴b＝12，a＝5， ∴c＝12+1＝13， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形． ▌题型08 配方法与二次根式 【典例1】阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵，∴，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题： （1）当x＞0时，的最小值为　2　 ；当x＜0时，的最大值为　﹣2　 ． （2）当x＞0时，求的最小值． （3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值． 【分析】（1）当x＞0时，按照公式（当且仅当a＝b时取等号）来计算即可；x＜0时，由于﹣x＞0，0，则也可以按照公式（当且仅当a＝b时取等号）来计算； （2）将的分子分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可； （3）设S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝9，则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，四边形ABCD的面积用含x的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【解答】解：（1）当x＞0时，22； 当x＜0时，（﹣x） ∵﹣x22 ∴﹣（﹣x）≤﹣2 ∴当x＞0时，的最小值为2；当x＜0时，的最大值为﹣2． 故答案为：2；﹣2； （2）由， ∵x＞0， ∴， 当时，最小值为11． （3）设S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝9 则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD ∴x：9＝4：S△AOD ∴：S△AOD ∴四边形ABCD面积＝4+9+x13+225 当且仅当x＝6时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为25． 【变式1-1】阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵（）2＝a﹣2b≥0，∴a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： 例如：当a＞0时，求a的最小值． 解：∵a＞0，∴a又∵ ，∴a8，当a＝4时取等号．∴a的最小值为8． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当x＞0时，x的最小值为 　6　 ；当x＜0时，2x的最大值为 　﹣4　 ． （2）当m＞0时，求的最小值． （3）请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为x米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【分析】（1）根据例题中的公式计算即可； （2）先化简，再运用公式计算即可； （3）由题意得篱笆的长为x2＝（x）米，再根据例题中的公式计算即可． 【解答】解：（1）∵x＞0， ∴x2， 又∵26， ∴x6，当且仅当x＝3时取等号． ∴x的最小值为6； ∵x＜0， ∴﹣x＞0， ∴﹣2x2， 又∵24， ∴﹣2x4，当且仅当x＝﹣1时取等号． ∴2x4， ∴2x的最大值为﹣4． 故答案为：6；﹣4； （2）m﹣5， ∵m＞0， ∴m2， 又∵24， ∴m4，当且仅当m＝2时取等号， ∴m的最小值为4， ∴m﹣5的最小值为45， 即的最小值为45； （3）根据题意可得，垂直于墙的一边长为米，则篱笆的长为x2＝（x）米， ∵x＞0， ∴x2， 又∵260， ∴x60，当且仅当x＝30时取等号， ∴x的最小值为60， 即需要用的篱笆最少是60米． 【变式1-2】对于任意正实数a，b，因为，所以，所以．我们把这个不等式叫做“基本不等式”． （1）当a＝b时，比较大小：a+b　＝　 ； （2）当x＞0时，有最小值　2　 ，此时x＝　　 ； （3）请用你探究的结论，求的最小值． 【分析】（1）将a＝b代入“基本不等式”判断即可； （2）根据“基本不等式”和（1）的结论作答即可； （3）对原分式进行变形，得出，利用公式求最小值即可． 【解答】解；（1）当a＝b时，a+b＝2b，， ∴． 故答案为：＝； （2）∵， ∴有最小值， 由（1）可知，当，即时，． 故答案为：； （3）由题意得，xx+11， ∵x＞0， ∴x+1＞1＞0， ∴xx+11≥21＝21． 答：的最小值为21． 【变式1-3】【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有0，所以a+b﹣20，即a+b≥2（当且仅当a＝b时取到等号）．特别地，a2（当且仅当a＝1时取到等号）．因此，当a＞0时，a有最小值2，此时a＝1． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． （1）函数y＝x（x＞0）的最小值是　4　 ； （2）对于函数y＝2﹣x（x＞0），当x＝　3　 时，y有最大值，最大值为　﹣4　 ； 【能力提开】求函数y＝4x（x＞1）的最小值，并写出取最小值时x的值． 【分析】（1）根据题意利用“基本不等式”进行求解即可； （2）根据题意利用“基本不等式”进行求解； （3）根据题意，利用“基本不等式”以及整体思想进行求解． 【解答】解：（1）由条件可知， ∴， ∴， ∴函数的最小值是4； 故答案为：4． （2）同（1）得， ∴当时，取得最小值6， 解得x＝3或x＝﹣3（舍去）， ∴当x＝3时，函数取得最大值，最大值为y＝﹣4； 故答案为：3，﹣4； （3）∵， ∴， 当时，函数取得最小值，最小值为y＝8， 解得（舍去）或， ∴当时，函数取得最小值，最小值为y＝8． ▌题型09 配方法与分式 【典例1】【阅读理解】 在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差 M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＝0，则M＝N；若M﹣N＜0，则M＜N． 例如：比较a2+1与2a的大小．解答如下： a2+1﹣2a＝（a﹣1）2≥0， ∴a2+1≥2a． 【知识运用】 若a＞b＞0，m＞0，，．试比较M与N的大小． 【解决问题】 （2）食堂采购员A与B采购大米：A每次固定支出500元，B每次固定采购100千克大米．分两次采购，第一次单价x元/千克，第二次y元/千克（x≠y）． ①求两人采购大米的平均单价； ②请通过计算判断，食堂采购员A与B的采购方式，哪种方式的平均单价更低？ 【分析】（1）依据题意得，，结合a＞b＞0，m＞0，从而可以判断得解； （2）①根据题意，食堂采购员A两次采购大米的平均单价为；食堂采购员B两次采购大米的平均单价为；从而可以得解； ②依据题意，作差，结合x＞0，y＞0，从而可以计算得解． 【解答】解：（1）由题意得，， ∵a＞b＞0，m＞0， ∴， ∴M＞N； （2）①根据题意，食堂采购员A两次采购大米的平均单价为； 食堂采购员B两次采购大米的平均单价为； ②， ∵x＞0，y＞0， ∴， ∴， ∴食堂采购员A、B的采购方式中，采购员A的方式平均单价更低． 【变式1-1】材料一：假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式和的形式． 例如：； （1）根据以上思路，解决问题：将分式化为整式与分式和的形式为　2　 ． 材料二：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b， 则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b， ∵对于任意x上述等式成立， ∴解得：． ∴． 这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式． （2）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为x+7　 ； （3）已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； （4）当﹣1≤x≤1时，分式的最小值为　﹣2　 ． 【分析】（1）依据题意得，2，从而可以得解； （2）依据题意得，x+7，从而可以得解； （3）依据题意得，2x+11，结合整数x使分式的值为整数，可得x﹣3是13的约数，从而x﹣3＝±1或±13，进而计算可以得解； （4）依据题意，设t＝x2，则原式t+2，结合﹣1≤x≤1，从而0≤t≤1，此时是随t的增大而减小，则是随t的增大而增大，又t+2是随t的增大而增大，进而t+2是随t的增大而增大，故可得解． 【解答】解：（1）由题意得，2． 故答案为：2； （2）由题意得，x+7． 故答案为：x+7； （3）由题意得，2x+11， ∵整数x使分式的值为整数， ∴x﹣3是13的约数， ∴x﹣3＝±1或±13． ∴x＝﹣10或2或4或16； （4）设t＝x2， ∴原式t+2． ∵﹣1≤x≤1， ∴0≤t≤1． ∵是随t的增大而减小， ∴是随t的增大而增大， ∵t+2是随t的增大而增大， ∴t+2是随t的增大而增大， ∴当t＝0时，t+2取最小值为﹣2． ∴分式的最小值为﹣2． 故答案为：﹣2． 【变式1-2】阅读材料：1261年，我国南宋数学家杨辉著《详解九章算法》，在注释中提到“杨辉三角”解释了二项和的乘方规律．在他之前，北宋数学家贾宪也用过此方法，“杨辉三角”又叫“贾宪三角”． 这个三角形给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序、b的次数由小到大的顺序排列）的系数规律．例如：在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等． 从二维扩展到三维：根据杨辉三角的规则，向下进行叠加延伸，可以得到一个杨辉三角的立体图形．经研究，它的每一个切面上的数字所对应的恰巧是展开式的系数． （1）根据材料规律，请直接写出（a+b）4的展开式； （2）根据材料规律，如果将a﹣b看成a+（﹣b），直接写出的展开式（结果化简）；若，求的值； （3）已知实数a、b、c，满足a2+b2+c2+2a﹣4b+6c＝﹣10，且，求a+b﹣c的值． 【分析】（1）依据规律进行计算即可； （2）分子分母同时除以n2可化为，得出，从而求得，即可求得，代入即可求解； （3）将式子a2+b2+c2+2a﹣4b+6c＝﹣10通过完全平方式变形为（a+1）2+（b﹣2）2+（c+3）2＝4，设a+1＝x，b﹣2＝y，c+3＝z，通过a+b﹣c与x+y﹣z的关系联立阅读材料可求得a+b﹣c的值． 【解答】解：（1）依据规律进行计算可得： （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； （2） ， ∵， ∴，即，可得， ∵，可得， 当时，6﹣1+2×2＝9， 当时，6﹣1+2×（﹣2）＝1； （3）原等式整理得到（a+1）2+（b﹣2）2+（c+3）2＝4， ∵， 设a+1＝x，b﹣2＝y，c+3＝z， 则，解得， ∴（x+y﹣z）2＝（a+1+b﹣2﹣c﹣3）2 ＝（a+b﹣c﹣4）2 ＝x2+y2+z2+2xy﹣2xz﹣2yz ＝x2+y2+z2+2（xy﹣xz﹣yz） ＝4， ∴a+b﹣c﹣4＝±2， ∴当a+b﹣c﹣4＝2时，a+b﹣c＝6； 当a+b﹣c﹣4＝﹣2时，a+b﹣c＝2； ∴a+b﹣c＝6或2． 【变式1-3】阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是x+1，可设x2﹣x+5＝（x+1）（x+m）+n． 则x2﹣x+5＝（x+1）（x+m）+n＝x2+mx+x+m+n＝x2+（m+1）x+m+n． ∵对于任意x的值上述等式都成立，∴，解得． ∴． 这样，分式就拆分成了整式x﹣2与分式的和的形式． （1）若将分式拆分成（a，b为整数），则a＝ 　3　 ，b＝ 　4　 ． （2）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． （3）已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数x的值． 【分析】（1）根据求解即可； （2）参考材料中的过程求解即可； （3）参考材料中的过程得到，再根据分式的值为负整数，得到是整数，推出x﹣4＝±1或x﹣4＝±31，最后分情况讨论求值即可． 【解答】解：（1）∵， ∴若将分式拆分成（a，b为整数），则a＝3，b＝4， 故答案为：3；4． （2）因为分母是x﹣2，可设x2+4x﹣6＝（x﹣2）（x+m）+n， 则x2+4x﹣6＝（x﹣2）（x+m）+n＝x2+（m﹣2）x+n﹣2m． ∵对于任意x的值上述等式都成立， ∴， 解得， ∴． （3）因为分母是x﹣4，可设2x2+6x﹣25＝2（x﹣4）（x+m）+n， 则2x2+6x﹣25＝2（x﹣4）（x+m）+n＝2x2+（2m﹣8）x+n﹣8m． ∵对于任意x的值上述等式都成立， ∴， 解得， ∴． ∵分式的值为负整数， ∴是整数， ∴x﹣4＝±1或x﹣4＝±31， 当x﹣4＝1时，x＝5，，不合题意； 当x﹣4＝﹣1时，x＝3，，符合题意； 当x﹣4＝31时，x＝35，，不合题意； 当x﹣4＝﹣31时，x＝﹣27，，符合题意； 综上所述，分式的值为负整数，满足条件的整数x的值为3或﹣27． ▌题型10 利用配方法求取值范围 【典例1】实数x，y满足x2+xy+y2＝2，记u＝x2﹣xy+y2，则u的取值范围是（　　） A．u≤6 B．u≤2 C．1≤u≤6 D．1≤u≤2 【答案】A 【分析】本题先将u转化为2﹣2xy，然后根据x2+xy+y2＝2进行配方，确定xy的范围，从而求出u的取值范围． 【解答】解：∵x2+xy+y2＝2， ∴x2+y2＝2﹣xy， ∴u＝x2﹣xy+y2＝2﹣2xy， ∵xy＝2xy+（x2+y2﹣2）＝（x+y）2﹣2≥﹣2，当且仅当x＝﹣y，即x，y或x，y时等号成立． ∴xy的最小值为﹣2，u＝x2﹣xy+y2＝2﹣2xy的最大值为6． ∵3xy＝2xy﹣（x2+y2﹣2）＝2﹣（x﹣y）2≤2，当且仅当x＝y，即x，y或x，y时等号成立． ∴xy的最大值为，u＝x2﹣xy+y2＝2﹣2xy的最小值为． 故u的取值范围是u≤6． 故选：A． 【变式1-1】若a、b满足a2+b2＝2+ab，则代数式6﹣5ab的范围为　　 ． 【答案】． 【分析】利用完全平方的非负性，结合已知等式推导ab的取值范围，再根据不等式的性质求出代数式6﹣5ab的范围． 【解答】解：∵任意实数a，b满足（a﹣b）2≥0，展开得a2﹣2ab+b2≥0， 整理得a2+b2≥2ab， 将已知a2+b2＝2+ab代入不等式得2+ab≥2ab， 解得ab≤2； 又∵（a+b）2≥0，展开得a2+2ab+b2≥0，整理得a2+b2≥﹣2ab， 将a2+b2＝2+ab代入不等式得2+ab≥﹣2ab，移项合并得3ab≥﹣2， 解得； 综上可得， ， ， 即． 故答案为：． 【变式1-2】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 已知x可取任何实数，试求二次三项式2x2﹣12x+14的值的范围． 解：2x2﹣12x+14 ＝2（x2﹣6x）+14 ＝2（x﹣3）2﹣4． ∵无论x取何实数，总有（x﹣3）2≥0， ∴2（x﹣3）2﹣4≥﹣4． 即无论x取何实数，2x2﹣12x+14的值总是不小于﹣4的实数． 问题：已知x可取任何实数，试求二次三项式﹣x2﹣2x+3的值的范围． 【答案】二次三项式﹣x2﹣2x+3≤4． 【分析】通过配方可得﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，即可知其值的范围． 【解答】解：﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x）+3 ＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3 ＝﹣（x+1）2+1+3 ＝﹣（x+1）2+4， ∵无论x取何实数，总有（x+1）2≥0， ∴﹣（x+1）2≤0， ∴﹣（x+1）2+4≤4， 即无论x取何实数，二次三项式﹣x2﹣2x+3≤4． 【变式1-3】求代数式2x2-4x-1的取值范围． 解：对2x2-4x-1进行配方，得2（x2-2x）-1=， ∵任何数的平方都大于等于0， 即， ∴2， 即2x2-4x-1≥-3． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $