1.2一元二次方程的解法同步练-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学同步练，聚焦一元二次方程的解法（配方法、因式分解法、公式法），通过基础巩固、能力拓展、素养提升三级分层，构建从单一知识点到综合应用的递进式巩固路径，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础提质|直接开平方法、配方法步骤、因式分解基本形式、公式法要素|以选择、填空、基础解答题为主，强化概念理解与基本运算，如配方法配方结果判断| |能力提升|跨知识点综合应用（配方法与几何拼图、因式分解与三角形边长）、新定义运算|结合实际情境与逻辑推理，如矩形割补问题，培养推理意识| |素养提优|数学史应用（欧几里得几何解法）、综合实践与证明|融合几何直观与数学文化，如《几何原本》方程根的图形解法，发展数学眼光| |微专题|配方法比较大小、十字相乘法|专项解题技巧拓展，深化运算能力与方法迁移|

1.2一元二次方程的解法 第1课时 配方法 基础提质 知识点1 直接开平方法 1.若关于x的一元二次方程 可以用直接开平方法求解，则m的值可以是( ) A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 2.一元二次方程( 可转化为两个一元一次方程，其中一个是x+3=5，则另一个是 . 3.若关于x的一元二次方程 的两个根分别是a+2与3a-6,则 的值为 . 4.用直接开平方法解下列方程： (2) 知识点2 用配方法解二次项系数为 1的一元二次方程 5.用配方法解方程 时，配方结果正确的是( ) 6.学科特色变式将下列各式配方(在空格中填上适当的数)： 7.将一元二次方程 化为 的形式,则m+n= . 8.用配方法解下列方程： (1)x²+10x+9=0. (2)x²-12x-13=0. (3)x²+4x+3=0. 知识点3 用配方法解二次项系数不为1 的一元二次方程 9.用配方法解一元二次方程 下列配方正确的是( ) 10.将下列各式配方(在空格中填上适当的数)： 11.解下列方程： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 能力提升 12.如图，在用配方法解一元二次方程 时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是(x+6)、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是 . 13.设方程 的正根介于整数m与m+1之间，则m= . 14.在实数范围内定义运算“☆”和“★”,其规则为 则方程2☆x=x★10的解为 . 15.已知关于x的一元二次方程 (1)若方程有一个根为0，求实数a的值. (2)当a=4时，等腰△ABC的底边长和腰长分别是一元二次方程的两个根.请用配方法解方程，并求出△ABC的周长. 素养提优 16.欧几里得的《几何原本》中记载了形如0)的方程根的图形解法：如图，画 Rt△ABC，使∠ACB=90°,AC=2c,AB=b，以B 为圆心，BC长为半径画圆，交射线AB 于点D，E，则该方程较大的根是( ) A. CE 的长度 B. CD的长度 C. DE 的长度 D. AE的长度 学科网（北京）股份有限公司 微专题 用配方法比较代数式的大小 比较两个代数式的大小，常用作差法：先求它们的差，再配方得到一个完全平方式，再运用完全平方式的非负性求出差的最值，进而判断差的正负，从而比较出两个代数式的大小. 1.已知 (m为任意实数)，比较大小:P Q.(填“>”“<”或“=”) 2.若 请比较A 与B 的大小，并说明理由. 第2课时 因式分解法 基础提质 知识点 因式分解法 1.方程 0的根可以是( ) A. x=0 B. x=1 C. x=2 D. x=-1 2.一元二次方程 2 025x的解是 . 3.请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一个根比-2小，比-4大，你构造的一元二次方程是 . 4.学科特色教育开用因式分解法解下列方程： (2)3)=0. (3) 能力提升 5.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程 的一个根，则这个三角形的周长是( ) A.9 B.12 C.13 D.12或13 6.对于实数a，b，定义运算“※”如下： 例如： 5×3=10.若(x+1)※(3x-2)=3,则x的值为( ) A.0 B.-0.5 C.0或-0.5 D.0或0.5 7.( )关于x的方程 的两个根x₁,x₂满足 且 则m的值为( ) A.-3 B.1 C.3 D.9 8.如图，已知A，B，C是数轴上异于原点O的三个点，且点O为AB的中点，点B为AC的中点.若点B表示的数是x，点C 表示的数是 则x= 。 9.阅读下面的材料，解答问题. 材料：解含绝对值的方程： 解：①当x≥0时，原方程化为 解得 (舍去);②当x<0时，原方程化为 解得 (舍去).综上所述，原方程的解是x=5或x=-5.请参照上述方法解方程 学科网（北京）股份有限公司 10.小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法，如：解方程x(x+4)=6. 解：原方程可变形，得[(x+2)-2][(x+2)+2]=6,∴ 直接开平方并整理，得 我们称小明这种解法为“平均数法”. (1)下面是小明用“平均数法”解方程(x+5)·(x+9)=5时写的解题过程. 解：原方程可变形，得|[(x+a)-b][(x+a)+ 直接开平方并整理，得 上述过程中的a，b，c，d表示的数分别为 , , , . (2)请用“平均数法”解方程:(x-5)(x+7)=12. 素养提优 11.核心素养 阅读后解答问题.运算能力 解方程： 解：拆项，分组得 提公因式，得2x(x-2)+(x-2)=0, 再提公因式,得(x-2)(2x+1)=0, 所以x-2=0或2x+1=0, 即 运用以上方法解方程： 学科网（北京）股份有限公司 微专题 用十字相乘法解一元二次方程 将多项式的乘法( 反过来可得 ∴形如 的方程可以转化为(x+a)(x+b)=0,即对于一元二次方程 若p=a+b,q= ab,则方程 可以直接变形为(x+a)(x+b)=0，从而可得方程的解为 这种解方程的方法称为十字相乘法.用此法简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中，横写因式. 1.用十字相乘法解下列方程：2.解方程： 8(x+2)+15=0. (2) 3.解方程： 第3课时 公式法 基础提质 知识点 1 公式法 1.用公式法解一元二次方程 时，应先将方程化为 的形式，则a，b，c的值分别为( ) A.3,-4,8 B.3,-4,-8 C.3,4,-8 D.3,4,8 2.若x =是一元二次方程 的根，则(a+b+c=( ) A.-2 B.4 C.2 D.0 3.利用公式法解得一元二次方程 的两根为：x₁,x₂,且 则x₁为( ) 4.学科特色教材变式解下列方程： (1) (2) 知识点2 一元二次方程根的判别式 5.关于一元二次方程 0的根的情况，下列结论正确的是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 6.关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则m的值为 . 7.已知关于x的一元二次方程 无实数根，则一次函数y=mx+m的图象不经过第 象限. 8.将一个常数项不为0的一元二次方程的二次项系数与常数项对调，得到的新的一元二次方程称为原方程的“逆方程”. (1)写出方程 的逆方程. (2)已知某一元二次方程(常数项不为0)没有实数根，求证：其逆方程也没有实数根. 知识点 用合适的方法解一元二次方程 9.解方程2)最合适的方法应是( ) A.因式分解法 B.配方法 C.直接开平方法 D.公式法 10.用合适的方法解下列方程. (1) (2) (3) 能力提升 11.如果一元二次方程 满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“快乐”方程.已知 (a≠0)是“快乐”方程，且a=c，则下列结论正确的是( ) A.方程有两个不相等的实数根 B.方程有两个相等的实数根 C.方程没有实数根 D.无法确定方程根的情况 12.对于一元二次方程 下列说法： ①若a+b+c=0,则 ②若方程 0有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；③若c 是方程 c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x₀是一元二次方程 的根，则 其中正确的是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 13.在平面直角坐标系中，若点 P 的坐标为(m，n)，则称关于x的方程 为点 P 的对应方程.已知点A(1,1),B(-2,4),则线段AB上任意点的对应方程的实数根有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 14.我们规定：对于任意实数a,b,c,d有[a,b]*[c,d]= ac-bd,其中等式的右边是通常的乘法和减法运算，如：[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13.已知关于x的方程|[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个实数根，则m的取值范围是 . 15.已知 小明同学作出如下结论：无论x取什么实数，y₁都不等于y₂.你是否同意他的说法?并说明你的理由. 16.已知关于x的方程 (1)求证：方程总有两个实数根. (2)若方程有一个不小于3 的根，求实数k的取值范围. 素养提优 17.已知m，n,p分别是Rt△ABC的三边长,且;m≤n<p. (1)求证：关于x的一元二次方程 n=0必有实数根. (2)若x=-1是一元二次方程 的一个根，且 Rt△ABC的周长为 求Rt△ABC 的面积. 学科网（北京）股份有限公司 题型1 多元方程 1.已知 xy≠0,且 则 题型2 高次方程 2.(1)已知a，b为实数且满足 则 的值为 . (2)已知实数x满足则代数式 的值为 . 3.阅读下面的材料： 解方程 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常如下：i设 y,则 ∴原方程可化为 解得 当y=3时, 当y=4时 ∴x=±2.∴原方程的根是 此方法为换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法，解答下列问题. (1)解方程: (2)已知实数a，b满足 10=0,试求 的值. 题型3 含分式的方程 4. 解方程： 题型4 无理方程 5.阅读下列【问题】与【提示】后，将解方程的过程补充完整，求出x的值. 【问题】解方程： 【提示】可以用“换元法”解方程. 解：设 则有 ∴原方程可化为 【续解】 1.2一元二次方程的解法 第1课时 配方法 基础提质 1. A 由题意可知m+1≥0,解得m≥-1,故选 A. 2.答案 x+3=-5 3.答案 解析 ∵关于x的一元二次方程 的两个根分别是 a+2与3a-6,∴a+2+3a-6=0,，解得a=1，∴方程的两个根是 4.解析 ∴2x-1=2.或2x-1=-2, 故选 A. 6.答案 (1)36;6 (2), (3)(4)2; 解析 7.答案26 解析 配方得 即(x+ 所以m=4,n=22,所以m+n=4+22=26. 8.解析 移项，得 配方，得 即 开平方，得x+5=±4, 移项，得 配方，得 即 开平方，得：x-6=±7, 移项，得 配方，得 即 开平方，得 移项，得 配方，得 开平方，得 9. C方程 整理得 配方得 故选 C. 10.答案 (1)3;13 解析 11.解析 (1)移项,得 两边同时除以4，得 配方，得 (2)原方程可以变形为 配方，得 即 开平方，得 技巧归纳 用配方法解一元二次方程的一般步骤 一化 化二次项系数为1 二配 配方，使原方程变为 的形式 三移 移项，使方程变为 的形式 四开 如果n≥0，就可以左右两边同时开平方，得 如果 n<0，方程无解 五解 n≥0时，方程的根为 另外，如果是解决实际问题，那么还要注意判断结果是否符合实际 说明：对于具体的某一个方程，并不一定要严格按照一般步骤求解，过程合理即可. 能力提升 12.答案3 解析 49,∴m=3. 13.答案2 解析 移项得 配方得 1=9+1,即 解得 ∵9<10<16,. 则m=2. 14.答案 解析由题意，得 ∵2☆x=x★10, 整理，得 移项，得 5x=-4,配方，得 即 两边开平方，得x- =± 15.解析(1)∵方程有一个根为0， ∴a=1或a=-1. (2)当a=4时,方程为 配方,得(x- 直接开平方，得x-4=±1,解得 当△ABC的底边长为3 时，该三角形的三边长为3，5,5,其周长为3+5+5=13;当△ABC 的底边长为5时，该三角形的三边长为5，3，3，其周长为5+3+3=11.综上所述,△ABC的周长为13或11. 素养提优 16. D 则 在 Rt△ABC 中, ∴方程较大的根为AB+BC=AB+BE=AE 的长度,故选 D. 微专题 1.答案 < 解析 0,∴P<Q. 2.解析 A>B,理由如下: ∴A>B. 3.解析 理由如下：∵(m²+ 第2课时 因式分解法 基础提质 1. A 方程可化为x(x-8)=0,故x=0或x-8=0,所以 故选 A. 2.答案 解析 移项，得 因式分解，得x(x-2 025)=0,解得 易错警示 解此题时，易发生将方程两边同时除以x导致漏解的情况.这类题目的正确解法是先移项，再提取公因式求解. 3.答案 (答案不唯一) 解析 一个根为2，另一个根比-2小，比-4大，不妨设另一个根为-3，此时方程为((x-2)(x+3)=0,即: x-6=0.(答案不唯一) 4.解析 (1)∵x²-9=3-x,∴(x+3)(x-3)=-(x-3),∴(x+3)(x-3)+(x-3)=0,∴(x-3)(x+3+1)=0,∴x-3=0或 (2)∵(x-3)²+4x(x-3)=0,∴(x-3)(x-3+4x)=0,∴(x-3)(5x-3)=0,∴x-3=0或5x-3=0, (3)移项,得( ∴(2x-1+x-3)(2x-1-x+3)=0, ∴(3x-4)(x+2)=0, ∴3x-4=0或.x+2=0, 技巧归纳 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程的右边化为0；(2)对方程的左边进行因式分解，化为两个一次因式的积的形式；(3)因为“积是0，每个因式都有可能是0”，所以使这两个因式的值分别等于0，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解. 能力提升 5. C 解方程 得((x-3)(x-4)=0,∴x-3=0或x-4=0,解得 当第三条边的长为3时，3+3=6，不能构成三角形；当第三条边的长为4时，能构成三角形，三角形的周长是3+6+4=13.故选C. 6. D 由题意得(2)=3,即 解得 故选 D. 7. C ∴(x-m+2)(x-m-2)=0,∴x-m+2=0或x-m-2=0, ∴m+2=2(m-2)+3,角解得m=3.故选 C. 8.答案 6 解析 ∵ O 是原点,且是 AB 的中点,∴ OA =OB,∵点 B表示的数是x,∴点A 表示的数是-x.∵点 B 是AC的中点,∴AB=BC, 解得 ∵B异于原点,∴x≠0,∴x=6. 9.解析 ①当x+1≥0,即x≥-1时,原方程可化为x²-(x+1)-1=0,整理，得 解得 ②当x+1<0,即x<-1时,原方程可化为 0，整理，得 解得x₃=-1(舍去),,x₄=0(舍去).综上，原方程的解是x=2或x=-1. 10.解析 (1)∵(x+5)(x+9)=5, ∴[(x+7)-2][(x+7)+2]=5,∴(x+7)²-2²=5, ∴(x+7)²=9,∴x+7=3或x+7=-3, 解得 ,∴a,b,c,d表示的数分别为7,2,-4,-10.故答案为7;2;-4;-10. (2)∵(x-5)(x+7)=12,∴[(x+1)-6][(x+1)+ 或 解得 素养提优 11.解析 拆项，分组得 提公因式,得3x(2x+3)-(2x+3)=0,再提公因式,得(2x+3)(3x-1)=0,即2x+3=0或 微专题 1.解析(1)原方程可以变形为(x+4)(x+3)=0,∴x+4=0或 (2)原方程可以变形为 或 2.解析 原方程可以变形为(x+2-3)(x+2-5)=0,∴(x-1)(x-3)=0,∴x-1=0或x-3=0,∴x₁=1, 3.解析 原方程可以变形为( 或 第3课时 公式法 基础提质 -8,故选 B. 2. D 由题意得a=3,b=-2,c=-1,∴a+b+c=3-2-1=0,故选 D. 3. D ∵a=3,b=-11,c=-1,∴b²-4ac=(-11)²-4×3× ∵一元二次方程 的两根为x₁,x₂,且x₁>x₂,∴x₁为 故选 D. 4.解析 (1)∵a=2,b=3,c=-5, (2)将原方程整理得 ∴a=2,b=2,c=-1, 题型解读利用求根公式解一元二次方程的一般步骤：先将方程化为一般形式，然后计算 的值，当 的值大于或等于零时，再代入求根公式求解. 5. A ∵Δ=(-3)²-4×1×1=5>0, ∴方程 有两个不相等的实数根.故选 A. 6.答案 ±2 解析 ∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根， 7.答案 四 解析 ∵方程 无实数根， 解得m>1, 当m>1时，一次函数y=mx+m的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限. 8.解析(1)方程 的逆方程为 2=0. (2)证明：令这个一元二次方程为c≠0)，∵此方程没有实数根， 此方程的逆方程为 则 ∴其逆方程也没有实数根. 9. A 移项,得( 提取公因式，得(x-2)[(x-2)-3]=0,因此,最合适的方法是因式分解法. 10.解析 (1)【解法一】∵2x)(x-3-5+2x)=0,∴(-x+2)(3x-8)=0,∴-x+2=0或 【解法二】∵2x)²,∴x-3=±(5-2x),∴x-3=5-2x或x-3=-5+ (3)∵a=2,b=4,c=-3,∴Δ=4²-4×2×(-3)=16+ 题型解读 选用合适的方法解一元二次方程 若方程易化为(mx+n)²=p(m≠0,p≥0)的形式，则选用直接开平方法；若方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数，则选用配方法；若将方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则选用因式分解法；若用直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便，则选用公式法. 能力提升 11. B 是“快乐”方程，∴a+b+c=0,∴b=-a-c,∵a=c,∴b=-2a,. 4a·a=0，∴方程有两个相等的实数根.故选 B. 12. D ①∵a+b+c=0,∴x=1是一元二次方程 c=0(a≠0)的一个解,即方程有解,. 错误；②方程 有两个不相等的实根，则-4ac>0,即4ac<0,则方程 的判别式 4ac>0,∴方程 必有两个不相等的实根，②正确；③若 c 是方程 的一个根，则 ∴c(ac+b+1)=0,∴c=0或ac+b+1=0,故③错误；④若x₀是一元二次方程( 的一个根，则 或 则 或 即 故④正确.故选 D. 13. A 设直线AB 的解析式为y= kx+b,∴ 解得 。直线AB 的解析式为y=-x+2,设线段AB上任意一点的坐标为(a，-a+2)，∴这个点的对应方程为∵-2≤a≤1,∴0≤a+2≤3, ∴-12≤Δ≤-3,即Δ<0,∴线段AB 上任意点的对应方程都没有实数根，故选 A. 14.答案 且m≠0 解析 根据题意得[x,2x-1]*[mx+1,m]=x(mx+1)-m(2x-1)=0, 整理，得 由条件可知 且m≠0. 15.解析 同意，理由如下： 假设存在实数x，使得 则方程 有实数根，整理方程得 ∴方程 没有实数根，∴假设不成立，即无论x取什么实数，y₁都不等于y₂. 16.解析 (1)证明:∵a=1,b=-(k+3),c=2k+2,∴△=∴方程总有两个实数根. (2)由(1)得Δ=(k-1)²≥0,∴ ∵方程有一个不小于3的根,∴k+1≥3,解得k≥2. 素养提优 17.解析 (1)证明:∵m,n,p分别是 Rt△ABC 的三边长，且m≤n<p, ∴关于x的一元二次方程 必有实数根. (2)∵x=-1是一元二次方程 的一个根，∴ ∵Rt△ABC的周长为2+2,∴m+n+p=2+2②,由①②可得m+n=2,p=2,∴(m+n)²=8, 又∵m²+n²=p²=4,∴2mn=4,∴mn=1, ∴ Rt△ABC 的面积是1. 专项突破3 换元法在解特殊方程中的应用 1.答案 -4或1 解析 ∵xy≠0,∴x≠0且y≠0,∵ ∴x²+3xy²-4y²=0.0即( )²⁺=0,令xy=a,则a²+3a-4=0,∴(a+4)(a-1)=0,∴a=-4或1, 或1. 2.答案 (1)3 (2)7 解析 (1)设 则 解得x=3或x=-2. (2)设 则 解得m=-2或m=6.当m=-2时, 即x²-x+2=0,∴△=1-8<0, ∴方程没有实数根，故m=-2不合题意，舍去，当m=6时 即 ,∴△=1+24>0,故m的值为6, 3.解析 (1)设 则原方程可化为 因式分解，得((y-1)(y-4)=0,解得 当y=1时, 即 解得 当y=4时, 即 解得 综上所述，原方程的解为 (2)设 则原方程可化为 方程可变形为(n-5)(n+2)=0,解得 (舍去)，故 4.解析 原方程可变形为 设 则原方程可化为 ①当y=3时， 即 对于 ∴方程有两个不相等的实数根， 经检验， 是原方程的解.②当y=-1时,x+ 即 对于 4=-3<0,∴方程无实数根. 综上，原方程的解为 5.解析 ∴((t+2)(t-4)=0,∴t+2=0或t-4=0,. -2(舍去), 当t=4时, 则 16,配方得( 解得 经检验， 和 都是原方程的解，∴原方程的解为 学科网（北京）股份有限公司 $