精品解析：上海市市西中学2026-2027学年第一学期学科调研高三数学试题

市西中学2026学年第一学期学科调研 高三数学 2026.10 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，每题只要求直接填写结果，第1到6题填对得4分，第7到12题填对得5分，否则一律得零分. 1. 集合，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由集合的交集运算即可求解. 【详解】由，， 则. 2. 不等式的解集为______ 【答案】 【解析】 【详解】对于分式不等式，可将其转化为整式不等式：， 解得. 所以不等式的解集为. 3. ，则向量在向量方向上的数量投影为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量投影的计算公式计算即可. 【详解】，，. 向量在向量方向上的数量投影为. 4. 已知复数（是虚数单位），则______. 【答案】 【解析】 【详解】， ， . 5. 已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【详解】根据题意画出图象如下图所示： 易知当与直线垂直时，点与点之间距离最小； 其余位置如，则； 所以最小值即为点到直线的距离， 所以，点与点之间距离的最小值为3. 6. 已知数列的前n项和为，且满足，，则________． 【答案】4051 【解析】 【分析】由题意得数列是等差数列，由等差数列的前项和及性质求得后再求出，然后由通项公式计算． 【详解】因为，所以，所以是等差数列，且公差为， 所以，，从而， 所以． 7. 在的展开式中，项的系数为_________．（用数字作答） 【答案】60 【解析】 【详解】二项式的通项公式为： ， 化简得：，令 ，解得. 将代入通项公式，可得项的系数为： . 8. 已知，，且，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由指数运算性质得，结合基本不等式即可求解. 【详解】已知，，，得， 由基本不等式，得， 当且仅当，即时取等号， 此时满足条件，因此的最小值为. 9. 从正五棱柱的15条棱中任意选取2条棱，若这两条棱异面，则不同选法的种数为______. 【答案】50 【解析】 【分析】异面棱的组合分为三类：侧棱与上底面棱，侧棱与下底面棱，上底面棱与下底面棱,分类讨论情况即可求解. 【详解】侧棱与上底面棱异面的选法：种； 同理可得，侧棱与下底面棱异面的选法：种； 上底面棱与下底面棱异面的选法：种， 综上：正五棱柱的两条棱异面的选法：种. 10. 如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度） 【答案】 【解析】 【分析】设，根据题意表示出公园产生的净收益为，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】由题意，设，由于扇形的半径为1，， 则，， 所以公园产生的净收益为， 则， 令，得，而， 则（近似值），即此时函数单调递增； 令，得，而， 则（近似值），即，此时函数单调递减， 则扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，. 11. 在平面直角坐标系中，椭圆的上下两顶点分别为、，右焦点为，为坐标原点，直线与椭圆交于另一点.若过，，三点的圆在点处的切线与轴平行，则椭圆的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设，直线，根据题设可得，再联立直线与椭圆方程，得，再由点在椭圆上，即可求解. 【详解】由题知，设， 易知过，，三点的圆的圆心在直线上， 又过，，三点的圆在点处的切线与轴平行， 所以切线方程为，且圆心在直线上，所以， 又直线，由，得到， 整理得到，又，所以，则点， 所以，整理得到，所以， 解得或， 又，所以. 12. 已知集合.将的子集中的元素按从小到大排列为.若对任意的，与的奇偶性相同，则称该子集是的“好子集”.规定空集也是“好子集”.记是的“好子集”的个数，则______. 【答案】89 【解析】 【分析】先分析集合元素的奇偶交替特征，通过引入“奇个数好子集”和“偶个数好子集”两个辅助量，分“选或不选第n个元素”两种情形严谨推导递推关系，证明好子集总数满足斐波那契递推规律，最后结合初始条件逐步计算得到结果. 【详解】集合的第个元素为（）： 当为奇数时，是奇数，故等于为奇数+1是偶数； 当为偶数时，是偶数，故等于偶数+1是奇数. 即集合中元素按“偶、奇、偶、奇……”交替排列： 第奇数个元素为偶数，第偶数个元素为奇数. 为严谨推导递推关系，我们引入两个辅助计数： ：前个元素中，元素个数为奇数的好子集的个数； ：前个元素中，元素个数为偶数的好子集的个数（空集元素个数为0，属于偶子集）. 显然好子集总数满足恒等式：. 我们在前个元素的基础上加入第个元素， 分“不选”和“选”两种情形讨论. 情形1：不选第个元素， 此时所有好子集就是前个元素的好子集， 因此：奇个数好子集数仍为，偶个数好子集数仍为， 情形2：选第个元素，设选中后，它在子集中是第个元素. 根据“好子集”定义，的奇偶性必须与的奇偶性相同. 由于子集按从小到大排列，为前n-1个元素中选中的个数加1， 因此：若要求为奇数，则前个元素需选出偶数个元素构成好子集； 若要求为偶数，则前个元素需选出奇数个元素构成好子集. 接下来按的奇偶性分别推导： （1）当为奇数时，此时是偶数，要求位置为偶数， 即前个元素需选出奇数个元素.因此选时，原来的奇子集加上后会变成偶子集， 不会新增奇子集.结合“不选”的情形，可得：， （2）当为偶数时，此时是奇数，要求位置为奇数， 即前个元素需选出偶数个元素.因此选时，原来的偶子集加上后会变成奇子集， 不会新增偶子集.结合“不选”的情形，可得：， 由，结合上述递推式分奇偶验证： 当为奇数时：，由于为奇数，则为偶数； 对偶数项有，代入得， 当为偶数时：， 由于为偶数，则为奇数； 对奇数项有，代入得. 综上，对任意，好子集总数都满足斐波那契型递推公式：. （空集）：只有空集1个好子集，故，，. （集合）：好子集只有空集，中元素2为偶数，位置1为奇数，奇偶性不同， 不是好子集，故，，. （集合）：好子集有：空集、（5是奇数，位置1是奇数，符合条件）， 故，验证递推：，公式成立. 根据递推公式依次计算： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13到14题选对得4分，第15到16选对得5分，否则一律得零分. 13. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线和平面位置关系判断A；根据面面平行的判定定理以及直线和平面位置关系判断B；结合平面与直线垂直的性质判断C；根据直线与平面垂直的性质和直线与平面平行的性质判断D. 【详解】选项A：平行于同一个平面的两条直线，位置关系可以是平行、相交或异面，并非一定平行，因此A错误. 选项B：两个平面内各存在一条互相平行的直线，无法推出两个平面平行， 比如两个相交平面，也能找到分别在两个平面内的平行直线，因此B错误. 选项C：根据垂直于同一条直线的两个不同平面互相平行，可知C正确. 选项D：若且，则或者，并非一定平行于平面，因此D错误. 14. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在处取得最大值 C. 函数在上单调递减 D. 在区间内的函数值为负 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可得的符号，进而可判断的单调性，结合的单调性逐项分析判断. 【详解】由图象可得：当或时，；当或时，； 故的单调递增区间为，单调递减区间为， 故A错误，C正确； 函数在处取得极大值，不一定是最大值，故B错误； 根据题意只能得到的符号，以及的单调区间，无法判断的符号，故D错误. 15. 甲、乙两个转盘均标有数字1，2，3，甲转盘指向1的概率为p，指向2，3的概率相等；乙转盘指向1的概率为q，指向2，3的概率相等，其中．现独立地转动两转盘各一次，若“甲转盘指向1”与“两个转盘指向相同的数字”相互独立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设事件E表示“甲转盘指向1”，事件F表示“两个转盘指向相同的数字”， 则，， ． 由事件E与事件F相互独立，得． 因为，所以， 即，整理得． 因为，所以． 16. 设是定义在上的连续函数，且满足.令.若是奇函数，则称为“平方奇差函数”.已知为“平方奇差函数”，令.给出下列命题： ①；②是偶函数；③若是常值函数，则满足条件的只有两个. 其中真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用为“平方奇差函数”的定义可知，对于命题①，令，可得，解得；对于命题②，由已知可得为周期函数，结合，可得是偶函数；对于命题③，若是常值函数，设，则.再由，可知或，故命题③正确. 【详解】因为为“平方奇差函数”， 所以 化简可得. 对于命题①，令，则， 解得或，故命题①正确； 对于命题②，， 因为，结合 可得， 若是偶函数，则，即证 即证， 即证， 即证 即证或 若等价于符合题意. 因为，所以的情况不存在， 综上， 是偶函数，命题②正确. 对于命题③，若是常值函数，设，则. 因为为奇函数，得， 即，又因为， 所以，解得或. 所以或.故命题③正确. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，，且，，. （1）求二面角的大小； （2）已知为中点，问：棱上是否存在一点，使得与垂直？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角； （2）假设线段上存在一点，使得与垂直，设，由求出即可得． 【小问1详解】 因为面， 面，所以，． 又，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 设平面的一个法向量，平面的一个法向量． 因为，则有， 取，得，所以， 因为， 取得，，所以． 则有， 设二面角的大小为，为钝角，则， 而，所以． 【小问2详解】 假设线段上存在一点，使得与垂直， 设，可得，，， 因为，所以，解得． ． 18. 某校举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）学校拟根据成绩划分一二三等奖，现规定分数在前30%的为一等奖，求频率分布直方图中的值，并估计一等奖的分数线（一等奖的分数线四舍五入到0.01）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了10名学生，现从已抽取的10名学生中随机抽取4名，求至多有2名学生的成绩在内的概率； （3）已知本次竞赛最终由甲、乙两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛结束）.已知每一局比赛中，甲胜乙的概率均为，且每局比赛结果互不影响.求甲获得冠军的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 频率分布直方图所有矩形面积之和为，组距为， 即， 即， 解得， 各组频率：， 前为一等奖，即从高分往低分累计，累计频率， 频率频率， 设分数线为，，， ，， ，一等奖分数线约分. 【小问2详解】 频率，频率，频率比， 分层抽样抽取人：抽人，抽人， 设事件：至多名学生成绩在，即名，名，名， ， 故所求的概率为. 【小问3详解】 甲获得冠军分为两种情况： ①前两局甲全胜：， ②前两局甲乙一胜一负，第三局甲胜： ， . 19. 已知函数，，，函数的定义域为. （1）当时，若函数在区间上存在最小值，求的取值范围，并求出该最小值； （2）若函数的图像经过点，且函数的图像与轴有两个不同的公共点，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数，判断的单调性，由函数在区间上存在最小值，可求的取值范围，并求出该最小值； （2）由函数的图像经过点，得，函数的图像与轴有两个不同的公共点，转化为方程在定义域内有两个相异实根，结合两根存在的条件求的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 则有在上恒成立，即， 时，恒成立，故， ， 令，则， 函数在区间上存在最小值，所以， 时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以. 【小问2详解】 依题意，，即，得， 时，有， 则在时有两个相异实根， 且，，故两根同号， ，即或， 且，即， 若，则， 所以的取值范围为. 20. 已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点. （1）求双曲线的焦点坐标和渐近线方程； （2）过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，求的值； （3）若，如图，过作圆的切线，切点为，交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点.设，求实数的取值范围. 【答案】（1）焦点坐标为，渐近线方程为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程求出，从而求出焦点坐标与渐近线方程； （2）设，则，求得双曲线的渐近线方程分别与相应的垂线方程联立，求得交点，，以及、的坐标，由向量数量积的坐标表示，化简整理，即可得解； （3）设切点，则切线的方程为，且，联立直线与曲线方程，消元，列出韦达定理，利用弦长公式表示出、，从而得到的式子，再根据的取值范围计算可得. 【小问1详解】 双曲线的标准方程为，则， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为； 【小问2详解】 设，则， 由，解得，所以， 由，解得，所以， 所以，， 所以 ， 即． 【小问3详解】 设切点，则切线的方程为，且， 由，解得，所以， 设，，，， 由，消去得，所以； 由，消去得，所以； 所以，， 所以 ， 又，所以， 因为，所以，所以，所以， 即. 21. 设是定义在上的函数.若对任意，，当时，均有，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若分段函数具有性质，且，，求实数，，，的值； （3）已知在上连续且值域为.证明：“是奇函数”的充要条件是“具有性质”. 【答案】（1）不具有性质，理由如下. 首先对性质做核心等价变形：对任意， 由移项可得， 设，则是上的常值函数， 存在常数使得对任意，都有. 取，，满足， ， ， 由于，不满足性质的等式要求，因此不具有性质； （2） （3）①证明充分性： 若是奇函数，则对任意，都有， 对任意满足的实数，， 即成立，因此满足性质，充分性得证； 证明必要性：若具有性质， 则存在常数，使得对任意，都有，结合值域条件确定， 因为的值域为，且遍历全体实数，因此的值域也为， 由，结合可得， 即的值域为，而已知的值域为， 因此值域必须完全对应，所以，解得， 因此对任意，，即， 故是奇函数，必要性得证； 综上，“是奇函数”的充要条件是 “具有性质”. 【解析】 【分析】（1）先把性质的条件等价转化为是上的常值函数，再取，代入验证等式不成立，从而判定不具备性质； （2）利用性质等价于为常数，结合、建立方程组，再由常函数一次项系数为0求出参数； （3）分充分、必要双向证明；充分性直接利用奇函数定义代入验证性质等式，必要性利用性质得到，结合值域求出，证出奇函数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 已知分段函数具有性质，且，， 由得，即， 由，， 得，整理得，将代入得， 由性质可知为常值函数， 当时，，因此， 故， 当时，， 因为是常值函数，因此的系数必须为0，且常数项等于， 一次项系数： ， 常数项：，代入得， 将、代入，得，得，因此， 所以，此时，验证得为常值函数，满足所有条件； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 市西中学2026学年第一学期学科调研 高三数学 2026.10 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，每题只要求直接填写结果，第1到6题填对得4分，第7到12题填对得5分，否则一律得零分. 1. 集合，，则________． 2. 不等式的解集为______ 3. ，则向量在向量方向上的数量投影为__________. 4. 已知复数（是虚数单位），则______. 5. 已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 6. 已知数列的前n项和为，且满足，，则________． 7. 在的展开式中，项的系数为_________．（用数字作答） 8. 已知，，且，则的最小值为______． 9. 从正五棱柱的15条棱中任意选取2条棱，若这两条棱异面，则不同选法的种数为______. 10. 如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度） 11. 在平面直角坐标系中，椭圆的上下两顶点分别为、，右焦点为，为坐标原点，直线与椭圆交于另一点.若过，，三点的圆在点处的切线与轴平行，则椭圆的离心率为______. 12. 已知集合.将的子集中的元素按从小到大排列为.若对任意的，与的奇偶性相同，则称该子集是的“好子集”.规定空集也是“好子集”.记是的“好子集”的个数，则______. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13到14题选对得4分，第15到16选对得5分，否则一律得零分. 13. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 14. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在处取得最大值 C. 函数在上单调递减 D. 在区间内的函数值为负 15. 甲、乙两个转盘均标有数字1，2，3，甲转盘指向1的概率为p，指向2，3的概率相等；乙转盘指向1的概率为q，指向2，3的概率相等，其中．现独立地转动两转盘各一次，若“甲转盘指向1”与“两个转盘指向相同的数字”相互独立，则（ ） A. B. C. D. 16. 设是定义在上的连续函数，且满足.令.若是奇函数，则称为“平方奇差函数”.已知为“平方奇差函数”，令.给出下列命题： ①；②是偶函数；③若是常值函数，则满足条件的只有两个. 其中真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，，且，，. （1）求二面角的大小； （2）已知为中点，问：棱上是否存在一点，使得与垂直？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 18. 某校举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）学校拟根据成绩划分一二三等奖，现规定分数在前30%的为一等奖，求频率分布直方图中的值，并估计一等奖的分数线（一等奖的分数线四舍五入到0.01）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了10名学生，现从已抽取的10名学生中随机抽取4名，求至多有2名学生的成绩在内的概率； （3）已知本次竞赛最终由甲、乙两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛结束）.已知每一局比赛中，甲胜乙的概率均为，且每局比赛结果互不影响.求甲获得冠军的概率. 19. 已知函数，，，函数的定义域为. （1）当时，若函数在区间上存在最小值，求的取值范围，并求出该最小值； （2）若函数的图像经过点，且函数的图像与轴有两个不同的公共点，求的取值范围. 20. 已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点. （1）求双曲线的焦点坐标和渐近线方程； （2）过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，求的值； （3）若，如图，过作圆的切线，切点为，交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点.设，求实数的取值范围. 21. 设是定义在上的函数.若对任意，，当时，均有，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若分段函数具有性质，且，，求实数，，，的值； （3）已知在上连续且值域为.证明：“是奇函数”的充要条件是“具有性质”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $