第1章 二次函数单元测试能力提升卷 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

浙教版数学九年级上册第1章 二次函数单元测试能力提升卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．已知抛物线 上有三点(-2，y1)，(-1，y2)，(2，y3)， 则y1， y2， y3的大小关系为(　　) A． B． C． D． 2．已知抛物线 当x=1时， y<4，且当x>2时， y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（　　) A．m>-3 B．m<2 C．- 3≤m<2 D．1<m≤3 3．根据物理学规律，如果把一个小球从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么小球经过 xs离地面的高度(单位： m)为10x-4.9x2.根据该规律，下列对方程 的两根x1≈0.88与x2≈1.16的解释正确的是(　　) A．小球经过约1.02s离地面的高度为5m B．小球离地面的高度为5m时，经过约0.88s C．小球经过约1.16s离地面的高度为5m，并将继续上升 D．小球两次到达离地面的高度为5m的位置，其时间间隔约为0.28s 4．二次函数 图象如图， 则①a+b+c=0； ②4a-2b+c=m； ③a-b+c>m ；④abc<0， 其中正确的是(　　) A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②③ 5． 如图， 正方形EFGH的顶点 E， F， G， H分别在正方形 ABCD的四条边上，且AB=a，则正方形 EFGH面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．如图1，在△ABC中，CA=CB，动点D从点A出发以1个单位/秒速度向点B做匀速运动，设y=AC2-CD2，AB=a，点D运动时间为x（秒）（0≤x≤a），且y关于x的函数图象如图2所示，点（m，t）和（n，t）在函数图象上，且m=8-n（m＜n），则下列选项中正确的是（　　） A．a=10 B．当y=12时，则点D运动时间为2秒或8秒 C．点（5，16）在函数图象上 D．当2≤x≤7时，函数有最小值7 7．二次函数 图像上有 M(0， m)和N(3， n)两点， 下列关于m与n的大小关系，判断正确的是 (　　) A．m >n B．m≥n C．m <n D．m≤n 8．已知二次函数 y=a （x-m) （x+m-4) +3 （a≠0) 的图象上有两个点 A （x1， y1) ， B （x2， y2) ， 其中 x1＜x2，则下列说法正确的是（　　） A．若 a>0， x1+x2>4时， 则 y1＜y2 B．若 a>0， x1+x2<4时， 则 y1＜y2 C．若 时， 则 y1＜y2 D．若 时， 则 y1>y2 9．已知抛物线（，为常数且），当时．若抛物线与轴的交点位于最高位置时，则的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 10．已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知 是抛物线 上的两点，则y1，y2的大小关系为：　 　(填“>”“<”或“=”) 12．将抛物线平移到抛物线的位置，则抛物线顶点平移的最短距离为　 　． 13．抛物线 (a、b、c为常数， a<0)，经过(-1，t)， (3，t)两点，下列结论：①b=-2a；②抛物线与x轴一定有两个交点；③不等式 的解集为-1≤x≤3； ④若t<-2a，则y<-6a恒成立.其中正确的结论(序号)是　 　. 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上．若轴，则线段的长为　 　． 15．已知二次函数 的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是　 　.(写出一个即可) 16．如图1，将矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，点P从点C出发沿向点E运动，同时，点M以相同速度从点E出发沿向点G运动，连接．设的面积为与x的函数关系如图2所示，其中图象最低点N的纵坐标为，则的值为　 　． 三、解答题（共8题，共72分） 17．综合与实践 如图，某农户计划利用已有的一堵墙(墙足够长)，用篱笆围成一个矩形菜园ABCD。现有可用的篱笆总长为20m。设边AB长为 xm，请列方程解决下列问题。 （1）若矩形菜园的面积为48m2，求AB的长； （2）矩形菜园的面积有可能是55m2吗?若有，求x的值；若无，说明理由； （3）当x取何值时，矩形花坛的面积最大，并求出最大面积。 18．已知二次函数 (a为常数，且 a≠0) （1）求二次函数的对称轴； （2）若a>0，当-1≤x≤3时，函数的最大值为1，求a的值； （3）在(2)的条件下，如果 A(x1，m)， B (x2，n)在二次函数 的图象上，其中0≤t<2，求m-n的最大值． 19．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的2倍，我们称这个点为“双倍点”，例如A(1，2)就是“双倍点”.若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数 就是“双倍二次函数”. （1）求直线y=3x+2上的“双倍点”的坐标； （2）反比例函数 图象上否存在“双倍点”?如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由； （3）已知二次函数 (b，c是常数)是“双倍二次函数”，且函数图象与y轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式； （4）若“双倍二次函数” (m，n是常数)的图象过除顶点外的另一个“双倍点”(p，8)，并当t-1≤x≤t时，函数最小值为7，求t的值. 20．首届“湘超”足球联赛的火爆，掀起了全省中小学生热爱足球的热潮，带动了足球的畅销. （1）某商店计划购进A，B两种品牌的足球，已知A 品牌的单件进价比 B 品牌的单件进价高20 元，且用6000元购进的A品牌足球与用4800元购进的B 品牌足球的数量相同，分别求两种品牌足球的单件进价； （2）经调研发现，A品牌足球的销售量m与单件售价a成一次函数的关系，满足m=-2a+400，请你帮忙计算单件售价a为多少元时，该店销售A品牌足球的利润最大? 21．综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析.研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量y（千克）与每亩施氮量x（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中0≤x≤28.设中肥力麦田每亩的产量为y1（千克），低肥力麦田每亩的产量为y2（千克）.已知点A（0， 160），B（18， 646）， C（28， 496） 均在描述y1与x关系的抛物线上，且点 B 是这条抛物线的顶点. （1）建立模型： 求中肥力麦田中小麦每亩的产量y1与x的函数关系式； （2）应用分析： 已知低肥力麦田中小麦每田的产量y2与x的函数关系式为 ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同.当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块.当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为m千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为n千克.经判断n小于m，请直接写出m与n的差． 22．综合与实践 风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风风速超过2m/s，若创纪录不子承认.某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平. 【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据. 【模型假设】假设1：用w（单位：m/s）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示. （1）逆风风速1m/s记为　 　m/s. 假设2：风速w影响下的成绩记为T（单位：s），零风速状态下的成绩记为T。（单位：s），成绩变化量T。-T记为y，y与w的关系用函数近似描述. （2）描述y与w关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合T。和T的关系解释原因. 假设3：用二次函数描述y与w的关系. 【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为： （3）【模型应用】 请你估计顺风风速2m/s时的成绩变化量y. （4）某运动员在专项训练前后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风2m/s的条件下跑出11.12s的成绩，第二次在逆风1m/s的条件下跑出11.30s的成绩.据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平是否有提升. 【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在2m/s以内，因此超出此范围时，应递慎使用本函数模型. 23．已知抛物线y=ax（x-2a）（a>0）。 （1）若a=1时， ①求抛物线的对称轴。 ②当0≤x≤3时，求y的取值范围。 （2）已知A（x1，y1）和B（x2，y2）是抛物线上的两个点。若对于总有y1，y2同号，且y1>y2，求a的取值范围。 24．【研究背景】某实验室研发了一款面向复杂地形场景的巡检机器人．为避免其与障碍物发生碰撞，优化起跳性能，研究团队将机器人近似看作一点，以起跳点为坐标原点，水平向右为轴正方向，在固定起跳仰角下，机器人的跳跃高度与跳跃水平距离的关系，可用函数描述，式中为起跳速度（单位：），，是常数，轨迹系数由起跳速度的大小与仰角共同决定． 例如：以起跳时，则满足；以起跳时，则满足． 【模型研究】如图，将机器人跳跃轨迹抽象成形如的二次函数图象（，均为常数，，），该函数图象与轴交于点，取抛物线顶点，过作轴于点．机器人单次跳跃的水平距离为线段的长，跳跃最大高度为线段的长，经研究发现与存在一定的比例关系． （1）当，时，则，； （2）用含，的式子来表示，的长度，并求出的值； 【模型应用】图是研究团队利用高速摄像机记录的某次机器人连续两次跳跃的轨迹，两次跳跃均以某相同的起跳仰角起跳，每段跳跃轨迹均可用描述，两次共跳了远．在起跳点正上方处，设置有一条平行于地面的观测线．若两次跳跃过程中，均未触碰到，设两次跳跃的最大高度分别为，． （3）①求的值； ②设其第一次起跳的速度为（单位：），求的取值范围． 参考答案 1．C 2．C 3．D 4．B 5．D 6．D 7．C 8．A 9．A 10．C 11．> 12．5 13．①③④ 14．6 15． 16．7 17．（1）解：设边长为，则， ∵矩形菜园的面积为， ∴， 整理得，， 解得，， ∵，， ∴， ∴的长为或； （2）解：矩形菜园的面积不可能是，理由如下： 根据题意得，， 整理得，， ∴， ∴方程无实数解， ∴矩形菜园的面积不可能是； （3）解：设矩形菜园的面积为S， 根据题意得，， ∵， ∴当时，矩形菜园的面积最大，最大面积为． 18．（1）解：∵二次函数 ∴抛物线的对称轴为直线x=2 （2）解：∵a>0 ∴抛物线开口向上 ∵抛物线的对称轴为直线x=2且2-(-1)>3-2， ∴当-1≤x≤3时，函数值在x=-1处取得最大值1． 将x=-1， y=1，代入 ， 得a+4a+3a=1，解得 ​​​​​​​ （3）解：由(2)得， ∵0≤t<2 ∴自变量x的取值范围-4+2t≤x≤2-t 位于对称轴的左侧 ∴如图，点A，点B 位于对称轴左侧部分的图象上， ∴当- 4+2t≤x≤2-t 时，函数值离对称轴越远值越大 ∴要使m-n取得最大值， ， 整理得， ∵0≤t<2 ∴当t=0时， 19．（1）解：设直线y=3x+2上的“双倍点”的坐标为(h， 2h)， ∴3h+2=2h，解得h=-2， ∴直线y=3x+2上的“双倍点”的坐标为(-2， - 4)； （2）解：不存在“双倍点” 理由如下： 设(h，2h)在反比例函数 图象上， 则 无解， ∴在反比例函数 图象上不存在“双倍点” （3）解：对于y=2x2+bx+c，令x=0，得y=c， ∴反比例函数与y轴交点为(0，c)， ∵函数 的图象与y轴的交点是“双倍点”， ∴c=2×0=0 顶点坐标为 ∵函数是“双倍二次函数”， 解得b=0或b=4， 即表达式为 或 （4）解：设“双倍二次函数” ∵(p， 8)为“双倍点”， ∴p=4， 解得k=2或k=4， 当k=4时，顶点为(4， 8) ，不合题意，舍去； ∴k=2，这个“双倍二次函数”为 则图象开口向上，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，4)， 当t<2时， t-1≤x≤t在对称轴左侧， y随x的增大而减小， ∴当x=t时，函数有最小值7， 即 解得 (舍去)或 当t-1≤2≤t，即x=2时，函数的最小值为4，不存在满足条件的t值； 当t-1>2，即t>3时， t-1≤x≤t在对称轴右侧， y随x的增大而增大， ∴当x=t-1时，函数有最小值7， 即 解得 或 (舍去)， 综上所述，t的值为 或 20．（1）解：设B品牌足球的单件进价为x元，则A品牌足球的单件进价为(x+20)元，由题意得 解得x=80， 经检验，x=80是原方程的解. ∴x+20=100. 答：A品牌足球的单件进价为100元，B品牌足球的单件进价为80元. （2）解：设销售A品牌足球的利润为W元， 则W=(a-100)(-2a+400) 因为二次项系数小于0，所以抛物线图象开口向下，当a=150元时，W取得最大值. 答：当单件售价a=150元时，该店销售A品牌足球的利润最大. 21．（1）解：由题意得，点B（18，646）是描述y1与x关系的抛物线的顶点， 设 因为点C（28，496）在描述y1与x关系的抛物线上， 所以， 解，得 所以，y1与x的函数关系式为 （2）解：①已知 将其配方，得 因为a＝-1＜0，0≤x≤28， 所以， 当x＝13时，y2取得最大值. 此时，y2的最大值为309. 已知两种麦田每亩施氮量相同，当x＝13时， 此时， 答：当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克. ②15 22．（1）-1 （2）解：当风速w＝0时，实际成绩T等于零风速成绩T0， ∴y＝T0-T＝0 ∴函数图象经过坐标原点 （3）解： ∴当w＝2时， 答：顺风风速2m/s时成绩变化量y为0.124s （4）解：第一次：顺风2m/s即w＝2时，T＝11.12s 由（3）得，此时，y＝0.124 第二次：逆风1m/s即w＝-1时，T＝11.30s 由（3）得，此时， ∵11.226＜11.244 ∴该运动员训练后的竞技水平有提升 23．（1）解：①∵当a=1时，抛物线的解析式为y=x（x-2）， ∴当y=0时，x=0或2， ∴抛物线与x轴的交点为（0，0），（2，0）， ∴抛物线的对称轴为直线； ②∵0≤x≤3，对称轴为直线x=1， 又∵a=1>0， ∴抛物线开口向上， ∴当x=1时，， ∵|3-1|>|0-1|， ∴当x=3时，ymax=3×（3-2）=3， ∴-1≤y≤3 （2）解：∵y=ax（x-2a）， ∴抛物线经过点（0，0），（2a，0）， ∴对称轴为直线， ∵a>0， ∴抛物线开口向上， ∴当x<0或x>2a时，y>0， 又∵ 又∵y1，y2同号， ∴y2>0， ∴2a≤3，即 ， 又∵y1>y2， ∴综上， 24．（1）解：当，时，跳跃轨迹为抛物线，令，则，解得，， ∴， ∴， ∵抛物线， ∴顶点B的坐标为， ∴． （2）解：对于抛物线，令，则，解得，， ∴， ∴， ∵抛物线， ∴顶点B的坐标为， ∴． ∴． （3）解：①∵每段跳跃轨迹均可用，∴， ∵第一次跳跃距离为，最大高度为，第二次跳跃距离为，最大高度为， 由（2）可知，，， ∴，， ∵两次共跳了远，即， ∴． ②由①有， ∴， ∵两次跳跃的高度和均小于， ∴， ∴， ∵跳跃轨迹均可用， ∴由（2）可得， ∴， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $