第1章 二次函数能力提升自测卷 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第1章 二次函数能力提升自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．二次函数的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【详解】解： . ∴ 该二次函数的对称轴是直线. 2．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 3．二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 结合选项可知的值可以是． 4．抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C．D． 【答案】D 【详解】解：在二次函数中， 对称轴为直线，开口向上， 在图象上的三点， ∵， ∴点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ∴． 5．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答． 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 6．小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 【答案】B 【分析】首先由求出点的坐标为，然后根据，可知点的横坐标为，代入抛物线解析式，得到，则，又，则可知杯子高度． 【详解】解：， 点的坐标为，抛物线的对称轴为， ， ， 点的横坐标为：， 当时，， 点纵坐标为14， 点的纵坐标为， ， ，即杯子的高度为11． 7．二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 【答案】B 【分析】将表格中二次函数x，y的对应值代入函数解析式，求出a，b，c的值，解出二次函数解析式，再将其改写为顶点式，求出该二次函数的开口方向，对称轴，最值，以及函数的增减性 ． 【详解】∵函数图象经过，，， 将其代入函数解析式，得，解得， ∴二次函数解析式为． ∵， ∴函数图象的开口向上； 且该二次函数对称轴为：直线， y有最小值为，无最大值； ∴当时，y随x的增大而增大． ， ∴当时，y随x的增大而增大． 8．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 9．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 10．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为4D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，即可判断选项；根据图象可知函数没有最大值，即可判断选项；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离即可判断选项；根据函数图象即可判断选项． 【详解】解：选项，对于二次函数，令，解得，原二次函数与轴的交点坐标为，翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，故选项错误； 选项，结合图象可知，函数没有最大值，故选项错误； C选项，二次函数，令，则有，即，解得，，所以原二次函数与轴的交点坐标为，，翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，，图象与轴两个交点之间的距离为，故选项正确； 选项，二次函数，对称轴为，翻折后新函数图象的对称轴不变，为，由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故选项错误． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数增减性得到对称轴满足的条件，解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 在对称轴左侧，即时，随的增大而减小， ∵ 当时，随的增大而减小， ∴ ， 解得 ． 12．“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P， ，水嘴高 ，以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则图中抛物线的解析式为________________（不用写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】根据，顶点，设抛物线的解析式为，用待定系数法求解析式即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 顶点， ， 把代入得， , ， ． 13．若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 【答案】 【分析】当时，函数值恒为，函数图象一定与轴交于，只需分一次函数和二次函数两种情况，讨论函数与轴的交点，满足至少存在一个交点即可． 【详解】解：当时，， 函数图象一定与轴有个交点， 函数图象与坐标轴至少有两个交点， 函数与轴至少有个交点， 分两种情况讨论： ①函数为一次函数时，二次项系数为，即，解得， 此时函数解析式为，与轴有一个交点，与坐标轴共两个不同交点，符合要求； ②函数为二次函数时，，即， 二次函数与轴至少有一个交点，需满足判别式， 其中，，， ， ， ， ， 或， 综上可知， 的取值范围为． 14．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 【答案】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线解析式，然后代入即可求解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ， ∴水面宽度为米． 15．已知关于的二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为，如果关于的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为____________． 【答案】4 【分析】利用二次函数图象的对称性，方程的两个根关于对称轴对称进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为， ∴对称轴为直线， ∵方程的一个根为， ∴二次函数与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线， ∴设另一个根为， ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴方程的两个根关于对称， ∴， 解得． 故答案为：4． 16．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的两倍，则称这个点为“纵两倍点”，若二次函数在的图象上只存在一个“纵两倍点”，则的取值范围是__________． 【答案】或 【分析】本题考查一元二次函数的图象与性质，将问题转化为图象交点问题是解题关键． 设是二次函数图象上的任意一点，将化为，问题转化为二次函数与直线在上只有一个交点，数形结合即可解答． 【详解】解：设是二次函数图象上的任意一点， 则由题可知方程在上只有一个解， 化为， 即二次函数与直线在上只有一个交点， 如图： 则或， ∴或， 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，第17-第22题每小题8分，第23-第24题每小题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知函数是关于的二次函数． (1)求的值； (2)当为何值时，抛物线有最高点？并求出最高点的坐标． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的定义、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据二次函数的定义可以求得m的值； （2）根据（1）中m的值可以解答本题． 【详解】（1）解：函数是关于的二次函数， ，且， 解得，； （2）解：抛物线有最高点， ， ， 当时，抛物线有最高点， 二次函数的解析式为， 当时，取最大值为2， 最高点的坐标为． 18．足球训练中，球射向球门的路线呈抛物线，球员从距离球门底部中心点正前方9米的处射门，当球飞行的水平距离为7米时，球达到最高点，此时球离地面3米，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为米，通过计算判断足球能否射进球门？（忽略其他因素） 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，再代入点的坐标求出的值，即可解答； （2）求出抛物线与轴交点的纵坐标，再与球门高度比较即可得出结论． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）解：当时， ， 足球不能射进球门． 19．如图1，若二次函数的图象与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接、． (1)求抛物线的解析式． (2)求的面积； (3)若点P是抛物线在第一象限内上方一动点，连接、，是否存在点P，使四边形的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)10 (3)存在，点P的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程、求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）代入，，利用待定系数法求解即可； （2）令，求出点的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出的面积； （3）先求出直线解析式为，再根据题意得，过点作轴交于点，设，则，利用三角形的面积公式列出方程，求出的值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：代入，得，， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：令，则， 解得：，， ， ， ， 的面积为10． （3）解：存在，理由如下： 设直线解析式为， 代入，得， 解得：， 直线解析式为， 由（2）得，， ， 过点作轴交于点， 设，则， ， ， ， 解得：， ， 点P的坐标为． 20．已知二次函数的图象经过点，且． (1)求二次函数的对称轴； (2)当，且该二次函数的图象与坐标轴恰有3个交点时，求的取值范围； (3)当时，证明：． 【答案】(1) (2)且 (3) ， ． 又， ， ． 【分析】本题主要考查了二次函数图像和性质，二次函数与一元二次方程，对于（1），根据对称轴计算即可； 对于（2），将a值代入，再根据二次函数对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，且抛物线不经过原点，可得答案； 对于（3），由题意可知，代入，提出公因式，再根据平方差分解，结合可得答案． 【详解】（1）解：， 该二次函数的对称轴为直线； （2）解：当时，． ，解得，且，即， 且； （3）解：略． 21．某建材商店代销一种建筑材料，当每吨售价为元时，月销售量为吨；该建材商店为提高经营利润，准备采取涨价的方式进行促销，经市场调查发现．当每吨建筑材料售价每上调元时，月销售量就会减少吨，每售出吨建筑材料共需支付厂家及其他费用元，设每吨建筑材料售价为(元)，该建材商店的月利润为(元)． (1)当每吨售价是元时，计算此时的月销售量； (2)求出与的函数关系式（写出的取值范围）； (3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？ 【答案】(1)吨 (2) (3)元 【分析】（1）当每吨售价是元时，月销售量的减少量为，据此可求得答案． （2）每吨材料售价为元，则月销售量，根据月利润(售价)月销售量，可求得答案． （3）根据二次函数图象开口方向，结合对称轴和的取值范围，即可求得答案． 【详解】（1）当售价为元时，月销售量为：(吨)． 所以，当售价为元时，月销售量为吨． （2）每吨材料售价为元，则月销售量． 所以，． 化简，得 ． （3）因为二次函数的图象开口向下，对称轴， 所以，当时，可以取得最大值． 所以，售价定为每吨元时，该经销店获得最大月利润． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键． 22．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点C，顶点为，对称轴分别交轴、于点、，点是射线上一动点，过点作的平行线交抛物线于点、（点位于对称轴的左侧），设点的纵坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)当点位于的中点时，求点M的坐标； (3)点Q是抛物线上一点，点P在整个运动过程中，满足以点C、P、M、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）将点A，点B坐标，利用对称性可求抛物线的对称轴； （2）先求出直线解析式，可求点坐标，利用待定系数法可求解析式，联立方程组可求点坐标； （3）分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线解析式可得，， 解得，， 抛物线的解析式为：； （2）解：点，点， 直线解析式为， 当时，， 点， 点位于的中点， 点， 设直线解析式为， ， ， 直线解析式为， 联立方程组可得：， 解得：或（舍去）， 点，； （3）解：若为边， 以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， 点与点重合， ，， ，， ， ； 若为对角线， 四边形是平行四边形， ，，， ，， 设点，则点， ， ， ， （舍去），， ； 综上所述：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，平行四边形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 23．如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧． (1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值； (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，C．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为，求点移动的最短路程． 【答案】(1)，最大值为4，a的值为8 (2)5 【分析】（1）由的性质得开口方向，对称轴和最值，把代入中即可得出a的值； （2）由，得出抛物线是由抛物线C：向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点移动的最短路程． 【详解】（1）解：， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，即的最大值为4， 把代入中得： ， 解得：或， ∵点在C的对称轴右侧， ∴； （2）∵， ∴是由向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到， 平移距离为， ∴移动的最短路程为5． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的性质以及平移的方法是解题的关键． 24．如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数” (1)判断二次函数是不是“邻交函数” (2)若二次函数是“邻交函数”，求的值． (3)若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值． 【答案】(1)是“邻交函数” (2) (3)的最大值为 【分析】（1）求出二次函数与x轴的两个交点的坐标即可得到答案； （2）设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，由根与系数的关系得到，则可得到，解方程求出m的值，则可求出n的值，进而可得a的值； （3）当时，，解得，根据定义得到，则可推出，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 解得， ∴二次函数与x轴的两个交点的坐标分别为， ∵， ∴二次函数与x轴的两个交点的距离为1， ∴二次函数是“邻交函数”； （2）解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴关于x的一元二次方程有两个不相同的实数根，且两根之差为1， 设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得， 综上所述，； （3）解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴二次函数与x轴有两个交点，且这两个交点的距离为1， 在中，当时，， 解得， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，t有最大值，最大值为9． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 二次函数能力提升自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．二次函数的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C．D． 5．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C．D． 6．小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 7．二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 8．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 9．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为4D．当时，的值随值的增大而增大 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 12．“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P， ，水嘴高 ，以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则图中抛物线的解析式为________________（不用写出自变量的取值范围）． 13．若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 14．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 15．已知关于的二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为，如果关于的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为____________． 16．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的两倍，则称这个点为“纵两倍点”，若二次函数在的图象上只存在一个“纵两倍点”，则的取值范围是__________． 三、解答题（本题共8小题，第17-第22题每小题8分，第23-第24题每小题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知函数是关于的二次函数． (1)求的值； (2)当为何值时，抛物线有最高点？并求出最高点的坐标． 18．足球训练中，球射向球门的路线呈抛物线，球员从距离球门底部中心点正前方9米的处射门，当球飞行的水平距离为7米时，球达到最高点，此时球离地面3米，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为米，通过计算判断足球能否射进球门？（忽略其他因素） 19．如图1，若二次函数的图象与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接、． (1)求抛物线的解析式． (2)求的面积； (3)若点P是抛物线在第一象限内上方一动点，连接、，是否存在点P，使四边形的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 20．已知二次函数的图象经过点，且． (1)求二次函数的对称轴； (2)当，且该二次函数的图象与坐标轴恰有3个交点时，求的取值范围； (3)当时，证明：． 21．某建材商店代销一种建筑材料，当每吨售价为元时，月销售量为吨；该建材商店为提高经营利润，准备采取涨价的方式进行促销，经市场调查发现．当每吨建筑材料售价每上调元时，月销售量就会减少吨，每售出吨建筑材料共需支付厂家及其他费用元，设每吨建筑材料售价为(元)，该建材商店的月利润为(元)． (1)当每吨售价是元时，计算此时的月销售量； (2)求出与的函数关系式（写出的取值范围）； (3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？ 22．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，顶点为，对称轴分别交轴、于点、，点是射线上一动点，过点作的平行线交抛物线于点、（点位于对称轴的左侧），设点的纵坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)当点位于的中点时，求点M的坐标； (3)点Q是抛物线上一点，点P在整个运动过程中，满足以点C、P、M、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值． 23．如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧． (1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值； (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，C．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为，求点移动的最短路程． 24．如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数” (1)判断二次函数是不是“邻交函数” (2)若二次函数是“邻交函数”，求的值． (3)若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $