第1章二次函数单元测试卷 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第1章二次函数单元测试卷 一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知二次函数，则其二次项系数a，一次项系数b和常数项c分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．将二次函数整理成一般形式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，． 故选：D 2．函数的图象不经过下列中的点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上的点，明确点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 通过将各点的x坐标代入函数解析式，计算对应的y值，与给定y值比较，判断点是否在图象上． 【详解】解：∵ 函数解析式为 ， A ：，当时，，点在图象上，此选项不符合题意； B：，当时，，点在图象上，此选项不符合题意； C：，当时，，与给定y值一致，点在图象上，此选项不符合题意； D：，当时，，点不在图象上，此选项符合题意． 故选：D． 3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 4．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数平移“左加右减，上加下减”的规律，逐步推导即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线平移规律为左加右减自变量，上加下减常数项，原抛物线解析式为， ∴向左平移2个单位后，解析式变为，再向下平移3个单位，解析式整理得， ∴所得抛物线解析式为． 5．若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】将两点横坐标分别代入抛物线解析式，得到和的值，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵点和点都在抛物线上， ∴将代入解析式，得， 将代入解析式，得， ∵， ∴． 6．若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数图象与x轴没有交点，说明对应一元二次方程无实数根，利用一元二次方程根的判别式性质，判别式小于0，解不等式即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 即， ∴， 解得． 7．抛物线在轴上截得的线段长度是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】令解析式，求解出抛物线与轴交点的横坐标，再作差即可． 【详解】由解得，， ， 故选：A． 8．如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：函数， ， 该函数图象开口向下，有最大值， 对称轴为， 将代入得：， 即小球速度的最大值为． 9．已知二次函数的图象与轴交于，两点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数对称轴的公式可得，由可得，根据不等式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．二次函数（，）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： 在下列结论中：①；②；③当时，y的值随着x值的增大而增大；④，是关于x的方程（）的两个根．正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据表格中值相等的点求出二次函数对称轴，结合已知点推导，，的关系，再逐一判断每个结论． 【详解】解：由表格可知，和时值均为， 因此二次函数对称轴为， 由对称轴公式得，即． 时，代入二次函数得，即， 将代入得，即． ①，，①正确． ②由可知成立，②正确． ③，抛物线开口向上，对称轴为，时，随增大而减小，③错误． ④已知是一个根，设另一个根为，由对称轴得，解得，因此方程两根为，④正确． 综上，正确结论共3个． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．二次函数的顶点坐标是_________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故答案为： 12．如果函数是关于x的二次函数，则________． 【答案】0 【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为0，且x的最高次数为2，据此列方程与不等式求解即可得到k的值． 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解方程，解得或． 由得， 因此． 13．已知二次函数的图象经过两点，且对称轴为直线，则该二次函数的表达式为___________． 【答案】 【分析】设二次函数的一般式，利用二次函数对称轴公式得到，结合已知两点的坐标列方程组，求解方程组得到各项系数，即可得到二次函数表达式． 【详解】解：设该二次函数的表达式为， 由二次函数对称轴公式，得对称轴， 整理得， 将代入解析式，得， 整理得， 将代入解析式，得， 整理得， ∴， 解得， ∴该二次函数的表达式为． 14．若二次函数图象与轴有一个交点为，则与轴另一个交点坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称性，可先根据二次函数的对称轴公式求出对称轴，再结合二次函数图象与x轴交点的对称特征计算另一个交点坐标． 【详解】对于二次函数，其中，， 根据二次函数对称轴公式， 可得对称轴为直线． 因为二次函数图象与轴的两个交点关于对称轴对称， 设另一个交点坐标为，则， 解得， 所以与轴另一个交点坐标为． 故答案为： 15．已知点、，若点M在抛物线上运动，则的最小值为________． 【答案】6 【分析】本题考查二次函数的性质与图象，解题关键是找出抛物线上的点到点B的距离的特点． 设点，用含m代数式表示，可得点M到点B的距离与点M到直线的距离相等，进而求解． 【详解】解：设点M的横坐标为m，则点，即点M到x轴距离为， ∴点M到直线的距离为， ∵， ∴点M到点B的距离与点M到直线的距离相等， ∵点A横坐标为， ∴当点M为直线与抛物线的交点时，最小， 如图，设直线与直线交点， ∴最小值为，． 故答案为： 6． 16．同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为，根据抛物线与关于原点成中心对称，在抛物线上，得， 从而或，求解即可． 【详解】解：设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为， 那么在抛物线上， 代入可得， 整理得， ∴或， ∴． 三．解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）已知二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的表达式．熟悉利用待定系数法求二次函数的表达式是解题的关键． 根据待定系数法代入已知点坐标即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过，，三点， 代入已知点坐标，得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为：． 18．（6分）已知二次函数． (1)将二次函数化成的形式，并写出与y轴交点坐标； (2)在平面直角坐标系中列表画出的图象； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)，与y轴交点坐标为 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先将化为顶点式，然后将代入解析式，求出与y轴的交点即可； （2）根据函数解析式，列出表格，然后画出相应的函数图象即可； （3）根据（2）中的图象，时即函数的图象在x轴上方时对应的x的取值范围，可以直接写出x的取值范围． 【详解】（1）解：， 当时，， 即，与y轴交点坐标为； （2）解：列表如下：          x        0 1          y        0 0 函数图象如下所示， （3）解：由图象可得，时x的取值范围是或． 19．（8分）在平面直角坐标系中，已知关于的二次函数的对称轴为． (1)当时随的增大而减小，当时随的增大而增大． ①求此二次函数的解析式； ②当时，函数值__________（填“”，“”、“”或“”）； (2)点，，在该抛物线上，若抛物线与轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1)①二次函数的解析式为；② (2) 理由：令则 ， 解得或， ， ， ， ， ， ， ∵点在该抛物线上， ∴点关于的对称点也在该抛物线上， ∴， ∴， 抛物线的解析式为 ， 则抛物线图象开口向下， ∴当时随的增大而减小， ∵点，，在该抛物线上， ． 【分析】（1）①利用二次函数的增减性判断出对称轴为，再代入对称轴公式求出参数，从而得到函数解析式；②将函数解析式配方为顶点式，确定开口方向和顶点坐标，再结合的条件，比较函数值与的大小关系； （2）先通过解方程求出抛物线与轴的交点，结合交点范围确定参数和对称轴的取值范围，再利用抛物线的对称性，将点转化到对称轴右侧，根据开口向下时对称轴右侧的增减性，比较三点的函数值大小． 【详解】（1）①解：已知关于的二次函数，由题意得对称轴为， 可得， 解得， 故二次函数的解析式为． ②解：已知二次函数的解析式为，配方得， 可知抛物线图象开口向下，顶点为， 故当，函数值． （2）略 20．（8分）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式，并写出顶点坐标． (2)若将该二次函数的图象沿x轴平移，问平移几个单位能使图象经过原点． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，求m的值． 【答案】(1)二次函数表达式为，顶点坐标为(2)平移1个单位或3个单位 (3) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，求出时的函数值，得到顶点坐标即可； （2）求出二次函数与x轴的交点坐标，根据平移后，新的抛物线过原点，分2种情况进行求解即可； （3）根据二次函数的增减性进行求解即可. 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴当时，， ∴顶点坐标为； （2）解：当时，解得， ∴抛物线与 x轴的交点坐标为和， ∵将该二次函数的图象沿x轴平移，平移后的图象经过原点， 当经过平移与原点重合时，图象向右平移了1个单位，当经过平移与原点重合时，图象向左平移了3个单位； 故该二次函数的图象沿x轴平移1个单位或3个单位能使图象经过原点； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴抛物线的开口向下，当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，最大； 当时，最小； ∴， 整理，得， \解得或， ∵， ∴. 21．（8分）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： (2)设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长米，如果不能请说明理由﹒ 【答案】(1)， (2)设计费能达到24000元，此时矩形的边长为2米或6米 【分析】本题考查了根据题意列二次函数关系式，一元二次方程的应用等知识﹒ （1）根据矩形的面积公式即可列出函数关系式，根据矩形的两条边都为正数即可确定自变量的取值范围； （2）根据设计费为24000元得到矩形面积为12平方米，据此列出方程，解方程即可﹒ 【详解】（1）解：∵矩形一边长为米，周长为16米, ∴矩形的另一边为米， ∴，其中， 即， ； （2）解：能，理由如下： 当设计费能达到24000元时，矩形面积为（平方米）， 即， 解得﹒ 答：设计费能达到24000元，此时矩形的边长为2米或6米﹒ 22．（10分）探究下列问题： (1)写出下列二次函数的顶点坐标． ①的顶点坐标为 ； ②的顶点坐标为 ． 若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”． (2)继续研究发现，对于，因为，当 时，的顶点在轴上；当 时，的顶点在轴上．请你写出一个顶点在轴上的二次函数解析式： ． (3)与轴平行的直线与交于，两点（点在点的左侧），若，请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)；；（答案不唯一） (3) 【分析】（1）①根据二次函数的顶点式，即可得到顶点坐标． ②同①解答即可． （2）根据二次函数的顶点式得到顶点坐标，根据在轴上和轴上的坐标特征，得到此时的顶点坐标，即可得出答案，当顶点在轴上时根据写出满足条件的解析式即可． （3）根据二次函数的顶点式得到顶点坐标，对称轴和开口方向，根据已知条件得出当时，此时，继而得到当时，的取值范围． 【详解】（1）解：①∵二次函数解析式为，变为顶点式为：， ∴此二次函数的顶点坐标为； ②∵二次函数解析式为，变为顶点式为：， ∴此二次函数的顶点坐标为； 故答案为：①；②； （2）解：∵二次函数，因为，此二次函数的顶点坐标为， ∴当顶点在轴上时，，即顶点坐标为， 此时二次函数的解析式为， 当时，此时二次函数的解析式为，（答案不唯一） 当顶点在轴上时，，即顶点坐标为， 故答案为：；；（答案不唯一）； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线，开口向下，顶点坐标为， ∵与轴平行的直线与交于，两点， ∴该直线与抛物线的两个交点关于对称轴对称，到对称轴的距离相等， 当时，到对称轴的距离为， ∵点在左侧， ∴点的横坐标为， ∴当时，点到对称轴的距离不超过，且点在对称轴左侧， ∴的取值范围为. 23．（12分）已知二次函数（为常数，），顶点坐标为． (1)当时， ； (2)当时， ①求证：二次函数的图像与轴总有两个公共点； ②若二次函数图像与轴的交点都在轴的右侧，则的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)①证明：由（1）可得， 令，即，， ∵， ∴，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数解， ∴二次函数的图像与轴总有两个公共点． ②． 【分析】（1）先将函数解析式化成顶点式可知，然后解关于a的方程即可； （2）①先把函数解析式化成一般式，令，得到关于x的方程，再证明方程根的判别式大于零即可证明结论；②当，即，由题意可知该方程的都是大于零的实数，解（1）的解答过程可得，再根据等式的性质、直接开平方法解关于x的方程，然后让解的最小值大于零，据此列不等式求得a的取值范围；由（1）可知，再根据二次函数的性质确定n的取值范围即可． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵抛物线顶点坐标为，， ∴，解得：或， ∵， ∴． （2）①证明：略； ②解：当，即，由题意可知该方程的根都是大于零的实数， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴方程的最小解为， ∴，解得：， ∴； 由（1）可得：， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为， ∴当时，n随a的增大而减小， ∴当，n随a的增大而减小， ∵当时，n有最大值；当时，n有最小值； ∴的取值范围为． 24．（14分）项目式学习 项目主题：节约用水从你我做起． 项目背景：我国人均水资源量只有2100立方米，仅约为世界人均水平的．全国约有三分之二的城市缺水，约有四分之一的城市严重缺水．生活中，有时会见到水龙头滴水的现象，因此某校综合与实践小组的同学以“节约用水从你我做起”为主题开展项目式学习． 驱动任务：探究水龙头滴水量与时间的关系． 项目实施：①准备一个容量为50毫升的量筒． ②选择一处滴水的水龙头，用该量筒接水． ③每隔10秒，观察并记录量筒中水的体积 数据记录： 时间秒 10 20 30 40 50 60 70 水的体积毫升 3 6 9 12 15 18 21 问题解决：请完成下列任务． (1)请在如图所示的平面直角坐标系中画出上表中的数据对应的点． (2)滴水量V（毫升）是时间t（秒）的_____（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，并求出V与t的函数表达式． (3)按照此滴水速度，1小时会滴水多少千克（1毫升水的质量约为1克）？滴水多少小时能达到10千克（结果保留两位小数）？ 【答案】(1)解：如图所示， (2)一次， (3)1.08千克；约滴水9.26小时能达到10千克 【分析】（1）根据表格中的数据描点即可； （2）根据函数图象，得出滴水量V（毫升）是时间t（秒）的一次函数，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）把代入求出，即可得出1小时滴水量，用10千克除以1小时滴水量，即可得出滴水时间． 【详解】（1）略； （2）解：根据解析（1）可知：这些点在一条直线上，因此滴水量V（毫升）是时间t（秒）的一次函数， 设，把，代入得： ，解得：， ∴； （3）解：1小时秒， 当时，， ∵1毫升水的质量约为1克， ∴1小时约滴水1080克，即1.08千克； （小时）， 即约滴水9.26小时能达到10千克． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章二次函数单元测试卷 一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知二次函数，则其二次项系数a，一次项系数b和常数项c分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．函数的图象不经过下列中的点（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 4．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 5．若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 6．若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．抛物线在轴上截得的线段长度是（    ） A． B．2 C． D． 8．如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．已知二次函数的图象与轴交于，两点．若，则（     ） A． B． C． D． 10．二次函数（，）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： 在下列结论中：①；②；③当时，y的值随着x值的增大而增大；④，是关于x的方程（）的两个根．正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．二次函数的顶点坐标是_________． 12．如果函数是关于x的二次函数，则________． 13．已知二次函数的图象经过两点，且对称轴为直线，则该二次函数的表达式为___________． 14．若二次函数图象与轴有一个交点为，则与轴另一个交点坐标为_____． 15．已知点、，若点M在抛物线上运动，则的最小值为________． 16．同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______． 三．解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）已知二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 18．（6分）已知二次函数． (1)将二次函数化成的形式，并写出与y轴交点坐标； (2)在平面直角坐标系中列表画出的图象； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围． 19．（8分）在平面直角坐标系中，已知关于的二次函数的对称轴为． (1)当时随的增大而减小，当时随的增大而增大． ①求此二次函数的解析式； ②当时，函数值__________（填“”，“”、“”或“”）； (2)点，，在该抛物线上，若抛物线与轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 20．（8分）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式，并写出顶点坐标． (2)若将该二次函数的图象沿x轴平移，问平移几个单位能使图象经过原点． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，求m的值． 21．（8分）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： (2)设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长米，如果不能请说明理由﹒ 22．（10分）探究下列问题： (1)写出下列二次函数的顶点坐标． ①的顶点坐标为 ； ②的顶点坐标为 ． 若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”． (2)继续研究发现，对于，因为，当 时，的顶点在轴上；当 时，的顶点在轴上．请你写出一个顶点在轴上的二次函数解析式： ． (3)与轴平行的直线与交于，两点（点在点的左侧），若，请直接写出点横坐标的取值范围． 23．（12分）已知二次函数（为常数，），顶点坐标为． (1)当时， ； (2)当时， ①求证：二次函数的图像与轴总有两个公共点； ②若二次函数图像与轴的交点都在轴的右侧，则的取值范围为 ． 24．（14分）项目式学习 项目主题：节约用水从你我做起． 项目背景：我国人均水资源量只有2100立方米，仅约为世界人均水平的．全国约有三分之二的城市缺水，约有四分之一的城市严重缺水．生活中，有时会见到水龙头滴水的现象，因此某校综合与实践小组的同学以“节约用水从你我做起”为主题开展项目式学习． 驱动任务：探究水龙头滴水量与时间的关系． 项目实施：①准备一个容量为50毫升的量筒． ②选择一处滴水的水龙头，用该量筒接水． ③每隔10秒，观察并记录量筒中水的体积 数据记录： 时间秒 10 20 30 40 50 60 70 水的体积毫升 3 6 9 12 15 18 21 问题解决：请完成下列任务． (1)请在如图所示的平面直角坐标系中画出上表中的数据对应的点． (2)滴水量V（毫升）是时间t（秒）的_____（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，并求出V与t的函数表达式． (3)按照此滴水速度，1小时会滴水多少千克（1毫升水的质量约为1克）？滴水多少小时能达到10千克（结果保留两位小数）？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $