第5章 二次函数拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

第五章二次函数 第五章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题5分，共30分） 1.[2025上海闵行期未]下列函数中，是二次函数的为 () Ay-- B.y=22+x C.y=x(2x-1) D.y=(x+4)2-x2 2.[2025南平期末]以矩形ABCD的一个顶点为原点，过这个点的两边所在的直线为坐标轴，规定 向右、向上为正方向，建立平面直角坐标系画出二次函数y=mx2十2m.x十1的大致图象如图所 示，则这个坐标系的原点是 () A.点A B.点B C.点C D.点D 225 H 130 0613 ① ② (第2题) (第4题) (第6题) 3.某超市以每件10元的进价购进200件玩具，销售人员预测最近的促销活动，当单价是19元时只 能卖出100件，而单价每降低1元则可以多卖出20件，要想此次促销活动的预期获利最大，单价 应定为 () A.15元 B.16元 C.17元 D.18元 4.[2025青岛中考]将二次函数y=x2一2x一3的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x 轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述，正确的是 () A.图象与y轴的交点坐标是(0，一3) B.当x=1时，函数取得最大值 C.图象与x轴两个交，点之间的距离为4 D.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 5.二次函数y=a.x2+bx十c(a,b,c为常数)中的x与y的部分对应值如表所示： 1 0 4 … n -3 -3 有下列结论：①c=-3:②若n<-,则该函数的图象与x轴没有交点：③当>0时，若x> 3,则y的值随x值的增大而增大；④当n=一6时，关于x的一元二次方程ax2+(b一1)x十4= 0的解是x1=1,x2=4.其中，正确的个数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 6.[2025淄博临淄期末]为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平 方.如图①，P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动.设 AQ为x(0≤x≤n),PQ为y.如图②，y关于x的函数图象与y轴交于点C,最低点D(13,m), 113 拔尖特训·数学（北师版）九年级上 且经过E(6,130)和F(n,225)两点.下列选项中，不正确的是 A.m=81 B.n=24 C.点C的纵坐标为250 D.点(16,90)在该函数图象上 二、填空题（每小题5分，共20分） 7.[2025朔州朔城期中]在平面直角坐标系中，抛物线y=x2一4x十5与y轴交于点C,则该抛物线 绕点C旋转180°，所得抛物线对应的函数表达式为 8.[2025东阳期中]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,一m),B(1,m),C(一2，n),D (3,m),其中m,n为常数，则”的值为 9.如图，在矩形ABCD中，AB=2cm,AD=7cm,动，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向 终点D移动，设移动时间为ts.连接PC,以PC为边，向右作正方形PCEF,连接DE,DF,则 △DEF的面积最小为 cm. (第9题) (第10题) 10.如图，抛物线y=ax2+bx十c的顶点为(1，n),与x轴的一个交点为B(3,0),与y轴的交点在 点0，-3)和点0，-2)之间有下列结论：①空>0：@-2<<-号：@(a+c)2-=0: ④2c一a<2n.其中，正确的是 .(填序号)》 三、解答题（共50分） 11.(10分)在一次足球训练中，小明从球门正前方8m的点A处射门，球射向球门的路线呈抛物线 形.当球飞行的水平距离为6m时，球到达最高点，此时球离地面的高度为3m.已知球门OB 的高为2.44，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系 (1)求抛物线对应的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素） (2)对本次训练进行分析，若球射向球门的路线的形状和最大高度均保持不变，则当时小明应 该带球向正后方移动多少米再射门，才能让球经过点O正上方2.25m处？ ↑y/m (第11题) 114 第五章二次函数 12.(12分)[2025浙江中考]已知抛物线y=x2-ax十5(a为常数)经过点(1,0). (1)求a的值， (2)过点A(0,t)与x轴平行的直线交抛物线于B,C两，点，且B为线段AC的中点，求t的值. (3)设m<3<n,抛物线的一段y=x2一ax十5(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l1, l2之间.若直线l1,l2之间的距离为16，求n一m的最大值 13.(12分)已知抛物线y=a.x2-3a.x-4a(a>0)与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），顶 点为D (1)求点A,B的坐标及抛物线的对称轴. (②)若直线y=-与抛物线交于点M,N,且点M,N关于原点对称，求抛物线对应的函数 表达式 (3)如图，将(2)中的抛物线向上平移，使得到的新抛物线的顶点D在直线1：y一8上，设直线1 与y轴的交点为O,原抛物线上的点P平移后的对应点为Q.若O'P=O'Q,求点P,Q的坐标 D D (第13题)》 14.(16分)如图，抛物线y=ax2十bx一5交x轴于A(1,0),B(一5,0)两点，交y轴于点C.直线 y=kx一5经过B,C两点，P是抛物线上的一个动点（不与点A,B重合） (1)求抛物线对应的函数表达式. (2)过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E.当PE=3ED时，求点P的坐标. (3)若F是直线BC上的一个动点，则在点B右侧的抛物线上是否存在点P,使△AFP是以 PF为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 B D 643-2-1,23x (第14题) ●“答案与解析”见P68 115式为y=-2x十8.当x=1时，y=6,∴.F(1,6)..PF= 9-6=8△PBC的面积=2OB·P=合×4X3=6. ②S一S2存在最大值.如图，设直线l交x轴于点H,则 H(m,0).A(-2,0),B(4,0),∴.OB=4,AO=2,AH= m十2，AB=6.由①，得y=-x2+2x+8,C(0,8),.0C= 8,P(m,-m2+2m+8)..PH=-m2+2m十8.由题意 得OD∥PH,∴.∠ADO=∠APH,∠AOD=∠AHP i△A0Do△AHr.·船-9P即 +2 OD -m2+2m+80D=8-2m.S1-S,=SAPB S△AOD一S四边形BED一S△CDE=S△PAB一S△AD一S△OC, S,-S。=6-m2+2m+8)_2(8-2m)_4×8 2 2 -3m2+8m=-3(m-号)'+9：-3<0,0<m<4。 :当m=专时，S,一S,取得最大值，最大值为9 (第4题) ☆问题解决活动怎样围面积最大 1.(1)54-3x:0<x<18.:两间饲养室的宽AB为 x米，∴.BD=52+2-3x=(54-3x)米.54-3x>0, ,.0<x<18.(2)设两间饲养室的总占地面积为S平方 米，则S=AB×BD=x(54一3x)=195,解得x=13或 x=5,当x=13时，54-3x=15;当x=5时，54-3.x=39. 故AB,BD的长分别为13米，15米或5米，39米. (3)BD≤MN,即54-3x≤21，解得x≥11，.易得 11≤x<18.而S=x(54-3x)=-3(x-9)2+243,,a 一3<0，抛物线的开口向下，对称轴为直线x=9,∴.当 11≤x<18时，S随x的增大而减小.∴.当x=11时，S有 最大值，为231.故当AB为11米时，两间饲养室的总占地 面积达到最大，最大为231平方米， 2.(1)由题意，得AB=xm,,∴.BC=(28一x)m. (2)能.由题意及(1)，得x(28一x)=192,解得x=12或 6 x=16(不合题意，舍去)，∴.花园的面积能为192m°，此时 x的值为12.(3)S=x(28-x)=-x2+28x=-(x- 14)2+196.,点P与CD,AD的距离分别是15m和 6m,∴.28-15=13(m).∴.6x≤13..S关于x的函数 表达式为S=-(x-14)2+196(6≤x≤13.：-1<0，抛 物线的开口向下，对称轴为直线x=14,.当6≤x≤13 时，S随x的增大而增大.∴.当x=13时，S取到最大值= 一(13-14)2+196=195，即当x=13时，花园面积S最大. 综合与实践5探寻篮球投篮问题 (1)顶点E的坐标为(3,3.8)；设该抛物线对应的函数表达 式为y=a(x-3)2+3.8,根据题意，将(0,2)代入，得a(0一 3)2十3.8=9a十3.8=2，解得a=-0.2,∴.该抛物线对应 的函数表达式为y=-0.2(x一3)2十3.8.(2)根据题 意，设新抛物线对应的函数表达式为y=一0.2(x一3)2十 k.抛物线过点B(0,2.25),∴.一0.2X(0一3)2十k= 2.25,解得k=4.05.∴.新抛物线对应的函数表达式为y= -0.2(x-3)2+4.05.当y=0时，得-0.2(x-3)2+4.05= 0,整理得(x-3)2=20.25=4.52,解得x=7.5或x= 一1.5（不合题意，舍去），∴.水平距离OD的长为7.5m. (3)由(2)知起跳后的抛物线对应的函数表达式为y= 一0.2(x一3)2+4.05，设运球后起跳投篮的新抛物线对应 的函数表达式为y=一0.2(x一h)2十4.05.：篮筐在距点 O水平距离5.8m,垂直高度3.082m处，∴.新抛物线过点 (5.8,3.082),代入，得-0.2(5.8-h)2+4.05=3.082,整 理，得(5.8-h)2=4.84=2.2,解得h=3.6或h=8(不合 题意，舍去).∴.新抛物线对应的函数表达式为y= -0.2(x-3.6)2+4.05.当y=2.25时，-0.2(x-3.6)2+ 4.05=2.25,整理，得(x一3.6)2=9，解得x=0.6或x= 6.6(不合题意，舍去)，，该球员向篮筐方向沿直线OC℃运 球0.6m. 第五章拔尖自主测评 1.C选项A,B不具备二次函数的条件，选项C化简后符 合二次函数的条件，选项D化简后是一次函数 2C二次函数的图象的对称轴为直线x三一2，=一1， ∴.原点在抛物线对称轴的右侧.又·原点在(0,1)下方， 结合图象可知，符合条件的坐标系的原点为点C 3.C设单价定为x元，获利为心元，=(x-10)[(19- x)×20+100]=一20(x-17)2+980,∴.当x=17时，0 取得最大值. 4.C二次函数为y=x2一2x一3，.当x=0时，y 一3.∴.其图象与y轴交于点(0，一3).又，图象在x轴下 方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，.新函数图象 与y轴的交点为(0,3).故A错误.结合函数图象可以发 现，函数没有最大值，故B错误.令y=x2一2x一3=0，则 x=3或x=一1，.函数图象与x轴交点为（一1,0），(3， 0).,图象与x轴两个交点之间的距离为3一（一1）=4. 故C正确.，原函数为y=x2一2x一3=(x一1)2一4， .新函数为y=一(x-1)2十4(-1≤x≤3)..函数的对 称轴是直线x=1.∴.结合函数图象可得，当1<x<3时，y 随x的增大而减小；当x>3时，y随x的增大而增大.故D 错误， 5.C·抛物线经过点(0，一3)，∴.c=一3.故①正确. 抛物线经过点(0，一3)，(4，一3)，∴.抛物线的对称轴为 直线x三三2.b=4a.∴当x=1时，y=n=a十 0+ca-4u-3=-3a-3,9n<4,.-3a-33 -解得a>-是.“△=b-4ac=(-4a)P-4a× (-3)=1a2+12a=16a(a+）当-<a<0时， △<0：当a>0时，△>0.∴.抛物线与x轴可能无交点，可 能有两个交点.故②错误.，抛物线的对称轴为直线x= 2,,,当a>0时，若x>2,则y的值随x值的增大而增大. 故③正确.当n=一6时，一3a一3=一6，解得a=1,则b 一4，关于x的一元二次方程a.x2十（b一1)x十4=0为 x2一5x十4=0，解方程，得x1=1,x2=4.故④正确. 6.B如图①，作PN⊥AB于点N,则AN=13,当x=6 时，动点Q运动到点M的位置，即AM=6.:'y关于x的 函数图象过点E(6,130),最低点D(13,m),∴.PM2= 130,MN=7..PN2=m=PM-MN2=81.故选项A 正确；当点Q运动到点B的时候，由图象可知PB=225, .BN2=PB2-PN2=225-81=144.∴.BN=12.∴.n= 12+13=25.故选项B错误；当点Q在A点时，AP2 AN2+PV2=169+81=250,即点C的纵坐标为250，故选 项C正确；设当点Q运动到点G时，AG=16,∴.NG=3. .PG=NG2+PN2=9+81=90..点(16,90)在该函数 图象上.故选项D正确。 225 130 A、M D m- p 0613n ① ② (第6题) 7.y=-x2-4x十5由抛物线y=x2-4x+5=(x 2)+1知，抛物线的顶点坐标是(2,1)，C(0,5).∴.该抛物 线绕点C旋转180°所得的抛物线的顶点坐标是（一2,9）. ∴.所得抛物线对应的函数表达式为y=一(x十2)2十9= -x2-4x+5. 8.一)由B(1m),D(3,m)可知抛物线的对称轴为直 线x=2一名。=26=一a.又由题意可得c=m: a十b十c=m,4a-2b+c=n.,a-4a-m=m.∴.a= 3mb=3m.n=4a-2b+c=-8m-16m 2 8 3m-3m-m= -9m..m=-1 9 3 9.2 设△PCD的面积为ycm.由题意，得AP=tcm, PD=(7-)cmy=2×2X(7-)=7-4,SEBe PC2=22+(7-t)2=(t2-14t+53)cm2.:易得S△Dr+ 1 SAmx=2SE方形Ec.S△Er=2(2-141+53)-(7- )=[2-6+】m.当：的值为6时，△DEF 的面积最小，为子cm2。 10.①③对于①，抛物线开口向上，∴.a>0.,顶点 标为(1，n)-21,.b=二2a<0.:抛物线与y 轴交于负半轴，c<0..>0.故①正确.对于②， 2a 专1，·a三一名易得点B(3,0)关于抛物线对称 轴的对称点为(-1,0).∴.当x=-1时，y=a一b十c=0. 将a=-合代人，得c=号6由题意，得-3<c<-2, -3<受6<-2.-2<b<-手故@错误对于③，当 x=-1时，y=a-b十c=0,∴.(a十c)2-b2=(a+b+ c)(a一b+c)=0.故③正确.对于④，当x=1时，y=a十 6+cm:a=-台c=261m=2%.2如=46.又 3 2c-a-7b,且6<0，÷3b>4h.即2c-a>2.故回 错误 11.(1),·8一6=2(m),.抛物线的顶点坐标为(2,3).设 抛物线对应的函数表达式为y=a(x一2)2+3.将A(8,0) 1 代人，得0=aX(8-2)+3,解得a=一12小抛物线对应 1 的函数表达式为y=一12x一2》+3.当x=0时，y= 一立×4+3-号>24球不能射选球门.(2)设小 明应该带球向正后方移动mm,则移动后再射门形成的抛 1 物线对应的函数表达式为y=一2x一2-m)+3.将(0， 1 2.25)代入，得2.25=120-2-m)+3,解得m1=-5 (不合题意，舍去)，m2=1.∴.当时小明应该带球向正后方 移动1m再射门，才能让球经过点O正上方2.25m处. 12.(1)把(1,0)代人y=x2-a.x+5,得1-a+5=0,解得 a=6.(2)由(1)知y=x2-6x十5，∴.对称轴为直线 一6 x=2X=3.”点A(0,1)在y轴上，过点A(0,)与x 轴平行的直线交抛物线于B,C两点，，，点B,C关于对称 轴对称，且点B,C的纵坐标均为t.又，B为线段AC的 中点=2=多n=38=2 2 .把x=2代人y=x2-6x+5,得y=2-6×2+5= -3.∴.t=-3.(3)y=x2-6x+5=(x-3)2-4, ∴抛物线的顶点坐标为(3，一4).：抛物线的一段y=x2 ax+5(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l1,l2之 间，∴.要使n一m最大，则m,n为其中一条直线与抛物线 的交点的横坐标，x=m和x=n关于对称轴对称.又，直 线1，l2之间的距离为16，为定值，.当一条直线恰好经 过抛物线的顶点(3，一4)，即y=一4时，n一m最大，此时 另一条直线对应的函数表达式为y=16一|一4|=12，如 图..当x2-6x十5=12时，解得x1=7,x2=-1,此时 n=7,m=-1.∴.n-m的最大值为7-(-1)=8. 2 43贸234卡6”890 -5 (第12题) 13.(1)令y=0,得ax2-3a.x-4a=0.a>0,∴.x2 3x一4=0，解得x1=一1，x2=4.:点A在点B的左侧， ∴.A(一1,0)，B(4,0)..抛物线的对称轴为直线x= (y=ax2-3ax-4a, -生-子（2)根据题意， 2 y=3 春 2. 3 3a-2 理，得ar2-(-)x-=0+=a 3 3a-2 点M,N关于原点对称，. a =0,解得a=日 抛物线对应的函数表达式为y=号-是：一2 3)由题意，得点0的坐标为(0，)：y=之2 一2=(。一》”-客向上平移后的抛物线对应 3 的函数表达式为=(-)广+日--+2 “抛物线向上平移了日-（一罗）=4（个）单位长度设 p(,r-x-2,则Q(,2r+2以.“op 00易得--2+7- 7 -2x+2=2×8 解得==子若=则一2 1 7 3 -83-吕x+2=0:p(） Q(2)若x=则2--2= 9172 DE=c+5..'PE=3ED,.c2+5c=3(c+5),解得c=3 82 或c=一5（不合题意，舍去）.∴.当c=3时，c2+4c一5= x+2-p(?8),Q(3,).综上所述，点 16..P(3,16).综上所述，满足条件的点P的坐标为 (一3，-8)或(3,16).(3)存在.过点F作FG⊥x轴于点 P的坐标为(2，一8)，点Q的坐标为(2，器)或点 G,过点P作PH⊥x轴于点H,则∠AGF=∠AHP= P的坐标为(？-号)点Q的坐标为（号，翠）】 90°.，△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形， ∴.AF=AP,∠PAF=90°.∴.∠FAG+∠PAH= 14.(1)抛物线y=a.x2+bx-5交x轴于A(1,0), ∠APH+∠PAH=90°..∠FAG=∠APH.∴.△AFG≌ a+b-5=0, a=1 B(-5,0)两点，∴. 解得.抛物 25a-5b-5=0, b=4. △PAH.∴.FG=AH,AG=PH.设P(m,m2+4m-5). 线对应的函数表达式为y=x2+4x一5.(2)将B(-5, 当-5<m<1时，AH=1-m,PH=-m2-4m+5. .FG=1-m.∴.易得F(m-6,1-m)..AG=1- 0)代入y=kx-5,得-5k一5=0，解得k=-1.∴.直线 (m-6)=7-m..-m2-4m十5=7-m,解得m=-1或 BC对应的函数表达式为y=-x-5.设P(c,c2+4c一5)， m=-2.∴.点P的坐标为(-1，-8)或(-2，-9).当m> 则E(c,-c-5).当c<-5时，PE=c2+4c-5-(-c 1时，AH=m-1,PH=m2+4m-5.∴.FG=m-1..易 5)=c2+5c,DE=-c-5.,PE=3ED,.c2+5c= 得F(-m-4,m-1)..AG=1-(-m-4)=m+5. 3(-c-5),解得c=-3(不合题意，舍去)或c=-5(不合题 ∴.m2+4m-5=m+5,解得m=2或m=-5(不合题意， 意，舍去)..此时满足条件的点P不存在.当一5<c<0 舍去).∴.此时满足条件的点P的坐标为(2,7).综上所述 时，PE=-c-5-(c2+4c-5)=-c2-5c,DE=c+5. 在点B右侧的抛物线上存在点P,使△AFP是以PF为斜 :'PE=3ED,∴.-c2-5c=3(c+5),解得c=-3或c= 边的等腰直角三角形，且点P的坐标为（一1，一8）或（一2， -5(不合题意，舍去).∴.当c=-3时，c2十4c-5=-8. -9)或(2,7) .P(-3,一8).当0≤c<1时，PE<ED,此时不存在PE 3ED.当c>1时，PE=c2+4c-5-(-c-5)=c2+5c, 第六章 概率的进一步认识 1用树状图或表格求概率 2号 解法一：列举法，一次性随机摸出两个小球上的金 第1课时用树状图或表格求概率 额和可能为10+20=30（元），10+30=40（元），20十30= 1.B列表如下，共有12种等可能的结果，其中这两张卡 50(元).两球上金额的和为50元的概率是号 片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果有（丽，山），（山， 解法二：画树状图法，如图，从标有10元、20元、30元的三 丽)，共2种，∴.这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山” 个小球中，随机摸出两个小球，所有等可能出现的结果如 的概率为2一6 21 下：共有6种等可能出现的结果，其中两球上金额的和为 50元的结果有2种，.两球上金额的和为50元的概率是 美 丽 山 河 2=1 6-3 美 (美，丽) (美，山) (美，河) 开始 丽 (丽，美) (丽，山) (丽，河) 第1个球 10元 20元 30元 山 (山，美) (山，丽) (山，河) 第2个球20元30元10元30元10元20元 河 (河，美) (河，丽) (河，山) (第2题) 71