专题 3.8 圆的基本性质全章复习讲义（四大知识点八大题型）- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

专题 3.8 圆的基本性质全章复习讲义（四大知识点八大题型） 目录 一.全章知识梳理 1 【知识点一】圆的相关概念与点和圆的位置关系 1 【知识点二】垂径定理及其推论 1 【知识点三】圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 2 【知识点四】圆周角定理与圆的相关计算 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型1】圆的概念与点和圆的位置关系 2 【题型2】垂径定理基础计算 5 【题型3】圆心角、弧、弦的简单应用 9 三.题型精析（综合培优） 13 【题型4】垂径定理多情况分类（双解问题） 14 【题型5】圆周角定理角度计算 17 【题型6】圆内接四边形 21 【题型7】弧长与扇形面积计算 25 四.题型精析（拓展探究） 29 【题型8】圆的性质综合（垂径+圆周角+圆内接四边形压轴） 29 一.全章知识梳理 【知识点一】圆的相关概念与点和圆的位置关系 1、圆的定义：平面内，线段OA绕固定端点O旋转一周，端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，记作⊙O。 集合定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 2、相关概念：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；能够完全重合的弧叫做等弧。 3、点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则： 点P在圆外 ； 点P在圆上 ； 点P在圆内 4、圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是它的对称轴；圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 【知识点二】垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 【知识点三】圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 【知识点四】圆周角定理与圆的相关计算 1、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 3、圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补，任意一个外角等于它的内对角。 4、弧长与扇形面积公式：设圆的半径为R，圆心角度数为nº。 弧长公式：； 扇形面积公式： 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】圆的概念与点和圆的位置关系 【例题1】（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，以的直角顶点为圆心，以的长为半径的圆分别交 于点，交于点，连接．若，求的度数． 【答案】 【分析】由直角三角形两锐角互余求出，再由圆的基本性质得，最后根据等边对等角及三角形内角和定理求解． 解：∵是直角三角形，， ∴ ， ∵， ∴是等腰三角形， ， ∴ ． 【变式1】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C．直径是弦 D．过圆心的线段是直径 【答案】C 【分析】根据圆中弦、直径、圆弧的定义逐一判断：弦是圆上两点的线段，直径是经过圆心的弦，所以直径属于弦，但弦不一定是直径；圆弧是圆上两点之间的曲线，不是线段；直径不仅要过圆心，两个端点还必须在圆上，由此判定只有C正确． 解：A选项，弦不一定过圆心，故弦不一定是直径，错误； B选项，圆弧是圆上两点间的曲线部分，不是线段，故该说法错误； C选项，直径是特殊的弦，故该说法正确； D选项，过圆心的线段端点不一定都在圆上，故不一定是直径，错误． 【变式2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为________． 【答案】 【分析】过点作，延长交于点，根据垂径定理可知，利用勾股定理求出，可得． 解：如下图所示，过点作，延长交于点， 液面宽的长为， ， ， ， ． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）在矩形中，，． （1）若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ （2）若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【答案】（1）点B在内，点C在外，点D在上；（2） 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． （1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 【题型2】垂径定理基础计算 【例题2】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，且，垂足为D．若，，求的半径． 【答案】5 【分析】过点作的垂线交于点E，交于点F，连接，得出是的平分线，进而得到，假设的半径为，将用来表示，根据勾股定理进行解题即可． 解：如图，过点作的垂线交于点E，交于点F，连接． ，， ，， ， ， ， 是的平分线， ， ， 设的半径为，则， ， ， 在中利用勾股定理得， 即， 解得． 【变式1】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，于，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用垂径定理即可得到答案． 解：是的直径，于， ， ， ． 【变式2】（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 【答案】/度 【分析】连接，根据弦相等得出对应的圆心角相等，即，利用平角定义和角的和差关系建立方程求出的度数，最后利用等腰三角形的性质求出的度数即可. 解：连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 是的直径， ， ， ， 由图可知， ， 解得， ， ， . 【变式3】（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． （1）求证：． （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：是的直径，于点， ， 是的中点， ， ，即， ； （2） 【分析】（1）根据垂径定理得，由是的中点即可得，进而得，根据圆心角定理，即可证明结论； （2）连接，根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解． 解：（1）略； （2） 解：如图，连接， 由（1）可知， 设的半径为，则， ， ， 于点， ， 在中，，即， 解得， 的半径为． 【题型3】圆心角、弧、弦的简单应用 【例题3】（25-26九年级上·江西·期末）如图，在中，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧与弦之间的关系，全等三角形的性质与判定，熟知圆的相关知识是解题的关键。 （1）可证明，则可证明； （2）先证明，再利用证明，则可证明． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由弧与圆心角之间的关系可得，证明都是等边三角形，可得，据此可得答案． 解：如图所示，连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握圆的直径性质，切线性质，垂径定理，勾股定理，是解题的关键． 根据已知条件和图形分析可得当是大圆直径时，的值最大，从而可得的最大值；进一步分析可得当与小圆相切的时，最小，利用勾股定理可得的最小值．若大圆的弦与小圆有两个公共点，即与小圆相交，再结合上面分析即得答案． 解：设圆心为O，大圆的弦与小圆相交，如图． 当是大圆直径时，的值最大， ∵大圆半径为5， ∴最大值为． 当与小圆相切时，最小． 设切点为C，连接， 则， ∴， ∵小圆的半径为4， ∴， ∴． ∵大圆的弦与小圆有两个公共点，即相交， ∴． 故答案：． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，为的直径，C、D分别为的中点，，点E、F都在上， 求证： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径，C、D分别为的中点， ∴， ∴， 而， ∴， ∴； （2）证明：在中，取的中点G，连接， ∴， ∴. ∵， ∴, ∴. ∵是的外角， ∴， ∴， 解得， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理以及含30度的直角三角形三边的关系， 1.连接，根据半径相等得到，则根据“”可判断，所以； 2.先说明，易得到，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到； 3.由得，根据三角形外角性质有，则，所以，于是得到． 解：（1）略 （2）略 （3）略 三.题型精析（综合培优） 【题型4】垂径定理多情况分类（双解问题） 【例题4】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是的直径，是的一条弦，且于点． （1）求证：； （2）若，求的半径； （3）在（2）的条件下，若点是线段上的动点（不与点、重合），则线段长度的取值范围是___________ 【答案】（1）证明： ， ， ， ； （2）的半径为3 （3）． 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理和点到直线的距离，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． （1）利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的性质即可证明； （2）先利用垂径定理求出，再根据勾股定理，列方程求解，从而求出的半径； （3）先由垂线段最短可得的最小值，再由点不与点、重合得的长小于半径，进而得到线段长度的取值范围． 解：（1）略 （2）解：是的直径，，， ， 在中，， 设的半径为，则，， ， 解得， 的半径为； （3）由垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，； 由点不与点、重合可得，的长小于半径，即，所以线段长度的取值范围为． 故答案为：． 【变式1】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用为的直径，，求出，根据得出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得到，最后，由两直线平行，内错角相等得出． 解：是的直径， ， 又， ， ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）已知的直径是10，、是的两条弦，，且，，则这两条弦间的距离为_____． 【答案】1或7 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理． 连接，，作直线于F，交于E，由，根据垂径定理得到，再根据勾股定理可计算出，，然后分类讨论：①当和在圆心的两侧时，则；②当和在圆心的同侧时，则． 解：如图所示，连接，，作直线于F，交于E，    ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ①当和在圆心的两侧时，则； ②当和在圆心的同侧时，则； 则与间的距离为1或7． 故答案为：1或7． 【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，． （1）求的长； （2）若大圆半径为，求小圆的半径． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）作，垂足为E，根据垂径定理得到，，即可得到的长； （2）连接，在中，由勾股定理得到，在中，由勾股定理得到即可． （1）解：作，垂足为E，    由垂径定理知，点E是的中点，也是的中点， ∴，， ∴； （2）连接， ∵在中，， ∴． 在中， ∵， ∴． 即小圆的半径为． 【点拨】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【题型5】圆周角定理角度计算与证明 【例题5】（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是直径，D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点E． （1）吗？为什么？ （2）若弧的度数为，求弧的度数？（用含m的式子表示） 【答案】（1），理由如下： 如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， ∴． （2） 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证得结论； （2）连接，根据圆周角定理和等边对等角可推出，结合直径所对的圆周角是直角和三角形外角的性质可由求得的度数，进而求得弧的度数． 解：（1）略 （2）解：如图，连接， ∵弧的度数为， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， 又∵是直径， ∴， ∴， ∴弧的度数为． 【变式1】（2026·广东肇庆·二模）如图，四边形是的内接四边形，是直径，延长与相交于点E，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角是圆心角的一半即可得，根据是直径可知，，根据等腰直角三角形可知，，进而根据角度关系即可求解． 解：， ． 是的直径， ， ， ， ． ∵四边形是的内接四边形， ∴ ． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）点、、是上不同的三点，已知，则____度． 【答案】140或60 【分析】分两种情况：当点在优弧上时，当点在劣弧上时，然后分别进行计算即可解答． 解：根据圆周角定理，可知一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，因此得 解：分两种情况： 如图，当点在优弧上时， ∵，， ∴ ， ∴； 如图，当点在劣弧上时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或． 【变式3】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，点C，D是直径上方半圆上两点，且，与交于点E． （1）求证：E为的中点； （2）若，，求． 【答案】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ， 为的中点； （2）8 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得，根据平行线的性质，可得， 根据垂径定理，即可得答案； （2）根据三角形的中位线，求出，再求出，根据勾股定理求出，即可得答案． （1）解：略； （2）为的中点，E为的中点， 是的中位线， ， ，     ， 在中，， ． 【题型6】圆内接四边形 【例题6】（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是的直径，弦，E是延长线上的一点，连接交于点F，连接、． （1）若，直接写出的度数； （2）求证：平分． 【答案】（1）；（2）证明：如图，连接， ∵是直径，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即平分． 【分析】（1）连接，交于点，根据垂径定理可推出，，从而求得，然后由同弧所对的圆周角相等即可求得的度数； （2）连接，根据垂径定理可推出，然后根据圆内接四边形的对角互补得到，结合同弧所对的圆周角相等可知，即可证得结论． （1）解：如图，连接，交于点， ∵是直径，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， （2）略 【变式1】（2026·宁夏·中考真题）如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角性质求出的度数，最后利用弧长公式求解即可． 解：， ， 是的外角， ， 是的直径， 的半径为， 的长为：． 【变式2】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为________． 【答案】/36度 【分析】设上点D的对应点为点E，连接，则得，；由是直径及圆内接四边形的性质可得的度数，从而求得结果． 解：设上点D的对应点为点E，连接，如图， 由折叠性质得：，； ∴， ∵是直径， ∴； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 【变式3】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F． （1）当时，求的度数． （2）若，且．请用含有α，β的代数式表示的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据外角的性质求出，根据圆内接四边形对角互补求出，最后根据外角可得答案； （2）根据圆内接四边形的性质和外角的性质可得，可得答案． （1）解：由题意得：， 四边形内接于， ， ， ； （2）解：由题意得， ∵，， ∴， ， ， ， ， ． 【题型7】弧长与扇形面积计算 【例题7】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，连接，． （1）求的度数． （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了圆周角定理、含直角三角形的性质、勾股定理、弧长公式等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由直径所对的圆周角为可知，根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据角的和差即可解答； （2）如图：连接，由含直角三角形的性质以及勾股定理可得，，如图：过O作于E，易得，由三角形的面积公式可得，再说明，利用扇形的面积公式可得，最后根据求解即可． （1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图：连接， 在中，，， ∴，，， 如图：过O作于E， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，半径绕圆心O顺时针旋转到，D为的中点，直径交弦于点．若，，则的长为（   ） A． B．13 C．15 D． 【答案】A 【分析】连接，交于点H，过点A作于点G，先证明，得出，根据圆周角定理得出，求出，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，根据勾股定理得出，． 解：连接，交于点H，过点A作于点G，如图所示： 则， ∵D为的中点，为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵半径绕圆心O顺时针旋转到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【变式2】（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，由角平分线的定义和圆周角定理得到，再根据弧长公式求解即可． 解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 【变式3】（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，点、、在上，，分别过点、作直线、相切于，交射线于、，，． （1）求圆心角的度数； （2）求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式． （1）根据切线的性质得，由，可得，，再由求解即可； （2）直接根据弧长公式求解即可． （1）解：∵直线、相切于， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：． 四.题型精析（拓展探究） 【题型8】圆的性质综合（垂径+圆周角+圆内接四边形压轴） 【例题8】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，的直径，为弦，点P是上一动点，过点P作弦， 延长、交于点Q． （1）①若，则 ； ②若，则的长度 ．（结果保留） （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）证明：如图，连接． ∵四边形内接于， ∴， 又， ∴， ∵，是的直径， ∴平分， ∴， ∵， ∴． （3） 【分析】（1）①先根据垂径定理得出，再利用勾股定理求得即可求得；②先利用三角函数求得，从而可得，再利用弧长公式求解； （2）先根据圆内接四边形的性质得出，再根据邻补角的意义得出，从而可得，再证明，结合，可得； （3）先证明，从而可得，根据正弦的定义，可得，从而可求得，再根据，从而可得，根据正弦的定义，可得，求得，然后利用勾股定理分别求得，，即可利用求得，即可得的长． （1）解：①如图，连接．在中，是直径，于P， ∴（垂径定理），． 在中，，， 由勾股定理得： ， ∴． 故答案为：12； ②​在中，，， 则， ∴， ∴． ∴的长度为：​． 故答案为：； （2）略 （3）连接，，过点C作于点G，过O作于点F， 则，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又，，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了同（等）角的余（补）角相等的应用，利用邻补角互补求角度，利用垂径定理求值，求弧长，相似三角形的综合问题，已知正弦值求边长，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【变式1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）的半径为5，点P到圆心O的距离满足方程，则点P与的位置关系为 ________ ． 【答案】在圆上 【分析】本题主要考查了判断点与圆的位置，解一元二次方程，先解一元二次方程得到点P到圆心O的距离，再根据圆的半径即可得到答案． 解：∵， ∴， 解得或， ∴点P到圆心O的距离为5， ∵的半径为5， ∴点P在圆上， 故答案为：在圆上． 【变式2】（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）新考法我们将小于半圆的弧叫作劣弧．如图，已知的半径为2，正五边形和正方形内接于，在由8个顶点分得的所有劣弧中，最长劣弧的弧长为___________． 【答案】 【分析】连接、、、、、、、，从而计算出各段弧所对应的圆心角，再结合弧长公式计算即可得出结果． 解：如图，连接、、、、、、、， ∵正五边形和正方形内接于， ∴，， ∴，，，，，， ∴最长劣弧所对的圆心角为， 则最长劣弧的弧长为． 【变式3】（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，在中，，直径，垂足为．，垂足为，交于点，交于点，，交于点，交于点． （1）若，求（用含的代数式表示）； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）；（2）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴； （3） 【分析】（1）根据，直径，得出，进而根据等角的余角相等，即可得证； （2）根据是的直径，得出，结合，即可得证； （3）连接，根据弧与圆周角的关系，证明，进而证明四边形是菱形，即可求解． （1）解：∵，直径， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）如图，连接， 设， ∵，直径， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 又同（1）可得， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴． 【点拨】本题考查了圆周角定理，圆周角与弧之间的关系，平行线的性质与判定，菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.8 圆的基本性质全章复习讲义（四大知识点八大题型） 目录 一.全章知识梳理 1 【知识点一】圆的相关概念与点和圆的位置关系 1 【知识点二】垂径定理及其推论 1 【知识点三】圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 2 【知识点四】圆周角定理与圆的相关计算 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型1】圆的概念与点和圆的位置关系 2 【题型2】垂径定理基础计算 3 【题型3】圆心角、弧、弦的简单应用 4 三.题型精析（综合培优） 5 【题型4】垂径定理多情况分类（双解问题） 5 【题型5】圆周角定理角度计算 6 【题型6】圆内接四边形 7 【题型7】弧长与扇形面积计算 8 四.题型精析（拓展探究） 10 【题型8】圆的性质综合（垂径+圆周角+圆内接四边形压轴） 10 一.全章知识梳理 【知识点一】圆的相关概念与点和圆的位置关系 1、圆的定义：平面内，线段OA绕固定端点O旋转一周，端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，记作⊙O。 集合定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 2、相关概念：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；能够完全重合的弧叫做等弧。 3、点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则： 点P在圆外 ； 点P在圆上 ； 点P在圆内 4、圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是它的对称轴；圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 【知识点二】垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 【知识点三】圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 【知识点四】圆周角定理与圆的相关计算 1、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 3、圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补，任意一个外角等于它的内对角。 4、弧长与扇形面积公式：设圆的半径为R，圆心角度数为nº。 弧长公式：； 扇形面积公式： 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】圆的概念与点和圆的位置关系 【例题1】（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，以的直角顶点为圆心，以的长为半径的圆分别交 于点，交于点，连接．若，求的度数． 【变式1】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C．直径是弦 D．过圆心的线段是直径 【变式2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为________． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）在矩形中，，． （1）若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ （2）若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【题型2】垂径定理基础计算 【例题2】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，且，垂足为D．若，，求的半径． 【变式1】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，于，，则为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 【变式3】（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． （1）求证：． （2）若，，求的半径． 【题型3】圆心角、弧、弦的简单应用 【例题3】（25-26九年级上·江西·期末）如图，在中，，．求证： （1）； （2）． 【变式1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是_____． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，为的直径，C、D分别为的中点，，点E、F都在上， 求证： （1）； （2）； （3）． 三.题型精析（综合培优） 【题型4】垂径定理多情况分类（双解问题） 【例题4】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是的直径，是的一条弦，且于点． （1）求证：； （2）若，求的半径； （3）在（2）的条件下，若点是线段上的动点（不与点、重合），则线段长度的取值范围是___________ 【变式1】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）已知的直径是10，、是的两条弦，，且，，则这两条弦间的距离为_____． 【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，． （1）求的长； （2）若大圆半径为，求小圆的半径． 【题型5】圆周角定理角度计算与证明 【例题5】（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是直径，D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点E． （1）吗？为什么？ （2）若弧的度数为，求弧的度数？（用含m的式子表示） 【变式1】（2026·广东肇庆·二模）如图，四边形是的内接四边形，是直径，延长与相交于点E，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）点、、是上不同的三点，已知，则____度． 【变式3】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，点C，D是直径上方半圆上两点，且，与交于点E． （1）求证：E为的中点； （2）若，，求． 【题型6】圆内接四边形 【例题6】（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是的直径，弦，E是延长线上的一点，连接交于点F，连接、． （1）若，直接写出的度数； （2）求证：平分． 【变式1】（2026·宁夏·中考真题）如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为________． 【变式3】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F． （1）当时，求的度数． （2）若，且．请用含有α，β的代数式表示的大小． 【题型7】弧长与扇形面积计算 【例题7】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，连接，． （1）求的度数． （2）若，求图中阴影部分的面积． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，半径绕圆心O顺时针旋转到，D为的中点，直径交弦于点．若，，则的长为（   ） A． B．13 C．15 D． 【变式2】（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 【变式3】（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，点、、在上，，分别过点、作直线、相切于，交射线于、，，． （1）求圆心角的度数； （2）求的长． 四.题型精析（拓展探究） 【题型8】圆的性质综合（垂径+圆周角+圆内接四边形压轴） 【例题8】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，的直径，为弦，点P是上一动点，过点P作弦， 延长、交于点Q． （1）①若，则 ； ②若，则的长度 ．（结果保留） （2）求证：； （3）若，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）的半径为5，点P到圆心O的距离满足方程，则点P与的位置关系为 ________ ． 【变式2】（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）新考法我们将小于半圆的弧叫作劣弧．如图，已知的半径为2，正五边形和正方形内接于，在由8个顶点分得的所有劣弧中，最长劣弧的弧长为___________． 【变式3】（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，在中，，直径，垂足为．，垂足为，交于点，交于点，，交于点，交于点． （1）若，求（用含的代数式表示）； （2）求证：； （3）若，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $