专题 1.10 二次函数复习专题——二次函数图象与性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义以二次函数图象与性质为核心，通过知识梳理构建从基础到综合的体系，用表格对比不同形式二次函数（如y=ax²、y=a(x-h)²+k）的开口方向、顶点坐标等性质，结合平移规律口诀呈现知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础夯实部分如平移规律例题（将抛物线向左平移1个单位）培养运算能力，综合提升题型（二次函数与一次函数图象辨析）发展几何直观与推理意识，同步检测分选择、填空、解答题适配不同学生，解题技巧总结助力自主复习，教师可据此实施精准教学。

专题 1.10 二次函数复习专题——二次函数图象与性质（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】二次函数 y = ax² 的图象与性质 2 【知识点二】二次函数 y = ax² + k 的图象与性质 2 【知识点三】二次函数 y = a（x-h）² 的图象与性质 2 【知识点四】二次函数 y = a（x-h）² + k 的图象与性质（顶点式） 3 【知识点五】二次函数 y = ax² + bx + c 的图象与性质（一般式） 3 【知识点六】二次函数图象的平移规律 3 二.题型精析（基础夯实） 4 【题型1】二次函数y=ax²的图象与性质 4 【题型2】二次函数图象的平移规律 7 【题型3】顶点式的图象与性质 9 【题型4】一般式的顶点坐标与对称轴 12 三.题型精析（综合提升） 15 【题型5】二次函数与一次函数、反比例函数图象辨析 15 【题型6】二次函数 y = ax² + bx + c 的图象的对称性 18 【题型7】二次函数 y = ax² + bx + c 的的增减性 21 【题型8】二次函数图象与性质综合应用 25 【题型9】二次函数与一次函数、反比例函数综合应用 30 四.同步检测 34 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 34 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 40 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 45 一.知识梳理与解读 【知识点一】二次函数 y = ax² 的图象与性质 1. 图象形状 二次函数y=ax²（a≠0）的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点在原点（0, 0）。 2. 性质 a > 0 a < 0 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （0, 0） （0, 0） 对称轴 y轴（x = 0） y轴（x = 0） 增减性 x<0时y随x增大而减小；x>0时y随x增大而增大 x<0时y随x增大而增大；x>0时y随x增大而减小 最值 x=0时，y有最小值0 x=0时，y有最大值0 3. |a|对开口大小的影响 |a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽。 【知识点二】二次函数 y = ax² + k 的图象与性质 1. 图象与y=ax²的关系 二次函数y=ax²+k（a≠0）的图象可由抛物线y=ax²沿y轴方向平移得到： ① 当k > 0时，将抛物线y=ax²向上平移k个单位，得到y=ax²+k； ② 当k < 0时，将抛物线y=ax²向下平移|k|个单位，得到y=ax²+k。 2. 性质 ① 开口方向：由a决定，a>0开口向上，a<0开口向下； ② 顶点坐标：（0, k）； ③ 对称轴：y轴（直线x = 0）； ④ 增减性：与y=ax²相同，以y轴为界； ⑤ 最值：当a>0时，x=0时y有最小值k；当a<0时，x=0时y有最大值k。 【知识点三】二次函数 y = a（x-h）² 的图象与性质 1. 图象与y=ax²的关系 二次函数y=a（x-h）²（a≠0）的图象可由抛物线y=ax²沿x轴方向平移得到： ① 当h > 0时，将抛物线y=ax²向右平移h个单位，得到y=a（x-h）²； ② 当h < 0时，将抛物线y=ax²向左平移|h|个单位，得到y=a（x-h）²。 2. 性质 ① 开口方向：由a决定； ② 顶点坐标：（h, 0）； ③ 对称轴：直线x = h； ④ 增减性：以直线x=h为界，a>0时左减右增，a<0时左增右减； ⑤ 最值：当a>0时，x=h时y有最小值0；当a<0时，x=h时y有最大值0。 【知识点四】二次函数 y = a（x-h）² + k 的图象与性质（顶点式） 1. 图象与y=ax²的关系 二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）的图象可由抛物线y=ax²先沿x轴平移|h|个单位，再沿y轴平移|k|个单位得到。 2. 性质 ① 开口方向：a>0开口向上，a<0开口向下； ② 顶点坐标：（h, k）； ③ 对称轴：直线x = h； ④ 增减性：当a>0时，在对称轴左侧（x<h）y随x增大而减小，在对称轴右侧（x>h）y随x增大而增大；当a<0时相反。 ⑤ 最值：当a>0时，x=h时y有最小值k；当a<0时，x=h时y有最大值k。 【知识点五】二次函数 y = ax² + bx + c 的图象与性质（一般式） 1. 一般式与顶点式的转化 通过配方法可将一般式化为顶点式： 2. 性质 ① 开口方向：a>0开口向上，a<0开口向下； ② 顶点坐标： ③ 对称轴：直线 ④ 与y轴交点：，即c是抛物线与y轴交点的纵坐标； ⑤ 最值：当a>0时，y有最小值 ；当a<0时，y有最大值 。 【知识点六】二次函数图象的平移规律 1. 平移规律口诀 左右平移看h：左加右减（在x上加减）； 上下平移看k：上加下减（在整体上加减）。 2. 平移步骤 从y=ax²到y=a（x-h）²+k： ① 沿x轴方向平移|h|个单位（h>0向右，h<0向左）； ② 沿y轴方向平移|k|个单位（k>0向上，k<0向下）。 注意：平移顺序可以互换，最终结果相同。 二.题型精析（基础夯实） 【题型1】二次函数y=ax²的图象与性质 【例题1】（甘肃省武威市凉州区武威第二十四中学等联考2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）如图所示，已知直线与抛物线交于A，B两点． （1）求A，B两点的坐标． （2）观察图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了抛物线与一次函数的交点问题： （1）因为直线与抛物线交于A，B两点．则联立式子，得，解得的值，即可作答； （2）由（1）知，，结合图象，即可知道当时的取值范围； 正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）解：依题意， 得 则， 解得，， 所以，； （2）解：由（1）知直线与抛物线交于，， 故结合图象，当时，则， 所以当时的取值范围为． 【变式1】（25-26九年级上·河北邢台·期末）嘉嘉用软件绘制抛物线时，将系数“3”误认为“”，得到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是（   ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，比较原抛物线与新抛物线的系数a，分析开口方向、开口大小、对称轴和顶点坐标的变化即可求解． 解：在二次函数和中，对称轴均为直线，顶点坐标为， 故选项C、D不符合题意； ∵原函数，新函数， ∴开口方向均向上，未改变，故选项B不符合题意； ∵， ∴开口大小改变，故选项A符合题意， 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次项系数与图象的关系是解题的关键．直接利用二次函数的图象开口大小与的关系即可得出答案． 解：观察图象可知，开口向上，故， 和开口向下，且的开口大小小于，故， ． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，点A、B分别在二次函数的图象上，且线段轴，若. （1）求点A、B的坐标. （2）求三角形的面积. 【答案】（1）点，点；（2）27 【分析】（1）根据二次函数的对称性求出点的横坐标，然后代入二次函数解析式计算求出点的纵坐标，从而得解，再根据对称性写出点的坐标 （2）根据点A、B的坐标直接求出三角形的面积． 解：（1）轴，， 点的横坐标为， ， 点的坐标为， 点、关于轴对称， 点． （2）点，点． ， 【点拨】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性和二次函数图象上点的坐标特征． 【解题技巧】对于y=ax²，a的符号决定开口方向：a>0开口向上有最小值，a<0开口向下有最大值。顶点始终在原点，对称轴为y轴。 【题型2】二次函数图象的平移规律 【例题2】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）已知抛物线，点是图象上一点． （1）求的值； （2）将点向右平移2个单位长度，得到点，判断点是否在该抛物线的图象上，请说明理由． 【答案】（1）；（2）解：由（1）得，点， ∵将点向右平移2个单位长度，得到点， 将代入得， ， 点在抛物线上． 【分析】本题考查二次函数图象上点坐标的特点，点的平移，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）抛物线上的点坐标满足相应的函数解析式，所以将代入求解即可； （2）将点向右平移2个单位长度得到点，则，将代入求得，即可判断点在该抛物线的图象上． （1）解：将代入得， ； （2）略 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）将抛物线向左平移1个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：∵二次函数图象的平移规律为：左右平移时对进行变化，符合“左加右减”规则，即向左平移个单位时，将原解析式中的替换为． 原抛物线解析式为，向左平移个单位， ∴将原解析式中的替换为， 得到新抛物线解析式为． 【变式2】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知二次函数的图象上有三个点，，则，，的大小关系为______（用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数解析式可得二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，二次函数图象上的点离对称轴的距离越远函数值越大，据此解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：∵二次函数， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，二次函数图象上的点离对称轴的距离越远函数值越大， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象 （1）求a，h，k的值； （2）指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标； （3）当时，求函数y的取值范围． 【答案】（1）；（2）向上，；（3） 【分析】（1）利用逆向思维的方法求解：把二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到二次函数的图象，然后利用顶点的平移情况确定原二次函数解析式，然后写出a、h、k的值； （2）根据二次函数的性质求解； （3）根据二次函数的函数与增减性，结合端点函数值即可求解． 解：（1）二次函数的图象的顶点坐标为（−1，3），把点（−1，3）先向右平移3单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为（2，−1）， 所以原二次函数的解析式为 所以； （2）二次函数，即的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，−1）． （3）∵函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，−1） ∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∴当x=2时，y的最小值为-1， ∵x=1时，；x=5时， ∴当时，求函数y的取值范围为． 【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质． 【解题技巧】平移规律：左右平移在x上加减（左加右减），上下平移在整体上加减（上加下减）。注意：左右平移时要将x替换为（x±h），不要漏括号。 【题型3】顶点式的图象与性质 【例题3】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点． （1）直接写出函数值随增大而增大时的取值范围； （2）比较的大小，并说明理由． 【答案】（1）；（2）解：，理由如下： ∵抛物线开口向下， ∴距离对称轴越近的点，其值越大， ∵，，， ∴． 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性和函数值比较大小，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）先根据抛物线解析式确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的图象和性质解答即可； （2）计算出、两点到抛物线对称轴的距离，根据抛物线开口向下，则距离对称轴越近的点，其值越大，解答即可． （1）解：∵抛物线， ∴，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴随增大而增大时的取值范围为：； （2）略 【变式1】（24-25九年级下·江苏苏州·开学考试）由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式的性质，逐项判断即可得到正确结果． 解：对于二次函数，其中，，， ， 抛物线开口向上，A选项错误； 顶点式的对称轴为直线， 对称轴为直线，B选项错误； 抛物线与轴交点，令代入解析式：， 与轴交点纵坐标为，不是，C选项错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，D选项正确 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·海南海口·期中）已知点，，都在函数的图象上，请将由大到小的顺序用“”连接__________________； 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，分别代入各点横坐标，求出函数值，可得函数值大小关系． 解：当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·广东惠州·阶段检测）已知抛物线 （1）开口向______ （2）顶点坐标是______ （3）对称轴是______ （4）当______时，的最小值是______ （5）当时，随的增大而______ （6）若时，的取值范围为______ 【答案】（1）上；（2）；（3）直线；（4）1，2；（5）减小；（6） 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 抛物线，的正负确定开口方向，对称轴是直线，顶点坐标是，结合二次函数的最值与增减性求解即可． （1）解：∵， ∴抛物线开口向上， 故答案为：上； （2）解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：； （3）解：抛物线的对称轴是：直线， 故答案为：直线； （4）解：∵抛物线开口向上， ∴顶点是最低点， 当时，的最小值是2； （5）解：当时，随的增大而减小， 故答案为：减小； （6）解：当时，， 当时，， ∵时，的最小值是2； ∴若时，的取值范围为， 故答案为：． 【解题技巧】顶点式y=a（x-h）²+k中，h和k直接给出顶点坐标和对称轴。注意h的符号：y=（x-2）²中h=2，y=（x+2）²中h=-2。a的符号决定最值类型。 【题型4】一般式的顶点坐标与对称轴 【例题1】（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知二次函数． （1）运用配方法化成的形式． （2）写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴． （3）当取何值时，函数有最值？最值是多少？ （4）当取何值时，随的增大而增大？ 【答案】（1）；（2）开口向上，顶点坐标，对称轴直线；（3）时，函数有最小值；（4）当 【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式； （2）对于二次函数，当时，抛物线开口向上，它的对称轴是直线，顶点坐标是； （3）根据二次函数的性质，抛物线，当时，函数有最值； （4）根据抛物线开口向上，在对称轴的右侧，随的增大而增大． （1）解： ， 即； （2）， ，抛物线的开口向上， 顶点坐标为，对称轴为直线； （3）， 当时，函数有最小值是． （4）抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大． 【点拨】本题考查了二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质及二次函数的最值，难度不大，利用配方法将一般式化为顶点式是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、与y轴交点、顶点坐标的求解方法是解题的关键． 根据二次函数的性质，分别从开口方向、对称轴、与y轴交点、顶点坐标这几个方面对每个选项进行分析判断． 解： 二次函数中，，，， ∵ ， ∴ 开口向下，故A项错误． 对称轴， ∴ 不是，故B项错误． 当时，， ∴ 与轴交点为，不是，故C项错误． 把顶点横坐标，代入得， ∴ 顶点坐标为，故D项正确． 故选：D． 【变式2】（26-27九年级·上海·暑假作业）二次函数的顶点坐标为________，对称轴为________． 【答案】 直线 【分析】本题考查把化为顶点式，的图象和性质． 二次函数解析式化为顶点式，利用的图象和性质，即可得顶点坐标和对称轴． 解：， ∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线． 故答案为：，直线． 【变式3】（第1章二次函数【单元提升卷】-2025-2026学年九年级数学考试满分全攻略（浙教版））已知二次函数y＝． （1）写出二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）画出函数的图象； （3）根据图象说出当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？函数y有最大值还是最小值？最值是多少？ 【答案】（1）抛物线的开口方向向下，顶点坐标为（﹣3，2），对称轴为x＝﹣3；（2）见解析；（3）当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，当x＞﹣3时，y随x增大而减小，当x＝﹣3时，y有最大值，最大值为2 【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得其顶点坐标及对称轴； （2）可分别求得抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象； （3）结合抛物线图象及增减性可求得答案． （1）解：（1）∵y＝＝， ∴抛物线的开口方向向下，顶点坐标为（﹣3，2），对称轴为x＝﹣3； （2）在y＝中， 令y＝0可得． 解得x＝﹣1或﹣5， 令x＝0可得y＝，结合（1）中的顶点坐标及对称轴，可画出其图象如图所示： （3）∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，2）， ∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，当x＞﹣3时，y随x增大而减小，当x＝﹣3时，y有最大值，最大值为2． 【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，其对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）． 【解题技巧】求一般式的顶点坐标和对称轴有两种方法：①配方法化为顶点式；②公式法直接代入。配方法更直观，公式法更快捷，两种方法结果一致，可互相验证。 三.题型精析（综合提升） 【题型5】二次函数与一次函数、反比例函数图象辨析 【例题5】（2026·宁夏固原·三模）已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数开口及顶点判断，的正负，根据反比例函数图象所在象限判断的正负，结合一次函数图象性质即可得到答案． 解：∵二次函数图象开口向下， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于正半轴， ∴ ∵反比例函数图象在第二，四象限， ∴， 一次函数过一、二、四象限． 【变式1】（2026·安徽芜湖·三模）已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据抛物线的开口方向和与y轴的交点可得，，可知一次函数的图象经过一、二、四象限，再根据对称轴可得二次函数，然后结合图象可得，最后根据一次函数，当时，判断即可． 解：∵抛物线的开口向下， ∴． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． ∵抛物线的对称轴是， ∴，即二次函数． 当时，． 对于一次函数，当时，， 所以图象D符合题意． 【变式2】（2026·贵州六盘水·二模）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出、、，由此即可得出：二次函数的图象开口向上，对称轴，与轴的交点在轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论． 解：观察一次函数和反比例函数的图象可知：、、， 二次函数的图象开口向上，对称轴，与轴的交点在轴正半轴， 因此四个选项中只有C选项符合题意． 【变式3】（2026·安徽阜阳·二模）在同一平面直角坐标系中，抛物线（是常数，且）与双曲线的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次函数对称轴公式计算抛物线的对称轴为，确定其在轴左侧，据此排除对称轴位置不符的选项A、D；再分和两种情况讨论：当时，反比例函数图象应在一、三象限，且抛物线开口向上、与轴交于负半轴；当时，反比例函数图象在二、四象限，抛物线开口向下且与轴交于正半轴，由此确定答案． 解：对于抛物线，对称轴为直线， ∴抛物线对称轴一定在轴左侧，故选项A，D错误； 当时，，则双曲线在第一、三象限，抛物线交轴负半轴，故选项B错误； 当时，，则双曲线在第二、四象限，抛物线交轴正半轴，故选项C符合题意． 【题型6】二次函数 y = ax² + bx + c 的图象的对称性 【例题6】（九上第五章二次函数认识二次函数及二次函数的图象）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． （1）求该二次函数的解析式； （2）若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【答案】（1）；（2）当点的坐标为时，的周长最小 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，先求出抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，关于抛物线的对称轴对称，则，得到的周长为，当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，再求出直线的解析式，即可求解． （1）解：将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， ，关于抛物线的对称轴对称， ， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求， 设直线的解析式为，将、两点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 当点的坐标为时，的周长最小． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质求解，无需计算的值． 解：∵二次函数中，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一交点的横坐标为， 即坐标为． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点、（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为______． 【答案】 【分析】由两抛物线的解析式确定出两抛物线的对称轴，利用对称性确定出点B与C的横坐标，进而求出的长． 解：抛物线与的对称轴分别为直线与直线， ∵点A的横坐标为1， ∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为， ∴． 【变式3】（2026·浙江温州·一模）已知抛物线（b为常数）经过点,． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当时,,求k的最大值． （3）过点B与x轴平行的直线交抛物线于点,若,求t的取值范围． 【答案】（1）；（2）2；（3）． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可. （2）结合二次函数的图象和性质求解即可. （3）利用二次函数的对称性以及图象和性质求解即可. （1）解：把代入,得,解得, ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：∵,,对称轴为直线, ∴当时,；而当或2时,, ∴由图象可得,当时,, ∴k的最大值为2． （3）解：∵点和点关于对称轴为直线对称， ∴，即, ∵ , 即, ∴． ∵,且当时，y随x的增大而减小, ∴当时,；时,． ∴t的取值范围是． 【题型7】二次函数 y = ax² + bx + c 的的增减性 【例题7】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知抛物线过点． （1）求这个抛物线的函数关系式； （2）写出该抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标； （3）若点和在该抛物线上，请利用函数增减性比较和的大小（写出比较过程）； （4）直接写出当时，y的取值范围． 【答案】（1）；（2）开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；（3），理由： ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵点和在该抛物线上，， ∴； （4） 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数关系式，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）根据抛物线的开口方向和对称轴得到函数的增减性，结合点A、B离对称轴的距离求解即可； （4）根据二次函数的性质求解即可． （1）解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴这个抛物线的函数关系式是； （2）解：由得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）略 （4）解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∵，， ∴当时 ，y有最小值1， 当时，y有最大值，最大值为5， ∴当时，y的取值范围为． 【变式1】（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点和点在抛物线上．已知点，，在该抛物线上．若，比较，，的大小（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．分类讨论的正负情况，根据可得对称轴在与直线之间，再根据各点到对称轴的距离判断值大小． 解：， 抛物线开口向上且经过原点， 当时，抛物线顶点为原点，时随增大而增大，不满足题意， 当时，抛物线对称轴在轴左侧，同理，不满足题意， ，抛物线对称轴在轴右侧，时，时， 即抛物线和轴的2个交点，一个为，另外一个在1和3之间， 抛物线对称轴在直线与直线之间， 即， 点与对称轴距离最近，点与对称轴距离最远， ． 故选：D 【变式2】（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）已知点在二次函数的图象上 （1）当时，的取值范围是_________ （2）当时，的取值范围是_________ （3）当时，的取值范围是_________ 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求出最大值和最小值即可，然后写出y的取值范围即可． 解：∵ ∴二次函数的对称轴为直线， ∵，开口向上， ∴当时，有最小值为， 当时，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， y的取值范围是； 故答案为：； （2）当时，y的取值范围是； 故答案为：； （3）当时，， 当时，y的取值范围是． 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的最值问题和增减性，熟记性质并求出对称轴是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）若点在该二次函数的图象上，且，比较的大小． 【答案】（1）；（2）此抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；（3） 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）配方成顶点式，即可求解； （3）由于该二次函数图象的对称轴为直线，且开口向下，可得当时，随的增大而增大，即可求解． （1）解：∵二次函数的图象与轴交于，两点． ∴，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由（1）知二次函数的表达式为， ∵， ∴此抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：由（2）知抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵点在该二次函数的图象上，且， ∴． 【题型8】二次函数图象与性质综合应用 【例题8】（2026·河南三门峡·二模）已知二次函数的图象经过，两点． （1）求二次函数的表达式； （2）求抛物线的对称轴和抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）将抛物线绕原点旋转，再向右平移1个单位长度，直接写出两次变换后的抛物线的表达式． 【答案】（1）；（2）抛物线的对称轴为直线，抛物线与y轴的交点坐标为，抛物线与x轴的交点坐标为，；（3） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）化成顶点式，可求得抛物线的对称轴，令或，分别求解即可求得抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）利用旋转和平移的性质求解即可． （1）解：把，代入，得 ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 当时，， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，； （3）解：抛物线的顶点坐标为， 将抛物线绕原点旋转， ∴顶点坐标为， ∴此时抛物线的解析式为， 将抛物线向右平移1个单位长度， ∴， ∴最终两次变换后的抛物线表达式为：． 【变式1】（2026·四川成都·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．两点之间的距离为5 D．当时，的值随值的增大而减小 【答案】C 【分析】将点坐标代入抛物线解析式求出的值，确定函数解析式，根据二次函数的性质逐项分析判断即可求解 ． 解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故A，B选项错误； 令，则， 解得， ∴， ∴， 故C选项正确； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； ∴当时，在时，的值随的增大而减小，在时，随的增大而增大； 故D选项错误． 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标分别为，，某二次函数图象在平移过程中，顶点始终在线段上，与x轴交于C，D两点，若线段的最小值为2，则最大值为_____． 【答案】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 根据题意得出顶点为B点时，线段的最小值，顶点为A点时，线段有最大值，当顶点为B点时，设函数解析式为： ，得出，由于开口大小不变，确定顶点为A点时，则 ，利用根与系数的关系求解即可． 解：由题意，顶点为B点时，线段的最小值，顶点为A点时，线段有最大值， 当顶点为B点时，设函数解析式为： ， 令,则 ，即 ， 设点， 则此时 ， ∵线段的最小值为2， ， ， ， 解得， ， 顶点为A点时，则 ， 令，则 ，即 ， 则此时 ， ， ， （负值舍去）， ∴线段的最大值为 ， 故答案为： ． 【变式3】（2026·河南驻马店·二模）已知抛物线． （1）当时，求抛物线的对称轴； （2）若抛物线的对称轴在y轴右侧，且当时，y的最小值为，求抛物线与x轴的交点坐标； （3）当时，在的范围内，y有最大值14，求抛物线的解析式． 【答案】（1）直线；（2），；（3） 【分析】（1）问直接利用二次函数对称轴公式，代入参数计算对称轴； （2）问先根据对称轴位置确定的符号，再结合顶点式的最小值条件求出的值，最后通过解一元二次方程得到抛物线与轴的交点坐标； （3）先将代入函数解析式，再根据对称轴的位置分情况讨论函数的最大值，结合最大值条件求解的值，验证后得到抛物线解析式． （1）解：当时，抛物线化为， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵抛物线的对称轴在轴右侧， ， ． 当时，， ， 解得， ， ． 令， 解得，， ∴抛物线与轴的交点的坐标为，； （3）解：当时，． 若，即，则当时，的值最大， ， 解得． 若，即，则当时，的值最大， ， 解得（舍去）． 当，即时，， 与时的函数值相等，均为，不符合题意． 综上所述，抛物线的解析式为． 【题型9】二次函数与一次函数、反比例函数综合应用 【例题9】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数表达式； （2）是线段上一点（不与点，重合），过点作轴的平行线，交反比例函数图象于点，连接．设点横坐标为，求当为何值时，的面积最大，最大值是多少？ 【答案】（1）；（2）当时，的面积最大，最大值是． 【分析】（1）根据点在反比例函数的图象上，代入纵坐标得到点的坐标，进而利用待定系数法得到一次函数的表达式． （2）根据点和点的关系，分别代入一次函数和反比例函数的表达式，得到线段关于的表达式，进而得到关于的二次函数表达式，进而根据的取值范围和二次函数的图象和性质得到的最大值． （1）解：点在反比例函数的图象上， ，解得， ， ，解得， 一次函数表达式为； （2）解：点横坐标为，轴且交反比例函数的图象于点， ，， ， ， ，， 当时，的面积最大，最大值是． 【变式1】（2025·贵州遵义·一模）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，二次函数的对称轴为，，是关于的方程的两个根，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．②④ 【答案】D 【分析】二次函数开口向下，则有，根据二次函数的图象交于y轴的正半轴，可判断①；根据二次函数的对称轴以及，是关于的方程的两个根，结合根于系数的关系可判断②；联立，得出，可判断③；结合图象可知：当时，二次函数图象在一次函数图象的上方，即，可判断④． 解：二次函数开口向下，则有， ∵二次函数的图象交于y轴的正半轴， ∴当时，，故①错误， ∵二次函数的对称轴为， ∴，即，， ∵，是关于的方程的两个根， ∴， ∴，故②正确； 联立， 解得：， ∴结合图象可知：， 若正确，则有：， 即，此与矛盾，故③错误； 结合图象可知：当时，二次函数图象在一次函数图象的上方， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 【点拨】本题是一次函数与二次函数图象的综合判断题，难度较大，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的综合以及一元二次方程的根于系数的关系等知识，联立，得出，是解答本题的关键． 【变式2】（2025·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点称为整点．若反比例函数 与二次函数的图象在第二象限围成的封闭图形（不包括边界）内有且仅有3个整点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据题意可知二次函数在第二象限内的部分，其与坐标轴所围部分（不含曲线，不含坐标轴）包含了（-3,1）、（-3,2）、（-3,3）、（-3,4）、（-3,5），共5个整点，然后根据反比例函数与二次函数在第二象限围成的封闭图形（不包括边界）内有且仅有3个整点，可得这3个整点只能是（-3,3）、（-3,4）、（-3,5），进而得到，从而可以求得k的取值范围． 解：∵， ∴当x=0时，y=−48；当y=0时，x=-4或x=-2；当x=-3时，y=6， ∴二次函数在第二象限内的部分是（-2,0）到（-4,0）这一段曲线部分， 其与坐标轴所围部分（不含曲线，不含坐标轴）包含了（-3,1）、（-3,2）、（-3,3）、（-3,4）、（-3,5），共5个整点． ∵反比例函数与二次函数在第二象限围成的封闭图形（不包括边界）内有且仅有3个整点， ∴这3个整点只能是（-3,3）、（-3,4）、（-3,5）， ∴， 解得， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是结合二次函数与反比例函数图象上点的坐标特征找出整点的坐标． 【变式3】（24-25九年级上·四川德阳·阶段检测）已知是关于x的一次函数． （1）当b为何值时，一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点； （2）若一次函数的图象与二次函数的图象有两个公共点，且其中一个公共点恰是该二次函数图象的顶点，求另一个公共点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点得出方程有两个相等的实数根，即，解方程即可； （2）先求出二次函数的顶点坐标，再把顶点坐标代入中求出的值，在解方程组即可得到另一公共点的坐标． （1）解：一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点， 方程即有两个相等的实数根， ， 解得：， 当时，一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点； （2）解：二次函数， 二次函数的顶点， 一次函数的图象与二次函数的图象一个公共点恰是该二次函数图象的顶点， ， 解得：， 一次函数的解析式为， 则联立方程组得：， 解得：或， 一次函数的图象与二次函数的图象的另一公共点坐标为． 【点拨】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是直线和抛物线的交点个数与一元二次方程实数根之间的关系，当时，一元二次方程有两个不等的实数根，图象有两个公共点；当时，一元二次方程有两个相等的实数根，图象有一个公共点；当时，一元二次方程无实数根，图象没有公共点． 【解题技巧】二次函数综合题的解题步骤：①根据已知条件求解析式（选合适的形式）；②化为顶点式求顶点和对称轴；③根据开口方向和对称轴分析增减性和最值。数形结合是关键。 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25九年级上·云南昭通·期末）抛物线向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查抛物线图象的平移，解题思路是先将原抛物线一般式配方为顶点式，得到原顶点坐标，再根据点的平移规律得到平移后的顶点坐标，用到平移规律：向右平移，横坐标增加，纵坐标不变． 解：， 原抛物线的顶点坐标为， 抛物线向右平移个单位长度，顶点平移规律与点的平移规律一致，向右平移横坐标加，纵坐标不变 ， 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 故平移后抛物线的顶点坐标为． 2．（2026·广东珠海·三模）抛物线，其中，a，b，c能决定抛物线的增减性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，需明确抛物线增减性的影响因素，抛物线增减性由开口方向和对称轴位置共同决定，根据二次函数性质分析各参数的作用即可得到结果； 解：∵抛物线的开口方向由决定，开口方向决定整体增减趋势；抛物线的对称轴为直线，对称轴位置由和共同决定；抛物线的增减性以对称轴为分界，因此增减性由共同决定；只决定抛物线与轴的交点位置，仅上下平移抛物线，不改变开口方向和对称轴位置，不影响增减性∴能决定抛物线增减性的是． 3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若，是抛物线上的两个点，则它的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用抛物线的对称性求解，抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值． 解：∵ 两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 4．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）已知二次函数和，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时 【答案】B 【分析】分两种情况讨论，通过解不等式和，可对各项进行判断． 解：当时，， 整理得， ， ，解得或； 当时，， 整理得， ， ，解得． 故选：B． 【点拨】本题考查了二次函数与不等式组：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 5．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象问题． 先求出的顶点坐标， 再分情况讨论即可． 解：当时，， 即函数的顶点为，B、D不符合要求； 当时，函数经过一、三象限，函数开口向上，C符合； 当时，函数经过二、四象限，函数开口向下，无符合选项； 故选：C． 6．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像求解不等式，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想求解问题． 由图像可得，二次函数的对称轴为，与轴的一个交点为，根据对称性求得另一点的坐标，即可求解． 解：由图像可得，二次函数的开口向下，对称轴为，与轴的一个交点为 由对称性可得，与轴的另一个交点为， 则不等式的解集为， 故选：A． 7．（25-26九年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）在平面直角坐标中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，则的长为（   ） A．3 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了求抛物线解析式和抛物线图象的性质，因为点和点在抛物线上，所以将这两个点的坐标代入抛物线解析式，得到关于a、b的方程组，可求出a、b的值，确定抛物线的具体解析式，然后令抛物线解析式中的，解一元二次方程得到x的两个解，得出点A的横坐标．因为A、B都在x轴上，即可计算的长． 解：把已知点、代入， 得方程组： ，解得， 因此抛物线解析式为． 令，解方程， 因式分解得，得根和， 因此． ∵A、B都在x轴上， ∴． 故选： D． 8．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 9．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）新定义：点的“限变点”满足：时；时．若在上，当 时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，分两种情况讨论：当时和当时，分别求出的取值范围即可求得答案． 解：根据题意可知，． （Ⅰ）当时，可得 ． 二次函数的开口向下，对称轴为． 当时，可以取得最大值，当或时，可以取得最小值． 所以，当时，． （Ⅱ）当时，可得 ． 二次函数的开口向上，对称轴为． 当时，随的增大而减小． 当时，，当时，． 所以，当时，． 综上所述，． 10．（25-26九年级上·山西朔州·期中）将抛物线向右平移个单位长度，在平移的过程中抛物线与y轴的交点也会随之变化，设平移后的抛物线与y轴的交点为Q，则在抛物线平移的过程中，点Q的纵坐标的最大值为（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值， 依据题意，由抛物线为，即，从而向右平移个单位长度可得新抛物线为，又令，则，可得点Q的纵坐标为，最后结合二次函数的性质可以判断得解． 解：由题意，∵抛物线为，即， ∴向右平移个单位长度可得新抛物线为， ∴令，则． ∴点Q的纵坐标为． ∵，， ∴当时，点Q的纵坐标的最大值为12． 故选：A． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）抛物线的对称轴是直线_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数对称轴公式是解题的关键． 解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象是由抛物线向左平移3个单位长度得到的，则________，________． 【答案】 【分析】根据二次函数“左加右减”的平移规律得到平移后的解析式，对比题目给出的顶点式即可求出和． 解：抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线， ∵二次函数的图象是由抛物线向左平移3个单位长度得到的， ∴． 13．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 【答案】 【分析】首先确定抛物线的对称轴，再求出点A的坐标，最后根据对称点的性质求解即可. 解：抛物线中，，， ∴抛物线的对称轴为， 将代入抛物线解析式，得， 点的坐标为， 点和点关于抛物线对称轴对称，对称点纵坐标相等，点，点到对称轴的距离相等， 设点的横坐标为，可得， 解得， 点的坐标为. 14．（24-25九年级上·广东东莞·期末）抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，根据函数图象找到二次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 解：由函数图象可得当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 15．（25-26九年级下·安徽·阶段检测）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______． 【答案】/ 解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，对应的函数值越大， 分别计算三点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 16．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是______．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 17．（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】①②④ 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 18．（九上第五章二次函数二次函数与一元二次方程）已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意画出对应的图象，先解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，然后求出直线经过该抛物线的顶点C时的坐标，从而得到m的值，进而得出m的取值范围． 解：如图，在x轴下方作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时点C为翻折抛物线的顶点，则直线在x轴与切线的两条直线之间，两个图象有4个交点， 令，解得：或2，即，， ∴翻折抛物线的表达式为：， ∴顶点C的坐标为， 当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数是关于的二次函数． （1）求的值． （2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）；（2）这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项系数不为零，自变量次数最高为2次，据此解答即可； （2）将二次函数化为顶点式，求出对称轴和顶点坐标． （1）解：由题意，得， 解得； （2）解：由（1）得二次函数解析式为：， 这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和． （1）由图象可知，不等式的解集是_____； （2）在什么范围内，随增大而减小？ 【答案】（1）或；（2） 【分析】（）根据二次函数图象解答即可求解； （）求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质解答即可； 本题考查了二次函数与不等式，二次函数的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）解：由图象可知，不等式的解集是或， 故答案为：或； （2）解：∵二次函数图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线开口向下， ∴当时，随增大而减小． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·山东滨州·期末）二次函数：已知抛物线的顶点坐标为，且过点． （1）求此抛物线的解析式； （2）请画出抛物线的图象（只画图，并标出其中三个关键点的坐标）； （3）试说明将抛物线经过怎样的平移，可以得到此抛物线的图象． 【答案】（1）；（2）函数图象如图： （3）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度（或先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度） 【分析】本题考查了待定系数法求解函数解析式，画二次函数图象，二次函数图象的平移问题． （1）设顶点式解析式，再代入点即可求解； （2）按照列表、描点、连线的步骤作图即可； （3）根据抛物线的平移规律：上加下减、左加右减求解即可． （1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ∴设抛物线的解析式为 ∵抛物线经过点 ∴把，代入得， 解得 ∴此抛物线的解析式为； （2）解：列表 …… 2 …… …… 7 7 …… （3）解：当时，原抛物线为，所求抛物线为 ∴将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到 或先将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到 ， ∴平移方式为先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度（或先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度）． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． （1）求这个二次函数的对称轴； （2）将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 【答案】（1）直线；（2）或 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴只有一个公共点得到，求出m的值后，将二次函数解析式化为顶点式，即可解答； （2）先表示出平移后的新抛物线的解析式为，根据二次函数在的范围内有最小值，则当或时，二次函数取得最小值，分两种情况求解即可． （1）解：根据题意，得二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点， 故， 整理，得， 解得，， ， 舍去， 故， 故， 故抛物线的对称轴为直线； （2）解：， 将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数的解析式为， 根据题意，得新的二次函数在的范围内有最小值，即， ， 的图象开口向下，且对称轴的左侧y随x的增大而增大，对称轴的右侧，y随x的增大而减小． ∴当或时，二次函数取得最小值． ①若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴ ②若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴； 综上所述，符合题意的n的值为或． 23．（本小题满分10分）（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，交反比例函数的图象于点，点P在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点Q，D是y轴上任意一点，连接、． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求面积的最大值． 【答案】（1）一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为；（2）面积的最大值是4 【分析】（1）由，的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点的坐标，确定反比例函数的关系式； （2）根据题意，要使的面积最大，可用点P的横坐标表示的面积，依据二次函数的最大值的计算方法求出结果即可． （1）解：把，代入一次函数得， ，解得， ∴一次函数的关系式为， 当时，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得 ∴反比例函数的关系式为， 答：一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为； （2）解：∵点P在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点Q， ∴点，点， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最大， 答：面积的最大值是4． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·江苏扬州·期末）我们学习了二次函数的图象和性质，借助图象，利用二次函数的增减性和对称性解决问题尤为方便．请结合图象，研究二次函数的有关问题． 【特例探究】 （1）若点，是该二次函数图象上两点，则该二次函数的对称轴为直线______； （2）当，时，若，则的取值范围为______． 【拓展探究】 （3）当时，的取值范围是，则该二次函数的图象开口向______（填“上”或“下”），对称轴为直线______； （4）在（3）的条件下，已知，，该二次函数的图象与线段只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3）下，；（4） 【分析】本题考查了二次函数的增减性和对称性，二次函数与不等式，二次函数与线段的交点问题以及分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数的图象与性质、运用分类讨论的数学思想是解题关键． （1）点，关于对称轴对称，根据对称性可得答案； （2）当，时，二次函数，令，得；令，得，故当时，的取值范围为或； （3）由时，的取值范围是，故抛物线开口向下，根据对称性可求对称轴， （4）在（3）的条件下可得，当时，根据函数图象，则必须满足当时，且当时，，列出不等式组，解不等式组，即可求解． 解：（1）∵点，关于对称轴对称， ∴对称轴为直线 故答案为：． （2）当，时，二次函数， 令，得；令，得， 故当时，的取值范围为或． （3）时，的取值范围是， 抛物线开口向下， 从而可知当时，或， 故对称轴为直线． 故答案为：下，； （4）在（3）的条件下，对称轴为直线，则 ∴， 当时， 二次函数的图象与线段只有一个公共点，则必须满足当时，且当时，， ∴， 解得：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.10 二次函数复习专题——二次函数图象与性质（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】二次函数 y = ax² 的图象与性质 2 【知识点二】二次函数 y = ax² + k 的图象与性质 2 【知识点三】二次函数 y = a（x-h）² 的图象与性质 2 【知识点四】二次函数 y = a（x-h）² + k 的图象与性质（顶点式） 3 【知识点五】二次函数 y = ax² + bx + c 的图象与性质（一般式） 3 【知识点六】二次函数图象的平移规律 3 二.题型精析（基础夯实） 4 【题型1】二次函数y=ax²的图象与性质 4 【题型2】二次函数图象的平移规律 5 【题型3】顶点式的图象与性质 5 【题型4】一般式的顶点坐标与对称轴 6 三.题型精析（综合提升） 7 【题型5】二次函数与一次函数、反比例函数图象辨析 7 【题型6】二次函数 y = ax² + bx + c 的图象的对称性 8 【题型7】二次函数 y = ax² + bx + c 的的增减性 9 【题型8】二次函数图象与性质综合应用 10 【题型9】二次函数与一次函数、反比例函数综合应用 11 四.同步检测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.知识梳理与解读 【知识点一】二次函数 y = ax² 的图象与性质 1. 图象形状 二次函数y=ax²（a≠0）的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点在原点（0, 0）。 2. 性质 a > 0 a < 0 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （0, 0） （0, 0） 对称轴 y轴（x = 0） y轴（x = 0） 增减性 x<0时y随x增大而减小；x>0时y随x增大而增大 x<0时y随x增大而增大；x>0时y随x增大而减小 最值 x=0时，y有最小值0 x=0时，y有最大值0 3. |a|对开口大小的影响 |a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽。 【知识点二】二次函数 y = ax² + k 的图象与性质 1. 图象与y=ax²的关系 二次函数y=ax²+k（a≠0）的图象可由抛物线y=ax²沿y轴方向平移得到： ① 当k > 0时，将抛物线y=ax²向上平移k个单位，得到y=ax²+k； ② 当k < 0时，将抛物线y=ax²向下平移|k|个单位，得到y=ax²+k。 2. 性质 ① 开口方向：由a决定，a>0开口向上，a<0开口向下； ② 顶点坐标：（0, k）； ③ 对称轴：y轴（直线x = 0）； ④ 增减性：与y=ax²相同，以y轴为界； ⑤ 最值：当a>0时，x=0时y有最小值k；当a<0时，x=0时y有最大值k。 【知识点三】二次函数 y = a（x-h）² 的图象与性质 1. 图象与y=ax²的关系 二次函数y=a（x-h）²（a≠0）的图象可由抛物线y=ax²沿x轴方向平移得到： ① 当h > 0时，将抛物线y=ax²向右平移h个单位，得到y=a（x-h）²； ② 当h < 0时，将抛物线y=ax²向左平移|h|个单位，得到y=a（x-h）²。 2. 性质 ① 开口方向：由a决定； ② 顶点坐标：（h, 0）； ③ 对称轴：直线x = h； ④ 增减性：以直线x=h为界，a>0时左减右增，a<0时左增右减； ⑤ 最值：当a>0时，x=h时y有最小值0；当a<0时，x=h时y有最大值0。 【知识点四】二次函数 y = a（x-h）² + k 的图象与性质（顶点式） 1. 图象与y=ax²的关系 二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）的图象可由抛物线y=ax²先沿x轴平移|h|个单位，再沿y轴平移|k|个单位得到。 2. 性质 ① 开口方向：a>0开口向上，a<0开口向下； ② 顶点坐标：（h, k）； ③ 对称轴：直线x = h； ④ 增减性：当a>0时，在对称轴左侧（x<h）y随x增大而减小，在对称轴右侧（x>h）y随x增大而增大；当a<0时相反。 ⑤ 最值：当a>0时，x=h时y有最小值k；当a<0时，x=h时y有最大值k。 【知识点五】二次函数 y = ax² + bx + c 的图象与性质（一般式） 1. 一般式与顶点式的转化 通过配方法可将一般式化为顶点式： 2. 性质 ① 开口方向：a>0开口向上，a<0开口向下； ② 顶点坐标： ③ 对称轴：直线 ④ 与y轴交点：，即c是抛物线与y轴交点的纵坐标； ⑤ 最值：当a>0时，y有最小值 ；当a<0时，y有最大值 。 【知识点六】二次函数图象的平移规律 1. 平移规律口诀 左右平移看h：左加右减（在x上加减）； 上下平移看k：上加下减（在整体上加减）。 2. 平移步骤 从y=ax²到y=a（x-h）²+k： ① 沿x轴方向平移|h|个单位（h>0向右，h<0向左）； ② 沿y轴方向平移|k|个单位（k>0向上，k<0向下）。 注意：平移顺序可以互换，最终结果相同。 二.题型精析（基础夯实） 【题型1】二次函数y=ax²的图象与性质 【例题1】（甘肃省武威市凉州区武威第二十四中学等联考2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）如图所示，已知直线与抛物线交于A，B两点． （1）求A，B两点的坐标． （2）观察图象，直接写出当时的取值范围． 【变式1】（25-26九年级上·河北邢台·期末）嘉嘉用软件绘制抛物线时，将系数“3”误认为“”，得到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是（   ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 【变式3】（24-25九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，点A、B分别在二次函数的图象上，且线段轴，若. （1）求点A、B的坐标. （2）求三角形的面积. 【解题技巧】对于y=ax²，a的符号决定开口方向：a>0开口向上有最小值，a<0开口向下有最大值。顶点始终在原点，对称轴为y轴。 【题型2】二次函数图象的平移规律 【例题2】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）已知抛物线，点是图象上一点． （1）求的值； （2）将点向右平移2个单位长度，得到点，判断点是否在该抛物线的图象上，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）将抛物线向左平移1个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知二次函数的图象上有三个点，，则，，的大小关系为______（用“”连接）． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象 （1）求a，h，k的值； （2）指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标； （3）当时，求函数y的取值范围． 【解题技巧】平移规律：左右平移在x上加减（左加右减），上下平移在整体上加减（上加下减）。注意：左右平移时要将x替换为（x±h），不要漏括号。 【题型3】顶点式的图象与性质 【例题3】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点． （1）直接写出函数值随增大而增大时的取值范围； （2）比较的大小，并说明理由． 【变式1】（24-25九年级下·江苏苏州·开学考试）由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 【变式2】（25-26九年级上·海南海口·期中）已知点，，都在函数的图象上，请将由大到小的顺序用“”连接__________________； 【变式3】（24-25九年级上·广东惠州·阶段检测）已知抛物线 （1）开口向______ （2）顶点坐标是______ （3）对称轴是______ （4）当______时，的最小值是______ （5）当时，随的增大而______ （6）若时，的取值范围为______ 【解题技巧】顶点式y=a（x-h）²+k中，h和k直接给出顶点坐标和对称轴。注意h的符号：y=（x-2）²中h=2，y=（x+2）²中h=-2。a的符号决定最值类型。 【题型4】一般式的顶点坐标与对称轴 【例题1】（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知二次函数． （1）运用配方法化成的形式． （2）写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴． （3）当取何值时，函数有最值？最值是多少？ （4）当取何值时，随的增大而增大？ 【变式1】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【变式2】（26-27九年级·上海·暑假作业）二次函数的顶点坐标为________，对称轴为________． 【变式3】（第1章二次函数【单元提升卷】-2025-2026学年九年级数学考试满分全攻略（浙教版））已知二次函数y＝． （1）写出二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）画出函数的图象； （3）根据图象说出当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？函数y有最大值还是最小值？最值是多少？ 【解题技巧】求一般式的顶点坐标和对称轴有两种方法：①配方法化为顶点式；②公式法直接代入。配方法更直观，公式法更快捷，两种方法结果一致，可互相验证。 三.题型精析（综合提升） 【题型5】二次函数与一次函数、反比例函数图象辨析 【例题5】（2026·宁夏固原·三模）已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·安徽芜湖·三模）已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·贵州六盘水·二模）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·安徽阜阳·二模）在同一平面直角坐标系中，抛物线（是常数，且）与双曲线的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【题型6】二次函数 y = ax² + bx + c 的图象的对称性 【例题6】（九上第五章二次函数认识二次函数及二次函数的图象）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． （1）求该二次函数的解析式； （2）若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点、（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为______． 【变式3】（2026·浙江温州·一模）已知抛物线（b为常数）经过点,． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当时,,求k的最大值． （3）过点B与x轴平行的直线交抛物线于点,若,求t的取值范围． 【题型7】二次函数 y = ax² + bx + c 的的增减性 【例题7】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知抛物线过点． （1）求这个抛物线的函数关系式； （2）写出该抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标； （3）若点和在该抛物线上，请利用函数增减性比较和的大小（写出比较过程）； （4）直接写出当时，y的取值范围． 【变式1】（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点和点在抛物线上．已知点，，在该抛物线上．若，比较，，的大小（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）已知点在二次函数的图象上 （1）当时，的取值范围是_________ （2）当时，的取值范围是_________ （3）当时，的取值范围是_________ 【变式3】（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）若点在该二次函数的图象上，且，比较的大小． 【题型8】二次函数图象与性质综合应用 【例题8】（2026·河南三门峡·二模）已知二次函数的图象经过，两点． （1）求二次函数的表达式； （2）求抛物线的对称轴和抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）将抛物线绕原点旋转，再向右平移1个单位长度，直接写出两次变换后的抛物线的表达式． 【变式1】（2026·四川成都·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．两点之间的距离为5 D．当时，的值随值的增大而减小 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标分别为，，某二次函数图象在平移过程中，顶点始终在线段上，与x轴交于C，D两点，若线段的最小值为2，则最大值为_____． 【变式3】（2026·河南驻马店·二模）已知抛物线． （1）当时，求抛物线的对称轴； （2）若抛物线的对称轴在y轴右侧，且当时，y的最小值为，求抛物线与x轴的交点坐标； （3）当时，在的范围内，y有最大值14，求抛物线的解析式． 【题型9】二次函数与一次函数、反比例函数综合应用 【例题9】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数表达式； （2）是线段上一点（不与点，重合），过点作轴的平行线，交反比例函数图象于点，连接．设点横坐标为，求当为何值时，的面积最大，最大值是多少？ 【变式1】（2025·贵州遵义·一模）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，二次函数的对称轴为，，是关于的方程的两个根，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．②④ 【变式2】（2025·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点称为整点．若反比例函数 与二次函数的图象在第二象限围成的封闭图形（不包括边界）内有且仅有3个整点，则实数的取值范围为______． 【变式3】（24-25九年级上·四川德阳·阶段检测）已知是关于x的一次函数． （1）当b为何值时，一次函数的图象与二次函数的图象只有一个公共点； （2）若一次函数的图象与二次函数的图象有两个公共点，且其中一个公共点恰是该二次函数图象的顶点，求另一个公共点的坐标． 【解题技巧】二次函数综合题的解题步骤：①根据已知条件求解析式（选合适的形式）；②化为顶点式求顶点和对称轴；③根据开口方向和对称轴分析增减性和最值。数形结合是关键。 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25九年级上·云南昭通·期末）抛物线向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广东珠海·三模）抛物线，其中，a，b，c能决定抛物线的增减性的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若，是抛物线上的两个点，则它的对称轴是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）已知二次函数和，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时 5．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 7．（25-26九年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）在平面直角坐标中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，则的长为（   ） A．3 B．6 C．5 D．4 8．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 9．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）新定义：点的“限变点”满足：时；时．若在上，当 时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·山西朔州·期中）将抛物线向右平移个单位长度，在平移的过程中抛物线与y轴的交点也会随之变化，设平移后的抛物线与y轴的交点为Q，则在抛物线平移的过程中，点Q的纵坐标的最大值为（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）抛物线的对称轴是直线_______． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象是由抛物线向左平移3个单位长度得到的，则________，________． 13．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 14．（24-25九年级上·广东东莞·期末）抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 15．（25-26九年级下·安徽·阶段检测）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______． 16．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是______．    17．（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 18．（九上第五章二次函数二次函数与一元二次方程）已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数是关于的二次函数． （1）求的值． （2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和． （1）由图象可知，不等式的解集是_____； （2）在什么范围内，随增大而减小？ 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·山东滨州·期末）二次函数：已知抛物线的顶点坐标为，且过点． （1）求此抛物线的解析式； （2）请画出抛物线的图象（只画图，并标出其中三个关键点的坐标）； （3）试说明将抛物线经过怎样的平移，可以得到此抛物线的图象． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． （1）求这个二次函数的对称轴； （2）将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 23．（本小题满分10分）（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，交反比例函数的图象于点，点P在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点Q，D是y轴上任意一点，连接、． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求面积的最大值． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·江苏扬州·期末）我们学习了二次函数的图象和性质，借助图象，利用二次函数的增减性和对称性解决问题尤为方便．请结合图象，研究二次函数的有关问题． 【特例探究】 （1）若点，是该二次函数图象上两点，则该二次函数的对称轴为直线______； （2）当，时，若，则的取值范围为______． 【拓展探究】 （3）当时，的取值范围是，则该二次函数的图象开口向______（填“上”或“下”），对称轴为直线______； （4）在（3）的条件下，已知，，该二次函数的图象与线段只有一个公共点，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $