专题 3.9 圆的复习讲义——隐形圆（4大模型+5大题型）- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题 3.9 圆的复习讲义——隐形圆（4大模型+5大题型） 目录 一.知识梳理与解读 1 【模型一】定点定长 1 【模型二】直角对直径 1 【模型三】定弦定角 2 【模型四】四点共圆 2 二.题型精析 2 【题型1】定点定长 2 【题型2】直角对直径 3 【题型3】定弦定角 4 【题型4】四点共圆 5 【题型5】隐形圆综合压轴模型 6 一.知识梳理与解读 【模型一】定点定长 基本图形 构成条件 结论 OA=OB=OC （1） A、B、C三点在同一圆上； （2） ∠AOB=∠ACB; ∠AOC=∠ABC; ∠BOC=∠BAC; 【模型二】直角对直径 基本图形 构成条件 结论 A、B为定点，动点C始终满足 点C的轨迹是以线段AB为直径的圆，剔除A、B两个端点（端点无法构成直角）。 【模型三】定弦定角 基本图形 构成条件 结论 弦AB长度固定，。 A、B、C、D、E四点在同一个圆上。 【模型四】四点共圆 基本图形 构成条件 结论 在四边形ABCD中，若 A、B、C、D、四点在同一个圆上。简称为四点共圆 二.题型精析 【题型1】定点定长 【例题1】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图中，，是射线上的动点，连接，以为斜边向上作直角，使得，则的最小值是______． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【变式2】（2026九年级下·江苏·专题练习）如图，正方形中，是平面内任意一点．若，请写出线段长度的取值范围是________． 【题型2】直角对直径 【例题2】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，垂足为点，，，点是平面内的一个动点，且满足，则线段BM的最大值为__________． 【变式1】（2026·安徽合肥·三模）如图，中，，点为的边上或内部一动点，满足，连接，若的最小值是，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，，且，点在上，，交于点． （1）求证：； （2）可由绕点旋转而得，用尺规作图的方法，作出点（不写作法，保留作图痕迹）； （3）当是中点时，连接，求的大小． 【变式3】（2026·广西南宁·一模）如图，点是正方形外一点，，，分别交于点，，且，则的长为______． 【题型3】定弦定角 【例题3】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形，以为腰向正方形内部作等腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为______． 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，点、，直线与轴、轴分别交于点，点是平面内一动点，且，则面积的最大值是______． 【变式2】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，已知正方形，边长为4，正方形内有一动点，．连接，则线段的最小值为_____． 【题型4】四点共圆 【例题4】（2026·陕西·模拟预测）如图，四边形中，，．若四边形面积的最大值为，则对角线的长为___________． 【变式1】（24-25九年级下·广东深圳·阶段检测）如图，在Rt中，，在斜边上取一点，使得，连接并延长至点，连接．若，则线段的长为_________． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝_____． 【题型5】隐形圆综合压轴模型 【例题5】（2025·山西太原·一模）下面是小明同学一天的课外学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务 构造辅助圆 圆是平面内到定点的距离等于定长的点组成的图形，而弧、弦、圆心角、圆周角是探索发现同圆或等圆中弧、角、线段之间关系的主要依据．如果要解决的问题中出现了有公共端点的几条线段相等时，可以采用构造辅助圆的方法解决． 如图1，在四边形中，．求证：． 在这个问题中，由于，所以点，，在以为圆心，为半径的圆上．如图2或图3画出经过，，三点的． 方法1：如图2.， （依据1）． ，，； 方法2：如图3，延长交于点，连接． 为的直径，，（依据2）． ，，． 任务： （1）写出方法1，方法2中两个推理的依据：依据1___________，依据2____________； （2）参照笔记中的方法，解决下面的问题：如图4，在中，，与关于直线对称，点的对应点为，连接与交于点，求证：． 【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：已知，如图1，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　 　．（直接写答案） 问题解决：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数； 问题拓展：如图3，在ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝4，CD＝2，求AD的长． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）[学习心得] （1）宁宁同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝ °； [初步运用] （2）如图2，在四边形中，，，求的度数； [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）Ⅰ．如图4①，已知矩形，，，点为边上的一点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为 ． Ⅱ．如图4②，在中，，是边上的高，且，，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.9 圆的复习讲义——隐形圆（4大模型+5大题型） 目录 一.知识梳理与解读 1 【模型一】定点定长 1 【模型二】直角对直径 1 【模型三】定弦定角 1 【模型四】四点共圆 2 二.题型精析 2 【题型1】定点定长 2 【题型2】直角对直径 5 【题型3】定弦定角 10 【题型4】四点共圆 16 【题型5】隐形圆综合压轴模型 20 一.知识梳理与解读 【模型一】定点定长 基本图形 构成条件 结论 OA=OB=OC （1） A、B、C三点在同一圆上； （2） ∠AOB=∠ACB; ∠AOC=∠ABC; ∠BOC=∠BAC; 【模型二】直角对直径 基本图形 构成条件 结论 A、B为定点，动点C始终满足 点C的轨迹是以线段AB为直径的圆，剔除A、B两个端点（端点无法构成直角）。 【模型三】定弦定角 基本图形 构成条件 结论 弦AB长度固定，。 A、B、C、D、E四点在同一个圆上。 【模型四】四点共圆 基本图形 构成条件 结论 在四边形ABCD中，若 A、B、C、D、四点在同一个圆上。简称为四点共圆 二.题型精析 【题型1】定点定长 【例题1】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图中，，是射线上的动点，连接，以为斜边向上作直角，使得，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，取中点O，连接，，，作的延长线，根据直角三角形斜边上中线的性质可得出，则A、E、C、D在以O为圆心，为半径是圆上，根据圆内接四边形的性质可求出，则判断出点E在定直线（）上运动，故当时，取最小值，根据含角的直角三角形的性质得出，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 解：如图，取中点O，连接，，，作的延长线， ∵，， ∴， ∴A、E、C、D在以O为圆心，为半径是圆上， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点E在定直线（）上运动， ∴当时，取最小值， 如图， ∴， ∵，，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】A 解： 如图，AB=AC=AD ∵ ， 故选A． 【变式2】（2026九年级下·江苏·专题练习）如图，正方形中，是平面内任意一点．若，请写出线段长度的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理的逆定理求最值的计算，根据题意得到点在以为直径的圆上运动，运用勾股定理，结合图形分析即可求解． 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是直角三角形，， ∴点在以为直径的圆上运动， 如图所示，设的中点为点，连接并延长，交于点， ∴，， 当点在处时，的值最小，最小值为， 当点在处时，的值最大，最大值为， ∴线段长度的取值范围是：， 故答案为： ． 【题型2】直角对直径 【例题2】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，垂足为点，，，点是平面内的一个动点，且满足，则线段BM的最大值为__________． 【答案】8 【分析】先证明点M在以为直径的圆上，取的中点O，连接并延长交于点，B，O，三点共线，此时的值最大，据此求解即可． 解：如图，，， ， ∵， ∴， ， ∴点M在以为直径的圆上， 取的中点O，连接并延长交于点，B，O，三点共线，此时的值最大， ， ， ∴在中，， ，即的最大值为8． 【变式1】（2026·安徽合肥·三模）如图，中，，点为的边上或内部一动点，满足，连接，若的最小值是，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，可知点在以为直径的上，根据的最小值是，求出，因为当点在上时，最大，利用勾股定理可得方程设，则，解方程求出的值即为的最大值． 解：如下图所示， ， 点在以为直径的上， 当点在上时，最小， 、是的半径， ， 设，则， ，点是的中点， ， 在中，， ， 解得：， ， 当点在上时，最大， 设，则， ， 即， 解得：． 【变式2】（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，，且，点在上，，交于点． （1）求证：； （2）可由绕点旋转而得，用尺规作图的方法，作出点（不写作法，保留作图痕迹）； （3）当是中点时，连接，求的大小． 【答案】（1）证明：∵，且， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）如图，连接，作、的垂直平分线，交于点，点即为所求． （3）135° 【分析】（1）利用全等三角形的性质得到，再结合直角三角形的性质，得出，即可得出． （2）根据旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，作出对应点连线的垂直平分线，交点即为旋转中心； （3）根据是中点，结合全等三角形的性质得出是等腰直角三角形，得出，再证、、、四点都在以为直径的圆上，利用圆周角性质及平角性质求解即可． 解：（1） 略 （2） 略 （3）解：如图，连接、， ∵是中点，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴点、、、四点都在以为直径的圆上， ∴， ∴． 【变式3】（2026·广西南宁·一模）如图，点是正方形外一点，，，分别交于点，，且，则的长为______． 【答案】 【分析】连接、，交于点，连接，根据正方形的性质得出，，，点为正方形的外接圆的圆心，为的直径，，根据圆周角定理得出点在上，，根据角平分线的性质得出点到、的距离相等，根据，利用三角形的面积得出，根据直角三角形两锐角互余得出，得出，即可求出，，利用勾股定理即可得答案． 解：如图，连接、，交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵点为、的交点， ∴点为正方形的外接圆的圆心，为的直径，， ∵， ∴， ∴点在上，， ∴， ∴点到、的距离相等， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【题型3】定弦定角 【例题3】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形，以为腰向正方形内部作等腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查“等腰三角形的性质”“三角形内心的定义”“定弦定角构造隐圆”，通过角度代换，发现点P的运动轨迹是圆是解题关键． 根据点P是的内心，即三条角平分线交点，通过角度计算可以推出的度数，利用等腰三角形的性质，得到的度数，即可通过定弦定角确定点P的运动轨迹，根据点圆最值的求解方法即可得到答案． 解：， ． ． 点P是的内心，即，分别平分和， ，． ． ，，， ≌． ． 如图，作出的外接圆，设圆心为Q，圆的半径为r，则的最小值即为． ， 设所对的圆心角优角为，则， ． ， ． ， ． ∵四边形是正方形， ． 过点Q作，则， ． ∴是等腰直角三角形． ． ． ． ． 的最小值为． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，点、，直线与轴、轴分别交于点，点是平面内一动点，且，则面积的最大值是______． 【答案】 【分析】首先判断点的运动轨迹，因为度数不变，对边长度不变，所以点在的外接圆圆周上运动，从而确定点到的最大距离，过点M作交于点F，交于点H，过点B作于点G，求出的长，最后根据三角形面积公式求得即可． 解：直线与轴、轴分别交于点、， ， ， ，， 要使面积的最大值，只需点到距离最大， 如图，作的外接圆圆P， 因为度数不变，对边长度不变， 所以点在圆周上运动， 过点M作交于点F，交于点H，过点B作于点G， 根据点圆最值，点到距离最大值为的长度， 点、， ，， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴，， ， 是等边三角形， ，， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴, 面积的最大值是. 故答案为:． 【点拨】本题考查了“定弦定角”隐形圆模型，等边三角形的性质，圆周角定理，线圆最值，垂径定理，找到点的运动轨迹及到的距离最大时的线段是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，已知正方形，边长为4，正方形内有一动点，．连接，则线段的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】先得出动点在的外接圆中的劣弧上，过圆心作，交延长线于点，连接，设的优弧上有一点，连接，再解直角三角形求出的长，然后利用勾股定理可得的长，最后根据即可得． 解：∵正方形，边长为4， ∴， ∵正方形内有一动点，， ∴如图，动点在的外接圆中的劣弧上， 过圆心作，交延长线于点，连接， 设的优弧上有一点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由三角形的三边关系可知，（当且仅当点共线时，等号成立）， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理、三角形的三边关系、正方形的性质等知识，正确得出动点的运动轨迹是解题关键． 【题型4】四点共圆 【例题4】（2026·陕西·模拟预测）如图，四边形中，，．若四边形面积的最大值为，则对角线的长为___________． 【答案】 【分析】假设线段为定值，根据已知条件可知四点共圆，且线段是圆的直径，根据，可知弧所对的圆心角是，得到，再根据两点之间线段最短可知，当时，最大，从而解出答案． 解： ∵四边形中，， ∴四边形对角互补， ∴四点共圆， ∵， ∴线段是圆的直径，即圆的半径是，假设线段长为定值， 如图所示，连接，以的中点为圆心，长为半径画圆， ， 连接，分别过点作垂直，垂足分别为点， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，则， ∵， 又∵两点之间线段最短， ∴， ∴当时，最大，即最大，如下图所示， ， 此时， ∴，解得， ∴． 【变式1】（24-25九年级下·广东深圳·阶段检测）如图，在Rt中，，在斜边上取一点，使得，连接并延长至点，连接．若，则线段的长为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、四点共圆，由可知、、、四点共圆，进而可得，过作于点，易得再利用 ，可设，则，易证，最后解即可得解． 解：， ∴点、、、四点共圆， ， ∴为直径， ， 过作 于点， 则 ， 在 中，， ， ， ，即 ， 设，则 ， ， ， ， ， 在 中， ， 即 ， 解得或（舍去）， ； 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝_____． 【答案】17 【分析】用“SAS”可判定△ABD≌△BCE，得到∠AFE=60°，延长FE至点G，使得FG=FA，连AG，AT，得到△AFG是等边三角形，证明A、B、D、T四点共圆，设法证明△FAT≌△GAE（ASA），即可求得答案． 解：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE， ∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B， ∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°； 延长FE至点G，使得FG=FA，连AG，AT， ∵∠AFE=60°， ∴△AFG是等边三角形， ∴AG=AF=FG=50，∠AGF=∠FAG=60°， ∵∠BAF+∠EAF =∠CAG+∠EAF =60°， ∴∠BAF=∠CAG， ∵DT=CE， ∴∠DBT=∠BTD， ∵∠BAD=∠CBE， ∴∠BAD=∠BTD， ∴A、B、D、T四点共圆， ∴∠BAD=∠DAT， ∴∠FAT=∠GAE， 在△FAT和△GAE中， ， ∴△FAT≌△GAE（ASA）， ∴FT= GE， ∵FG=50，TE=16， ∴FT=（FG- TE）=17． 故答案为：17． 【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等，作出辅助线，判断出△FAT≌△GAE是解本题的关键． 【题型5】隐形圆综合压轴模型 【例题5】（2025·山西太原·一模）下面是小明同学一天的课外学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务 构造辅助圆 圆是平面内到定点的距离等于定长的点组成的图形，而弧、弦、圆心角、圆周角是探索发现同圆或等圆中弧、角、线段之间关系的主要依据．如果要解决的问题中出现了有公共端点的几条线段相等时，可以采用构造辅助圆的方法解决． 如图1，在四边形中，．求证：． 在这个问题中，由于，所以点，，在以为圆心，为半径的圆上．如图2或图3画出经过，，三点的． 方法1：如图2.， （依据1）． ，，； 方法2：如图3，延长交于点，连接． 为的直径，，（依据2）． ，，． 任务： （1）写出方法1，方法2中两个推理的依据：依据1___________，依据2____________； （2）参照笔记中的方法，解决下面的问题：如图4，在中，，与关于直线对称，点的对应点为，连接与交于点，求证：． 【答案】（1）一条弧所对的圆周角是它所对圆心角度数的一半；直角三角形两锐角互余；（2）如答图，以点为圆心，为半径作， 与关于直线对称，点的对应点为，连接与交于点， ，， 点和点在上， ， ， ， ， 是的外角， ， ； 【分析】（1）根据圆周角定理和直角三角形的性质解答即可； （2）先构造以点为圆心，为半径的，证明点和点在上，根据圆周角定理得出，再由等边对等角和三角形外角的性质得出，即可得出结论． 解：（1）依据1：一条弧所对的圆周角是它所对圆心角度数的一半； 依据2：直角三角形两锐角互余； （2）略 【点拨】本题主要考查了圆周角定理，轴对称的性质，等边对等角以及三角形外角的性质，解题的关键是读懂题意，正确构造出辅助圆． 【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：已知，如图1，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　 　．（直接写答案） 问题解决：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数； 问题拓展：如图3，在ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝4，CD＝2，求AD的长． 【答案】（1）45°；（2）25°；（3） 【分析】（1）利用同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半求解； （2）由、、、共圆，得出； （3）作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．利用圆周角定理推知是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得，，进而求解． 解：（1）如图，，， 点、、在以点为圆心，长为半径的圆上， 是所对的圆心角，而是所对的圆周角， ， 故答案为：； （2）如图，取的中点，连接、． ，点为的中点， ∴ 点、、、在以点为圆心，长为半径的圆上， ∵ ， ， ； （3）如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、． ， ， ∵，， ∴， 在中，， 又∵， ． ∵，，， ， ，， ∵在中，，， ， ． 【点拨】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的定义、圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）[学习心得] （1）宁宁同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝ °； [初步运用] （2）如图2，在四边形中，，，求的度数； [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）Ⅰ．如图4①，已知矩形，，，点为边上的一点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为 ． Ⅱ．如图4②，在中，，是边上的高，且，，求的长． 【答案】（1）45；（2）；（3）作图如下： （4）Ⅰ．；Ⅱ． 【分析】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、垂径定理等知识． （1）由圆周角定理可得出答案； （2）取的中点O，连接．由直角三角形的性质证明点A、B、C、D共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； （3）作出等边三角形，由圆周角定理作出图形即可； （4）Ⅰ．在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案； Ⅱ．作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．由圆周角定理及勾股定理可得出答案． 解：（1）是的圆心角，是的圆周角，， ； 故答案为：45； （2）如图2，取的中点O，连接． ， ， ， ∴点A、B、C、D共圆， ， ， ； （3）由图知，；同理． （4）Ⅰ．． 在上截取，连接，以为直径作，交于E，交于F，连接，过圆心O作于H且交圆O于G，过G作的切线交于K，交于Q，如图所示： ， ， 的半径为，即， ∵， ， ， ， ， ，即， ∴满足的点恰好有两个，则的取值范围为， 故答案为：； Ⅱ．如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接． ， ． 在中，， ． ，O为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $