第7讲 与圆有关的角及圆内接四边形（3.4～3.6）专题讲义 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

第7讲　与圆有关的角及圆内接四边形(3.4~3.6)　　浙教版 · 数学九年级上册 数学 · 九年级上册 第 3 章　圆的基本性质 第 7 讲　与圆有关的角及圆内接四边形(3.4~3.6) (一)圆心角定理及逆定理的计算与证明 　例题精析 例1 (1)如图 1，AB 为⊙ O 的直径，△PAB 的边 PA，PB 与⊙ O 的交点分别为 C，D.若，则∠P 的大小为＿⁠＿⁠＿度. (2)如图 2，点 A，B，C 在⊙ O 上，分别连结 AB，BC，OC.若 ，∠°，则∠OCB=＿⁠＿⁠＿. ▸思路点拨　(1)连结 OC，OD，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC=∠COD=∠°，再根据等边三角形的性质解答. (2)首先连结 AO，BO，然后根据等弦对等圆心角得到∠BOC=∠AOB，再根据等腰三角形内角和得到∠OBA=∠OBC，再由∠°，，即可得到结果. ▸过程详解　解：(1)如图 1，连结 OC，OD，，∴∠AOC=∠COD=∠°.，，∴△AOC 和△BOD 都是等边三角形，∴∠°，∠°，∴∠°.故答案为 60. (2)如图 2，连结 AO，BO，，∴∠OBC=∠OCB，∠OAB=∠，∴∠BOC=∠AOB，，∴∠OCB=∠OBC=∠°.故答案为 20°. ▸总结升华　在同圆或等圆中，弦相等则圆心角相等. 　变式训练 1. 如图，在⊙ O 中，AB 为直径，延长 AB 至点 P，C 是⊙ O 上一点，连结 PC 并延长交⊙ O 于点 D. (1)若，⊙ O 的半径为 2，求弦 CD 的长. (2)给出下列信息：①；②；③∠∠P.请你在上述三个信息中选择其中一个信息作为条件，一个信息作为结论组成一个真命题，并说明理由.你选择的条件是＿⁠＿⁠＿，结论是＿⁠＿⁠＿.(只要填写序号) (二)圆心角、弧、弦、弦心距相等关系的相互转化 　例题精析 例2 如图，⊙ O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 E，，连结 AD，BC，求证： ▸思路点拨　由 ，推出，推出 ▸过程详解　解：，，， ▸总结升华　在同圆或等圆中，两个圆心角、圆心角所对的弦、圆心角所对的弧和对应弦的弦心距，四对量中只要有一对相等，其他三对就一定相等. 　变式训练 2. 如图，MB，MD 是⊙ O 的两条弦，点 A，C 分别在， 上，且 ，M 是 的中点. (1)求证：. (2)过点 O 作 OE⊥MB 于点 E，当 ， 时，求⊙ O 的半径. (三)利用圆心角、弧的关系求弧的度数 　例题精析 例3 如图，AB，CD 是⊙ O 的弦，延长 AB，CD 相交于点 P.已知∠°，∠°，则的度数是（　　） A．30° B．25° C．20° D．10° ▸思路点拨　如图，连结 OB，OD，AC，先求解∠OAC+∠°，再求解∠PAO+∠°，从而可得∠BOA+∠°，再利用周角的含义可得∠°-80°-260°=20°，从而可得答案. ▸过程详解　解：如图，连结 OB，OD，AC，∵∠°，∴∠OAC+∠°.∵∠°，∴∠PAO+∠°.，，∴∠OBA=∠OAB，∠OCD=∠ODC，∴∠OBA+∠°，∴∠BOA+∠°，∴∠°-80°-260°=20°，的度数 20°.故选 C. ▸总结升华　圆中有等腰三角形，请求圆心角度数转化为求等腰三角形的顶角度数.圆心角与所对弧的度数相等. 　变式训练 3. 如图，在扇形 OAB 中，∠°，将扇形 OAB 沿过点 B 的直线折叠，点 O 恰好落在弧 AB 上的点 D 处，折痕交 OA 于点 C，则弧 AD 的度数为＿⁠＿⁠＿. (四)圆周角定理及逆定理的计算与证明 　例题精析 例4 （圆周角定理与垂径定理结合）已知：如图，AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，连结 AD. (1)若，求∠BAD 的度数. (2)G 是 上任意一点，连结 GA，GD.求证：∠AGD=∠ADC. ▸思路点拨　(1)由圆周角定理的推论即可计算. (2)由垂径定理，圆周角定理的推论，即可证明. ▸过程详解　(1)解：∵AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，，， (2)证明：∵AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，，∴∠AGD=∠ADC. ▸总结升华　通过弧等联系垂径定理与圆周角定理及其推论. 　变式训练 4. 如图，AB 是⊙ O 的直径，C 是圆上一点，D 为 的中点，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，交 BC 于点 F. (1)求证：. (2)若 ，⊙ O 的半径为 5，求 BD 的长. 例5 （90°的圆周角与直径的转化）如图，半圆 ACB 中，D 是 的中点，点 E 在直径 AB 上，且 ，半径 OD 交 CE 于点 F. (1)求证：. (2)若 ，，求 CF 的长. ▸思路点拨　(1)连结 BC，交 OD 于点 G，根据圆周角定理和垂径定理可得到 OD∥AC，进而得到∠OFE=∠OEF，即可得出结论. (2)根据勾股定理求出 BC，OG，FG，再根据勾股定理可求出 CF. ▸过程详解　(1)证明：如图，连结 BC，交 OD 于点 G，∵AB 是半圆 O 的直径，∴∠°，∴AC⊥BC.∵D 是 的中点，OD 是半径，∴OD⊥BC，∴OD∥AC，∴∠OFE=∠，∴∠OEF=∠ACE，∴∠OFE=∠OEF，. (2)解：，，，，，.在 Rt△ACB 中， 是半径且 OD⊥BC，.在 Rt△OBG 中，，，∴在 Rt△CFG 中， ▸总结升华　在圆中，求弦长应该要回归某个三角形.由于直径所对的圆周角是 90°和垂径定理，自然想到连结 BC，构造直角三角形解决问题. 　变式训练 5. 如图，AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，在 上取一点 G，连结 CG，DG，AC. (1)求证：∠∠BAC. (2)若⊙ O 的半径为 5，，求弦 AC 的长. 例6 （圆周角、圆心角、弧、弦之间的转化）如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O，AB 是直径，C 为的中点，延长 AD，BC 交于点 P，连结 AC. (1)求证：. (2)当 ， 时，求线段 CD 的长. ▸思路点拨　(1)利用等弧对等圆周角及直径所对的圆周角是 90°，再利用等角对等边证明即可. (2)连结 BD，利用勾股定理分别求出 BD，PB，再利用等腰三角形的性质和弧、弦之间的转化即可解决问题. ▸过程详解　(1)证明：∵C 为 的中点，∴∠BAC=∠CAP.∵AB 是直径，∴∠ACB=∠°.∵∠ABC+∠°，∠P+∠°，∴∠ABC=∠P，. (2)解：如图，连结 BD.∵AB 是直径，∴∠ADB=∠°.，，，，，AC⊥BP， 为的中点， ▸总结升华　在圆中，求弦长应该要回归某个三角形.由于直径所对的圆周角是 90°，马上想到连结 BD，构造直角三角形解决问题；然后根据等弧对等圆周角，等弧对等弦即可求解. 　变式训练 6. 在⊙ O 中，AB 为直径，C 为圆上一点，将劣弧沿弦 AC 翻折交 AB 于点 D，连结 CD. (1)如图 1，若点 D 与圆心 O 重合，，求⊙ O 的半径 r. (2)如图 2，若点 D 与圆心 O 不重合，∠°，求∠DCA 的度数. (五)圆内接四边形 　例题精析 例7 如图，四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形，∠∠B，D 是的中点. (1)求∠B 的度数. (2)求证：四边形 AOCD 是菱形. ▸思路点拨　(1)根据圆内接四边形的对角互补，进行求解即可. (2)连结 OD，根据等弧对等角，和同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得到△AOD，△COD 为等边三角形，进而得到 ，即可得证. ▸过程详解　(1)解：∵∠∠B，∠ADC+∠°，∴∠°. (2)证明：如图，连结 OD，∵D 为 的中点，，∴∠AOD=∠COD.∵∠°，∴∠°，∴∠AOD=∠°.，∴△AOD，△COD 为等边三角形，，∴四边形 AOCD 为菱形. ▸总结升华　圆内接四边形的对角互补，经常用来转化角度.圆中有 60°的圆心角，那么就有等边三角形，因此菱形问题通过等边三角形来突破. 　变式训练 7. 已知⊙ O 的直径为 10，四边形 ABDC 内接于⊙ O，AD 平分∠CAB. (1)如图 1，若 BC 为⊙ O 的直径，求 BD 的长. (2)如图 2，若∠°，求 BD 的长. (六)圆的性质综合应用 　例题精析 例8 如图 1，在⊙ O 中，直径所在的直线 AO 垂直于弦 BC，连结 AB，过点 C 作 CD∥AB 交⊙ O 于点 D，连结 BD. (1)若 ，，求⊙ O 的半径. (2)求证：. (3)小聪发现，如果将条件“CD∥AB”改为“点 D 在弧 AC 上”，过点 A 作 AE⊥BD 于点 E，如图 2，能得到一个一般性的结论“”.请同学们完成证明. ▸思路点拨　(1)由垂径定理，通过连结 OB 构造直角三角形，求半径. (2)通过等圆周角对等弧，等弧对等弦，即可求解. (3)延长 CD 至点 F，用截长补短法构造 ，再通过全等证 ，即可求证. ▸过程详解　(1)解：设直径所在的直线 AO 交 BC 于点 H，如图 1，连结 OB，∵直径所在的直线 AO 垂直于弦 BC，，∠°，设⊙ O 的半径为 r，则 ，，，，∴⊙ O 的半径为 (2)证明：如图 2，连结 AC，∵直径所在的直线 AO 垂直于弦 BC，∥AB，∴∠CDB=∠ABD，，，，. (3)证明：如图 3，延长 CD 至点 F，使 ，连结 AF，AD，AC，∵四边形 ADCB 为圆的内接四边形，易得∠ADF=∠ABC.由(2)知，，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=∠ADF.∵∠ACB=∠ADB，∴∠ADF=∠ADB.在△AFD 和△AED 中，，，∠AFD=∠AED.∵AE⊥BD，∴∠AED=∠°.在 Rt△AEB 和 Rt△AFC 中，，，. ▸总结升华　(1)垂径定理通常需要连半径构造直角三角形，把圆的问题转化为直角三角形来解决.(2)利用等圆周角对等弧，等弧对等弦解决问题.在同圆或等圆中，圆周角、圆心角、弧、弦之间都是用弧等进行转化的.(3)对于线段的和差证明，通常用截长补短法解决. 　变式训练 8. 如图 1，AB 是⊙ O 的直径，D 为 AB 下方⊙ O 上一点，C 为的中点，连结 CD，CA，AD. (1)求证：OC 平分∠ACD. (2)如图 2，延长 AC，DB 相交于点 E. ①求证：OC∥BE； ②若 ，，求⊙ O 的半径. 9. 已知：⊙ O 的两条弦 AB，CD 相交于点 M，且 . (1)如图 1，连结 AD.求证：. (2)如图 2，若 AB⊥CD，E 为弧 BD 上一点，，AE 交 CD 于点 F，连结 AD，DE. ①求∠E 的度数(用含 α 的代数式表示)； ②若 ，，求△ADF 的面积. (七)辅助线模型之“隐圆”(与圆有关的最值问题) 　例题精析 例9 如图，动点 M 在边长为 2 的正方形 ABCD 内，且 AM⊥BM，P 是 CD 边上的一个动点，E 是 AD 边的中点，则线段 PE+PM 的最小值为（　　） A．2 B．3 C． D． ▸思路点拨　由 AM⊥BM 知∠°，由 90°的圆周角所对的弦是直径可知，点 M 在以 AB 为直径的圆上，因此半径 .再由轴对称找到 E 关于 CD 的对称点 E'，四点 E'，P，M，O 在同一直线上时，线段 PE+PM 的值最小，即可求解. ▸过程详解　解：如图，作点 E 关于 DC 的对称点 E'，设 AB 的中点为 O，连结 OE'，交 DC 于点 P，连结 PE.∵动点 M 在边长为 2 的正方形 ABCD 内，且 AM⊥BM，∴点 M 在以 AB 为直径的圆上，正方形 ABCD 的边长为 2，，∠°.∵E 是 AD 的中点，点 E 与点 E'关于 DC 对称，∴DE'=，'，∴AE'=AD+DE'=2+1=3.在 Rt△AOE'中，，∴线段 PE+PM 的最小值为故选 C. ▸总结升华　90°的圆周角所对的弦是直径在隐圆求最值中较常见.在求线段和最小时，通常利用两点之间线段最短来解决，因此要把题目中的线段和进行转化，进而通过几点共线突破. 　变式训练 10. 如图，在矩形 ABCD 中，，，点 E 在 AB 上，，在矩形内找一点 P，使得∠°，则线段 PD 的最小值为（　　） A． B． C．4 D． 11. 如图，等腰直角三角形 ABC 中，，以 AC 为直径作半圆，取半圆上一点 D，连结 BD，M 为 BD 中点，求 AM 取值范围. (八)四点共圆 　例题精析 例10 如图，△ABC 和△ABD 均为直角三角形，∠ADB=∠°，连结 CD，若∠°，则∠CDB 的度数为＿⁠＿⁠＿. ▸思路点拨　由∠ADB=∠°可知点 C 和点 D 在以 AB 为直径的圆上，把四边形的外接图画出来，那么通过等弧对等圆周角即可求解. ▸过程详解　解：由题意知 A，B，C，D 四点共圆.如图，取 AB 的中点 O，以点 O 为圆心，OA 长为半径画圆，∴∠CDB=∠CAB.∵∠°，且∠°，∴∠°-∠°，∴∠°.故答案为 40°. ▸总结升华　四点共圆有如下两个情形： ①如果∠A=∠B，那么 A，B，C，D 四点共圆；②如果∠A+∠°，那么 A，B，C，D 四点共圆. 　变式训练 12. 如图，D，E 分别是等边三角形 ABC 的边 BC，AB 上的点，∠°，点 M 在 AC 上，且∠°.若 ，则 CM 的长为＿⁠＿⁠＿. 　链接好题 1. 如图，⊙ O 是△ABC 的外接圆，D 是直径 AB 上一点，∠ACD 的平分线交 AB 于点 E，交⊙ O 于另一点 F，. (1)求证：CD⊥AB. (2)设 FM⊥AB，垂足为 M，若 ，求 AC 的长. 参考答案 【变式训练】 1. (1)如图，连结 OC，∵AB 是⊙ O 的直径，，，，又，∴△COD 是正三角形，. (2)(答案不唯一)③ ② 理由如下：如图，连结 OC.∵∠∠P=∠ODP+∠P，∴∠∠，∴∠OCD=∠∠P.∵∠OCD=∠COP+∠P，∴∠COP=∠P，，. 2. (1)∵AB=CD， 是 的中点，，，. (2)如图，连结 ，OE⊥BM，，∠°，，∴⊙ O 的半径为 3. 50° 【解析】如图，连结 OD，则 ，由折叠的性质得 ，，∴△BOD 是等边三角形，∴∠°.∵∠°，∴∠AOD=∠AOB-∠°，则弧 AD 的度数为 50°.故答案为 50°. 4. (1)证明：如图 1，连结 AD，BD.∵AB 是⊙ O 的直径，DE⊥AB 于点 E，∴∠ADB=∠DEB=∠°，∴∠DAB+∠ABD=∠ABD+∠°，∴∠DAB=∠BDF.∵D 为 的中点，∠DAB=∠DCB，∴∠DAB=∠DCB=∠DBC=∠BDF，. (2)如图 2，连结 OD，交 BC 于点 H，连结 BD，∵AB 是⊙ O 的直径，∴∠°， 为 的中点，∴OD⊥BC，，，，∴在 Rt△BHD 中，由勾股定理可知 5. (1)证明：如图 1，连结 AD，∵弦 CD⊥直径 AB，，∴∠BAC=∠BAD，∴∠∠BAC.又∵∠DGC=∠DAC，∴∠∠BAC. (2)如图 2，连结 OC，∵⊙ O 的半径为 5，，，，⊥AB，在 Rt△ACE 中，， 6. (1)如图 1，过点 O 作 OE⊥AC 于点 E，则 ，∵翻折后点 D 与圆心 O 重合，，在 Rt△AOE 中，，即 ，解得 (2)如图 2，连结 BC.∵AB 是直径，∴∠°，∵∠°，∴∠°-∠°-25°=65°，根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠°，∴∠B=∠°，∴∠DCA=∠CDB-∠°-25°=40°. 7. (1)∵BC 是⊙ O 的直径，∴∠°.∵AD 平分∠CAB，∴∠BAD=∠CAD，，在 Rt△BDC 中，斜边 ，由勾股定理得 ，，解得 (2)如图，连结 OB，OD，∵四边形 ABDC 内接于⊙ O，∴∠BDC+∠°.∵∠°，∴∠°.∵AD 平分∠BAC，，∴∠∠°.∵⊙ O 直径是 10，∴半径 ，∴△BOD 是等边三角形，. 8. (1)证明：∵C 为的中点，，，OC⊥AD，OC 平分∠ACD. (2)①证明：∵AB 是⊙ O 的直径，∴∠°，∴BE⊥AD.又∵OC⊥AD，∴OC∥BE.②如图，连结 BC，则∠°，，∴∠OAC=∠OCA.∵OC∥BE，∴∠OCA=∠E，∴∠OAC=∠E，⊥AE，，设⊙ O 的半径为 r，则 ，，，，整理得 ，解得 ，(不符合题意，舍去)，∴⊙ O 的半径为 5. 9. (1)证明：，，即，，∴∠A=∠D，. (2)①如图，连结 AC，∵弧 BE=弧 BC，∴∠CAB=∠EAB，，，∴∠ACF=∠AFC.∵∠ACF=∠E，∠AFC=∠DFE，∴∠DFE=∠E，；②∵∠DFE=∠E，，，，解得 ，， 10. A 【解析】如图，在 BE 的上方作△OEB，使得 ，∠°，以点 O 为圆心，OB 为半径作⊙ O，连结 OD，过点 O 作 OQ⊥BE 于点 Q，OJ⊥AD 于点 J.因为∠°，∠°，所以，所以点 P 在 BE 所对的优弧上，且点 P 不与点 B，E 重合，所以当点 P 落在线段 OD 上时，线段 PD 最短.因为四边形 ABCD 是矩形，所以∠°.因为 ，，所以 因为 ，∠°，OQ⊥EB，所以 ，∠EOQ=∠°，所以 ，，.因为 OJ⊥AD，OQ⊥AB，所以∠A=∠AJO=∠°，所以四边形 AOQJ 是矩形，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 ，所以 故选 A. 11. 如图，取 AB，CB 中点 P，Q，连结 PM，QM，PQ，AD，CD，取 PQ 的中点 O，过点 O 作 OH⊥PB 于点 H，连结 AQ，OB，以点 O 为圆心，PQ 为直径作半圆 O，连结 AO 交半圆 O 于点 N，∵点 D 在以 AC 为直径的半圆上，∴∠°.∵P，Q，M 分别为 AB，CB，BD 的中点，∴PM∥AD，QM∥CD，∴∠ADB=∠PMB，∠CDB=∠QMB，∴∠PMQ=∠°，∴点 M 在以 PQ 为直径的半圆上，∴当点 M 在 AO 与半圆交点 N 处时，，当点 M 在点 Q 时，，，， 为 PQ 的中点，∠°，，，即 H 为 PB 的中点，，，，， 12. 3 【解析】∵△ABC 为等边三角形，∴∠°.∵∠°，∠°，∴∠°，∴∠EAM+∠°.找模型是否存在四边形：四边形 AEDM，是否存在两个互补的对角：∠EAM 和∠EDM.抽离模型如图，用模型作隐形圆，连结 EM，∴∠AME=∠°(同弧所对的圆周角相等).∵∠°，∴△AEM 为等边三角形，，. 【链接好题】 1. (1)证明：，∴∠FAE=∠AEF.∵∠FAE 与∠BCE 都是 所对的圆周角，∴∠FAE=∠BCE.∵∠AEF=∠CEB，∴∠CEB=∠BCE.∵CE 平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE.∵AB 是直径，∴∠°，∴∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠°，∴∠°，∴CD⊥AB. (2)由(1)知，∠BEC=∠BCE，，FM⊥AB，，，∴圆的半径 ，.在△ABC 中，，，∠°， 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $