4.1 比例线段 同步讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“比例线段”核心知识点，系统梳理比例的基本性质（内项积等于外项积、合比等）、比例线段的判定方法，以及黄金分割的定义与应用（黄金三角形、黄金矩形），构建从性质到应用的递进学习支架。 资料以题型为导向，每个知识点配套“解题知识”理论支撑、典例及变式题，结合玻璃瓶注水、汉字结构等现实情境，培养学生用数学眼光观察世界的能力。通过推理训练和计算应用提升数学思维，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺。

4.1 比例线段 内 容 导 航 题型1 比例的性质 题型2 比例线段 题型3 黄金分割 考 点 演 练 题型1 比例的性质 解｜题｜知｜识 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若，则ad＝bc． ②合比性质．若，则． ③分比性质．若，则． ④合分比性质．若，则． ⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则． 【典例1】已知2a＝3b（b≠0），则下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、，则2a＝3b，故正确，符合题意； B、，则3a＝2b，故错误，不符合题意； C、，则ab＝6，故错误，不符合题意； D、，则3a＝2b，故错误，不符合题意． 故选：A． 【变式1】若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵， ∴设a＝3k，b＝4k， ∴． 故选：A． 【变式2】如果（其中b＞0，d＞0），那么下列式子中不一定正确的是（　　） A． B． C． D．． 【答案】D 【解答】解：如果（其中b＞0，d＞0），根据比例的基本性质对选项进行逐一判断如下： A，如果，那么，选项A式子正确，不符合题意； B，如果，那么，选项B式子正确，不符合题意； C，对于，d（a+c）＝c（b+d），即ad+cd＝bc+cd，ad＝bc，由，可得ad＝bc，则选项C式子正确，不符合题意； D，例如，当a＝1，b＝2，c＝2，d＝4时，， 但是，，，所以选项D式子不一定正确，符合题意． 故选：D． 【变式3】已知2a＝3b（ab≠0），则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、由得ab＝6，故本选项错误； B、由得2a＝3b，故本选项正确； C、由得3a＝2b，故本选项错误； D、由得3a＝2b，故本选项错误． 故选：B． 题型2 比例线段 解｜题｜知｜识 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 【典例1】下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．4cm、2cm、1cm、3cm B．1cm、2cm、4cm、6cm C．25cm、35cm、45cm、55cm D．lcm、2cm、20cm、40cm 【答案】D 【解答】解：A、4×1≠2×3，故A不符合题意； B、6×1≠4×2，故B不符合题意； C、25×55≠35×45，故C不符合题意； D、1×40＝2×20，故D符合题意； 故选：D． 【变式1】已知线段a＝4cm，b＝9cm，则线段a，b的比例中项为　　 cm． 【答案】6． 【解答】解：设它们的比例中项是x，则x2＝4×9，x＝±6，（线段是正数，负值舍去）， 故答案为：6． 【变式2】已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．求a、b、c的值． 【答案】a＝6，b＝4，c＝12． 【解答】解：∵线段a、b、c满足， ∴设，则a＝3k，b＝2k，c＝6k． ∵a+2b+c＝26， ∴3k+2×2k+6k＝26， 解得k＝2， ∴a＝3×2＝6，b＝2×2＝4，c＝6×2＝12． 【变式3】已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：4，且a+2b+c＝33． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵a：b：c＝3：2：4， ∴可以假设a＝3k，b＝2k，c＝4k， ∵a+2b+c＝33， ∴3k+4k+4k＝33， ∴k＝3， ∴a＝9，b＝6，c＝12； （2）由题意x2＝ab＝54， ∴x＝3（负根已经舍去）． 题型3 黄金分割 解｜题｜知｜识 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 【典例1】玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝10cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为（　　） A．3.82cm B．5cm C．6.18cm D．7.2cm 【答案】C 【解答】解：由题知， 因为液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比，且AB＝10cm， 所以AC≈0.618AB＝6.18（cm）． 故选：C． 【变式1】已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则AC＝　 　 ． 【答案】 【解答】解：设AC的长为x，则BC＝AB﹣AC＝2﹣x， 则，即， ∴x2+2x﹣4＝0， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴AC的长为； 故答案为：． 【变式2】已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB＝1，那么BP的长是 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝1， ∴APAB， ∴BP＝AB﹣AP＝1， 故答案为：． 【变式3】矩形的短边与长边的比等于黄金比（即，则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调的美感．如图，黄金矩形ABCD的长边AB＝4，则它的面积为 　 ． 【答案】． 【解答】解：由题知， 因为矩形ABCD为黄金矩形， 所以． 又因为AB＝4， 所以BC， 所以矩形的面积为：4×（）． 故答案为：． 过 关 验 收 1．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵， ∴ ∴． 故选：A． 2．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵， ∴可设a＝3k，那么b＝5k， ∴． 故选：C． 3．已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵2x＝3y（y≠0）， ∴， 故选：D． 4．已知a：b＝2：3（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（　　） A． B．2a＝3b C． D．3a＝2b 【答案】B 【解答】解：a：b＝2：3（a≠0，b≠0）即，故A选项变形正确，不符合题意； 左右两边同时乘以3b得3a＝2b，不能得出2a＝3b，故B选项变形错误，符合题意，D选项变形正确，不符合题意； 将3a＝2b左右两边同时除以2a得，故C选项变形正确，不符合题意； 故选：B． 5．若，则下列式子不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由，可设a＝2k，b＝3k， ∴A．若，则，正确，故选项A不符合题意； B．若，则，正确，故选项B不符合题意； C．因为，k， 所以， 所以原结果正确，故选项C不符合题意； D.，错误，故选项D符合题意． 故选：D． 6．已知，则值为（　　） A． B．4 C． D． 【答案】D 【解答】解：∵， ∴可设， ∴a＝4k，b＝3k，c＝2k， ∴， 故选：D． 7．已知a、b是不等于0的实数，4a＝5b，那么下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、由得，5a＝4b，故本选项不符合题意； B、由得，9（a﹣b）＝a+b，整理得，4a＝5b，故本选项符合题意； C、由得，5（a﹣b）＝b，整理得，5a＝6b，故本选项不符合题意； D、由得，5（a+b）＝9b，整理得，5a＝4b，故本选项不符合题意． 故选：B． 8．若，那么　 　 ． 【答案】． 【解答】解：由条件可知， ∴． 故答案为：． 9．已知，且b+d+f≠0，则 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：∵， ∴ab，cd，ef， ∴． 故答案为：． 10．已知，则　 ． 【答案】． 【解答】解：∵， ∴设y＝2k，x＝5k， ∴， 故答案为：． 11．（1）解方程：（x﹣3）2＝4（x﹣3）； （2）已知：，且a﹣2b+3c＝16，求a，b，c的值． 【答案】（1）x1＝3，x2＝7； （2）a＝4，b＝6，c＝8． 【解答】解：（1）（x﹣3）2﹣4（x﹣3）＝0， 移项，得（x﹣3）2﹣4（x﹣3）＝0， 提公因式（x﹣3），得（x﹣3）（x﹣3﹣4）＝0， ∴（x﹣3）（x﹣7）＝0， ∴x1＝3，x2＝7； （2）， 设a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∵a﹣2b+3c＝16， ∴2k﹣6k+12k＝16， 即8k＝16， 解得k＝2， ∴a，2×2＝4，b＝2×3＝6，c＝2×4＝8． 12．已知：，2x﹣3y+4z＝22，求：代数式x+y﹣z的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设， 则x＝2k，y＝3k，z＝4k， ∵2x﹣3y+4z＝22， ∴4k﹣9k+16k＝22， ∴k＝2， ∴x+y﹣z＝2k+3k﹣4k＝k＝2． 13．已知：，且a+b﹣c≠0． （1）求代数式的值； （2）当2a﹣b+c＝20时，求a，b，c的值． 【答案】（1）9；（2）a＝8，b＝12，c＝16． 【解答】解：（1）∵：， ∴设，则a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∴； （2）设，则a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∵2a﹣b+c＝20， ∴2×2k﹣3k+4k＝20， 解得：k＝4， ∴a＝8，b＝12，c＝16． 14．若，且3x+2y＝12，求x，y的值． 【答案】x＝2，y＝3． 【解答】解：设， 则x＝2k，y＝3k， 代入3x+2y＝12得：6k+6k＝12， 解得：k＝1， ∴x＝2×1＝2，y＝3×1＝3． 15．已知a＝2b，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）2； （2）． 【解答】解：（1）∵a＝2b， ∴2； （2）∵a＝2b， ∴． 16．已知a：b：c＝1：2：3． （1）求代数式的值． （2）若a+2b﹣c＝10，求a，b，c的值． 【答案】（1）； （2）a＝5，b＝10，c＝15． 【解答】解：（1）∵a：b：c＝1：2：3， ∴设a＝k，b＝2k，c＝3k， ∴． （2）∵a：b：c＝1：2：3， ∴设a＝k，b＝2k，c＝3k， ∴a+2b﹣c＝k+4k﹣3k＝2k＝10， ∴k＝5， ∴a＝5，b＝10，c＝15． 17．已知a：b＝3：2，a+2b＝21，求a与b的值． 【答案】a＝9，b＝6． 【解答】解：∵a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝21， ∴a：b＝3：2， ∴设a＝3k，b＝2k， ∵a+2b＝21， ∴3k+4k＝21，解得k＝3， ∴a＝9，b＝6． 18．已知：． （1）如果a＝1，b＝2，c+d＝9，求c、d的值； （2）求证：． 【答案】（1）c、d的值分别为3、6． （2）设m，则a＝mb，c＝md， ∴， ∵a≠b， ∴m≠1， ∴m﹣1≠0， ∴， ∴． 【解答】（1）解：∵，且a＝1，b＝2， ∴， ∴d＝2c， ∵c+d＝9， ∴c+2c＝9， 解得c＝3， ∴d＝2×3＝6， ∴c、d的值分别为3、6． （2）证明：设m，则a＝mb，c＝md， ∴， ∵a≠b， ∴m≠1， ∴m﹣1≠0， ∴， ∴． 19．下面四组线段中不能成比例线段的是（　　） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、、、 D．、、2、 【答案】B 【解答】解：A．2×6＝3×4，能成比例，不符合题意； B．4×10≠6×8，不能成比例，符合题意； C．，能成比例，不符合题意； D．，能成比例，不符合题意． 故选：B． 20．下列各组线段中，成比例线段的一组是（　　） A．1，2，3，4 B．2，3，4，6 C．1，3，5，7 D．2，4，6，8 【答案】B 【解答】解：A、1×4≠2×3，故本选项错误； B、2×6＝3×4，故本选项正确； C、1×7≠3×5，故本选项错误； D、2×8≠4×6，故本选项错误． 故选：B． 21．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3，b＝2，c＝6，则线段d的长是（　　） A．1 B．1.5 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：∵a、b、c、d是成比例的线段， ∴， ∵a＝3，b＝2，c＝6， ∴， 解得：d＝4． 故选：D． 22．如果四条线段a、b、c、d满足，则下列等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：，则，不能得到，故选项A错误，不符合题意； ，则，不能得到，故选项B错误，不符合题意； ，且当b﹣d≠0时，，故选项C错误，不符合题意； ，则，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 23．已知线段a：b＝1：3，若线段b是线段a，c的比例中项，则b：c的值为（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：1 D．3：1 【答案】B 【解答】解：由题知， 因为线段b是线段a，c的比例中项， 所以a：b＝b：c． 又因为a：b＝1：3， 所以b：c＝1：3． 故选：B． 24．已知线段c是线段a，b的比例中项，其中a＝4，b＝25，则c等于（　　） A．4 B．10 C．25 D．100 【答案】B 【解答】解：由条件可知c2＝a×b， ∴c2＝4×25＝100， ∴（c 为线段，取正值）． ∴c＝10． 故选：B． 25．如果，且b是a、c的比例中项，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵，且b是a、c的比例中项， ∴． 故选：D． 26．若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1，b＝2，c＝3，则d的值为（　　） A．6 B．4 C． D． 【答案】A 【解答】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，a＝1，b＝2，c＝3， ∴a：b＝c：d， 即1：2＝3：d， 解得：d＝6． 故选：A． 27．下列各组线段，成比例线段的是（　　） A．3cm，6cm，7cm，9cm B．2cm，8cm，6cm，5cm C．3cm，9cm，6cm，18cm D．1cm，2cm，3cm，4cm 【答案】C 【解答】解：A．3×9≠6×7，则3cm，6cm，7cm，9cm不是成比例线段，故该选项不符合题意； B．2×8≠6×5，则2cm，8cm，6cm，5cm不是成比例线段，故该选项不符合题意； C．3×18＝9×6，则3cm，9cm，6cm，18cm是成比例线段，故该选项符合题意； D．1×4≠2×3，则1cm，2cm，3cm，4cm不是成比例线段，故该选项不符合题意． 故选：C． 28．若a，b，c，d是成比例线段，其中a＝1，b＝4，c＝3，则线段d的长为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【解答】解：根据题意得a：b＝c：d，即1：4＝3：d， 所以d＝12． 故选：C． 29．下列线段能成比例线段的是（　　） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，，，4cm C．，，，1cm D．2cm，5cm，3cm，4cm 【答案】B 【解答】解：A、1×4≠2×3，故本选项错误； B、，故本选项正确； C、，故本选项错误； D、2×5≠3×4，故本选项错误． 故选：B． 30．已知线段a、b、c，且． （1）求的值； （2）若线段a、b、c满足a+b+c＝60，求a、b、c的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k， （1）； （2）∵a+b+c＝60， ∴3k+4k+5k＝60， ∴k＝5， ∴a＝15，b＝20，c＝25． 31．已知线段a，b，c满足a：b：c＝1：3：5，且a﹣b+c＝12． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【答案】（1）a＝4，b＝12，c＝20； （2）4． 【解答】解：（1）∵a：b：c＝1：3：5， ∴设a＝k，b＝3k，c＝5k， ∴a﹣b+c＝12，即k﹣3k+5k＝12， 解得：k＝4， ∴a＝4，b＝12，c＝20； （2）由（1）知a＝4，b＝12，又因为m是a，b的比例中项， ∴m2＝ab＝48， ∴m＝±4， ∵m＞0， ∴m＝4． 32．已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝28． （1）求a、b的值． （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵a：b＝3：2 ∴设a＝3k，b＝2k， ∵a+2b＝28， ∴3k+4k＝28， ∴k＝4， ∴a＝12，b＝8； （2）∵x是a：b的比例中项， ∴x2＝ab＝96， ∵x是线段，x＞0， ∴x＝4． 33．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段AB＝2，点P恰好是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），则线段BP的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据黄金分割的定义可知：BP2＝AP•AB， ∴BP2＝2（2﹣BP）， 整理得：BP2+2BP﹣4＝0， 解得：（负值已舍去）， 故选：C． 34．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为线段AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC＝40cm，则BC的长为（　　） A．20cm B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵点B为线段AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝40cm， ∴ABAC40＝（2020）（cm）， ∴BC＝AC﹣AB＝40﹣（2020）＝（60﹣20）（cm）， 故选：D． 35．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝2，则长AB为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解答】解：根据黄金矩形的定义得：， ∴， ∴， 故选：C． 36．大自然是美的设计师，即使是一片小小的银杏叶，也蕴含着最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，银杏叶主脉可看作线段AB，P是黄金分割点（AP＞BP），若这片银杏叶主脉AB的长度为10cm，则AP的长约为（　　）cm． A．6.18 B．3.82 C．5.28 D．4.82 【答案】A 【解答】解：∵P是黄金分割点（AP＞BP），AB的长度为10cm， ∴AP≈0.618AB＝0.618×10＝6.18（cm）， 故选：A． 37．摄影构图中常用黄金分割，若照片横向长度AB为12cm，主体应放在黄金分割点D处（AD＞DB），则AD的长为（　　） A．6（3）cm B．6（1）cm C．12﹣6cm D．66cm 【答案】B 【解答】解：∵照片横向长度AB为12cm，主体应放在黄金分割点D处（AD＞DB）， ∴ADAB＝6（1）cm， 故选：B． 38．“黄金分割”给人以美感，它不仅在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，而且在大自然中处处有美的痕迹，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（　　）cm． A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据黄金分割的定义可知： ． 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 比例线段 内 容 导 航 题型1 比例的性质 题型2 比例线段 题型3 黄金分割 考 点 演 练 题型1 比例的性质 解｜题｜知｜识 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若，则ad＝bc． ②合比性质．若，则． ③分比性质．若，则． ④合分比性质．若，则． ⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则． 【典例1】已知2a＝3b（b≠0），则下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如果（其中b＞0，d＞0），那么下列式子中不一定正确的是（　　） A． B． C． D．． 【变式3】已知2a＝3b（ab≠0），则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 题型2 比例线段 解｜题｜知｜识 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 【典例1】下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．4cm、2cm、1cm、3cm B．1cm、2cm、4cm、6cm C．25cm、35cm、45cm、55cm D．lcm、2cm、20cm、40cm 【变式1】已知线段a＝4cm，b＝9cm，则线段a，b的比例中项为　　 cm． 【变式2】已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．求a、b、c的值． 【变式3】已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：4，且a+2b+c＝33． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 题型3 黄金分割 解｜题｜知｜识 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 【典例1】玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝10cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为（　　） A．3.82cm B．5cm C．6.18cm D．7.2cm 【变式1】已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则AC＝　 　 ． 【变式2】已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB＝1，那么BP的长是 　 　 ． 【变式3】矩形的短边与长边的比等于黄金比（即，则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调的美感．如图，黄金矩形ABCD的长边AB＝4，则它的面积为 　 ． 过 关 验 收 1．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（　　） A． B． C． D． 4．已知a：b＝2：3（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（　　） A． B．2a＝3b C． D．3a＝2b 5．若，则下列式子不正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知，则值为（　　） A． B．4 C． D． 7．已知a、b是不等于0的实数，4a＝5b，那么下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 8．若，那么　 　 ． 9．已知，且b+d+f≠0，则 　 　 ． 10．已知，则　 ． 11．（1）解方程：（x﹣3）2＝4（x﹣3）； （2）已知：，且a﹣2b+3c＝16，求a，b，c的值． 12．已知：，2x﹣3y+4z＝22，求：代数式x+y﹣z的值． 13．已知：，且a+b﹣c≠0． （1）求代数式的值； （2）当2a﹣b+c＝20时，求a，b，c的值． 14．若，且3x+2y＝12，求x，y的值． 15．已知a＝2b，求下列各式的值： （1）； （2）． 16．已知a：b：c＝1：2：3． （1）求代数式的值． （2）若a+2b﹣c＝10，求a，b，c的值． 17．已知a：b＝3：2，a+2b＝21，求a与b的值． 18．已知：． （1）如果a＝1，b＝2，c+d＝9，求c、d的值； （2）求证：． 19．下面四组线段中不能成比例线段的是（　　） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、、、 D．、、2、 20．下列各组线段中，成比例线段的一组是（　　） A．1，2，3，4 B．2，3，4，6 C．1，3，5，7 D．2，4，6，8 21．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3，b＝2，c＝6，则线段d的长是（　　） A．1 B．1.5 C．3 D．4 22．如果四条线段a、b、c、d满足，则下列等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 23．已知线段a：b＝1：3，若线段b是线段a，c的比例中项，则b：c的值为（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：1 D．3：1 24．已知线段c是线段a，b的比例中项，其中a＝4，b＝25，则c等于（　　） A．4 B．10 C．25 D．100 25．如果，且b是a、c的比例中项，那么等于（　　） A． B． C． D． 26．若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1，b＝2，c＝3，则d的值为（　　） A．6 B．4 C． D． 27．下列各组线段，成比例线段的是（　　） A．3cm，6cm，7cm，9cm B．2cm，8cm，6cm，5cm C．3cm，9cm，6cm，18cm D．1cm，2cm，3cm，4cm 28．若a，b，c，d是成比例线段，其中a＝1，b＝4，c＝3，则线段d的长为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 29．下列线段能成比例线段的是（　　） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，，，4cm C．，，，1cm D．2cm，5cm，3cm，4cm 30．已知线段a、b、c，且． （1）求的值； （2）若线段a、b、c满足a+b+c＝60，求a、b、c的值． 31．已知线段a，b，c满足a：b：c＝1：3：5，且a﹣b+c＝12． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 32．已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝28． （1）求a、b的值． （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 33．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段AB＝2，点P恰好是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），则线段BP的长为（　　） A． B． C． D． 34．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为线段AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC＝40cm，则BC的长为（　　） A．20cm B． C． D． 35．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝2，则长AB为（　　） A．2 B．4 C． D． 36．大自然是美的设计师，即使是一片小小的银杏叶，也蕴含着最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，银杏叶主脉可看作线段AB，P是黄金分割点（AP＞BP），若这片银杏叶主脉AB的长度为10cm，则AP的长约为（　　）cm． A．6.18 B．3.82 C．5.28 D．4.82 37．摄影构图中常用黄金分割，若照片横向长度AB为12cm，主体应放在黄金分割点D处（AD＞DB），则AD的长为（　　） A．6（3）cm B．6（1）cm C．12﹣6cm D．66cm 38．“黄金分割”给人以美感，它不仅在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，而且在大自然中处处有美的痕迹，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（　　）cm． A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $