专题 2.16 特殊三角形全章常考点分类专题讲义【八大考点十大题型】- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题 2.16 特殊三角形全章常考点分类专题讲义【八大考点十大题型】 目录 一.复习目标与重难点 1 【一】复习目标 1 【二】重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】等腰三角形的定义与边角性质 2 【知识点二】等腰三角形三线合一（高频核心考点） 2 【知识点三】等腰三角形的判定定理 2 【知识点四】等边三角形的性质与判定 2 【知识点五】直角三角形基础性质与判定 2 【知识点六】含30°角的直角三角形专属定理 3 【知识点七】等腰直角三角形核心特征 3 【知识点八】特殊三角形分类讨论思想（易错压轴考点） 3 三.题型精析 3 【题型 1】等腰三角形边角基础计算（基础必考） 3 【题型 2】三线合一性质应用（证明+计算高频） 6 【题型 3】等腰三角形判定证明题 9 【题型 4】等边三角形性质与判定综合 12 【题型 5】含30°角直角三角形边长计算 16 【题型 6】直角三角形判定综合题型 20 【题型 7】直角三角形斜边上的中线 23 【题型 8】勾股定理、逆定理运算问题 26 【题型 9】特殊三角形与最值问题 30 【题型 10】特殊三角形分类讨论压轴题型 38 一.复习目标与重难点 【一】复习目标 1.知识目标：系统掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形的定义、性质与判定；熟记特殊三角形专属定理、边角规律、对称特征，构建完整的特殊三角形知识体系。 2. 能力目标：熟练区分各类特殊三角形的核心考点，掌握分类讨论、几何转化、模型套用等解题方法；能独立解决基础计算、证明、折叠、动态、综合探究等题型，突破本章易错重难点。 3. 素养目标：培养几何直观、逻辑推理、分类讨论和数形结合的数学思想，提升几何证明严谨性与综合解题能力，为后续几何综合、函数几何题型奠定基础。 【二】重难点 重点：等腰三角形三线合一性质、等边三角形性质与判定、直角三角形两大核心定理、含30°角直角三角形性质、特殊三角形边角计算与基础证明。 难点：等腰三角形边角分类讨论问题、特殊三角形折叠与动态几何问题、多结论综合题型、特殊三角形与几何变换综合应用。 二.知识梳理与解读 【知识点一】等腰三角形的定义与边角性质 1. 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边为腰，第三边为底；两腰夹角为顶角，腰与底边夹角为底角。 2. 核心性质：等边对等角，即等腰三角形两底角相等；三角形内角和180°，可用于边角互求。 3. 关键前提：等腰三角形底角只能为锐角，顶角可为锐角、直角、钝角，解题需分类讨论。 【知识点二】等腰三角形三线合一（高频核心考点） 1. 定理：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 2. 适用条件：仅针对等腰三角形的顶角和底边，腰上的中线、高、角平分线不具备该性质。 3. 解题价值：可直接实现边、角、垂直、中点的条件转化，是几何证明的核心依据。 【知识点三】等腰三角形的判定定理 1. 定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形； 2. 等角对等边：有两个角相等的三角形，相等角所对的边相等，即为等腰三角形； 3. 拓展判定：三角形一边上的中线与高重合，或角平分线与高重合，可判定为等腰三角形。 【知识点四】等边三角形的性质与判定 1. 性质：三边相等，三个内角均为60°；三条对称轴，每条边上均满足三线合一；属于特殊的等腰三角形，具备等腰三角形所有性质。 2. 判定方法：①三边相等的三角形；②三角相等的三角形；③有一个角是60°的等腰三角形。 【知识点五】直角三角形基础性质与判定 1. 性质：直角三角形两锐角互余；直角三角形斜边最长。 2. 判定：①有一个角为90°的三角形；②两个角互余的三角形；③三角形一边上的中线等于这条边的一半，该三角形为直角三角形。 【知识点六】含30°角的直角三角形专属定理 1. 核心定理：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半； 2. 逆定理：直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角为30°； 3. 应用：边长计算、线段倍分证明、几何求值高频考点。 【知识点七】等腰直角三角形核心特征 1. 定义：两条直角边相等的直角三角形，兼具等腰、直角三角形所有性质； 2. 角度特征：三个角分别为90°、45°、45°； 3. 边长特征：直角边相等，斜边=直角边×，是几何模型、压轴题常用基础图形。 【知识点八】特殊三角形分类讨论思想（易错压轴考点） 1. 等腰三角形边角不确定：已知内角求另外两角、已知边长求周长，需分顶角、底角，腰、底边分类； 2. 直角三角形直角顶点不确定：动点构造直角三角形，需分三个顶点分别为直角顶点讨论； 3. 无图几何题：题目未配图时，必须多情况分析，避免漏解。 三.题型精析 【题型 1】等腰三角形边角基础计算（基础必考） 【例题1】（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，是等边三角形，点D在上，点E在上，且，与相交于点P． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明：是等边三角形， ，．   在和中， ， ． （2） 【分析】（1）由是等边三角形，得，，即可证明； （2）由得，根据三角形外角性质可得结论． 解：（1）略 （2）解：由（1）得．   是的一个外角（P在上，与互补）， ． 【变式1】（26-27八年级上·湖北·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据尺规作图可知，垂直平分线段，得到，继而得出，，然后根据三角形的内角和定理与外角的性质即可求解． 解：根据尺规作图可知，垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 【变式2】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，若，则的度数是______． 【答案】/25度 【分析】利用“等边对等角”和三角形外角的性质可以得到，，从而解得的度数． 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即． 【变式3】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，，，． （1）求证：； （2）设与交于点，，求的度数． 【答案】（1）∵， ∴， 即， ∵，． ∴； （2） 【分析】（1）先证明，再根据已知条件利用证明即可； （2）连接，求出，由全等三角形的性质得到，根据三角形外角的性质和角的和差关系即可得到答案． 解：（1）略 （2）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ 【题型 2】三线合一性质应用（证明+计算高频） 【例题2】（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，是的高，边的垂直平分线分别交，于点，，连接，． （1）若，求的长度； （2）若，则___________°． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先利用等腰三角形三线合一得到是的垂直平分线，推出，再结合是的垂直平分线得，通过等量代换求出结果． （2）先根据等腰三角形三线合一得到，结合第（1）问，用等边对等角求出的度数． （1）解：，， ，（等腰三角形三线合一） 垂直平分， ．（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 又垂直平分， ，（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ．（等量代换） （2），， ，（等腰三角形三线合一） ， ， ．（等边对等角） 【变式1】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由三角形中线的性质得出，从而可得，由等腰三角形的性质可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·上海·期末）如图，在中，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接．以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接．若，则的周长为_____． 【答案】6 【分析】直接利用基本作图方法得出垂直平分，，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出，即可得出答案． 解：由基本作图方法得出：垂直平分，则， ， ， ， ， 的周长为： 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，垂直平分，连接，延长至点，使得，连接． （1）试说明：； （2）若，判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）解：∵垂直平分 ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【分析】（1）利用三线合一说明即可； （2）根据等边对等角求出，然后利用三角形外角的性质求出，进而求出即可． 解：（1）略 （2）略 【题型 3】等腰三角形判定证明题 【例题3】（2026·江苏常州·中考真题）如图，，分别是线段，上的点，，，连接，，相交于点． （1）求证：． （2）连接，是等腰三角形吗？证明你的结论． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴． （2）解：是等腰三角形．理由如下， 如图，连接， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）根据“”直接证明即可； （2）先由得到，再由得到，根据角的和差关系即可得到，从而得到，即可得出是等腰三角形． 解：（1）证明：略 （2）解：是等腰三角形．证明略 【变式1】（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交AB于M，交于N，若，则的值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据平行线的性质，结合角平分线的定义，推出，进而得到，即可得出结果． 解：∵在中，和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴. 【变式2】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，，，，，分别是和的角平分线，且，，则的周长为_________． 【答案】17 【分析】由角平分线的定义和平行线的性质得出，，从而可得，，再结合三角形周长公式计算即可得出结果． 解：∵，分别是和的角平分线， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）若过的一个内角和一个外角平分线的交点作这两个角的公共边的平行线，如图所示， （1）此时，图中有几个等腰三角形？ （2）线段与线段三者又有何数量关系？ 【答案】（1）图中共有2个等腰三角形；（2） 【分析】（1）由角平分线的定义和平行线的性质可证明，得到，则可证明和都是等腰三角形； （2由（1）得，由线段的和差关系即可得到． （1）解：由题意得平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴和都是等腰三角形，即图中共有2个等腰三角形； （2）解：由（1）得， ∵， ∴． 【题型 4】等边三角形性质与判定综合 【例题4】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； 【答案】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形． ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 【分析】（1）利用可得，，结合等量代换可得，命题得证； （2）先计算出与，结合等边三角形的性质计算出的内角，从而确定形状． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，等边的边长为，点在边上，，过点作交于点，连接，点在上，连接，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是等边三角形得，， 则，证明是等边三角形得， 则，再证明， 得，由此可得． 解：∵等边的边长为， ∴，， ∵点在边上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据等边三角形的性质及等边对等角依次判断即可． 解：∵是等边三角形，是中线， ∴平分；；故①②正确； ∵， 又， ∴， ∴， ∴ ∴，故③④正确， 综上其中正确的是①②③④． 【变式3】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，为等边三角形，边长为．点P从点A出发沿向点B运动，速度为；点Q同时从点B出发沿向点C运动，速度为．设运动时间为t秒（）． （1）求证：； （2）设与交于点M，求的度数，并说明理由； （3）是否存在某一时刻t，使为等边三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，． 由题意，，， ∴， 在和中，，，， ∴． （2）解：． 理由：由（1）得， ∴， ∵点M在线段上， ∴， 又， ∵是在顶点M处的外角． ∴． （3）解：存在，． 理由：，，， 若为等边三角形，则， 即， 解得：． 此时，符合题意， ∴当秒时，为等边三角形． 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质和三角形外角的性质，进行求解即可； （3）根据等边三角形的判定和性质，列出关于t的方程，解方程即可． 解：（1）略 （2）略 （3）略 【题型 5】含30°角直角三角形边长计算 【例题5】（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，为的垂直平分线，求证：． 【答案】证明：如图，连接． 为的垂直平分线， ， ． 又，， ， ， ， ． 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，确定，，再利用直角三角形的性质，证明即可． 解：证明：略． 【变式1】（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，在中，，，点在延长线上且，平分，分别交、于点、．若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，先利用角平分线定理和勾股定理求解的长度，再由含的特殊直角三角形计算得到的长度． 解：如图，过作于，则， ， ，． 平分，，， ． ， ， ， ， ， ， ． ，， ． 【变式2】（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，已知，点在边上，，点，在边上，．若，则的长是________． 【答案】 【分析】过点P作于点D，则，根据直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，即可求解． 解：如图，过点P作于点D，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3】（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，连接并延长交于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （2）6 【分析】（1）根据等边三角形的性质，三角形外角性质，，三角形内角和，垂直定义证明即可； （2）利用等边三角形的性质，直角三角形的性质解答即可． 解：（1）证明：略． （2）解：如图，连接， ∵等边， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【题型 6】直角三角形判定综合题型 【例题6】（26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，于，于，若，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2） 【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出； （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 解：（1）略 （2）解：，，， ， 在和中， ， ， ． 【变式1】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据“”，证明得出相等的边，最后利用线段的和差即可求解． 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，是上一点，且，过点作交于点，连接，如果，则________． 【答案】3 【分析】首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后根据，即可获得答案． 解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 【变式3】（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，在中，是边上的高，且，点E为上的一点，连接交于点F，且． （1）求证：； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵是边上的高， ∴， 在和中， ， ∴ （2） 解：理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）由可证； （2）由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得结论． 解：（1）略 （2）略 【题型 7】直角三角形斜边上的中线 【例题7】（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图（1），已知等腰直角中，为斜边上的中线，为上的一点，且于，交于． （1）求证：； （2）如图（2）若点在的延长线上，且于，与的延长线交于，问与能相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． 【答案】（1）证明：∵是等腰直角三角形，为斜边上的中线， ∴，，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）； 证明：如图， ∵是等腰直角三角形，为斜边上的中线， ∴，，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】（1）首先证明，再证明，可利用定理判定，进而得到； （2）方法与（1）类似，证明，可得． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（26-27九年级上·天津河西·开学考试）如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于，两点；与交于点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图方法可得垂直平分，则O点是的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，由等边对等角得出，最后由角的和差关系可得答案． 解：由作图方法可得垂直平分， ∴， ∴为中线， 又中，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2026·辽宁锦州·二模）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点，连接．若，则的长为__________． 【答案】 【分析】由平移可知，根据全等三角形的性质可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出结果． 解：由平移可知， ， ， 又点为的中点，， ． 【变式3】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，于，于，为的中点． （1）若，，求的周长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）21；（2） 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，于是得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，，根据平角的定义和三角形的内角和得到结论． （1）解：∵于，于， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∵， ∴的周长； （2）解：∵，M为的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【题型 8】勾股定理、逆定理运算问题 【例题8】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，过点作于点，点在线段上，且．已知，，． （1）求线段的长； （2）试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）的长为；（2）是直角三角形， 理由如下：在中，，， 由勾股定理，可得， 在中，，， 由勾股定理，可得， 则， ， 故是直角三角形． 【分析】（1）设为未知数，利用表示出，在中根据勾股定理列方程，求解得到的长度； （2）通过勾股定理求出、，算出的长，再用勾股定理逆定理验证三边平方关系，判断的形状． （1）解：设，则， ， ， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 故的长为． （2）略 【变式1】（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，如图，平分，是的中点，，，，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】B 【分析】连接、，根据垂直平分线的性质，得；根据角平分线的性质，得，,，通过证明，得；设，根据勾股定理，列一元一次方程并求解，得，从而完成求解． 解：连接、，如下图： ∵是的中点，， ∴， ∵平分，，， ∴，,， 在和中 ， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ∴． 【变式2】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，D为边的中点，于点E，与相交于点O，则的长为______． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的性质可得，，求解，进一步利用勾股定理求解即可. 解：∵为BC的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【变式3】（25-26八年级上·山西晋中·阶段检测）在中，，，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点A与B重合，折痕为． （1）试求的周长； （2）求线段的长度． 【答案】（1）14；（2） 【分析】（1）折叠时，对称轴为折痕，垂直平分线段，由垂直平分线的性质得，再把的周长进行线段的转化即可； （2）设，则，因为，利用勾股定理得，据此列方程求解即可． （1）解：由折叠的性质可知，垂直平分线段， 根据垂直平分线的性质可得：， ∴； ∴的周长是14； （2）解：设，则， ∵， ∴， 解得, ∴． 【题型 9】特殊三角形与最值问题 【例题9】（25-26七年级下·河南南阳·期末）综合与实践 【问题提出】如图，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 【问题抽象】某学习小组在探究这一问题时抽象出数学模型：如图，直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 【分析问题】小亮：如图，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图，在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， __________，__________， __________． ∵在中，（三角形的任意两边之和_______________） ∴__________，即最小． 【解决问题】 （1）请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，，，请直接写出周长的最小值． （3）如图，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹，小路，，步道与小路，的连接点分别为，，那么点，的位置应建在何处，才能使所建的步道总长度最短？请在图中画出，两点与所建步道的最短路线．（不写画法，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】（1）如图，在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ，， ， ∵在中，（三角形的任意两边之和大于第三边） ∴，即最小． （2） （3） 【分析】（1）在直线上另取不同于点的任一点，利用轴对称等量替换，结合三角形三边关系证明最小； （2）利用对称得，把转化为，加得到周长最小值； （3）分别作点关于两条小路的对称点，连接两对称点，与小路交点即为、，连接、、即为最短路径． 解：（1）略 （2）解：如图，连接，直线与交于点， 点与点关于直线成轴对称， ， ， 当点运动到点，取得最小值， 的周长最小值为． （3）解：如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，交于点，交于点， ，， ， 当，，，四点共线时，取得最小值， 故为所建步道的最短路线． 【变式1】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，点是边的中点，点为边上一动点，平分交于点，点是线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】在上取点，使，连接，作于点证明，得到，根据垂线段最短的性质知，当点与点重合时，的最小值为的长，进行求解即可． 解：如图1，在上取点，使，连接，作于点 平分， ， ， ， ， 根据垂线段最短的性质知，当点与点重合时，的最小值为的长， 如图2，连接 在中，， 为中点， ， 即的最小值为． 【变式2】（2026·青海西宁·一模）如图，在等腰中，，点在边上且，点，分别为边，上的动点，连接，，得到，则周长的最小值为______． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、，连接分别交于点，交于点，先证明点、、、在同一直线上，由题意可得，，由对称性可得：，，，，，求出，，由勾股定理可得，即可得出结果． 解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、，连接分别交于点，交于点， ∵， ∴， ∴，即点、、、在同一直线上， ∵，， ∴，， 由对称性可得：，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定在公路相距的A、B两站之间的E点修建一个土特产加工基地．如图，于点A，于B．已知，． （1）如图1，当C、D两村庄到基地E点的距离相等时，求基地E距A多远？ （2）如图2，当C、D两村庄到基地E点的距离之和最短时，求基地E距A多远？自行作图，并求出的最小值． 【答案】（1）基地E距A为；（2）如图所示；基地E距A为，的最小值为 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由勾股定理得，，则，设为，则，得，求解即可； （2）作点D关于的对称点，连接交于点E，的最小值为的值，即的长，过点作于点，交于点，过点作于点，根据平行线间距离相等，得到，，证明，得到，从而求出，再过点作，交的延长线于点F，利用勾股定理求出即可． （1）解：∵C、D两村庄到基地E点的距离相等， ∴， 在和中，， ∴． 设，则， ∴， 解得：， 答：基地E距A为； （2）解：如图，作点D关于的对称点，连接交于点E，的最小值即为的值，最小值为的长， ∴， 过点作于点，交于点，过点作于点， ，， ， ， ， 又，， ， ， ，即基地E距A为， 过点作，交的延长线于点F，则四边形是长方形， ∴，， ∴， 在中，． ∴的最小值为． 【题型 10】特殊三角形分类讨论压轴题型 【例题10】（26-27九年级上·北京东城·开学考试）在等腰中，，，点在边上，点在边的延长线上，且满足，连接交于点． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，在上截取，连接，设（），作点关于的对称点，连接、，与交于点，请你补全图形，并求（用含的代数式表示） 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点D作交于点M， 、 ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴，即点G是的中点， ∴， 在中，， ∴． （2）根据题意作图如下， 【分析】（1）根据题意得到，过点D作交于点M，可证，，即点G是的中点，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解； （2）过点D作交于点，交于点，连接，证明，从而得到，再由（1）知，利用等腰三角形的性质求解即可． 解：（1）略 （2）解：过点D作交于点，交于点，连接， 由已知以及对称的性质知：， ， ∴， 则， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， 且， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（26-27九年级上·山西长治·阶段检测）图1是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图2的方法裁剪5条宽度都为的长方形纸条，用这些长方形纸条为一幅正方形美术作品镶边（如图3，长方形纸条不重叠且全部用完），则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据等腰直角三角形的判定和性质得出都是等腰直角三角形，再求出这5个长方形的面积，然后根据面积相等列出方程，求出解即可． 解：如图所示，根据题意，得， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 则这5个长方形的面积为，，． 设，根据题意，得 ， 解得， 所以的长为． 【变式2】（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为________． 【答案】 【分析】如图作于H，由得，再证明得，即可解决问题． 解：如图作于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（2026八年级下·湖南岳阳·竞赛）探究图像中线段之间的关系，并完成以下问题 （1）问题发现：如图1，与均为等腰直角三角形，．则线段、的数量关系为__________，、所在直线的位置关系为__________； （2）深入探究：在（1）的条件下，若点，，在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，已知中，，，，以为直角边作等腰直角，，，连接，则的长为__________． 【答案】（1），；（2）解：，；理由如下： ∵为等腰直角三角形，为中边上的高， 为中边上的中线，， ，即， 由（1）知，， ， ， ∵点，，在同一直线上， ， ∴； （3）或 【分析】（1）先证明，得出，延长交于点H，交于点O，证明，得出； （2）先证明，，根据得出，进而得出结论； （3）分两种情形分别画出图形，构造全等三角形解决问题即可； （1）解：∵与均为等腰直角三角形，， ， ， 延长交于点H，交于点O， ， ，即， ； （2）略 （3）解：分两种情况： 情况1：如下图：在外部，以点A为直角顶点作，且，连接， ∵等腰直角，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 情况2：如下图：作，交延长线于点E，则， ， ， ， ∵等腰直角，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.16 特殊三角形全章常考点分类专题讲义【八大考点十大题型】 目录 一.复习目标与重难点 2 【一】复习目标 2 【二】重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】等腰三角形的定义与边角性质 2 【知识点二】等腰三角形三线合一（高频核心考点） 2 【知识点三】等腰三角形的判定定理 2 【知识点四】等边三角形的性质与判定 3 【知识点五】直角三角形基础性质与判定 3 【知识点六】含30°角的直角三角形专属定理 3 【知识点七】等腰直角三角形核心特征 3 【知识点八】特殊三角形分类讨论思想（易错压轴考点） 3 三.题型精析 3 【题型 1】等腰三角形边角基础计算（基础必考） 3 【题型 2】三线合一性质应用（证明+计算高频） 4 【题型 3】等腰三角形判定证明题 5 【题型 4】等边三角形性质与判定综合 7 【题型 5】含30°角直角三角形边长计算 8 【题型 6】直角三角形判定综合题型 9 【题型 7】直角三角形斜边上的中线 10 【题型 8】勾股定理、逆定理运算问题 11 【题型 9】特殊三角形与最值问题 12 【题型 10】特殊三角形分类讨论压轴题型 15 一.复习目标与重难点 【一】复习目标 1.知识目标：系统掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形的定义、性质与判定；熟记特殊三角形专属定理、边角规律、对称特征，构建完整的特殊三角形知识体系。 2. 能力目标：熟练区分各类特殊三角形的核心考点，掌握分类讨论、几何转化、模型套用等解题方法；能独立解决基础计算、证明、折叠、动态、综合探究等题型，突破本章易错重难点。 3. 素养目标：培养几何直观、逻辑推理、分类讨论和数形结合的数学思想，提升几何证明严谨性与综合解题能力，为后续几何综合、函数几何题型奠定基础。 【二】重难点 重点：等腰三角形三线合一性质、等边三角形性质与判定、直角三角形两大核心定理、含30°角直角三角形性质、特殊三角形边角计算与基础证明。 难点：等腰三角形边角分类讨论问题、特殊三角形折叠与动态几何问题、多结论综合题型、特殊三角形与几何变换综合应用。 二.知识梳理与解读 【知识点一】等腰三角形的定义与边角性质 1. 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边为腰，第三边为底；两腰夹角为顶角，腰与底边夹角为底角。 2. 核心性质：等边对等角，即等腰三角形两底角相等；三角形内角和180°，可用于边角互求。 3. 关键前提：等腰三角形底角只能为锐角，顶角可为锐角、直角、钝角，解题需分类讨论。 【知识点二】等腰三角形三线合一（高频核心考点） 1. 定理：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 2. 适用条件：仅针对等腰三角形的顶角和底边，腰上的中线、高、角平分线不具备该性质。 3. 解题价值：可直接实现边、角、垂直、中点的条件转化，是几何证明的核心依据。 【知识点三】等腰三角形的判定定理 1. 定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形； 2. 等角对等边：有两个角相等的三角形，相等角所对的边相等，即为等腰三角形； 3. 拓展判定：三角形一边上的中线与高重合，或角平分线与高重合，可判定为等腰三角形。 【知识点四】等边三角形的性质与判定 1. 性质：三边相等，三个内角均为60°；三条对称轴，每条边上均满足三线合一；属于特殊的等腰三角形，具备等腰三角形所有性质。 2. 判定方法：①三边相等的三角形；②三角相等的三角形；③有一个角是60°的等腰三角形。 【知识点五】直角三角形基础性质与判定 1. 性质：直角三角形两锐角互余；直角三角形斜边最长。 2. 判定：①有一个角为90°的三角形；②两个角互余的三角形；③三角形一边上的中线等于这条边的一半，该三角形为直角三角形。 【知识点六】含30°角的直角三角形专属定理 1. 核心定理：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半； 2. 逆定理：直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角为30°； 3. 应用：边长计算、线段倍分证明、几何求值高频考点。 【知识点七】等腰直角三角形核心特征 1. 定义：两条直角边相等的直角三角形，兼具等腰、直角三角形所有性质； 2. 角度特征：三个角分别为90°、45°、45°； 3. 边长特征：直角边相等，斜边=直角边×，是几何模型、压轴题常用基础图形。 【知识点八】特殊三角形分类讨论思想（易错压轴考点） 1. 等腰三角形边角不确定：已知内角求另外两角、已知边长求周长，需分顶角、底角，腰、底边分类； 2. 直角三角形直角顶点不确定：动点构造直角三角形，需分三个顶点分别为直角顶点讨论； 3. 无图几何题：题目未配图时，必须多情况分析，避免漏解。 三.题型精析 【题型 1】等腰三角形边角基础计算（基础必考） 【例题1】（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，是等边三角形，点D在上，点E在上，且，与相交于点P． （1）求证：； （2）求的度数． 【变式1】（26-27八年级上·湖北·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，若，则的度数是______． 【变式3】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，，，． （1）求证：； （2）设与交于点，，求的度数． 【题型 2】三线合一性质应用（证明+计算高频） 【例题2】（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，是的高，边的垂直平分线分别交，于点，，连接，． （1）若，求的长度； （2）若，则___________°． 【变式1】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（25-26七年级下·上海·期末）如图，在中，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接．以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接．若，则的周长为_____． 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，垂直平分，连接，延长至点，使得，连接． （1）试说明：； （2）若，判断和的位置关系，并说明理由． 【题型 3】等腰三角形判定证明题 【例题3】（2026·江苏常州·中考真题）如图，，分别是线段，上的点，，，连接，，相交于点． （1）求证：． （2）连接，是等腰三角形吗？证明你的结论． 【变式1】（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交AB于M，交于N，若，则的值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，，，，，分别是和的角平分线，且，，则的周长为_________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）若过的一个内角和一个外角平分线的交点作这两个角的公共边的平行线，如图所示， （1）此时，图中有几个等腰三角形？ （2）线段与线段三者又有何数量关系？ 【题型 4】等边三角形性质与判定综合 【例题4】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； 【变式1】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，等边的边长为，点在边上，，过点作交于点，连接，点在上，连接，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 【变式3】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，为等边三角形，边长为．点P从点A出发沿向点B运动，速度为；点Q同时从点B出发沿向点C运动，速度为．设运动时间为t秒（）． （1）求证：； （2）设与交于点M，求的度数，并说明理由； （3）是否存在某一时刻t，使为等边三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【题型 5】含30°角直角三角形边长计算 【例题5】（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，为的垂直平分线，求证：． 【变式1】（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，在中，，，点在延长线上且，平分，分别交、于点、．若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，已知，点在边上，，点，在边上，．若，则的长是________． 【变式3】（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，连接并延长交于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 【题型 6】直角三角形判定综合题型 【例题6】（26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，于，于，若，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【变式1】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，是上一点，且，过点作交于点，连接，如果，则________． 【变式3】（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，在中，是边上的高，且，点E为上的一点，连接交于点F，且． （1）求证：； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 【题型 7】直角三角形斜边上的中线 【例题7】（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图（1），已知等腰直角中，为斜边上的中线，为上的一点，且于，交于． （1）求证：； （2）如图（2）若点在的延长线上，且于，与的延长线交于，问与能相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． 【变式1】（26-27九年级上·天津河西·开学考试）如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于，两点；与交于点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·辽宁锦州·二模）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点，连接．若，则的长为__________． 【变式3】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，于，于，为的中点． （1）若，，求的周长； （2）若，，求的度数． 【题型 8】勾股定理、逆定理运算问题 【例题8】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，过点作于点，点在线段上，且．已知，，． （1）求线段的长； （2）试判断的形状，并说明理由． 【变式1】（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，如图，平分，是的中点，，，，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．3 【变式2】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，D为边的中点，于点E，与相交于点O，则的长为______． 【变式3】（25-26八年级上·山西晋中·阶段检测）在中，，，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点A与B重合，折痕为． （1）试求的周长； （2）求线段的长度． 【题型 9】特殊三角形与最值问题 【例题9】（25-26七年级下·河南南阳·期末）综合与实践 【问题提出】如图，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 【问题抽象】某学习小组在探究这一问题时抽象出数学模型：如图，直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 【分析问题】小亮：如图，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图，在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， __________，__________， __________． ∵在中，（三角形的任意两边之和_______________） ∴__________，即最小． 【解决问题】 （1）请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，，，请直接写出周长的最小值． （3）如图，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹，小路，，步道与小路，的连接点分别为，，那么点，的位置应建在何处，才能使所建的步道总长度最短？请在图中画出，两点与所建步道的最短路线．（不写画法，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【变式1】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，点是边的中点，点为边上一动点，平分交于点，点是线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式2】（2026·青海西宁·一模）如图，在等腰中，，点在边上且，点，分别为边，上的动点，连接，，得到，则周长的最小值为______． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定在公路相距的A、B两站之间的E点修建一个土特产加工基地．如图，于点A，于B．已知，． （1）如图1，当C、D两村庄到基地E点的距离相等时，求基地E距A多远？ （2）如图2，当C、D两村庄到基地E点的距离之和最短时，求基地E距A多远？自行作图，并求出的最小值． 【题型 10】特殊三角形分类讨论压轴题型 【例题10】（26-27九年级上·北京东城·开学考试）在等腰中，，，点在边上，点在边的延长线上，且满足，连接交于点． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，在上截取，连接，设（），作点关于的对称点，连接、，与交于点，请你补全图形，并求（用含的代数式表示） 【变式1】（26-27九年级上·山西长治·阶段检测）图1是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图2的方法裁剪5条宽度都为的长方形纸条，用这些长方形纸条为一幅正方形美术作品镶边（如图3，长方形纸条不重叠且全部用完），则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为________． 【变式3】（2026八年级下·湖南岳阳·竞赛）探究图像中线段之间的关系，并完成以下问题 （1）问题发现：如图1，与均为等腰直角三角形，．则线段、的数量关系为__________，、所在直线的位置关系为__________； （2）深入探究：在（1）的条件下，若点，，在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，已知中，，，，以为直角边作等腰直角，，，连接，则的长为__________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $