第二章 特殊三角形（七大考点+六大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材浙教版八年级上册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“特殊三角形”单元内容，涵盖轴对称与轴对称图形、等腰三角形、等边三角形、直角三角形、勾股定理及逆定理等核心知识范畴，搭建了从定义性质到判定应用的递进式学习支架。 清单通过“易错点分类+对点训练”构建知识体系，如将“等腰三角形边角分类讨论”“三线合一理解误区”等标注为易错重点，培养学生的几何直观和推理意识。设计“易错提醒”专栏，如强调“30°角所对直角边等于斜边一半”避免记反，不同层次学生可高效突破难点，教师可据此优化教学，提升复习针对性。

第二章 特殊三角形 知识点一・轴对称与轴对称图形 1. 轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2. 轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。 3. 轴对称性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。 知识点二・等腰三角形 1. 定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫腰，另一边叫底边；两腰夹角叫顶角，腰与底边夹角叫底角。 2. 性质 1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。 3. 性质 2（三线合一）：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 4. 判定（等角对等边）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 知识点三・等边三角形 1. 定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形。 2. 性质：等边三角形的各边相等，各内角都等于 60°。 3. 判定： ①三边相等的三角形是等边三角形； ②三个内角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。 知识点四・逆命题与逆定理 1. 命题：对某一件事情作出判断的句子，由条件和结论两部分组成。 2. 互逆命题：把一个命题的条件和结论互换，得到的新命题就是原命题的逆命题。 3. 逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么它就是原定理的逆定理。 知识点五・直角三角形 1. 定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 2. 性质 1：直角三角形的两个锐角互余。 3. 性质 2：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。 4. 性质 3：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。 5. 判定： ①有一个角是直角的三角形是直角三角形； ②有两个角互余的三角形是直角三角形。 知识点六・勾股定理及逆定理 1. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 若直角边为a，b，斜边c，则a²+b²=c²。 2. 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。 ①判断是否为直角三角形：找最长边，验证两条短边平方和是否等于最长边平方。 ②用于判定直角，求三角形面积。 知识点七・等腰直角三角形 1. 定义：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。 2. 性质：两个锐角都是 45°；兼具等腰三角形与直角三角形全部性质 易错点1·等腰三角形边角分类讨论 易错提醒 1.已知等腰三角形一个内角求另外两角，要分顶角/底角讨论，钝角只能是顶角，不能作为底角 2.等腰三角形的高可能在三角形内部、外部，遇高的题目要画图分类，避免漏解。 3.“等边对等角、等角对等边”只适用于同一个三角形，跨三角形不能直接使用。 【对点训练】1．用一根长的铁丝围成等腰三角形，若一边长为，则该等腰三角形的腰长为（   ） A． B． C．或 D． 【对点训练】2．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【对点训练】3．等腰三角形的一个外角为，则它的底角是（    ） A． B．或 C．或 D． 【对点训练】4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 易错点2·三线合一理解误区 易错提醒 1.三线合一:必须是等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上的高，腰上的高、中线不适用。 2.不能看到三角形中有高 +角平分线，就默认是等腰三角形，需要推导证明。 【对点训练】1．如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【对点训练】2．如图，在等腰三角形中，，，分别是的中线和高，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【对点训练】3．如图，，D是的中点，于点．则是（    ） A． B． C． D． 易错点3·直角三角形性质易错 易错提醒 1.直角三角形斜边中线 = 斜边一半，前提是直角三角形，斜边才是最长边，普通三角形没有这个结论。2.“30°角所对直角边等于斜边一半”，不要记反，是对边，不是邻边。 【对点训练】1．如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于，两点；与交于点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【对点训练】2．如图，在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线．直线与相交于点，连接，若，则的长是（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．6 【对点训练】3．如图，在中，，，将沿翻折，点A恰好落在点C处，若，则的长为（    ） A．3 B．6 C． D．12 易错点4·勾股定理与逆定理 易错提醒 1.勾股定理只适用于直角三角形，先确定直角，分清斜边、直角边，斜边一定是最长边。 2.勾股逆定理:最长边的平方等于另外两边平方和，才是直角三角形，直角对着最长边。 3.勾股定理计算，注意边长为正数，舍去负根。 【对点训练】1.如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【对点训练】2．某桌面小摆件的简化结构示意图如图所示，现测得，，，，．按照设计要求需满足，请判断该摆件是否符合设计要求，并说明理由． 易错点5·命题、逆命题、逆定理 易错提醒 1.一个命题的逆命题不一定是真命题;一个定理不一定有逆定理。 2.写逆命题只交换条件和结论，不要额外修改语句。 【对点训练】1．下列各命题的逆命题成立的是（   ） A．等角对等边 B．若，则 C．对顶角相等 D．直角都相等 【对点训练】2．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．直角三角形的两锐角互余 B．全等三角形的对应角相等 C．等边三角形的每个角都是 D．等腰三角形的底角相等 【对点训练】3．命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_______________ 易错点6·等腰直角三角形模型 易错提醒 1.等腰直角三角形两个锐角固定 45°，手拉手模型中，注意全等对应顶点，不要找错对应边。 【对点训练】1．在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 【对点训练】2．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 1．下列四组线段中，不可以构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．8，15，17 C．14，48，49 D．5，12，13 2．如图，中，，D是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 3．课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．若直角三角形的三边长分别为6，8，，则的值为（     ） A．10或 B．10或14 C．2或14 D．2或10 5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角度数为，则顶角的度数为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 6．如图，在中，P为上一点，，垂足为R，，垂足为S，，，下面的结论：①；②；③．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 7．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 8．如图，中， ，且与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 9．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． (3)[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 10．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 11．阅读与思考 下面是小亮同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日   星期日 “倍长中线法”的探索与应用今天学到一种解决几何问题的小方法——“倍长中线法” ．所谓“倍长中线”是延长底边的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则两边及其夹角分别相等，这样来构造全等三角形，进而证明边与边之间的关系． 例如：如图1，在（）中，点D，E在边上，且，过点D作交于点F，． 求证：平分． 分析思路：由题意可得，，则E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是为了证明全等，从而转移边和角，有两种方案： 方案一：考虑倍长，证明过程如下． 证明：如图2，延长至点G，使，连接． 由已知条件可得，， ，． ， ．．． ，．． 平分． 方案二：考虑倍长…… 任务： (1)填空：写出“方案一”中所依据的一个数学定理或基本事实： ； (2)类比：参考“方案一”的方法，利用图1完成“方案二”的证明； (3)应用：如图3，已知在中，E是的中点，点D，F分别在，上，且，，，请直接写出的长． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 特殊三角形 知识点一・轴对称与轴对称图形 1. 轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2. 轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。 3. 轴对称性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。 知识点二・等腰三角形 1. 定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫腰，另一边叫底边；两腰夹角叫顶角，腰与底边夹角叫底角。 2. 性质 1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。 3. 性质 2（三线合一）：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 4. 判定（等角对等边）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 知识点三・等边三角形 1. 定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形。 2. 性质：等边三角形的各边相等，各内角都等于 60°。 3. 判定： ①三边相等的三角形是等边三角形； ②三个内角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。 知识点四・逆命题与逆定理 1. 命题：对某一件事情作出判断的句子，由条件和结论两部分组成。 2. 互逆命题：把一个命题的条件和结论互换，得到的新命题就是原命题的逆命题。 3. 逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么它就是原定理的逆定理。 知识点五・直角三角形 1. 定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 2. 性质 1：直角三角形的两个锐角互余。 3. 性质 2：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。 4. 性质 3：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。 5. 判定： ①有一个角是直角的三角形是直角三角形； ②有两个角互余的三角形是直角三角形。 知识点六・勾股定理及逆定理 1. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 若直角边为a，b，斜边c，则a²+b²=c²。 2. 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。 ①判断是否为直角三角形：找最长边，验证两条短边平方和是否等于最长边平方。 ②用于判定直角，求三角形面积。 知识点七・等腰直角三角形 1. 定义：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。 2. 性质：两个锐角都是 45°；兼具等腰三角形与直角三角形全部性质 易错点1·等腰三角形边角分类讨论 易错提醒 1.已知等腰三角形一个内角求另外两角，要分顶角/底角讨论，钝角只能是顶角，不能作为底角 2.等腰三角形的高可能在三角形内部、外部，遇高的题目要画图分类，避免漏解。 3.“等边对等角、等角对等边”只适用于同一个三角形，跨三角形不能直接使用。 【对点训练】1．用一根长的铁丝围成等腰三角形，若一边长为，则该等腰三角形的腰长为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，已知边长分别为腰和底边，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到腰长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：若为等腰三角形的腰长， 则底边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴此时腰长为； 情况2：若为等腰三角形的底边长， 则腰长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴此时腰长为， 综上，该等腰三角形的腰长为或． 【对点训练】2．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，分两种情况讨论，即顶角为比例中的1份和顶角为比例中的4份，再利用三角形内角和为列方程求解． 【详解】解：设等腰三角形两个内角的度数分别为、， 情况1：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，即顶角度数为； 情况2：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，，即顶角度数为； 因此该等腰三角形的顶角度数为或． 【对点训练】3．等腰三角形的一个外角为，则它的底角是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】分该外角对应的是顶角还是底角两种情况讨论，进而求出底角的度数． 【详解】解：当顶角的外角为时， 则顶角为， ∴等腰三角形的底角度数为； 当底角的外角为时， 则底角为； 综上所述，底角可能为或． 【对点训练】4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分高在三角形的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图，当高在三角形的内部时： 由题意，得：，， ∴； 当高在三角形的外部时，如图： 由题意，得：， ∴， ∴； 故选D． 易错点2·三线合一理解误区 易错提醒 1.三线合一:必须是等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上的高，腰上的高、中线不适用。 2.不能看到三角形中有高 +角平分线，就默认是等腰三角形，需要推导证明。 【对点训练】1．如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由三角形中线的性质得出，从而可得，由等腰三角形的性质可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴． 【对点训练】2．如图，在等腰三角形中，，，分别是的中线和高，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用垂线的定义求出顶角的度数，再利用等腰三角形“三线合一”的性质求解． 【详解】解：是的高， ， ． ∵， ． ，是的中线， 平分， ． 【对点训练】3．如图，，D是的中点，于点．则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟记等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质得出，，再根据直角三角形的性质即可得的度数． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ； 故选：B． 易错点3·直角三角形性质易错 易错提醒 1.直角三角形斜边中线 = 斜边一半，前提是直角三角形，斜边才是最长边，普通三角形没有这个结论。2.“30°角所对直角边等于斜边一半”，不要记反，是对边，不是邻边。 【对点训练】1．如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于，两点；与交于点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图方法可得垂直平分，则O点是的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，由等边对等角得出，最后由角的和差关系可得答案． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分， ∴， ∴为中线， 又中，， ∴， ∴， ∴． 【对点训练】2．如图，在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线．直线与相交于点，连接，若，则的长是（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】由作图过程可知，是的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得，由等边对等角得出，进而证明，推出，可得是斜边上的中线，进而即可求解． 【详解】解：由作图过程可知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是斜边上的中线， ∵， ∴． 【对点训练】3．如图，在中，，，将沿翻折，点A恰好落在点C处，若，则的长为（    ） A．3 B．6 C． D．12 【答案】B 【分析】由直角三角形两锐角互余求出，由折叠得，求出，由三角形内角和定理得，得是等边三角形，故可得． 【详解】解：在中，，， ∴； 由折叠得， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 易错点4·勾股定理与逆定理 易错提醒 1.勾股定理只适用于直角三角形，先确定直角，分清斜边、直角边，斜边一定是最长边。 2.勾股逆定理:最长边的平方等于另外两边平方和，才是直角三角形，直角对着最长边。 3.勾股定理计算，注意边长为正数，舍去负根。 【对点训练】1.如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理进行解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理求出．再根据即可求出答案． 【详解】（1）解：在中，，，． ． （2）解：在中，，，， ，． ． ． ． 【对点训练】2．某桌面小摆件的简化结构示意图如图所示，现测得，，，，．按照设计要求需满足，请判断该摆件是否符合设计要求，并说明理由． 【答案】该摆件符合设计要求． 理由如下：如图， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴该摆件符合设计要求． 【分析】首先根据勾股定理求出的长度，再证明，然后根据勾股定理的逆定理得即可得结论． 【详解】略 易错点5·命题、逆命题、逆定理 易错提醒 1.一个命题的逆命题不一定是真命题;一个定理不一定有逆定理。 2.写逆命题只交换条件和结论，不要额外修改语句。 【对点训练】1．下列各命题的逆命题成立的是（   ） A．等角对等边 B．若，则 C．对顶角相等 D．直角都相等 【答案】A 【分析】本题考查逆命题的改写与真假判断，解题思路为：先交换每个命题的题设与结论得到对应逆命题，再逐一判断逆命题的真假，选出逆命题成立的选项． 【详解】A原命题为“如果两个角相等，那么它们所对的边相等”，逆命题为“如果两条边相等，那么它们所对的角相等”，即等边对等角，该命题为真命题，逆命题成立． B原命题的逆命题为“若，则”，当时，但，逆命题不成立． C原命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行的同位角相等，但不是对顶角，逆命题不成立． D原命题的逆命题为“相等的角都是直角”，两个的角相等，但都不是直角，逆命题不成立． 【对点训练】2．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．直角三角形的两锐角互余 B．全等三角形的对应角相等 C．等边三角形的每个角都是 D．等腰三角形的底角相等 【答案】B 【分析】本题考查了逆命题，判断命题的真假． 先写出各选项命题的逆命题，再结合三角形相关性质判断逆命题真假，找出逆命题为假的选项即可． 【详解】解：A选项：原命题逆命题为两锐角互余的三角形是直角三角形， ∵三角形内角和为，若两锐角互余即和为， ∴第三个角为，该三角形是直角三角形，逆命题为真命题； B选项：原命题逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形， ∵仅角相等不能保证边也相等（如边长不同的等边三角形）， ∴该逆命题为假命题； C选项：原命题逆命题为每个角都是的三角形是等边三角形， ∵三角形三个角均为，根据等角对等边，三边相等， ∴该三角形是等边三角形，逆命题为真命题； D选项：原命题逆命题为有两个角相等的三角形是等腰三角形， 根据等角对等边的性质，可知该逆命题为真命题； 故选：B． 【对点训练】3．命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_______________ 【答案】两直线平行，同位角相等 【分析】交换原命题的题设和结论即可得到逆命题，先找出原命题的题设和结论，再交换得到结果． 【详解】解：原命题“同位角相等，两直线平行”中，题设为“同位角相等”，结论为“两直线平行”， 交换题设和结论，得到逆命题为“两直线平行，同位角相等”． 易错点6·等腰直角三角形模型 易错提醒 1.等腰直角三角形两个锐角固定 45°，手拉手模型中，注意全等对应顶点，不要找错对应边。 【对点训练】1．在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 【答案】(1)①证明：，， ， ，， . ，， ． ②30 (2)4 【分析】（1）①利用直角的性质，通过等量代换求出，结合已知条件，利用即可证明．②利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质推出和相应的度数，和相应的长度，以及，根据直角三角形的面积公式即可求出的面积． （2）利用旋转的性质和已知条件，证明三点共线、以及，根据面积法即可求出的长度． 【详解】（1）①证明：略． ②解：，， ， ， 由①可得，， ， 为直角三角形， ，， ． ， ． （2）解：将绕点逆时针旋转使和重合，得到，如图所示， ，，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在线段的延长线上， ， ， ． ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于判断三点共线，巧妙将边上的高转化为． 【对点训练】2．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)90° (2) 证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°   ∵  ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90° ∴ ∠DCA=∠EAB   ∵在△DCA和△EAB中 ∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且EA=DC 由图可知：DE = EA+AD = DC+BE． (3)CD= BE + DE，证明如下： ∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°              ∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90° ∴ ∠DCA=∠EAB             ∵在△DCA和△EAB中 ∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且AE=CD 由图可知：AE = AD +DE ∴ CD= BE + DE． 【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°； （2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE． （3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE + DE． 【详解】（1）∵∠BAC=90° ∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90° 故答案为：90°． （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质． 1．下列四组线段中，不可以构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．8，15，17 C．14，48，49 D．5，12，13 【答案】C 【分析】通过比较每组线段中两较短线段的平方和与最长线段的平方是否相等，判断能否构成直角三角形. 【详解】解：，A、B、D均可以构成直角三角形. ，， ，C不可以构成直角三角形. 2．如图，中，，D是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的性质逐一判断． 【详解】解：， ，故A正确； ，是的中点， ，平分，故B、C正确； 与的数量关系不确定，故D不正确，符合题意． 3．课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵为的中点，， ． 4．若直角三角形的三边长分别为6，8，，则的值为（     ） A．10或 B．10或14 C．2或14 D．2或10 【答案】A 【分析】直角三角形斜边未明确，需分为斜边、为斜边两种情况，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：当为斜边长时：， 解得：， ， ； 当为斜边长时：， 解得：， ， ， 综上所述，的值为10或． 5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角度数为，则顶角的度数为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分顶角是钝角和锐角两种情况，分别根据题意画图，运用三角形外角的性质和直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：如图：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，由题意可得，则顶角； 如图：当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，由题意可得， 则顶角． 故顶角的度数为或． 故选C． 6．如图，在中，P为上一点，，垂足为R，，垂足为S，，，下面的结论：①；②；③．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】利用角平分线的判定定理可证平分，通过等量代换得出，即可证明，推出②正确；利用证明，可得，推出①正确；仅一组对边相等，一组对角相等不足以证明，推出③错误． 【详解】解：∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 在和中， ， ， ，故①正确； ∵和中，仅一组对边相等，一组对角相等， ∴现有条件不能够证明，故③错误； 综上，正确的是①②． 7．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)的长为5； (2)四边形的面积为36 【分析】（1）在中，根据勾股定理求得的长即可； （2）在中，根据得到是直角三角形，利用进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴； （2）解：在中，由于，即， ∴是直角三角形， ∴． 8．如图，中， ，且与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)证明：，， ， ，， ． ． ． (2)证明：∵， ， ， ∴点A在的垂直平分线上． ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分． 【分析】（1）先推导出，再根据证明，得到，则根据等角对等边进行求解即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，则，得到点A在的垂直平分线上，继而推导出点在的垂直平分线上，得到垂直平分，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 9．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． (3)[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【答案】(1)， (2) (3)证明：过点D作于点M，过点E作于点N， 由（1）可知，当，，，时， ， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即点G是的中点． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到对应边相等； （2）根据全等三角形的判定得到、，从而得到对应边相等，进而根据三角形面积公式和梯形面积公式得到、、、、，最后根据面积之间的和差关系求出图中实线所围成的图形的面积； （3）过点D作于点M，过点E作于点N，由（1）得到、，根据全等三角形的性质得到，再根据全等三角形的判定得到，最后利用全等三角形的性质得到，从而得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，； （2）解：过点E作于点P，过点B作于点G，过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理，， ∴，， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， 答：图中实线所围成的图形的面积为； （3）略 10．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【答案】(1)，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； (2)，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ， ∴，即． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，然后求解即可； （2）延长，分别交、于F、G，证明，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 11．阅读与思考 下面是小亮同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日   星期日 “倍长中线法”的探索与应用今天学到一种解决几何问题的小方法——“倍长中线法” ．所谓“倍长中线”是延长底边的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则两边及其夹角分别相等，这样来构造全等三角形，进而证明边与边之间的关系． 例如：如图1，在（）中，点D，E在边上，且，过点D作交于点F，． 求证：平分． 分析思路：由题意可得，，则E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是为了证明全等，从而转移边和角，有两种方案： 方案一：考虑倍长，证明过程如下． 证明：如图2，延长至点G，使，连接． 由已知条件可得，， ，． ， ．．． ，．． 平分． 方案二：考虑倍长…… 任务： (1)填空：写出“方案一”中所依据的一个数学定理或基本事实： ； (2)类比：参考“方案一”的方法，利用图1完成“方案二”的证明； (3)应用：如图3，已知在中，E是的中点，点D，F分别在，上，且，，，请直接写出的长． 【答案】(1)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（或两直线平行，同位角相等；或等腰三角形的两底角相等等，合理即可） (2)证明：如图，延长至点G，使，连接． 在和中， ， ． ，． ， ． ． ． ， ． ． 平分． (3) 【分析】（1）根据所给证明过程和对应的结论依据可得答案； （2）延长至点G，使，连接．证明得到，．再利用等量代换和等边对等角得到．再利用平行线的性质和等量代换得到，进而可得结论； （3）延长至点G，使，连接，．同理证明得到 ，，进而证明得到，利用勾股定理求得，利用线段垂直平分线的性质可得． 【详解】（1）证明：如图2，延长至点G，使，连接． 由已知条件可得，（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）， ，（全等三角形的对应边相等，对应角相等）． ， ． （等腰三角形的两底角相等）． ． ， （两直线平行，同位角相等）． ． 平分（角平分线的定义）． （2）略 （3）解：如图，延长至点G，使，连接，． ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ． ，． ． ∴， ∵在中，， ∴，又，， ∴， ∵，E是的中点， ∴垂直平分， ∴． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $