3.1-3.3 认识不等式、不等式的基本性质、一元一次不等式及其解法 讲义 2026--2027学年浙教版八年级数学上册

3.1-3.3认识不等式、不等式的基本性质、一元一次不等式及其解法讲义（知识梳理+题型精析+同步测试）2026-2027八年级上学期答案解析 二、题型精析 【题型一】不等式的定义与列不等式 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列选项是不等式的是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的概念，理解不等式的概念是关键． 用不等号连接而成的式子叫不等式，根据不等式的定义即可完成． 【详解】解：根据不等式的概念得，用不等号连接而成的式子叫不等式， 是不等式， 故选：B． 【变式1-1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列各式中，是不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题主要考查不等式的定义，根据不等式的定义“用不等号连接的式子”进行判断即可． 【分析】解：不等式是用不等号（如“”、“”、“”、“”、“”等）连接的式子， 选项A： 是代数式，不含等号或不等号，不是不等式； 选项B： 用“”连接，符合不等式的定义； 选项C： 是等式，用“”连接； 选项D： 是等式，同样用“”连接； 故选：B． 【例题2】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）x减去y不大于，用不等式表示为___________． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，关键是要抓住题目中的关键词，首先表示x减去y为，再表示“不大于”即为． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26七年级下·全国·随堂练习）用不等式表示： (1)x的与3的差大于2； (2)与3的和小于或等于零； (3)a的2倍与4的差是正数； (4)b的与c的和是非负数； (5)x与17的和比x的5倍小． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了列不等式． （1）根据题意列出不等式即可． （2）根据题意列出不等式即可． （3）根据正数是大于0列出不等式即可． （4）根据非负数即大于等于0列出不等式即可． （5）根据题意列出不等式即可． 【详解】（1）解：x的与3的差大于2 即 （2）解：与3的和小于或等于零， 即 （3）解：a的2倍与4的差是正数， 即 （4）解：b的与c的和是非负数， 即 （5）解：x与17的和比x的5倍小， 即 【变式2-2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）5月某日，我市最高气温是，最低气温是，则当天气温t（）的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最高气温、最低气温，可得答案． 【详解】解：最高气温是，最低气温是，得． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的定义，利用不等号连接的式子是不等式． 【题型二】不等式的性质 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）若，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质：不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号方向改变．依据不等式的基本性质，即可得出结论． 【详解】解：、若，则，故本选项不符合题意； 、若，则，故本选项不符合题意； 、若，则，故本选项符合题意； 、若，则，故本选项不符合题意； 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）若，且，则a的值可能是（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质，当两边同时乘以一个负数时，不等式方向改变，即可求解． 【详解】解：∵，且，∴． 选项 A、C、D均非负数，只有选项 B（）为负数， 故选 B． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）若，则下列结论不一定正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式性质．根据不等式性质，对已知条件变形或取反例判断各选项是否一定成立． 【详解】解：∵， 选项A：两边同乘，不等号方向改变，得，一定成立． 选项B：两边同乘，得，又∵，∴，一定成立． 选项C：由，得，又∵，∴，一定成立． 选项D：由，得，但不一定成立， 反例：取，则，此时，故不等式不成立，故不一定正确． ∴不一定正确的是D． 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，需注意不等式两边乘除时符号的变化以及乘数是否为零．利用不等式的性质，注意判定得出答案即可． 【详解】解：A、若，则（不等式两边同乘负数，不等号方向改变），故 A不符合题意； B、若，则，即，故，故B不符合题意；； C、若，当时，，故不一定成立，故C符合题意；； D、若，则（因为所以，且），故两边同除以得，故D不符合题意． 故选：C． 【变式4】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．由可知，原不等式不成立； B．由可知，原不等式成立； C．由可知，原不等式不成立； D．当时，，原不等式不成立； 故选：B． 【变式5】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，设长方形的长，宽，，且，则________．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据长方形面积计算公式可得，，，，可证明，则可证明，即，再由不等式的性质可得答案． 【详解】解：由题意得，，， ，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式6】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知三个实数，，满足，． (1)证明：． (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1) 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． (2) 【分析】本题主要考查不等式的基本性质： （1）根据和即可求得答案； （2）根据，可变形得到，据此即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 【题型三】一元一次不等式的定义 【例题1】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并且未知数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A、未知数的次数不是1，不是一元一次不等式，不符合题意； B、不是不等式，不是一元一次不等式，不符合题意； C、是一元一次不等式，符合题意； D、不等式左边不是整式，不是一元一次不等式，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，正确把握一元一次不等式的定义是解题关键． 根据一元一次不等式的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为1）直接判断各选项即可． 【详解】解：A、，不含未知数，故此选项不符合题意； B、，含两个未知数和，且的最高次数为2，故此选项不符合题意； C、，只含一个未知数，且的次数为1，故此选项符合题意； D、，含两个未知数和，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知是关于x的一元一次不等式，那么______，不等式的解集是_______． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的概念以及一元一次不等式的求解．根据题意可知，求得值，然后代入不等式求解即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得， 将代入得：， 解得， 故答案为：，． 【题型四】不等式的解集 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解的定义，不等式的解集是满足不等式的所有解的集合，使原不等式成立的数就是不等式的一个解，据此逐项分析求解即可． 【详解】解：A、∵某不等式的解集是， ∴0是这个不等式的解，故A不符合题意； B、∵某不等式的解集是， ∴不是这个不等式的解，故B不符合题意； C、∵某不等式的解集是， ∴大于的数都是这个不等式的解，大于且小于等于的数不是这个不等式的解，故C符合题意； D、∵某不等式的解集是， ∴小于的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意． 故选：C 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．根据不等式的解及解集的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵当时，，∴不是不等式的解，故不正确； B．∵当时，，∴是不等式的解而不是解集，故不正确； C．∵，∴，∴不等式的解集是，故不正确； D．∵当时，，∴是不等式的一个解，故正确； 故选D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（　　） A．不等式的解是 B．不等式的解是 C．是不等式的一个解 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解和解集的定义．根据不等式的解集的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、不是不等式的解，故本选项不符合题意； B、不等式的解是所有小于0的数，故本选项不符合题意； C、不满足，故本选项不符合题意； D、是不等式的一个解，故本选项符合题意． 故选：D． 【题型五】求一元一次不等式的解集 【例题1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）解不等式，并把解集表示在数轴上． 【答案】， 把解集表示在数轴上，如下图： 【分析】本题考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟记运算步骤是关键． 按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， 解得：． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）不等式的解集表示在数轴上正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解不等式以及在数轴上表示不等式的解集，掌握解不等式的方法以及数轴表示不等式的解集是解题的关键． 先得出不等式的解集，再观察各选项的表示是否满足不等式解集即可． 【详解】解：不等式，解得， A、解集为，不满足题意要求； B、解集为，满足题意要求； C、解集为，不满足题意要求； D、解集为，不满足题意要求； 故选B． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式、将不等式的解集表示在数轴上，先求出一元一次不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 解得：， 将解集表示在数轴上如图所示： 故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，解此题的关键是求出不等式的解集．先根据不等式的基本性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可判定． 【详解】解：∵， ∴， 在数轴上表示不等式的解集为： ， 故选：B． 【变式4】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）若的周长为16，则的长可能为（   ） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系、求不等式的解集，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 由题意得，再利用三角形两边之和大于第三边，确定的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵的周长为16， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长可能为7． 故选：A． 【变式5】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并解答． 解：．第①步 ．第②步 ．第③步 ．第④步 ．第⑤步 (1)第______步开始出现错误． (2)请给出正确解答． 【答案】(1)⑤ (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的求解方法是解题关键．（1）第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变；（2）求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变， 故答案为：⑤； （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化成1，得． 【变式6】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）（1）解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． （2）若，比较和的大小，并说明理由． 【答案】（1）； （2），理由如下： 因此， 【分析】本题考查了解一元一次不等式、将不等式的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键． （1）通过去括号、移项、合并同类项求解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． （2）利用不等式的基本性质，乘以负数不等号方向改变，从而比较大小 【详解】解：（1） 去括号， 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得，， 把它的解集在数轴上表示出来如下： ． （2） 略 【变式7】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式，并将它们的解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1)， 在数轴上表示如图： (2)， 在数轴上表示如图： 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集． （1）移项合并，将x系数化为1，求出解集，将解集表示在数轴上即可； （2）去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解： 移项得： 系数化为1得：． （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 【变式8】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键． （1）通过移项、合并同类项，再将系数化为1来求解不等式． （2）先去分母，再移项、合并同类项，最后将系数化为1求解不等式． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【变式9】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列一元一次不等式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解不等式的基本步骤是解题的关键． （1）先移项，然后解出答案即可； （2）先去分母，然后去括号，移项，最后解出答案即可； 【详解】（1）解： ， 解得， ∴原不等式的解集为； （2）解： ， 解得， ∴原不等式的解集为． 【变式10】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解不等式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化为1即可求解， （2）去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型六】求一元一次不等式的整数解 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）写出不等式的一个正整数解______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及正整数解的确定，解题关键是先解不等式求出解集，再从解集中找出正整数解． 先解不等式 ，得到解集 ，再从中选取一个正整数解即可． 【详解】 因此，不等式的解集为 ． 满足条件的正整数解有 、、，任选其一即可． 故答案为：（故答案不唯一）． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于的不等式的最大正整数解是_______． 【答案】2 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解答此题要先求出不等式的解集，再确定正整数解． 先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到最大正整数解． 【详解】解：解不等式 ， 移项，得：， 两边同时除以 ，不等号方向改变，得：， 因此，不等式的解集为 ， 最大正整数解为：2， 故答案为：2． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式的负整数解是______． 【答案】， 【分析】此题考查了求一元一次不等式的负整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤． 首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的负整数即可． 【详解】解： 移项得， 系数化为1得， 故不等式的负整数解为，． 故答案为：，． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）我们用表示不大于的最大整数，例如：，；用表示大于的最小整数，例如：，．解决下列问题： (1) ， ． (2)已知，满足方程组，求，的取值范围． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查新定义，解二元一次方程组及不等式，解答的关键是对新定义的理解与运用． （1）根据和的意义进行求解即可； （2）利用加减消元法求出相应的，的值再根据新定义求出x，y的取值范围即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， 由得， 由得， 解得， ， 把代入得， 解得， ． 【变式4】（22-23八年级上·浙江杭州·期末）定义关于@的一种运算：，如． (1)若，且x为正整数，求x的值． (2)若关于x的不等式的解和的解相同，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式； （1）利用题中的新定义得出不等式，解不等式求出x的取值范围，再根据x为正整数得出答案； （2）求出不等式的解集，利用题中的新定义得出关于a的不等式，解不等式求出，再根据两个不等式的解集相同求出a的值即可． 【详解】（1）解：由得：， 解得， ∵x为正整数， ∴； （2）解不等式得：， 由得：， 解得：， ∵关于x的不等式的解和的解相同， ∴， 解得． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 三、同步测试 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D C B A A B A 1．C 【分析】根据不等式的定义：“用不等号表示两个量间的不等关系的式子叫做不等式”分析各个式子进行判断即可 【详解】解：①是等式，不符合题意； ②是不等式，符合题意； ③是不等式，符合题意； ④不是不等式，不符合题意； ⑤是不等式，符合题意； ⑥是不等式，符合题意； ∴有4个不等式， 故选：C 2．C 【分析】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质变换是解题的关键． 根据不等式的基本性质，结合已知条件逐一分析选项，判断正误即可． 【详解】解：∵，， ∴根据不等式性质1，不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变， 可得，，故A、B选项错误； ∵， ∴（负数的平方是正数）， 又∵， ∴根据不等式性质2，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，可得，故C选项正确； ∵，， ∴根据不等式性质3，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，可得，故D选项错误； 故选C． 3．C 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并且未知数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A、未知数的次数不是1，不是一元一次不等式，不符合题意； B、不是不等式，不是一元一次不等式，不符合题意； C、是一元一次不等式，符合题意； D、不等式左边不是整式，不是一元一次不等式，不符合题意； 故选：C． 4．D 【分析】根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：A选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确； B选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确； C选项，的解集是，解不等式得，故正确； D选项，的解集就是、、，不是不等式的解，故错误． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不等式的性质解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键． 5．C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先解不等式，再根据解集即可判断求解，正确求出不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集在数轴上表示为， 故选：． 6．B 【分析】本题主要考查了根据不等式的解集情况求参数，在数轴上表示不等式的解集，根据数轴可得，再由不等式有三个非负整数解得到这三个非负整数解是0，1，2，据此可得答案． 【详解】解析：由数轴可得，， 该不等式恰有三个非负整数解，这三个非负整数解是0，1，2， ． 故选：B． 7.A 【分析】本题考查了求不等式的解集及确定最小整数解．先求出不等式的解集，然后确定最小整数解即可． 【详解】解：∵， 移项得， 合并同类项得， 解得， ∵大于等于的最小整数是， ∴该不等式的最小整数解是． 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了数轴表示不等式的解集，不等式解的定义及解一元一次不等式，先分析数轴表示的不等式，再利用“解的定义”列不等式，最后解出关于m的不等式即可． 【详解】解：由图形得：， ∵是的一个解， ∴， ∴， 故选：A． 9．B 【分析】本题考查了解一元一次不等式、将不等式的解集表示在数轴上，先求出一元一次不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 解得：， 将解集表示在数轴上如图所示： 故选：B． 10．A 【分析】本题考查三角形三边关系、求不等式的解集，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 由题意得，再利用三角形两边之和大于第三边，确定的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵的周长为16， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长可能为7． 故选：A． 11. 3 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法与非负整数解的确定，熟练掌握一元一次不等式的解题步骤并准确筛选非负整数解是解题的关键． 先求解不等式的解集，再从解集中找出所有非负整数解并统计个数． 【详解】解：， ， ， ， ， 非负整数解为，，，共3个． 故答案为：3． 12．7或或3 【分析】本题考查分式的化简，不等式的应用，一元一次方程． 先根据分式的性质化简分式为，然后根据题意得到且为整数，得到关于x的方程，进而求解即可． 【详解】解： ∵x为整数，且分式的值为正整数， ∴且为整数， 即且为整数， ∴或， 解得或或3． 故答案为：7或或3． 13．真 【分析】本题主要考查了判定命题的真假，理解题意是解决本题的关键． 根据不等式的性质，如果，则． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴该命题是真命题． 故答案为：真． 14． 【分析】本题考查不等式的性质，由方程解出关于的表达式，再根据的取值范围，结合不等式的性质确定的取值范围即可． 【详解】解：由，得． 因为，所以，因此，即． 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据长方形面积计算公式可得，，，，可证明，则可证明，即，再由不等式的性质可得答案． 【详解】解：由题意得，，， ，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边加减同一个数（或式），不等号方向不变；不等式两边同乘除同一个正数，不等号方向不变；同时乘以或除以同一个负数，不等号方向变反. 据此即可求解. 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 17． 解：，理由如下： ， （不等式的基本性质3）， （不等式的基本性质1）． 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据已知条件，仿照题意的解法，利用不等式的基本性质进行解答即可． 【详解】略 18． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，代数式求值；先解不等式得到最小整数解，代入方程求出参数，再计算代数式的值． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 即 ， 两边乘以 得 ， ∴ 最小整数解为 ． ∵ 是方程 的解， 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 当时 ． 19．（1）； （2），理由如下： 因此， 【分析】本题考查了解一元一次不等式、将不等式的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键． （1）通过去括号、移项、合并同类项求解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． （2）利用不等式的基本性质，乘以负数不等号方向改变，从而比较大小 【详解】解：（1） 去括号， 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得，， 把它的解集在数轴上表示出来如下： ． （2） 略 20．(1)， 在数轴上表示如图： (2)， 在数轴上表示如图： 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集． （1）移项合并，将x系数化为1，求出解集，将解集表示在数轴上即可； （2）去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解： 移项得： 系数化为1得：． （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解不等式的基本步骤是解题的关键． （1）先移项，然后解出答案即可； （2）先去分母，然后去括号，移项，最后解出答案即可； 【详解】（1）解： ， 解得， ∴原不等式的解集为； （2）解： ， 解得， ∴原不等式的解集为． 22．(1) (2) 【分析】本题考查了方程与不等式． （1）先解出关于x的方程的解，再根据解是负数列出不等式，解关于a的不等式即可， （2）变形，把第一问的结果代入，即可． 【详解】（1）解：解得， 因为解为负数， 所以， 解这个不等式，得， 所以a的取值范围是； （2）， ， ∴， ， ∴， ， ． 23．任务一：一，去分母时把1漏乘以12； 任务二：解不等式 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 所以不等式的解集为． 【分析】本题考查了解去分母的一元一次不等式，属于基础题型，熟练掌握不等式的基本性质、明确每一步计算的根据是解题的关键． 任务一：根据分式的运算法则可知：第①步开始出现错误，去分母时，分式的每一项都要乘以最简公分母； 任务二：根据不等式的基本性质解答． 【详解】解：任务一：以上解题过程中，从第一步开始出现错误，错误的原因是：去分母时把1漏乘以12； 任务二：略 24．(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据不等式的解的情况求参数，正确理解题意是解题的关键． （1）把代入原不等式中求出a的取值范围即可； （2）根据题意可得当时，，据此把代入不等式中求出a的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是关于的不等式的解， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵不是关于的不等式的解， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．(1) (2)或 【分析】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是关键． （1）根据公式计算可得； （2）结合公式对的大小关系进行分类讨论求解之可得． 【详解】（1）解：※， 故答案为：； （2）解：根据新运算的定义，对的大小进行讨论， 当，即， 根据定义：※，原等式成立； 当，即， 根据定义：※， 整理得：， 解得：，该解满足， 故：或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1-3.3认识不等式、不等式的基本性质、一元一次不等式及其解法讲义（知识梳理+题型精析+同步测试）2026-2027八年级上学期 【浙教版新教材】 目录 1、 知识概念梳理 二、题型精析 【题型一】不等式的定义与列不等式 【题型二】不等式的性质 【题型三】一元一次不等式的定义 【题型四】不等式的解集 【题型五】求一元一次不等式的解集 【题型六】求一元一次不等式的整数解 2、 同步测试 1、 选择题（共10题，每题3分，共30分） 2、 填空题（共6题，每题3分，共18分） 3、 解答题（共9题，共72分） 一、知识梳理 知识点1   不等式概念 不等关系： （1）在日常生活中，数量之间的关系有两种：相等与不相等． （2）常见的不等号 种类 符号 表示意义 读法 举例 小于号 ＜ 小于、不足 小于 大于号 > 大于、高出 大于 小于或等于号 ≤ 不大于、不超过、至多 小于或等于（不大于） 大于或等于号 ≥ 不小于、不低于、至少 大于或等于（不小于） 不等于号 ≠ 不等 不等于 （3）不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式． 如都是不等式． 知识点2   列不等式 用不等式表示不等关系叫做列不等式． 例如：“x与3的和小于5”用不等式表示为 知识点3   不等式的解与解集 1．不等式的解 能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． 2．不等式的解集 一般情况下不等式有无数个解，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集． 3．解不等式 求不等式解集的过程叫做解不等式． 4．不等式的解与不等式的解集的区别 对不等式的“解”和“解集”可以从以下三个方面去理解： （1）不等式的解是指在某一范围内的数，用它代替不等式中的未知数，不等式成立． （2）不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的一个解． （3）不等式的解和不等式的解集是两个不同的概念：不等式的解是能使不等式成立的未知数的值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值，不等式的每一个解都是该不等式的解集中的一个元素． 知识点4   不等式解集的两种表示方法 1．用不等式的表示 一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解为某个范围，而这个范围可以用一个具体、简单的不等式来表示． 2．用数轴表示 不等式的解集在数轴上表示可用下表说明． 不等式的解集 图示 说明 界点用空心圆圈，方向向右 界点用空心圆圈，方向向左 界点用实心圆点，方向向右 界点用实心圆点，方向向左 知识点5   不等式的基本性质1 ，这个性质也叫作不等式的传递性． 知识点6   不等式的基本性质2 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 用数学式子表示：如果，那么或；如果，那么或． 其中c可以表示一个数（含0），也可以表示一个整式． 知识点7   不等式的基本性质3 1．不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 用数学式子表示：如果，并且，那么，并且时，则． 2．不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 用数学式子表示：如果，并且，那么，并且时，则． 二、题型精析 【题型一】不等式的定义与列不等式 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列选项是不等式的是（    ） A． B． C． D．1 【变式1-1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列各式中，是不等式的是（　　） A． B． C． D． 【例题2】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）x减去y不大于，用不等式表示为___________． 【变式2-1】（25-26七年级下·全国·随堂练习）用不等式表示： (1)x的与3的差大于2； (2)与3的和小于或等于零； (3)a的2倍与4的差是正数； (4)b的与c的和是非负数； (5)x与17的和比x的5倍小． 【变式2-2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）5月某日，我市最高气温是，最低气温是，则当天气温t（）的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【题型二】不等式的性质 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）若，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）若，且，则a的值可能是（    ） A．0 B． C．2 D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）若，则下列结论不一定正确的是（） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式5】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，设长方形的长，宽，，且，则________．（填“”或“”或“”） 【变式6】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知三个实数，，满足，． (1)证明：． (2)若，且，求的取值范围． 【题型三】一元一次不等式的定义 【例题1】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知是关于x的一元一次不等式，那么______，不等式的解集是_______． 【题型四】不等式的解集 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（　　） A．不等式的解是 B．不等式的解是 C．是不等式的一个解 D．是不等式的一个解 【题型五】求一元一次不等式的解集 【例题1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）解不等式，并把解集表示在数轴上． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）不等式的解集表示在数轴上正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）若的周长为16，则的长可能为（   ） A．7 B．8 C．10 D．11 【变式5】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并解答． 解：．第①步 ．第②步 ．第③步 ．第④步 ．第⑤步 (1)第______步开始出现错误． (2)请给出正确解答． 【变式6】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）（1）解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． （2）若，比较和的大小，并说明理由． 【变式7】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式，并将它们的解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【变式8】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解不等式： (1)； (2)． 【变式9】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列一元一次不等式 (1)； (2)． 【变式10】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解不等式 (1)； (2)． 【题型六】求一元一次不等式的整数解 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）写出不等式的一个正整数解______． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于的不等式的最大正整数解是_______． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式的负整数解是______． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）我们用表示不大于的最大整数，例如：，；用表示大于的最小整数，例如：，．解决下列问题： (1) ， ． (2)已知，满足方程组，求，的取值范围． 【变式4】（22-23八年级上·浙江杭州·期末）定义关于@的一种运算：，如． (1)若，且x为正整数，求x的值． (2)若关于x的不等式的解和的解相同，求a的值． 三、同步测试 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·期中）以下式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024七年级下·全国·专题练习）下列说法错误的是（ ） A．是不等式的解 B．是不等式的解 C．的解集是 D．的解集就是、、 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）一元一次不等式组的解集在数轴上表示为（   ）． A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）不等式的最小整数解是（    ） A． B． C．0 D．1 8．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图表示某个关于x的不等式的解集，若是该不等式的一个解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）若的周长为16，则的长可能为（   ） A．7 B．8 C．10 D．11 二、填空题 11．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）不等式的非负整数解的个数有______个； 12．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知x为整数，且分式的值为正整数，则x可取的值有________． 13．（25-26八年级上·浙江金华·期末）若，则，这个命题是_________命题（填“真”或“假”） 14．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，且，则的取值范围是______． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，设长方形的长，宽，，且，则________．（填“”或“”或“”） 16．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则______．（填“＜”、“＞”或“＝”号） 三、解答题 17．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）阅读下列材料： 已知：，试比较和的大小，并说明理由． 解：，理由如下： ， （不等式的基本性质2）， （不等式的基本性质1）． 仿照阅读材料的解法，完成下列小题： 已知：若，比较和的大小，并说明理由． 18． （25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值． 19．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）（1）解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． （2）若，比较和的大小，并说明理由． 20．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式，并将它们的解集表示在数轴上． (1)； (2)． 21．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列一元一次不等式 (1)； (2)． 22．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的方程的解为负数． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 23．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）请根据小明同学解不等式的过程，完成下面各项任务：解不等式 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得……第五步 所以不等式的解集为： 任务一：以上解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； 任务二：请把正确的解答过程完整的写出来． 24．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知关于的不等式． (1)若是该不等式的解，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，且不是该不等式的解，求的范围． 25．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义一种新运算“※”：当时，※；当时，※．例如：3※，※． (1)计算：※； (2)若，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $