专题 2.14 特殊三角形复习——折叠、轴对称、将军饮马最值- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题 2.14 特殊三角形复习——折叠、轴对称、将军饮马最值 目录 一、知识要点回顾 1 二、题型精析 1 【题型1】轴对称性质边角转化基础应用 1 【题型2】基础将军饮马：线段和最小值问题 4 【题型3】将军饮马变形：图形周长最小值问题 7 【题型4】将军饮马拓展：线段差最大值问题 11 【题型5】等腰三角形折叠综合问题 16 【题型6】直角三角形折叠计算问题 20 【题型7】折叠综合角度与全等证明 24 【题型8】动点折叠综合探究问题 30 【题型9】线段垂直平分线综合模型 35 一、知识要点回顾 1. 轴对称核心性质：成轴对称的两个图形全等，对应线段相等、对应角相等；对称轴垂直平分任意一组对应点的连线。 2. 折叠模型本质：折叠变换属于轴对称变换，折叠前后图形全等，边角对应相等；核心解题方法为设未知数＋勾股定理列方程，是期中解答题高频考法。 3. 线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等，常用来转化线段、构造等腰三角形。 4. 将军饮马基础模型（两定点一动点）：直线同侧两定点，在直线上找一动点，使两条线段和最小；通过作定点对称点，将折线段和转化为两点之间线段最短求解。 5. 模型拓展：包含三角形、四边形周长最小值模型，线段差值最大值模型，均依托轴对称变换转化线段关系。 6. 图形载体：所有模型常以等腰三角形、直角三角形为背景，结合特殊三角形性质、勾股定理综合求解。 7. 易错警示：区分“线段和最小”与“线段差最大”模型作图差异；折叠问题找准对应边角，避免落点、对应边判断错误；对称变换后需验证线段取值合理性。 二、题型精析 【题型1】轴对称性质边角转化基础应用 考向：利用轴对称全等性质，直接转化边长、角度，基础概念计算 【例题1】（26-27八年级上·天津·期中）已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由轴对称的性质得出对应线段相等、对应点的连线被对称轴垂直平分，不能得出非对应线段的关系． 解：∵与关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，， 无法得到， 故选项不一定成立． 【变式1】（25-26七年级下·四川遂宁·期末）如图：已知与关于直线成轴对称，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质得出，，利用三角形内角和求出的度数，再根据三角形外角的性质求解． 解：与关于直线成轴对称， ∴, ，， 在中，， ， 是的外角， ． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点、分别在、边上，连接，，与关于所在直线对称．若，则的度数为________． 【答案】45 解：∵，， ∴， ∵与关于所在直线对称， ∴. 【变式3】（25-26七年级下·河南洛阳·期末）如图，，点P是内的一点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，则________． 【答案】 解：如图， ∵点P是内的一点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为， ∴． 【题型2】基础将军饮马：线段和最小值问题 考向：掌握同侧两点最短路径作图方法，结合特殊三角形、勾股定理计算最小值 【例题2】（2026·河南周口·二模）如图，点A，B位于直线l同侧，点B关于直线l的对称点为，．点P在直线l上，则的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质可得，则，当三点共线时，最小． 解：点A，B位于直线l同侧，点B关于直线l的对称点为，可得， ∴， 当三点共线时，最小，为， ∵， ∴的最小值为． 【变式1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，，，D为上一点，，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】作点D关于的对称点G，则，当三点共线，且时，取得最小值，推出，根据等面积法计算即可． 解：∵，， ∴， 作点D关于的对称点G，连接， 则，， ∴， 当三点共线，且时，取得最小值， 此时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即的最小值为3． 【变式2】（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）如图，在中，为边的垂直平分线，为线段上的动点，连接，则的最小值为_________． 【答案】14 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，从而将求的最小值转化为求的最小值．根据两点之间线段最短，当三点共线时，最小，最小值为的长． 解：连接，如图， 为边的垂直平分线， ， ， 在中，（当且仅当在线段上时取等号）， 当点与点重合时，取得最小值，最小值为的长， ， 的最小值为14． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，平面直角坐标系中两个村庄的坐标分别为，，现在轴上方建一个边长为的正方形驿站，点和点在轴上，大门为中点，则大门到两个村庄的距离的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短距离问题，过点关于直线的对称点，连接，则的长度即为的最小值，利用两点间距离坐标公式计算即可求解，掌握的长为的最小值是解题的关键． 解：如图，过点关于直线的对称点，连接，则的长度即为的最小值， ∵点的坐标为，， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【题型3】将军饮马变形：图形周长最小值问题 考向：通过轴对称转化周长，将周长最小值问题转化为线段最短问题，中档常考 【例题3】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，，为内一点，为上一点，为上一点，当的周长取最小值时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，作点关于的对称点，与交点为，与交点为，连接交于两点，则，，由题意知，当四点共线时，的周长最小，由，，可知，，则，根据，计算求解即可． 解：如图，作点关于的对称点，与交点为，与交点为，连接交于两点，则，，    由题意知，当四点共线时，的周长最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点拨】本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，两点之间线段最断．解题的关键在于明确的周长最小的情况． 【变式1】（24-25八年级上·河南三门峡·期中）如图，中，，，，，点、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（    ） A．9.6 B．13.5 C．19.2 D．22.5 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称—路径最短问题，理解转化思想是解题的关键． 如图，作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接，，，，，，，推出，可得M、C、N共线，由，，可知F、E、M、N共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 解：如图作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接，，，，，，， ，，， ， 共线， ， ， 当共线时，且时，的值最小， 最小值， ， ， ， 的最小值为， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，将沿折叠，使得点 B恰好落在边上的点E处，折痕为，若点F为上一动点，则的周长最小值为____________ 【答案】8 【分析】根据折叠的性质可知，垂直平分，进而得到，，将的周长转化为，利用两点之间线段最短可知，当B、F、C三点共线时周长最小，进而求解 ． 解：由折叠的性质可知，， ，， 垂直平分， ， ， ， 的周长为， 当点B、F、C在同一条直线上时，的值最小，最小值为 ， ， 的周长最小值为． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在直角中，，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称路径最短问题，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．，推出，可得、、共线，由，，可知、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题理解转化思想是解题的关键． 解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴ ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小，最小值， ， ， 即 ∴的最小值为， 故答案为：． 【题型4】将军饮马拓展：线段差最大值问题 考向：区分和最小、差最大两类模型，掌握线段差值最大值的作图与计算方法 【例题4】（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，则此时点P就是使的值最大的点，连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可推出是等边三角形，进而即可得到结论． 解：如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，连接， ∴， ∴， ∴点P就是使的值最大的点， 已知为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】（2026·江苏南通·模拟预测）如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、轴对称图形的性质；通过轴对称图形的性质转化线段和角是解题的关键．作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、；易得，，；进而构造出等边，然后根据三角形的三边关系可得；求出的长即可 解：如图，作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、；    由轴对称图形的性质可知：，， ∴ 即：当三点共线时， ∵ 为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴是等边三角形 ∴ 即：的最大值为 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为____． 【答案】 【分析】作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、；易得，，；进而构造出等边，然后根据三角形的三边关系可得；求出的长即可； 解：如图，作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、； 由轴对称图形的性质可知：，， ∴ 即：当三点共线时， ∵ 为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴是等边三角形 ∴ 即：的最大值为 故答案为： 【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质、轴对称图形的性质；通过轴对称图形的性质转化线段和角是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，为等腰直角三角形，在的内部，，为射线上一点，当最大时，的度数是______． 【答案】/117度 【分析】作点A关于直线的对称点，连接并延长交于点，交于点D，则点就是使的值最大的点，，连接，根据题意得出，再由等角的余角相等及三角形内角和定理求解即可． 解：如图，作点A关于直线的对称点，连接并延长交于点，交于点D，则点就是使的值最大的点，，连接， 为等腰直角三角形， ，， ∵ ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】题目主要考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及等角的余角相等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 【题型5】等腰三角形折叠综合问题 考向：等腰三角形折叠产生全等边角，结合三线合一、勾股定理列方程求线段 【例题5】（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知一张三角形纸片（如甲图），其中．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的点E处，折痕为（如乙图），再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如丙图）． （1）请直接找出丙图中除外的所有等腰三角形； （2）请求出甲图中各角的度数． 【答案】（1）丙图中除外的所有等腰三角形：；（2）， 【分析】本题考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）根据等腰三角形的特征，可作出判断； （2）由等腰三角形的性质，可得，由折叠，得，，则，再在中利用三角形内角和定理列方程，求出的度数，即可解决问题． （1）解：丙图中除外的所有等腰三角形：； （2）解：∵， ∴， 由折叠，得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故甲图中各角的度数分别为． 【变式1】（2026·江苏扬州·二模）如图，在中，，D是边上的点，将沿直线折叠，使点B的对应点E恰好落在边上，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，再由折叠性质得，然后利用三角形的外角性质求解即可． 解：∵在中，，， ∴， 由折叠性质得， ∵， ∴． 【变式2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在锐角三角形纸片中，，将底边沿着过点的折痕折叠，使点落在腰上的点，这时三角形是等腰三角形，则__________． 【答案】/36度 【分析】本题考查折叠问题，等腰三角形的判定和性质，关键是由折叠的性质推出． 由等腰三角形的性质得到，由折叠性质得到，判定，推出，由三角形的外角性质推出，由三角形内角和定理得到，即可求出的度数． 解：， ， 是锐角三角形， 是锐角， ∵将底边沿着过B点的折痕折叠，使点落在腰上的点， ∴， 是锐角， 是钝角， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）在直角三角形纸片中，，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边上，记落点为D，设折痕与边分别交于点E、F． （1）若，求的度数； （2）若折叠后的为等腰三角形，连接，求的度数； （3）在（2）的条件下，若也为等腰三角形，求纸片中的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识，有一定的综合性，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用． （1）由折叠的性质可得，再根据三角形内角和定理得到，据此即可求解； （2）连接，由等腰三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可求，即可求解； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解． （1）解：∵将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边上，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接， ∵为等腰三角形，， ∴， ∵将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边上， ∴， ∴， ∵， ∴， ； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 若，则， ∴， ∴， 若，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 若，则， ∵， ∴（不合题意舍去）， 综上所述：或． 【题型6】直角三角形折叠计算问题 考向：直角三角形折叠为期中核心题型，利用折叠等线段构造新直角三角形，方程法求解 【例题6】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）任意剪一张直角三角形纸片，如图（1），将剪得的纸片经过两次折叠并展开后分别形成图（2）和图（3），可以发现直角三角形的一个重要性质． （1）填空：直角三角形斜边上的中线等于___________． （2）请利用图（1）证明上述结论． 【答案】（1）斜边的一半；（2）证明：方法一：如图1，作的垂直平分线交于D，连接，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 方法二：如图2，在内作，    ∴， ∵， ∴， ∴， 即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的证明，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质．构造等腰三角形证明线段相等是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，作答即可； （2）方法一：如图1，作的垂直平分线交于D，连接，则，，根据，可得，进而结论得证；方法二：如图2，在内作，则，由，可得，进而结论得证． （1）解：由题意知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 故答案为：斜边的一半； （2）略 【变式1】（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，一张直角三角形纸片，，，，将纸片沿折叠，使点落在点处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据直角三角形内角和求出，再 利用平行线的同位角相等得到，由折叠性质得，进而算出． 解：在中，，， 根据直角三角形两锐角互余，得： ∵， ∴根据平行线的同位角相等，得： 折叠后点落在点处，根据折叠的性质，对应角相等，得 ∵是平角（）， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，将按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，连接，若，则的长为__________． 【答案】10 【分析】由折叠可得，点是的中点，再根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 解：∵将按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为， ∴， ∴点是的中点， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·江苏镇江·期末）在中，． （1）如图1，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．利用直尺和圆规，作出折痕（保留作图痕迹，不写作法），并求的长； （2）如图2，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，当时，求的长． 【答案】（1）解：如图所示：    ；（2） 【分析】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键． （1）如图，作的垂直平分线交于点D，交于点F．可得折痕，设x，则，在中用勾股定理求解即可； （2）先求出，得出，进而求出，即可求出结论． （1）解：如图，作的垂直平分线交于点D，交于点F．可得折痕， ∵直线是对称轴， ∴， ∵， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 解得， （2）解：由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型7】折叠综合角度与全等证明 考向：依托折叠全等性质，推导角度数量关系，证明等腰、全等三角形 【例题7】（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，点，分别是，上的动点，连接，将沿直线折叠得到，点落在上． （1）如图1，若点是的中点． ①求证：； ②连接，求证：； （2）如图2，若，且点是的中点，判断线段，与之间存在的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：①点是的中点， ． 由折叠，得，． ， 是的一个外角， ． ， ， ． ②如图，连接，记与的交点为， 由折叠，得， ． 由①，得， ， ． （2） ，理由如下： 如图，过点作交延长线于点，连接． ，，． 点是的中点， ． ， ，． 由折叠，得， ， ． 在中，由勾股定理，得 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质及勾股定理，熟练掌握翻折图形的性质是解题的关键． （1）①结合题意，通过证明，证明； ②由折叠的性质可知，又，从而证得； （2），过点作交延长线于点，连接，通过证明，得到，，又，得到，在中，勾股定理得到，继而得到结论得证； 解：（1）略 （2）略 【变式1】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）小颖同学热爱折纸，有一天她按照如下方法对一张长方形的纸片进行了折叠： 若图3中，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将纸片展开，得到长方形．根据三角形的内角和定理求出，根据折叠求出，从而根据角的和差得到，因此，再由三角形的内角和求出，根据折叠的特点与角的和差即可求解． 解：如图，将纸片展开，得到长方形． 则，， ∵， ∴， 由折叠可得， ∴， 即 ∴由折叠可得， ∴， ∴由折叠可得， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·浙江舟山·期末）如图，在一次数学实践活动课中，某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．第一次沿折叠，，落在，处，交于点，第二次沿折叠，，落在，处，若，则的度数为_________． 【答案】/度 【分析】依据纸带对边平行的条件，利用平行线的内错角相等性质，得到相关角的等量关系，根据折叠前后对应角相等的性质，分别整理两次折叠后相等的角，建立角之间的数量关系，结合已知的条件，将所有相关角用同一个未知角表示，再利用直线上的邻补角和为或平行线同旁内角和为的性质列方程求解即可． 解：∵折叠， ∴， 又∵纸带对边平行，即， ∴， 且， ∴， ∴， 在第二次折叠中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·江西九江·期中）综合与实践 某数学兴趣小组以“三角形的折叠”为主题开展探究活动，具体探究过程如下：现有一张直角三角形纸片，，，，小新用这张直角三角形纸片进行折纸操作，折叠，折痕为，顶点的对应点是点． （1）如图，当点与点重合时，则的长为 ． （2）如图，当点与点重合时，求的面积． （3）当点落在的三等分点处，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）根据翻折的性质即可解决问题； （2）设，则，然后根据勾股定理求出，利用三角形的面积公式即可解决问题； （3）由点落在的三等分点，分两种情况，分别根据勾股定理求出的长即可． （1）解：如图，当点与点重合时， ∵， ∴， 即的长为， 故答案为：； （2）解：如图，当点与点重合时， 设，则， 在中，，，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）解：当点落在的三等分点时，分两种情况： 如图， ∵点落在的三等分点，，， ∴， ∵折叠，折痕为，顶点的对应点是点， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：； 如图， ∵点落在的三等分点， ∴， ∵折叠，折痕为，顶点的对应点是点， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， 综上所述：的长为或． 【点拨】本题考查翻折变换的性质，勾股定理，等分点的意义，三角形面积公式等知识，掌握勾股定理、翻转变换的性质是解题的关键． 【题型8】动点折叠综合探究问题 考向：边上动点结合折叠变换，分类讨论落点位置，综合难度提升 【例题8】（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）【综合探究】如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠后点恰好落在边上的点，点是线段上的一个动点． （1）求的长； （2）当是直角三角形时，求的长． 【答案】（1）；（2）长为或． 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意得，，通过勾股定理求出，则，设，则，，再通过勾股定理得，求出的值即可； （）分当时，即与重合，当时，即，两种情况分即可． （1）解：由题意得，， 在中，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴，解得， ∴； （2）解：如图，当时，即与重合， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，即， ∵， ∴， 在中，， 综上所述，长为或． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，D为中点，，，点E为上一动点，将沿折叠得到，与交于点G，若，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，折叠的性质，先证明得出，根据三角形内角和定理得出，再导角得出，则是等腰直角三角形，即可求解． 解：∵在中，，为中点， ∴，， ， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图设交于点， 由折叠的性质可得，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，，，点D为边上一动点，交于点E，将沿直线折叠，点A的对应点为F，当是直角三角形时，的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠问题，勾股定理，利用勾股定理求线段的长度是本题的关键．分两种情况讨论，由勾股定理和折叠的性质可求解． 解：当时， ∵将沿直线折叠，点A的对应点为F． ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在中，． ∴， ∴， 当时，点F与点B重合，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级下·宁夏中卫·阶段检测）长方形纸片中，，，点是边上一动点，以为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，求的长． 【答案】或 【分析】本题考查折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了长方形的性质，以及勾股定理，解题的关键熟练掌握以上知识点的应用及分类讨论思想． 解：如图，当共线时，， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即：，解得：， 如图，当落在上时，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 综上可知：的长为或， 故答案为：或． 【题型9】线段垂直平分线综合模型 考向：利用垂直平分线转化线段，结合特殊三角形、勾股定理求解周长与边长 【例题9】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的________，射线是的________；（填序号） ①高线    ②角平分线    ③垂直平分线    ④中线 （2）求的度数； （3）若，，求的周长． 【答案】（1）③；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，三角形内角和性质，勾股定理，等角对等边； （1）根据作图过程进行分析，得出直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线，即可作答． （2）先运用三角形内角和性质，得，再结合垂直平分线的性质，以及角平分线的定义进行分析，列式计算，即可作答； （3）勾股定理求得，进而证明，再根据三角形的周长公式，即可求解． （1）解：通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线； 故答案为：③；② （2）解：，．， ， 由（1）得是的垂直平分线， ， ， ， 由（1）得平分 ∴． （3）解：∵，，， ∴， 由（2）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴的周长为． 【变式1】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作于点，且为线段的中点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得，的度数，进而可求解． 解：如图，连接， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴平分，即， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2026·青海西宁·一模）如图，中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，则线段的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，连接，先利用线段垂直平分线的性质可得，然后设，则，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴设，则， 在中， ∴， ∴ 解得：， ∴， 故答案为： 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，点P、点D分别在边和上且，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）证明：； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由等边对等角可得，垂直平分线的性质可得，进而得到；根据直角三角形两锐角互余可得，进而得到，即可证明结论； （2）由线段的和差可得，．设，则．由勾股定理可得，进而求解即可． 解：（1）略 （2）解：如图所示，连接， ∵，，， ∴，． 设，则． 在中，根据勾股定理得：． 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.14 特殊三角形复习——折叠、轴对称、将军饮马最值 目录 一、知识要点回顾 1 二、题型精析 1 【题型1】轴对称性质边角转化基础应用 1 【题型2】基础将军饮马：线段和最小值问题 3 【题型3】将军饮马变形：图形周长最小值问题 4 【题型4】将军饮马拓展：线段差最大值问题 5 【题型5】等腰三角形折叠综合问题 6 【题型6】直角三角形折叠计算问题 7 【题型7】折叠综合角度与全等证明 8 【题型8】动点折叠综合探究问题 10 【题型9】线段垂直平分线综合模型 11 一、知识要点回顾 1. 轴对称核心性质：成轴对称的两个图形全等，对应线段相等、对应角相等；对称轴垂直平分任意一组对应点的连线。 2. 折叠模型本质：折叠变换属于轴对称变换，折叠前后图形全等，边角对应相等；核心解题方法为设未知数＋勾股定理列方程，是期中解答题高频考法。 3. 线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等，常用来转化线段、构造等腰三角形。 4. 将军饮马基础模型（两定点一动点）：直线同侧两定点，在直线上找一动点，使两条线段和最小；通过作定点对称点，将折线段和转化为两点之间线段最短求解。 5. 模型拓展：包含三角形、四边形周长最小值模型，线段差值最大值模型，均依托轴对称变换转化线段关系。 6. 图形载体：所有模型常以等腰三角形、直角三角形为背景，结合特殊三角形性质、勾股定理综合求解。 7. 易错警示：区分“线段和最小”与“线段差最大”模型作图差异；折叠问题找准对应边角，避免落点、对应边判断错误；对称变换后需验证线段取值合理性。 二、题型精析 【题型1】轴对称性质边角转化基础应用 考向：利用轴对称全等性质，直接转化边长、角度，基础概念计算 【例题1】（26-27八年级上·天津·期中）已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·四川遂宁·期末）如图：已知与关于直线成轴对称，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点、分别在、边上，连接，，与关于所在直线对称．若，则的度数为________． 【变式3】（25-26七年级下·河南洛阳·期末）如图，，点P是内的一点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，则________． 【题型2】基础将军饮马：线段和最小值问题 考向：掌握同侧两点最短路径作图方法，结合特殊三角形、勾股定理计算最小值 【例题2】（2026·河南周口·二模）如图，点A，B位于直线l同侧，点B关于直线l的对称点为，．点P在直线l上，则的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D． 【变式1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，，，D为上一点，，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．5 【变式2】（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）如图，在中，为边的垂直平分线，为线段上的动点，连接，则的最小值为_________． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，平面直角坐标系中两个村庄的坐标分别为，，现在轴上方建一个边长为的正方形驿站，点和点在轴上，大门为中点，则大门到两个村庄的距离的最小值为_____． 【题型3】将军饮马变形：图形周长最小值问题 考向：通过轴对称转化周长，将周长最小值问题转化为线段最短问题，中档常考 【例题3】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，，为内一点，为上一点，为上一点，当的周长取最小值时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·河南三门峡·期中）如图，中，，，，，点、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（    ） A．9.6 B．13.5 C．19.2 D．22.5 【变式2】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，将沿折叠，使得点 B恰好落在边上的点E处，折痕为，若点F为上一动点，则的周长最小值为____________ 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在直角中，，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是________． 【题型4】将军饮马拓展：线段差最大值问题 考向：区分和最小、差最大两类模型，掌握线段差值最大值的作图与计算方法 【例题4】（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·江苏南通·模拟预测）如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【变式2】（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为____． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，为等腰直角三角形，在的内部，，为射线上一点，当最大时，的度数是______． 【题型5】等腰三角形折叠综合问题 考向：等腰三角形折叠产生全等边角，结合三线合一、勾股定理列方程求线段 【例题5】（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知一张三角形纸片（如甲图），其中．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的点E处，折痕为（如乙图），再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如丙图）． （1）请直接找出丙图中除外的所有等腰三角形； （2）请求出甲图中各角的度数． 【变式1】（2026·江苏扬州·二模）如图，在中，，D是边上的点，将沿直线折叠，使点B的对应点E恰好落在边上，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在锐角三角形纸片中，，将底边沿着过点的折痕折叠，使点落在腰上的点，这时三角形是等腰三角形，则__________． 【变式3】（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）在直角三角形纸片中，，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边上，记落点为D，设折痕与边分别交于点E、F． （1）若，求的度数； （2）若折叠后的为等腰三角形，连接，求的度数； （3）在（2）的条件下，若也为等腰三角形，求纸片中的度数． 【题型6】直角三角形折叠计算问题 考向：直角三角形折叠为期中核心题型，利用折叠等线段构造新直角三角形，方程法求解 【例题6】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）任意剪一张直角三角形纸片，如图（1），将剪得的纸片经过两次折叠并展开后分别形成图（2）和图（3），可以发现直角三角形的一个重要性质． （1）填空：直角三角形斜边上的中线等于___________． （2）请利用图（1）证明上述结论． 【变式1】（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，一张直角三角形纸片，，，，将纸片沿折叠，使点落在点处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，将按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，连接，若，则的长为__________． 【变式3】（24-25八年级上·江苏镇江·期末）在中，． （1）如图1，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．利用直尺和圆规，作出折痕（保留作图痕迹，不写作法），并求的长； （2）如图2，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，当时，求的长． 【题型7】折叠综合角度与全等证明 考向：依托折叠全等性质，推导角度数量关系，证明等腰、全等三角形 【例题7】（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，点，分别是，上的动点，连接，将沿直线折叠得到，点落在上． （1）如图1，若点是的中点． ①求证：； ②连接，求证：； （2）如图2，若，且点是的中点，判断线段，与之间存在的数量关系，并证明． 【变式1】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）小颖同学热爱折纸，有一天她按照如下方法对一张长方形的纸片进行了折叠： 若图3中，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·浙江舟山·期末）如图，在一次数学实践活动课中，某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．第一次沿折叠，，落在，处，交于点，第二次沿折叠，，落在，处，若，则的度数为_________． 【变式3】（25-26八年级上·江西九江·期中）综合与实践 某数学兴趣小组以“三角形的折叠”为主题开展探究活动，具体探究过程如下：现有一张直角三角形纸片，，，，小新用这张直角三角形纸片进行折纸操作，折叠，折痕为，顶点的对应点是点． （1）如图，当点与点重合时，则的长为 ． （2）如图，当点与点重合时，求的面积． （3）当点落在的三等分点处，求的长． 【题型8】动点折叠综合探究问题 考向：边上动点结合折叠变换，分类讨论落点位置，综合难度提升 【例题8】（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）【综合探究】如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠后点恰好落在边上的点，点是线段上的一个动点． （1）求的长； （2）当是直角三角形时，求的长． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，D为中点，，，点E为上一动点，将沿折叠得到，与交于点G，若，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，，，点D为边上一动点，交于点E，将沿直线折叠，点A的对应点为F，当是直角三角形时，的长为______． 【变式3】（25-26八年级下·宁夏中卫·阶段检测）长方形纸片中，，，点是边上一动点，以为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，求的长． 【题型9】线段垂直平分线综合模型 考向：利用垂直平分线转化线段，结合特殊三角形、勾股定理求解周长与边长 【例题9】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的________，射线是的________；（填序号） ①高线    ②角平分线    ③垂直平分线    ④中线 （2）求的度数； （3）若，，求的周长． 【变式1】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作于点，且为线段的中点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·青海西宁·一模）如图，中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，则线段的长为__________． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，点P、点D分别在边和上且，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）证明：； （2）若，，，求线段的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $