专题 2.15 特殊三角形复习——动点、存在性与几何探究- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题 2.15 特殊三角形复习——动点、存在性与几何探究 目录 一、知识要点回顾 1 二、题型精析 1 【题型1】直线上动点——等腰三角形存在性分类讨论 2 【题型2】直线上动点——直角三角形存在性分类讨论 3 【题型3】 动点基础——含参数线段代数式表示 4 【题型4】动点等腰三角形——勾股方程求参数 5 【题型5】动点直角三角形——勾股方程求参数 6 【题型6】动点背景下面积分类讨论计算 7 【题型7】特殊三角形综合探究压轴 9 一、知识要点回顾 1. 知识整合：综合运用等腰三角形、直角三角形、直角三角形斜边中线、勾股定理、HL全等判定等全章核心知识点。 2. 等腰三角形存在性分类：平面内三点构成等腰三角形，分三种情况讨论：①；②；③。 3.直角三角形存在性分类：平面内三点构成直角三角形，分别以三个顶点为直角顶点，分三类讨论。 4. 动点通用解题思路：用含运动时间 的代数式表示动点运动后的线段长度；根据等腰、直角三角形的判定条件列等式；结合勾股定理建立方程求解参数。 5. 几何探究题型核心：图形位置、动点位置变化后，探究线段相等、线段和差、角度定值等不变量关系。 6. 核心数学思想：分类讨论思想、方程思想（勾股定理列方程）。 7. 解的取舍原则：计算得出参数结果后，必须结合动点运动范围、线段长度大于0的隐含条件检验，舍去无效解。 8. 易错警示 （1）存在性问题易遗漏分类情况，导致漏解； （2）未检验解的合理性，保留超出运动范围的无效解； （3）列线段代数式时，忽略线段长度大于0的隐含条件。 二、题型精析 【题型1】直线上动点——等腰三角形存在性分类讨论 考向：直线上动点与定点构成等腰三角形，三类情况分类讨论，压轴高频小问 【例题1】（25-26八年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，在中，，动点从点出发沿到的方向以的速度向终点运动，同时，另一动点从点出发，沿到再到的方向以的速度向终点运动，设运动时间为． （1）的长为_____； （2）若点在边的垂直平分线上，求此时的值； （3）当点在边上运动时，是否存在某一时刻，使得是以为底的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知，P是的平分线上一点，若在射线上存在点E使是等腰三角形，则的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线．问在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形． ___（用“存在”或“不存在”填空）．如果存在，请直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由．___ 【变式3】（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）如图，已知等边的边长为，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点M的速度，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）当点N第一次到达B点时，点M的位置在______；当M、N运动______秒时，点N追上点M； （2）当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【题型2】直线上动点——直角三角形存在性分类讨论 考向：直线上动点与定点构成直角三角形，分别以三个顶点为直角顶点分类求解 【例题2】（25-26八年级上·北京西城·期中）若一条直线将三角形分割成两个等腰三角形，则称这条直线是这个三角形的“黄金线”．若两条直线将一个三角形分割成三个等腰三角形，则称这两条直线是这个三角形的“钻石线”． （1）直角三角形________（填“存在”或“不存在”）“黄金线”；等边三角形________（填“存在”或“不存在”）“钻石线”； （2）已知锐角有“黄金线”，，直线是的“黄金线”，探究与之间的关系． 【变式1】（25-26八年级下·福建漳州·期中）我们把两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．下列四个结论：①若三角形是等边三角形，则它必是奇异三角形；②若一个奇异三角形的两边长分别为3、4，则第三边长为；③若一个奇异三角形是直角三角形，则它三条边长之比为；④已知，，在AC下方存在点E，使得为奇异三角形，若是直角三角形，且，则或．其中结论正确的序号为（    ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【变式2】（2026·四川成都·模拟预测）一个直角三角形的边长都是整数，则称这种直角三角形为“完美勾股三角形”，k为其面积和周长的比值．当时，满足条件的“完美勾股三角形”的周长为__________；当时，若存在“完美勾股三角形”，则__________． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图（1），在中，已知，于，点、分别从、两点同时出发，其中点沿向终点运动，速度为；点沿、向终点运动，速度为，设它们运动的时间为． （1）当　　　　　时，； （2）当时，求出使的值； （3）当时， ①是否存在，使是直角三角形？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； ②设与交于点，探索：与的关系，并说明理由． 【题型3】 动点基础——含参数线段代数式表示 考向：根据动点运动速度、时间，用含 的代数式表示线段，确定自变量取值范围 【例题3】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在Rt△ABC中，，，动点P从B出发沿射线以1 cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）． （1）求边的长． （2）当为等腰三角形时，求t的值． 【变式1】（2026九年级·吉林·专题练习）如图，在中，，，D是的中点，动点P从点A出发以的速度沿向终点C运动（点P不与点A，C重合），设运动时间为，当的垂直平分线恰好经过点D时，t的值为（     ） A．21 B． C． D． 【变式2】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为，则当________时，是等边三角形． 【变式3】（25-26八年级下·云南保山·阶段检测）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t（s）． （1）求BC边的长． （2）当为直角三角形时，求t的值． 【题型4】动点等腰三角形——勾股方程求参数 考向：动点运动形成等腰三角形，设运动时间 ，结合勾股定理列方程求解 【例题4】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，中，，，，若动点从点出发，沿着的三条边顺时针走一圈回到点，且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）求为何值时，平分； （2）______时，为等腰三角形？ 【变式1】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为t秒，若是等腰三角形时，则t的值为（    ） A．10 B．16 C．10或16 D．10或16或 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，等腰三角形中，，底边，腰长为，一动点P以每秒的速度沿底边从点A向点C运动，则点P运动到使与一腰垂直时所花的时间是________秒． 【变式3】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是．如图，长方形中，，，为边上一动点，从点出发，以向终点运动，同时动点从点出发，以向终点运动，运动的时间为． （1）当时， 求线段的长； 当平分时，求的值； （2）若，且是以为腰的等腰三角形，求的值． 【题型5】动点直角三角形——勾股方程求参数 考向：动点运动形成直角三角形，区分直角顶点分类列式，利用勾股定理求运动时间 【例题5】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动时间为秒（）． （1）当点在点左侧时， ，当点在点右侧时， （用含的代数式表示）； （2）当为直角三角形时，求的值； （3）当为等腰三角形时，请直接写出的值 ． 【变式1】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，点A是射线外一点，连接，若，点A到的距离为．动点P从点B出发沿射线以的逃速度运动．设运动的时间为t秒，当t为（   ）秒时，为直角三角形． A． B． C．2或 D．2或 【变式2】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，长方形中，，，点E为射线上一动点（不与点D重合），将沿翻折得到，连接，若为直角三角形，则的长为______． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设点P运动的时间为t秒． （1）当点P运动到线段的垂直平分线上时，求的长． （2）当为直角三角形时，求出t的值． 【题型6】动点背景下面积分类讨论计算 考向：动点运动引发三角形面积变化，用含 的代数式表示面积，根据面积值求参数 【例题6】（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段检测）如图，在中，，，，，是边上的两个动点，点从点开始沿方向运动且速度为，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是，在边上的运动速度是．，两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设运动时间为（单位：），请解答： （1）边的长为______． （2）当时，求的面积． （3）当时，求的长． （4）当时，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图1，在中，，，动点从点运动到点再到点后停止，速度为，其中的面积与运动时间的关系如图2，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，D是边上的一个动点，点E与点A关于直线对称，   （1）的面积=______． （2）当为直角三角形时，则的长为  ______ ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知中，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）出发2秒后，求的面积； （2）当点在边上运动时，通过计算说明能否把的周长平分？ （3）当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 【题型7】特殊三角形综合探究压轴 考向：多小问压轴大题，融合等腰、直角、勾股、存在性问题 【例题7】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）探究解题 （1）发现：如图1，点为线段外一动点，且，．线段的最大值是________． （2）应用：点为线段外一动点，如图2所示，分别以，为边作等边和等边，连接、，若，，求出线段长的最大值并说明理由． （3）拓展：如图3，，，，，求线段最大值为___________________，此时的面积为______________． 【变式1】（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接EF，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【变式2】（26-27八年级上·安徽池州·阶段检测）如图，正方形的面积为144，H是边上的一个动点，将正方形沿过点H的直线折叠（点G在边上）． （1）若，则__________． （2）若点D的对应点E恰好落在边上的三等分点处，则线段的长是__________． 【变式3】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）【问题提出】 （1）如图1，在中，，，点、在边上（点在点的左侧），连接、，．过点作，且，连接、． ①试说明：； ②试说明：； 【拓展应用】 （2）如图2，校园中心有一个形如等腰的花圃，其中，，观景石在花圃的内部，测得，现在为了安装喷水装置，以点为起点向外作延伸管道，满足，，工人现需要根据、、三段小路的长度，规划水管的铺设长度，请你帮助工人探究线段、、之间的数量关系．（观景石的大小以及小路、管道的宽度均忽略不计） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.15 特殊三角形复习——动点、存在性与几何探究 目录 一、知识要点回顾 1 二、题型精析 1 【题型1】直线上动点——等腰三角形存在性分类讨论 2 【题型2】直线上动点——直角三角形存在性分类讨论 7 【题型3】 动点基础——含参数线段代数式表示 13 【题型4】动点等腰三角形——勾股方程求参数 17 【题型5】动点直角三角形——勾股方程求参数 24 【题型6】动点背景下面积分类讨论计算 31 【题型7】特殊三角形综合探究压轴 38 一、知识要点回顾 1. 知识整合：综合运用等腰三角形、直角三角形、直角三角形斜边中线、勾股定理、HL全等判定等全章核心知识点。 2. 等腰三角形存在性分类：平面内三点构成等腰三角形，分三种情况讨论：①；②；③。 3.直角三角形存在性分类：平面内三点构成直角三角形，分别以三个顶点为直角顶点，分三类讨论。 4. 动点通用解题思路：用含运动时间 的代数式表示动点运动后的线段长度；根据等腰、直角三角形的判定条件列等式；结合勾股定理建立方程求解参数。 5. 几何探究题型核心：图形位置、动点位置变化后，探究线段相等、线段和差、角度定值等不变量关系。 6. 核心数学思想：分类讨论思想、方程思想（勾股定理列方程）。 7. 解的取舍原则：计算得出参数结果后，必须结合动点运动范围、线段长度大于0的隐含条件检验，舍去无效解。 8. 易错警示 · 存在性问题易遗漏分类情况，导致漏解； · 未检验解的合理性，保留超出运动范围的无效解； · 列线段代数式时，忽略线段长度大于0的隐含条件。 二、题型精析 【题型1】直线上动点——等腰三角形存在性分类讨论 考向：直线上动点与定点构成等腰三角形，三类情况分类讨论，为八上期终压轴高频小问 【例题1】（25-26八年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，在中，，动点从点出发沿到的方向以的速度向终点运动，同时，另一动点从点出发，沿到再到的方向以的速度向终点运动，设运动时间为． （1）的长为_____； （2）若点在边的垂直平分线上，求此时的值； （3）当点在边上运动时，是否存在某一时刻，使得是以为底的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3；（2）；（3） 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握以上性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据题意得，结合垂直平分线的性质得，利用勾股定理得，即可求得； （3）过点B作于点D，利用等面积法，解得，结合等腰三角形得，依据题意得，且，利用勾股定理得解得即可． （1）解：∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：如图， 由题意知，， ∵点在边的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴，即，解得； （3）解：存在，，理由如下， 过点B作于点D，如图， 则，解得， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∵点从点出发，沿到再到的方向以的速度向终点运动， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得（负值已舍）． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知，P是的平分线上一点，若在射线上存在点E使是等腰三角形，则的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，分类讨论是关键；根据等腰三角形的三种情况分别计算的度数，得到可能值为或不在其中． 解：∵ 平分，， ∴． 当是等腰三角形时，分三种情况： ① 当时，如图， ∵， ∴. ② 当时，如图， ∵， ∴； ③ 当时，如图， ∵， ∴． ∴ 可能为或不可能． 故选C． 【变式2】（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线．问在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形． ___（用“存在”或“不存在”填空）．如果存在，请直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由．___ 【答案】 存在 72°或36°或54° 【分析】使△CDP为等腰三角形，则可能是CD=CP，DP=CD，因为∠ACB=∠BDC，所以不可能PC=PD． 解：存在3个点P，使得△CDP是等腰三角形． 当以∠CDP为顶角，CD为一腰时，∠CPD=72°； 当以∠DCP为顶角，CD为一腰时，存在两点P， 一点在线段BC延长线上，此时∠CPD=36°； 一点在线段BC上，此时∠CPD==54°． 故答案为：存在；72°或36°或54°． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）如图，已知等边的边长为，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点M的速度，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）当点N第一次到达B点时，点M的位置在______；当M、N运动______秒时，点N追上点M； （2）当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【答案】（1）中点，6；（2）存在，运动的时间是时．得到以为底边的等腰三角形 【分析】（1）求出运动的路程即可判断的位置，由题意得：，求出的值即可； （2）列出关于的方程，求出的值，即可解决问题． 解：（1）当点第一次到达点时， ， 运动了， 点的位置在中点； 当点追上点时， 由题意得：， ， 当、运动6秒时，点追上点， 故答案为：中点，6． （2）如图，， 作于， ，， ， ， ，    、运动的时间是时．得到以为底边的等腰三角形． 【点拨】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，关键是由题意得到关于的方程． 【题型2】直线上动点——直角三角形存在性分类讨论 考向：直线上动点与定点构成直角三角形，分别以三个顶点为直角顶点分类求解 【例题2】（25-26八年级上·北京西城·期中）若一条直线将三角形分割成两个等腰三角形，则称这条直线是这个三角形的“黄金线”．若两条直线将一个三角形分割成三个等腰三角形，则称这两条直线是这个三角形的“钻石线”． （1）直角三角形________（填“存在”或“不存在”）“黄金线”；等边三角形________（填“存在”或“不存在”）“钻石线”； （2）已知锐角有“黄金线”，，直线是的“黄金线”，探究与之间的关系． 【答案】（1）存在，不存在；（2）当时，；当时， 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质； （1）根据直角三角形斜边中线的性质可得直角三角形存在“黄金线”；根据等边三角形的判定与性质可得等边三角形不存在“钻石线”； （2）根据直线是的“黄金线”，得到 和都是等腰三角形，根据是最长边得到中，再根据是等腰三角形，结合三角形内角和分情况讨论求解即可． （1）解：如图，中为中点，则，即 和都是等腰三角形， ∴是的“黄金线” ∴直角三角形存在“黄金线”； 如图，是等边三角形，只要涉及到一个内角的等腰三角形都是等边三角形，假设为图中的，则剩下的中，，，，即不可能是等腰三角形， ∴等边三角形不存在“钻石线”； 故答案为：存在，不存在； （2）解：设， ∵直线是的“黄金线”， ∴ 和都是等腰三角形， ∵， ∴， ∴中， ∴， ∴， 中当时，则，此时，不满足锐角； 中当时，，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当时，； 中当时，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴当时，； 综上所述，当时，；当时，． 【变式1】（25-26八年级下·福建漳州·期中）我们把两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．下列四个结论：①若三角形是等边三角形，则它必是奇异三角形；②若一个奇异三角形的两边长分别为3、4，则第三边长为；③若一个奇异三角形是直角三角形，则它三条边长之比为；④已知，，在AC下方存在点E，使得为奇异三角形，若是直角三角形，且，则或．其中结论正确的序号为（    ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】设等边三角形的边长为a，得到a2+a2=2a2，判断①正确；分两种情况：前两边为3与4或第三边为4，故判断②错误；设直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为c，则①，根据该直角三角形是奇异三角形，得到②求出a代入①判断；③，将①代入③得，求出b验证，由此判断③正确；为奇异三角形且是直角三角形，但没有斜边的条件，无法确定每条边的长度，且与△ABC无关联，故无法判断④正确，由此得到④错误． 解：设等边三角形的边长为a，则a2+a2=2a2，则等边三角形是奇异三角形，故①正确； 若3和4为前两边，，则第三边长为， 若4是第三边，，故该奇异三角形的第三边为或4，故②错误； 设直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为c，则①， 又∵该直角三角形是奇异三角形， ∴②， 将①代入②得，即（不合题意，舍去）， ∴③， 将①代入③得，即， 将代入①得，即， 则a:b:c=，故③正确； ∵为奇异三角形且是直角三角形，但没有斜边的条件，无法确定每条边的长度，且与△ABC无关联，故无法判断④正确，故④错误； 故选：A． 【点拨】此题考查了新定义，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握各知识点并正确理解新定义是解题的关键． 【变式2】（2026·四川成都·模拟预测）一个直角三角形的边长都是整数，则称这种直角三角形为“完美勾股三角形”，k为其面积和周长的比值．当时，满足条件的“完美勾股三角形”的周长为__________；当时，若存在“完美勾股三角形”，则__________． 【答案】 或1 【分析】本题考查了直角三角形，都是各边长都是整数，利用的直角三角形来研究，对三边同时扩大倍数来计算，看是否满足题意即可求解． 解：设直角三角形的边长分别为，其中为直角边，且， 由题意知：， 利用特殊的勾三股四直角三角形来研究， 当，上式不成立， 依次将扩大相同的倍数， 当都扩大4倍时：，等式成立， 故此时满足条件的“完美勾股三角形”的周长为：； 当时，当时， ， 当时， ， 故答案为：，或1． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图（1），在中，已知，于，点、分别从、两点同时出发，其中点沿向终点运动，速度为；点沿、向终点运动，速度为，设它们运动的时间为． （1）当　　　　　时，； （2）当时，求出使的值； （3）当时， ①是否存在，使是直角三角形？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； ②设与交于点，探索：与的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）①，②， 理由如下：作于，如图（3）（备用）      ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】（1）先证为等边三角形，则当时，，即，求解即可； （2）当，点在上，点在上，证为等边三角形，则，即，求解即可； （3）当时，点在上，点在上，①分两种情况，当或时，②作于，证即可． 解：（1）如图（1），，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴当时， ， ∴，即 ，解得， 故答案为：， （2）当，点在上，点在上，如图（2）（备用），        ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，即， 解得：， （3）当时，点在上，点在上， ，， ①当时，， ∵，∴，即，解得（不合题意,舍去）， 当时，，   即 ，解得：， 综上所述，使是直角三角形的的值是， ②略 【点拨】此题考查了等边三角形的判定与性质和动点问题，全等三角形的判定和性质，解题的关键添加适当辅助线构造三角形和等边三角形的判定与性质及其应用． 【题型3】 动点基础——含参数线段代数式表示 考向：根据动点运动速度、时间，用含 的代数式表示线段，确定自变量取值范围 【例题3】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在Rt△ABC中，，，动点P从B出发沿射线以1 cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）． （1）求边的长． （2）当为等腰三角形时，求t的值． 【答案】（1）；（2）或10或16 【分析】（1）利用勾股定理进行计算即可； （2）分，，三种情况分类讨论即可． （1）解：在Rt△ABC中，，， ∴设为，则：为， 则：， ∴或（舍）， ∴； （2）当时，如图， 则， 在中，， ∴， 解得；        当时，如图， 则；    当时，如图， 则； ∴，                            综上，t的值为或10或16． 【点拨】本题考查直角三角形中的动点问题，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式1】（2026九年级·吉林·专题练习）如图，在中，，，D是的中点，动点P从点A出发以的速度沿向终点C运动（点P不与点A，C重合），设运动时间为，当的垂直平分线恰好经过点D时，t的值为（     ） A．21 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟悉并掌握这些结论是解决此题的关键． 先根据题意得出，进而得出，再运用勾股定理即可得出t的值． 解：根据题意得，，则，连接， ，是的中点， ，， 的垂直平分线恰好经过点， ， ，， ， ， ， ， 即， 解得： 故选：B． 【变式2】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为，则当________时，是等边三角形． 【答案】3 解：如图：当，时， ∴为等边三角形， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·云南保山·阶段检测）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t（s）． （1）求BC边的长． （2）当为直角三角形时，求t的值． 【答案】（1）；（2）t的值为4或 【分析】（1）利用勾股定理求解即可得； （2）先求出BP=2tcm，再分①当，②当两种情况，利用勾股定理求解即可得． 解：（1）在中， 由勾股定理得， ∴． （2）由题意知． ①当时，如图1，点P与点C重合，， ∴． ②当时，如图2，，． 在中，， 在中，， 因此， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为4或．               图1                             图2 【点拨】本题考查了勾股定理，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键． 【题型4】动点等腰三角形——勾股方程求参数 考向：动点运动形成等腰三角形，设运动时间 ，结合勾股定理列方程求解 【例题4】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，中，，，，若动点从点出发，沿着的三条边顺时针走一圈回到点，且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）求为何值时，平分； （2）______时，为等腰三角形？ 【答案】（1）当为3时，平分；（2）当或或12或13时，为等腰三角形． 【分析】本题是三角形的综合题，考查的是等腰三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握等腰三角形的判定定理和性质定理、分类讨论的思想和数形结合的思想是解题的关键． （1）作于，证明△△，得出，由勾股定理可得出答案； （2）分情况讨论：①在边上时，有一种情况；②点在边上时，有三种情况；③在边上时，不能构成三角形． （1）解：作于，如图1所示： 则， 平分， ， 在△和△中， ， △△， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， 即当为3时，平分； （2）解：①当点在上，如图，时，， 则； ②当点在上，如图3，时，过作于， ， ， 在中，， ，为边上的高， ， ， ， 则， 当时，， ， ， 当时， 如图，作于， 则， ， ， ， ， ③在边上时，不能构成三角形； 综上所述，当或或12或13时，为等腰三角形． 【变式1】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为t秒，若是等腰三角形时，则t的值为（    ） A．10 B．16 C．10或16 D．10或16或 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的定义，解题的关键是注意分类讨论．根据为等腰三角形进行分类讨论，分别求出的长，即可求出t． 解：中，，，， 由勾股定理得：， ∵动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，运动的时间为t秒， ∴， ①时，如图所示： ∵， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图所示： ∵， ∴， 解得：； ③当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当t分别为、10、16时，为等腰三角形． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，等腰三角形中，，底边，腰长为，一动点P以每秒的速度沿底边从点A向点C运动，则点P运动到使与一腰垂直时所花的时间是________秒． 【答案】7或25 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，根据勾股定理构造方程是解题的关键． 过点B作于点D，根据等腰三角形的三线合一得到，再由勾股定理求得．设点P运动t秒，则，，分两种情况讨论：①时，根据勾股定理有，据此得到关于t的方程，求解即可；②时，由①同理可求． 解：过点B作于点D， ∵，， ∴， ∴在中，． 设点P运动t秒，则，， 当时， ， ∵在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴当与腰垂直时所花的时间是7秒； 当时， ， ∵在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴当与腰垂直时所花的时间是25秒． 综上所述，点P运动到使与一腰垂直时所花的时间是7秒或25秒． 故答案为：7或25． 【变式3】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是．如图，长方形中，，，为边上一动点，从点出发，以向终点运动，同时动点从点出发，以向终点运动，运动的时间为． （1）当时， 求线段的长； 当平分时，求的值； （2）若，且是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】（1）线段的长为；的值为；（2）的值为或． 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）当时，则，由题意得，，然后通过勾股定理即可求解； 当时，由题意得，，，，所以，，又平分时，所以，则，得，则，然后求出的值即可； （）当时，由题意可得，，，在中，分为当时，当时，两种情况求解即可． （1）解：当时，则， 由题意得，，， ∴， ∴线段的长为； 如图， 当时，由题意得，，，， ∴，， ∵平分时， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （2）解：当时，由题意可得，，， 在中，， 如图，当时，即， ∴， 解得：； 如图，当时， ∴， ∴， 解得：； 综上可得：是以为腰的等腰三角形，的值为或． 【题型5】动点直角三角形——勾股方程求参数 考向：动点运动形成直角三角形，区分直角顶点分类列式，利用勾股定理求运动时间 【例题5】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动时间为秒（）． （1）当点在点左侧时， ，当点在点右侧时， （用含的代数式表示）； （2）当为直角三角形时，求的值； （3）当为等腰三角形时，请直接写出的值 ． 【答案】（1），；（2）的值为或；（3）或或 【分析】本题考查三角形综合，涉及勾股定理、等腰三角形性质，根据点的运动情况分类讨论是解决问题的关键． （1）先由勾股定理得到，在求出，分情况表示即可得到答案； （2）分三种情况：当点在点左侧时；当点与点重合时；当点在点右侧时；由勾股定理求解即可得到答案； （3）分三种情况：当点在点左侧，时；当点在点右侧，或时；由等腰三角形性质列式求解即可得到答案． （1）解：在中，，，，则由勾股定理可得， 动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动时间为秒（）， ， 则当点在点左侧时，，当点在点右侧时，， 故答案为：，； （2）解：由（1）可知，是直角三角形， 当点在点左侧时，不可能为直角三角形； 当点与点重合时，为直角三角形， 则， ； 当点在点右侧时，若为直角三角形，如图所示： 在中，，，，则由勾股定理可得， 在中，，，，则由勾股定理可得， 即， 解得； 综上所述，当为直角三角形时，的值为或； （3）解：由（1）可知，是直角三角形， 当点在点左侧时，若为等腰三角形，如图所示： ， ，，， 在中，，由勾股定理可得， 即， 解得； 当点在点右侧时，若为等腰三角形， 当时，如图所示： 则， ， ； 当时，如图所示： ； 综上所述，当为等腰三角形时，的值为或或， 故答案为：或或． 【变式1】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，点A是射线外一点，连接，若，点A到的距离为．动点P从点B出发沿射线以的逃速度运动．设运动的时间为t秒，当t为（   ）秒时，为直角三角形． A． B． C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】根据勾股定理，先求出的长，再分情况讨论：当时，当时分别求解即可． 解：过点作， 点到的距离为， ， ， 根据勾股定理，得， 当时，如图所示： 此时点与点重合， 根据题意，得， 解得； 当时，如图所示： ，，，， ， 根据勾股定理，得，， ， 解得， 或， 故选：D． 【点拨】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论． 【变式2】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，长方形中，，，点E为射线上一动点（不与点D重合），将沿翻折得到，连接，若为直角三角形，则的长为______． 【答案】9或25 【分析】本题考查折叠的性质，长方形的性质，勾股定理，解题的关键是正确进行分类讨论． 分为两种情况，一种是点E在线段上，另一种是点E在的延长线上，利用勾股定理分别求解即可． 解：将沿翻折得到， ，， ①如图1，当点E在线段上时， ， ，，E三点共线. ， . ， ； ②如图2，当点E在的延长线上时， ，，， . 设，则， ， ， ， 解得， ， 综上，的值为9或 故答案为：9或 【变式3】（25-26八年级上·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设点P运动的时间为t秒． （1）当点P运动到线段的垂直平分线上时，求的长． （2）当为直角三角形时，求出t的值． 【答案】（1）；（2）8或 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方，以及正确作出辅助线，构造直角三角形． （1）连接，设的长为，则，，根据勾股定理可得，列出方程，求出的值，即可得出； （2）根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，即可解答． （1）解：如图，连接． 因为点P在的垂直平分线上， 所以． 设的长为，则，． 在中，根据勾股定理可得，即， 解得， 所以的长为； （2）解：当时，点P和点C重合，； 如图，当时，，， ∴， 在中，根据勾股定理得， 即①． 在中，根据勾股定理得，， 即②． 结合①和②得， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为8或． 【题型6】动点背景下面积分类讨论计算 考向：动点运动引发三角形面积变化，用含 的代数式表示面积，根据面积值求参数 【例题6】（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段检测）如图，在中，，，，，是边上的两个动点，点从点开始沿方向运动且速度为，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是，在边上的运动速度是．，两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设运动时间为（单位：），请解答： （1）边的长为______． （2）当时，求的面积． （3）当时，求的长． （4）当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）直接利用勾股定理可得答案； （2）确定，求出当时，，，再根据三角形面积公式可得答案； （3）如图，设运动时间为时，，得，进一步得，再根据得到关于的方程，求解后可得答案； （4）如图，设运动时间为时，，连接，得，，，，再根据勾股定理推出，得到关于的方程，求解后可得答案． （1）解：∵在中，，，， ∴， ∴边的长为； （2）解：∵，是边上的两个动点，点从点开始沿方向运动且速度为，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是，在边上的运动速度是，，两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动，设运动时间为（单位：）， ∴点从点到点的运动时间为：， 点从点到点的运动时间为：， ∴， 当时，，， ∴，此时点在线段上，如图， ∴， ∴的面积为； （3）解：如图，设运动时间为时，， ∴， ∵，，，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 此时点在线段上， ∴， ∴； （4）解：如图，设运动时间为时，，连接， 此时点在线段上， ∴，， ∵，，，， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 即， ∴， 解得：． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图1，在中，，，动点从点运动到点再到点后停止，速度为，其中的面积与运动时间的关系如图2，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，勾股定理的应用，正确看懂图象是解题的关键． 由题意可得动点从点运动到点再到点的时间为，则可得，利用勾股定理列方程即可解答． 解：由图象可得动点从点运动到点再到点的时间为， ， 设，则， 在中，根据勾股定理可得， 解得，即， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，D是边上的一个动点，点E与点A关于直线对称，   （1）的面积=______． （2）当为直角三角形时，则的长为  ______ ． 【答案】 48 2或14 【分析】第一空作边上的高，根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式求解即可；第二空分两种情况：①当点D在上时；②当点D在上时；进行讨论即可求解． 解：过点C作于点F，如图， ∵， ∴， ∴， ∴=； 故答案为48. ①如图1，当点D在上时， ∵， ∴． ∴ 45°． ∴． ∴． ②如图2，当点D在上时， ∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：48，2或14 【点拨】主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题． 【变式3】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知中，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）出发2秒后，求的面积； （2）当点在边上运动时，通过计算说明能否把的周长平分？ （3）当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 【答案】（1）4；（2）解：由勾股定理得： ， 根据题意得：， ， 当在上时有，解得，由题知，即， 若能把的周长平分，则， 即， 解得， 此时， 不合题意， 点在边上运动时，通过计算不能把的周长平分； （3）当t为秒或6秒或秒时，为等腰三角形 【分析】（1）根据点的运动速度求出，再根据三角形面积公式求解即可； （2）由勾股定理求出，由题意得出方程，解方程求出，即可得出结论； （3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当时（图1），则，可证明，则，则，从而求得； ②当时（图2），则，易求得； ③当时（图3），过点作于点，则求出，即可得出． 解：（1）（1），， ， ； （2）略 （3）①当时，如图所示： 则， ， ， ， ， ， ， ， 秒， ②当时，如图所示： ， ， 秒， ③当时，如图3所示： 过点作于点， 则， ， ， ， 秒 ． 由上可知，当为秒或6秒或秒时，为等腰三角形． 【点拨】本题考查了直角三角形的性质、动点问题的分类讨论、等腰三角形的判定、周长平分的逻辑分析等知识点。解题关键是结合动点运动阶段，对不同位置下的几何关系进行分类讨论，再利用勾股定理、线段和差等知识建立等式求解． 【题型7】特殊三角形综合探究压轴 考向：多小问压轴大题，融合等腰、直角、勾股、存在性问题 【例题7】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）探究解题 （1）发现：如图1，点为线段外一动点，且，．线段的最大值是________． （2）应用：点为线段外一动点，如图2所示，分别以，为边作等边和等边，连接、，若，，求出线段长的最大值并说明理由． （3）拓展：如图3，，，，，求线段最大值为___________________，此时的面积为______________． 【答案】（1）；（2）线段长的最大值为， 理由：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∵， 即， 最大值为7， ∴线段长的最大值为； （3）， 【分析】（1）根据即可确定线段的最大值； （2）根据得到，当点在线段的延长线上时，最大，即最大； （3）根据得到，当点在线段的延长线上时，最大，在中，根据勾股定理得，；再过点作，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而得到的面积． （1）解：， ∵，， ∴， ∴的最大值是7； （2）略 （3）解：过点作，且，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∵， 即， ∴线段长的最大值为； 在中，，根据勾股定理得， ， ∴， ∴线段最大值为； 过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接EF，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①先证明，再证明，进而可依据“”判定；由此可对结论①进行判断；②根据①的结论正确得，再证明，进而可依据判定，进而根据全等三角形的性质可对结论②进行判断；③根据全等三角形性质得，再根据已知得，则，由此可得出的面积，进而可对结论③进行判断；④根据，，可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 解：①∵， ∴为等腰直角三角形, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论②正确， ③∵， ∴，， ∴， ∵，，． ∴， ∴， ∴，故结论③正确， ④在中，， ∵， ∴， 故结论④正确， 综上所述：正确得结论是①②③④． 【变式2】（26-27八年级上·安徽池州·阶段检测）如图，正方形的面积为144，H是边上的一个动点，将正方形沿过点H的直线折叠（点G在边上）． （1）若，则__________． （2）若点D的对应点E恰好落在边上的三等分点处，则线段的长是__________． 【答案】 或 【分析】（1）根据题意可得，再由四边形是正方形，可得，即可得； （2）由正方形的面积为144，可得，由E为的三等分点，可得或，再由折叠可知，设，利用勾股定理列方程即可求解． 解：（1）由折叠可得，， ∵， ∴， ∵H是边上的一个动点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． （2）∵正方形的面积为144， ∴正方形的边长为12，即， ∵E为的三等分点， ∴或， 由折叠可知， 设，则， 当时， 在中，， ∴， 解得； 当时， 在中，， ∴， 解得； 综上所述，的长为或． 【变式3】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）【问题提出】 （1）如图1，在中，，，点、在边上（点在点的左侧），连接、，．过点作，且，连接、． ①试说明：； ②试说明：； 【拓展应用】 （2）如图2，校园中心有一个形如等腰的花圃，其中，，观景石在花圃的内部，测得，现在为了安装喷水装置，以点为起点向外作延伸管道，满足，，工人现需要根据、、三段小路的长度，规划水管的铺设长度，请你帮助工人探究线段、、之间的数量关系．（观景石的大小以及小路、管道的宽度均忽略不计） 【答案】（1）①∵在中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴； ②∵，， ∴ ∴， 又，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，则； （2） 【分析】（1）①先根据勾股定理的逆定理得到，进而证明，然后利用“”证明三角形全等即可； ②先证明得到，再根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质证明，，然后利用勾股定理可得结论； （2）先证明得到，再根据等腰直角三角形的性质得到，，进而可得，然后利用勾股定理可得结论． 解：（1）①略； ②略； （2）解：∵，， ∴，又，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，则． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $