3.1 认识不等式 同步讲义 2026--2027学年浙教版八年级数学上册

3.1 认识不等式 内 容 导 航 题型1 不等式的定义 题型2 在数轴上表示不等式的解集 题型3 由实际问题抽象出一元一次不等式 考 点 演 练 题型1 不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 【典例1】南昌市春季某日的最高气温是22℃，最低气温是12℃，则南昌当日气温t（℃）的变化范围是（　　） A．t≤22 B．t≥12 C．12＜t＜22 D．12≤t≤22 【变式1】下列各式中，是不等式的是（　　） A．x+2 B．x＜1 C．x＝1 D．x+4＝5 【变式2】乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过3500米．若用x（米）表示乌鞘岭主峰的海拔高度，则x满足的关系为（　　） A．x＜3500 B．x≤3500 C．x≥3500 D．x＞3500 【变式3】下列式子：①﹣2＜0；②2x+3y≥0；③x＝3；④x+y中，是不等式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 在数轴上表示不等式的解集 解｜题｜知｜识 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 【典例1】不等式x≤3的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】不等式x≥﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】不等式x﹣3＞0的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（　　） A．x≥﹣1 B．x＞1 C．﹣3＜x≤﹣1 D．x＞﹣3 题型3 由实际问题抽象出一元一次不等式 解｜题｜知｜识 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 【典例1】用适当的不等式表示下列数量关系： （1）x减去3大于10； （2）x的3倍与5的差是负数； （3）x的与1的和是非负数； （4）y的3倍与9的差不大于﹣1． 过 关 验 收 1．一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式　 　 ． 2．已知x≥5的最小值为a，x≤﹣7的最大值为b，则ab＝　 ． 3．（1）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式．（等式用〇，不等式用√，在横线上表示） ①4＜5　 　 ； ②x2+1＞0　 　 ； ③x＜2x﹣5　 　 ； ④x＝2x+3　 　 ； ⑤3a2+a　 　 ； ⑥a2+2a≥4a﹣2　 　 ． （2）已知：如图，BD，CE是△ABC的高，且BD＝CE，求证：△ABC是等腰三角形． 4．不等式﹣3x≤6的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 5．某关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，根据图示，该不等式组的解集为 　 ． 6．如图，数轴上表示的解集为　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 认识不等式 内 容 导 航 题型1 不等式的定义 题型2 在数轴上表示不等式的解集 题型3 由实际问题抽象出一元一次不等式 考 点 演 练 题型1 不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 【典例1】南昌市春季某日的最高气温是22℃，最低气温是12℃，则南昌当日气温t（℃）的变化范围是（　　） A．t≤22 B．t≥12 C．12＜t＜22 D．12≤t≤22 【答案】D 【解答】解：由题意可得：， 当天气温t（℃）的变化范围是12≤t≤22． 故选：D． 【变式1】下列各式中，是不等式的是（　　） A．x+2 B．x＜1 C．x＝1 D．x+4＝5 【答案】B 【解答】解：不等式是用不等号（如“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”等）连接的式子， 选项A：x+2 是代数式，不含等号或不等号，不是不等式； 选项B：x＜1 用“＜”连接，符合不等式的定义； 选项C：x＝1 是等式，用“＝”连接； 选项D：x+4＝5 是等式，同样用“＝”连接； 故选：B． 【变式2】乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过3500米．若用x（米）表示乌鞘岭主峰的海拔高度，则x满足的关系为（　　） A．x＜3500 B．x≤3500 C．x≥3500 D．x＞3500 【答案】D 【解答】解：∵乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过3500米，x（米）表示乌鞘岭主峰的海拔高度， ∴x＞3500， 故选：D． 【变式3】下列式子：①﹣2＜0；②2x+3y≥0；③x＝3；④x+y中，是不等式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①﹣2＜0；②2x+3y≥0是用不等号连接的式子，故是不等式． 故选：B． 题型2 在数轴上表示不等式的解集 解｜题｜知｜识 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 【典例1】不等式x≤3的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图所示：x≤3， 故选：D． 【变式1】不等式x≥﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：选项A中的数轴所表示的不等式的解集为x＞﹣1，因此选项A不符合题意； 选项B中的数轴所表示的不等式的解集为x＜﹣1，因此选项B不符合题意； 选项C中的数轴所表示的不等式的解集为x≥﹣1，因此选项C符合题意； 选项D中的数轴所表示的不等式的解集为x≤﹣1，因此选项D不符合题意． 故选：C． 【变式2】不等式x﹣3＞0的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：不等式x﹣3＞0的解集为x＞3． ∵解集x＞3在数轴上表现为不包括端点的射线， D、B、C都不正确． 故选：A． 【变式3】已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（　　） A．x≥﹣1 B．x＞1 C．﹣3＜x≤﹣1 D．x＞﹣3 【答案】A 【解答】解：两个不等式的解集的公共部分是：﹣1及其右边的部分．即大于等于﹣1的数组成的集合． 故选：A． 题型3 由实际问题抽象出一元一次不等式 解｜题｜知｜识 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 【典例1】用适当的不等式表示下列数量关系： （1）x减去3大于10； （2）x的3倍与5的差是负数； （3）x的与1的和是非负数； （4）y的3倍与9的差不大于﹣1． 【答案】（1）x﹣3＞10； （2）3x﹣5＜0； （3）x+1≥0； （4）3y﹣9≤﹣1． 【解答】解：（1）x减去3大于10可以表示为x﹣3＞10； （2）x的3倍与5的差是负数可以表示为3x﹣5＜0； （3）x的与1的和是非负数可以表示为； （4）y的3倍与9的差不大于﹣1，可以表示为3y﹣9≤﹣1． 过 关 验 收 1．一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式　2m﹣n≥5　 ． 【答案】2m﹣n≥5． 【解答】解：由题意得：2m﹣n≥5， 故答案为：2m﹣n≥5． 2．已知x≥5的最小值为a，x≤﹣7的最大值为b，则ab＝　﹣35　 ． 【答案】﹣35 【解答】解：因为x≥5的最小值是a，a＝5； x≤﹣7的最大值是b，则b＝﹣7； 则ab＝5×（﹣7）＝﹣35． 故答案为：﹣35． 3．（1）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式．（等式用〇，不等式用√，在横线上表示） ①4＜5　不等式　 ； ②x2+1＞0　不等式　 ； ③x＜2x﹣5　不等式　 ； ④x＝2x+3　不等式　 ； ⑤3a2+a　等式　 ； ⑥a2+2a≥4a﹣2　不等式　 ． （2）已知：如图，BD，CE是△ABC的高，且BD＝CE，求证：△ABC是等腰三角形． 【答案】（1）①不等式；②不等式；③不等式；④等式；⑥不等式； （2）∵S△ABCAB•CEAC•DB，BD＝CE， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 【解答】解：（1）①∵4＜5是用不等号连接表示不相等关系的式子，∴4＜5是不等式； ②∵x2+1＞0是用不等号连接表示不相等关系的式子，∴x2+1＞0是不等式； ③x＜2x﹣5是用不等号连接表示不相等关系的式子，∴x＜2x﹣5是不等式； ∵④x＝2x+3是用等号连接表示相等关系的式子，∴x＝2x+3是等式； ⑤3a2+a既不是等式也不是不等式，3a2+a是一个代数式； ∵⑥a2+2a≥4a﹣2是用不等号连接表示不相等关系的式子，∴a2+2a≥4a﹣2是不等式． 故答案为：①不等式；②不等式；③不等式；④等式；⑥不等式； （2）∵S△ABCAB•CEAC•DB，BD＝CE， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 4．不等式﹣3x≤6的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：﹣3x≤6， x≥﹣2． 不等式的解集在数轴上表示为： ． 故选：D． 5．某关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，根据图示，该不等式组的解集为 　﹣2≤x　 ． 【答案】﹣2≤x． 【解答】解：观察数轴可得：这两个不等式组成的不等式组的解集为﹣2≤x． 故答案为：﹣2≤x． 6．如图，数轴上表示的解集为　﹣3＜x≤2　 ． 【答案】﹣3＜x≤2． 【解答】解：由题意得：不等式的解集是﹣3＜x≤2． 故答案为：﹣3＜x≤2． 学科网（北京）股份有限公司 $