专题 2.9 特殊三角形 全章复习讲义 - 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理特殊三角形全章内容，涵盖图形的轴对称、等腰三角形（重点）、等边三角形、逆命题与逆定理、直角三角形性质与勾股定理（重难点）及全等判定，以定义-性质-判定为逻辑主线呈现知识脉络。 讲义亮点在于题型精析设计10类典型题，如等腰三角形分类讨论、勾股逆定理判定直角三角形，通过例题+变式题组培养数学思维中的推理能力和运算能力，基础题巩固知识，综合题提升探究能力，为教师精准教学提供分层素材。

专题 2.9 特殊三角形全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】图形的轴对称 1 【知识点二】等腰三角形（重点） 2 【知识点三】等边三角形（等腰三角形特殊形式） 2 【知识点四】逆命题与逆定理 3 【知识点五】直角三角形性质与勾股定理（重难点） 3 【知识点六】直角三角形全等的判定 3 二.题型精析 4 【题型 1】等腰三角形角度计算（等边对等角） 4 【题型 2】等腰三角形分类讨论（等腰三角形定义） 6 【题型 3】逆命题与逆定理辨析与线段垂直平分线 9 【题型 4】勾股定理基础计算 13 【题型 5】HL定理证明直角三角形全等 17 【题型 6】等腰三角形三线合一综合证明 20 【题型 7】勾股逆定理判定直角三角形 23 【题型 8】直角三角形斜边中线+30°角综合应用 27 【题型 9】等边三角形性质与判定综合 30 【题型 10】等腰三角形性质与判定综合 34 三.同步检测 38 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 38 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 45 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 52 一.知识梳理 【知识点一】图形的轴对称 1. 轴对称相关概念 （1）轴对称：两个图形沿一条直线折叠后能够完全重合，这条直线叫做对称轴。 （2）轴对称图形：一个图形沿某条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合的图形。 （3）核心性质：轴对称图形（或成轴对称的两个图形）对应线段相等、对应角相等；对称轴垂直平分所有对应点的连线。 2. 线段垂直平分线 （1）性质定理：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。 （2）判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 （3）结论：线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的所有点的集合。 【知识点二】等腰三角形（重点） 1. 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。其中相等的两边为腰，第三边为底边；两腰的夹角为顶角，腰与底边的夹角为底角。 2. 核心性质 （1）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。 （2）三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（高频考点）。 （3）对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边的垂直平分线。 3. 判定定理 （1）定义判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 （2）等角对等边：有两个角相等的三角形，这两个角所对的边相等，该三角形为等腰三角形。 【知识点三】等边三角形（等腰三角形特殊形式） 1. 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 2. 性质： （1）三边相等，三个内角均为60°； （2）具备等腰三角形所有性质，三条边上均满足“三线合一”； （3）有3条对称轴。 3. 判定： （1）三边相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 【知识点四】逆命题与逆定理 1. 命题组成：所有命题都由条件和结论两部分组成，可改写为“如果……那么……”的标准形式。 2. 逆命题与逆定理 （1）逆命题：将原命题的条件和结论互换，得到的新命题即为原命题的逆命题； （2）逆定理：若一个定理的逆命题经过证明为真命题，则该逆命题为原定理的逆定理； （3）易错点：原命题为真，逆命题不一定为真；定理一定有逆命题，但不一定有逆定理。 【知识点五】直角三角形性质与勾股定理（重难点） 1. 直角三角形基础性质 （1）两锐角互余：直角三角形的两个锐角之和为90°； （2）斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （3）30°角性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；反之，若直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30°。 2. 勾股定理 （1）定理内容：在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边为a、b，斜边为c，则 ； （2）逆定理：若三角形三边长a、b、c满足，则该三角形为直角三角形； （3）常用勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17（可直接用于快速解题）。 【知识点六】直角三角形全等的判定 1. 通用判定方法（适用于所有三角形）：SSS、SAS、ASA、AAS； 2. 专属判定方法（HL定理）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； 3. 注意：HL定理仅适用于直角三角形，无需验证锐角或另一条直角边。 二.题型精析 【题型 1】等腰三角形角度计算（等边对等角） 【例题1】（2026·河北石家庄·一模）如图，，，点在边上，和相交于点． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1）；（2）证明：∵， ∴， 由（1）知 ， 又∵， ∴ ， 即， 在和中， ， ∴． 【分析】（1）在和中，利用三角形内角和定理可得 ，从而得到答案； （2）先证明，，再利用可证得． （1）解：在和中， ∵，， ∴ ， 又∵，， ∴ . （2）略 【变式1】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，即可求解． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 【变式2】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，平分，，若，则的度数是_______ 【答案】/132度 【分析】本题考查了等边对等角，角平分线的定义，三角形内角和定理．根据角平分线的定义求得，由等边对等角求得，再利用三角形内角和定理即可求解． 解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，，平分交于点D，过点A作，交的延长线于点E． （1）求的度数； （2）求证：是等腰三角形． 【答案】（1）；（2）证明：， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决问题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，由角平分线的定义求出的度数，再根据三角形外角定理即可求出结果； （2）由平行线的性质求得，由三角形内角和定理求得，根据等腰三角形的判定即可证得结论． （1）解：，， ， 平分， ， ； （2）略 【题型 2】等腰三角形分类讨论（等腰三角形定义） 【例题2】（24-25八年级上·广西钦州·阶段检测）已知的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知一条边长为4，求其余两边长． 【答案】其余两边长都为6 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，设的三边长分别为、、，其中，分为腰长或为底边两种情况进行分类讨论，即可作答． 解：为等腰三角形，且周长为， 设的三边长分别为、、，其中， 分两种情况： 当为腰长时， 底边， ， 不能构成三角形，故为腰长舍去； 当为底边时， 腰长， 为底边，为腰长符合三角形的三边关系， ． 则其余两边长都为6． 【变式1】（2025·贵州黔东南·二模）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性，三角形三边之间的关系，解二元一次方程组，等腰三角形的定义，由，得，解得，然后分为腰长时，为腰长时两种情况分析即可，熟练掌握相关性质以及运用分类讨论的思想方法是解题的关键． 解：∵， ∴，解得：， 当为腰长时，该等腰三角形三边为、、， ∵， ∴不能构成三角形； 当为腰长时，该等腰三角形三边为、、， ∵， ∴该等腰三角形存在， ∴此等腰三角形的周长， 综上：此等腰三角形的周长为， 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·重庆忠县·期末）如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角恰好等于等腰三角形的底角，那么这个三角形顶角的大小为______． 【答案】/度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，设等腰三角形的底角为，根据题意，腰上的高与另一腰的夹角也为，由于等腰三角形两底角相等，可分为两种情况：①锐角三角形；②钝角三角形讨论即可得到答案． 解：设等腰三角形的底角为，由题可得：腰上的高与另一腰的夹角也为， ∵等腰三角形两底角相等，可分为两种情况： ①锐角三角形： 由图可知，此时不满足题意，故舍去； ②钝角三角形： 由图可得：，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期末）在中， （1）若，，求的度数； （2）若是等腰三角形，，求的度数． 【答案】（1）；（2）或或 【分析】本题考查了等腰三角形、三角形的内角和定理，正确分三种情况讨论是解题关键． （1）根据三角形的内角和定理先求出，然后计算的度数即可 （2）分①，②，③，三种情况，根据等腰三角形的定义、三角形的内角和定理即可得． （1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，则， 当时，； 当时，， 综上所述，的度数为或或． 【题型 3】逆命题与逆定理辨析与线段垂直平分线 【例题3】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． （1）求证：点P在线段的垂直平分线上． （2）若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】（1）证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上； （2） 【分析】（1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． 解：（1）略 （2）解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 【变式1】（24-25八年级下·山东济宁·阶段检测）下列命题的逆命题不正确的是（   ） A．两条直线平行，内错角相等 B．相等的两个角一定是对顶角 C．若，则 D．等边三角形是锐角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了判断命题真假、写出命题的逆命题、平行线的性质、对顶角等知识点，先写出各个选项的逆命题，分析即可得解． 解：A、逆命题为：内错角相等，两直线平行，说法正确，故不符合题意； B、逆命题为：对顶角一定相等，说法正确，故不符合题意； C、逆命题为：若，则，说法正确，故不符合题意； D、逆命题为：如果一个三角形是锐角三角形，那么它是等边三角形，说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若，，则的周长最小值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，进而证明当、、三点共线，即点与点重合时，最小，最小值为，进而即可得到答案． 解：如图所示，连接， 是线段的垂直平分线， ， 的周长， 要使的周长最小，即要使最小， 当、、三点共线，即点与点重合时，最小，最小值为， ，，， ， ， 的周长最小值是， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，是等边三角形，D是外一点，连接，，，过点D作交于点F，交于点E，已知． （1）求证：垂直平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：是等边三角形， ． ， ∴点B、点D在的垂直平分线上， 垂直平分． （2） 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质、等边三角形的性质和判定，关键是灵活运用知识点进行论证求解． （1）运用垂直平分线的判定定理证明即可； （2）证明是等边三角形得，再证明可得结论． 解：（1）略 （2）解：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形， ． 由（1）可知垂直平分， ， ， ， ， ， ． 【题型 4】勾股定理基础计算 【例题4】（25-26八年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，四边形，、、，连接，且． （1）求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1）5；（2） 【分析】（1）根据，，，利用勾股定理求出； （2）如图，过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可． （1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过点作交延长线于． ∴， 由（1）知，又知， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【变式1】（2025·天津·二模）如图，中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．则线段的长为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线的作法和性质是解题关键．首先根据勾股定理解得的值，由作图可知，垂直平分，易得；设，则，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 解：∵，，， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴， 设，则， 在中，可有， ∴，解得， ∴． 故选：C． 【变式2】（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 【变式3】（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质： （1）由线段中点的定义得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质得到，则可得到，设，则，再由勾股定理建立方程求解即可． （1）解：∵，是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【题型 5】HL定理证明直角三角形全等 【例题5】（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）4． 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 解：（1）略 （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，，能保证成立条件有（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形全等的判定条件，掌握直角三角形全等的判定条件是解答本题的关键． 根据直角三角形全等的判定条件逐个判断即可解答． 解： 根据直角三角形全等的判定条件“”，即斜边和一条直角边对应相等， 和满足定理“”， ①满足AAS定理可证明 故选：C． 【变式2】（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出． 解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 在中根据勾股定理得：． 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵平分，，, ∴； ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； （2） 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，掌握这两个知识点是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理得，再由可证明，从而有；由即可求证结论成立； （2）证明，则；由得，则，由此即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型 6】等腰三角形三线合一综合证明 【例题6】（2026·四川南充·一模）如图，在中，为的中线，以点为圆心，以长为半径画弧，与、分别交于点E、F，连接、． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）的度数为 【分析】（1）根据三线合一得出．由作图知：．由可证明； （2）由等腰三角形的性质求出，由作图知：．得出，进而利用三角形内角和即可得出答案． 解：（1）证明：，为的中线， ． 由作图可得． 在和中， ， ； （2）解：，为的中线， ， ∵， ， 由作图可得， ， ∴， 又， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·北京东城·期末）如图，在中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，先根据等腰三角形三线合一的性质可得，则，再由等边对等角得，最后通过三角形的外角性质即可求解，然后再运用角的和差即可解答，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵，是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知在中，是边上的高，垂足为点，点在射线上，连接，若，，，则______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质；根据三线合一的性质得出，然后分类讨论，即可求解． 解：如图所示，当点在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，当点在线段上时， ∵， ∴． 故答案为：或． 【变式3】（23-24八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，过的中点O作，，垂足分别为点D、E． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵O是的中点， ∴平分， ∵，， ∴； （2） 【分析】（1）连接，易证平分，由角平分线的性质定理即可得到； （2）由，，先求出，由及三角形内角和定理即可求出的度数． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型 7】勾股逆定理判定直角三角形 【例题7】（25-26八年级上·北京石景山·期末）如图，在和中，，，，，．求证：． 【答案】解：在上截取，连接， ∵，，， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】要证明，只需证明为直角三角形且．我们通过在上截取，构造全等三角形，将转化为，再在中用勾股定理逆定理判定直角，求出的长度，最后回到验证勾股定理逆定理即可． 解：略 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理，熟练掌握通过构造全等三角形实现线段与角的转化，再结合勾股定理逆定理判定直角是解题的关键． 【变式1】（2024·山东·中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形． 解：解∵ 又∵ ∴， ∴ 解得 ， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， 故选：D． 【点拨】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理． 【变式2】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则____________． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出各边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而求出的度数． 解：连接，如图． 由题意得，，， ，． 是等腰直角三角形． ． 【点拨】本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的判定，解题关键是通过勾股定理求出三角形三边长度，结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，进而得出角的度数． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，在四边形中，，，，．连接． （1）求的长度； （2）求的度数． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形性质，角度计算等． （1）根据题意利用勾股定理即可得到本题答案； （2）根据题意利用勾股定理逆定理可得，继而得到本题答案． （1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，即， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【题型 8】直角三角形斜边中线+30°角综合应用 【例题8】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是的斜边上的中线， （1）求的度数． （2）求证：为等边三角形． 【答案】（1）；（2）证明：∵ 是的斜边上的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定，熟练掌握性质和判定是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余，求的度数即可． （2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据等边三角形的判定，解答即可． （1）解：∵是的斜边上的中线， ∴， ∴． （2）略 【变式1】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，点是边的中点，以点为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，由，点是边的中点，得到，从而得到， 由题意可知，，得到，再根据三角形内角和定理得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 解：∵在中，，点是边的中点， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，平分，是中点，若，则的长为______ 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，由直角三角形的性质可得，即得，得到，再根据直角三角形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）如图，四边形中，，，E、F分别是和的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解；（2）6 【分析】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质可以证明结论成立； （2）利用直角三角形的斜边上的中线的性质和等边三角形的判定与性质得到，，是等边三角形，可得出结论． 解：（1）证明：连接、，如图所示： ，，E、F分别是和的中点， 在中，在中， ， 是的中点， ； （2）解：，，E、F分别是和的中点， 在中， ， ， 是等边三角形， 【题型 9】等边三角形性质与判定综合 【例题9】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）将含角的直角三角尺按如图方式放置在刻度尺上，与刻度尺一组互相平行的对边分别交于点、、、．若，B、C两点表示的刻度分别是，， （1）求的度数． （2）求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了两直线平行同位角相等，三角形的外角的定义及性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据三角形的外角的定义及性质，可得，再根据平行线的性质可得； （2）证明是等边三角形即可． （1）解：由题意知，，， ， ， ， （2）解：， 又， 是等边三角形， ． B、C两点表示的刻度分别是，， ， ． 【变式1】（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）如图，在中，，，将沿翻折，点A恰好落在点C处，若，则的长为（    ） A．3 B．6 C． D．12 【答案】B 【分析】由直角三角形两锐角互余求出，由折叠得，求出，由三角形内角和定理得，得是等边三角形，故可得． 解：在中，，， ∴； 由折叠得， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，若，则线段的长为______． 【答案】2 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图，等边对等角，三角形外角性质，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合作图过程得，结合等边对等角，三角形外角性质得，运用有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，进行分析，即可作答． 解：由作图过程得， ∵， ∴， 即， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·天津西青·阶段检测）如图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角．已知，牧民赶着羊从地出发，先让羊到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地． （1）能否求出整个过程所走的最短路程？___________．（用“能”或“否”填空）； （2）如果能，请你直接写出整个过程所走的最短路程；如果不能，请说明理由_________ 【答案】 能 【分析】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质． （1）根据“两点之间，线段最短”即轴对称的性质可知能求出整个过程所走的最短路程； （2）作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交直线，于点B，C，连接，即为放牧所走的最短路线．连接，根据轴对称的性质可知，，，，，即，，进而根据等边三角形的判定和性质作答即可． 解：（1）根据“两点之间，线段最短”即轴对称的性质可知能求出整个过程所走的最短路程； 故答案为：能； （2）如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交直线，于点B，C，连接，即为放牧所走的最短路线． 连接， ∵作点关于的对称点，作点关于的对称点， ∴，，，，， 即，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 【题型 10】等腰三角形性质与判定综合 【例题10】（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，，，D为边上一点，． （1）分别求、的度数； （2）求证：． 【答案】（1）．；（2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质． （1）利用等腰三角形的性质得出，再利用三角形内角和定理求得，最后通过角度和差即可求得的度数； （2）利用三角形外角性质得到，再证明出是等腰三角形，最后通过等量代换即可得出结论． （1）解：∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）略 【变式1】（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A．64 B．32 C．16 D．6 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，再由，可得，从而得到的边长为2，同理：的边长为4，的边长为8，的边长为16，即可． 解：∵为等边三角形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴的边长为2， 同理：的边长为4，的边长为8，的边长为16． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，点分别在边上，点是线段的中点，，．给出下面四个结论： ①； ②； ③若平分，则； ④若，则是等边三角形． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边三角形的判定，由三线合一定理可得，据此可判断①；根据等边对等角和三角形内角和定理可推出，进而得到，据此可判断②；若，则可导角证明，据此可判断④；根据现有条件无法证明③的结论． 解：∵，点是线段的中点， ∴，故①正确； ∴， ∴； 如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 若，则， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，故④正确； 若平分，根据现有条件无法证明，故③错误； 故答案为：①②④． 【变式3】（25-26八年级上·湖南常德·期末）【问题情境】在中，． 【特殊求解】（1）如图①，如果，是中边上的高，并且，则 °，如图②，如果，是中边上的高，并且，则 °； 【探究规律】（2）由（1）猜想：与之间有什么数量关系？请用式子表示： ； 【拓展探究】（3）如图③，如果不是中BC边上的高，但仍有，请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）解：仍然成立．理由如下： ∵， ∴． ∵，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，，根据，计算求解即可； （2）猜想；同理（1）推导即可； （3）由，可得．由，．可得．由，可得．则，进而结论得证． （1）解：如图①， ∵，，是中边上的高， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图②，同理可得，，， ∴， 故答案为：；； （2）解：猜想； ∵，是中边上的高， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）略 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2025·新疆·中考真题）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）若等腰三角形的一个腰长为，底边长为，则它的周长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的定义，根据等腰三角形两腰相等，已知腰长5cm，底边6cm，周长即为两腰与底边之和，进行求解即可． 解：∵等腰三角形腰长为，底边为， ∴周长． 故选A． 3．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，点为上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据等边对等角得出，然后利用三角形外角的性质即可求解． 解：， ， ，， ， 故选A． 4．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交AB于点，交AC于点，若，，则的周长是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质．根据平行线的性质以及角平分线的定义可得，从而得到，进而得到，再根据三角形周长公式解答即可． 解：∵， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， ∵，， ∴的周长为． 故选：C 5．（24-25八年级上·福建泉州·期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 解：“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点拨】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 6．（2026·北京顺义·一模）如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，分别交射线于点，连接，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（    ）． A．100° B．105° C．110° D．115° 【答案】C 【分析】利用作图的方法和痕迹，得到和，再利用等腰三角形的底角相等及三角形内角和为，求出答案． 解：如图所示，连， 由作图可知，，， ∴为等边三角形， ∴ ∵，， ∴， 则， ∵， ∴， 在中，， ． 7．（2026·河北·中考真题）如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（    ）    A． B． C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据正方形的面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，根据三角形的面积公式即可求解． 解：∵， ∴， ∵中，点M是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题的关键． 8．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理； 设绳索的长是，则，故，在中，利用勾股定理求解即可． 解：设绳索的长是，则， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得，， ∴绳索的长是， 故选：B． 9．（24-25八年级下·广东梅州·阶段检测）如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．过点作，垂足分别为，证明，即可得到答案． 解：过点作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知消防云梯最长只能伸长到），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键． 由题意得，，，，即为消防车的高，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解． 解：由题意，得，，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 即消防车需要从点处向点处移动的距离为． 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·天津·期末）如图，已知是等边三角形，是边上的高，点E在边上，且，则的大小为_______度． 【答案】15 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 由等边三角形的性质得 ，由等腰三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解． 解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．（2025·重庆·一模）如图，在中，于点，交于点，，则___________． 【答案】/70度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 根据直角三角形的两个锐角互余计算即可． 解：， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）：_______．    【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等直角三角形，进而得出角平分线． 过点作于点于点．因为直尺的宽度相等，所以，同时（公共边），，证明， 可得，即平分，因此这种画法的依据是． 解：如图2中，过点P作于点M，于点N．    ∵尺的宽度相等， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴平分， 画法的依据是：． 故答案为：． 14．（2025·天津河东·一模）如图，在中，，，点在边上，点在外，连接，若，则： （1）线段的长等于___________； （2）线段的长等于___________． 【答案】 / ## 【分析】（1）根据勾股定理得到，再由，即可得到 （2）设交于点M，由，得到，在根据三角形内角和定理得到，，，再由等角对等边得到，，即可解答． 解：（1）∵在中，，， ∴， ∵， ∴． （2）设交于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点拨】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，垂直定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 15．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，于，且，，若，则______． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用等腰三角形三线合一的性质得到，，再证明，得到． 解：过点A作于点H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 16．（2026·新疆·中考真题）如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点在墙面上滑动，另一顶点在地面上滑动，，，，在同一平面内，若，，则木块顶点到墙角的距离的最大值为____________． 【答案】/ 【分析】取中点，连接，根据直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，由即可得出结果． 解：取中点，连接， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最大值为， 即木块顶点到墙角的距离的最大值为． 17．（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，，点D在边上且，连接，点G在线段上（不与点C、D重合），直线l过点D，将沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与平行的直线上，那么的度数为________°． 【答案】120 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点． 先求，然后证明为等边三角形，再由平行线的性质得到，根据折叠的性质证明为等边三角形，再由角度和差计算求解． 解：如图： ∵在中，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ， ∴， 故答案为：120． 18．（2024八年级·全国·竞赛）如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点开始经过四个侧面绕到上底面的顶点，如果缠绕的圈数是，那么用在该建筑物上的灯线最短需要________米． 【答案】 【分析】本题主要考查最短路径问题，画出展开图，运用勾股定理求解即可． 解：如图， 米，米， 由勾股定理得，（米）； 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，已知，，，，求AC． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．先求出，然后根据勾股定理求出结果即可． 解：∵，， ∴． ∵， ∴为直角三角形． ∵， ∴由勾股定理知：． 20．（本小题满分8分）（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接 （1）求的长； （2）求的周长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，斜中半定理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）由题意得是线段的垂直平分线，故点D是斜边的中点．据此即可求解； （2）根据、的周长即可求解； （1）解：由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴在中，点D是斜边的中点． ∴． （2）解：在中，． ∵是线段的垂直平分线， ∴． ∴的周长． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·广东东莞·阶段检测）已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： （1）； （2）是的垂直平分线． 【答案】（1）证明：∵是平分线上的一点，，， ∴，，又， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴点O、P在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线； 【分析】本题考查全等三角形判定与性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的判定是解答的关键． （1）先根据角平分线的性质得到，再证明，利用全等三角形的对应边相等即可证得结论； （2）利用线段垂直平分线的判定可得结论． 解：（1）略 （2）略 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图，于，于，若，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出； （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 解：（1）略 （2）解：，，， ， 在和中， ， ， ． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． （1）求证：． （2）连接，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】（1）∵，是等边三角形， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）的度数为或 【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到，，，然后证明出，即可得到； （2）首先求出，然后根据等腰三角形的定义分三种情况讨论求解即可． 解：（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∵是等腰三角形 ∴①如图，当时， ∴ ∴ ∴； ②如图，当时， ∴ ∴ ∴ ∴点O在上，即点O和点D重合，不存在，不符合题意； ③如图，当时， ∵ ∴垂直平分 ∴ 综上，的度数为或． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）在中，，，点为直线上一动点（点不与点、重合），以为直角边在右侧作等腰三角形，使，连接． （1）探究：如图①，当点在线段上时，证明； （2）应用：在探究的条件下，若，,则的周长为 ； （3）拓展：①如图②，当点在线段的延长线上时，、、之间的数量关系为 ； ②如图③，当点在线段的延长线上时，、、之间的数量关系为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理． （1）判断出，再用即可得出结论； （2）先算出，进而算出，再用勾股定理求出，即可得出结论； （3）①同探究的方法得出，得出，即可得出结论； ②同探究的方法得出，得出，即可得出结论． 解：（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴， 由探究知，， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得，， ∴的周长为， 故答案为：； （3）解：①同理得，， ∴， ∴， 故答案为：； ②同理得，， ∴， ∴， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.9 特殊三角形全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】图形的轴对称 2 【知识点二】等腰三角形（重点） 2 【知识点三】等边三角形（等腰三角形特殊形式） 2 【知识点四】逆命题与逆定理 3 【知识点五】直角三角形性质与勾股定理（重难点） 3 【知识点六】直角三角形全等的判定 4 二.题型精析 4 【题型 1】等腰三角形角度计算（等边对等角） 4 【题型 2】等腰三角形分类讨论（等腰三角形定义） 5 【题型 3】逆命题与逆定理辨析与线段垂直平分线 5 【题型 4】勾股定理基础计算 6 【题型 5】HL定理证明直角三角形全等 7 【题型 6】等腰三角形三线合一综合证明 8 【题型 7】勾股逆定理判定直角三角形 9 【题型 8】直角三角形斜边中线+30°角综合应用 10 【题型 9】等边三角形性质与判定综合 11 【题型 10】等腰三角形性质与判定综合 12 三.同步检测 14 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 14 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 16 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 18 一.知识梳理 【知识点一】图形的轴对称 1. 轴对称相关概念 （1）轴对称：两个图形沿一条直线折叠后能够完全重合，这条直线叫做对称轴。 （2）轴对称图形：一个图形沿某条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合的图形。 （3）核心性质：轴对称图形（或成轴对称的两个图形）对应线段相等、对应角相等；对称轴垂直平分所有对应点的连线。 2. 线段垂直平分线 （1）性质定理：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。 （2）判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 （3）结论：线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的所有点的集合。 【知识点二】等腰三角形（重点） 1. 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。其中相等的两边为腰，第三边为底边；两腰的夹角为顶角，腰与底边的夹角为底角。 2. 核心性质 （1）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。 （2）三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（高频考点）。 （3）对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边的垂直平分线。 3. 判定定理 （1）定义判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 （2）等角对等边：有两个角相等的三角形，这两个角所对的边相等，该三角形为等腰三角形。 【知识点三】等边三角形（等腰三角形特殊形式） 1. 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 2. 性质： （1）三边相等，三个内角均为60°； （2）具备等腰三角形所有性质，三条边上均满足“三线合一”； （3）有3条对称轴。 3. 判定： （1）三边相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 【知识点四】逆命题与逆定理 1. 命题组成：所有命题都由条件和结论两部分组成，可改写为“如果……那么……”的标准形式。 2. 逆命题与逆定理 （1）逆命题：将原命题的条件和结论互换，得到的新命题即为原命题的逆命题； （2）逆定理：若一个定理的逆命题经过证明为真命题，则该逆命题为原定理的逆定理； （3）易错点：原命题为真，逆命题不一定为真；定理一定有逆命题，但不一定有逆定理。 【知识点五】直角三角形性质与勾股定理（重难点） 1. 直角三角形基础性质 （1）两锐角互余：直角三角形的两个锐角之和为90°； （2）斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （3）30°角性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；反之，若直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30°。 2. 勾股定理 （1）定理内容：在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边为a、b，斜边为c，则 ； （2）逆定理：若三角形三边长a、b、c满足，则该三角形为直角三角形； （3）常用勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17（可直接用于快速解题）。 【知识点六】直角三角形全等的判定 1. 通用判定方法（适用于所有三角形）：SSS、SAS、ASA、AAS； 2. 专属判定方法（HL定理）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； 3. 注意：HL定理仅适用于直角三角形，无需验证锐角或另一条直角边。 二.题型精析 【题型 1】等腰三角形角度计算（等边对等角） 【例题1】（2026·河北石家庄·一模）如图，，，点在边上，和相交于点． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 【变式1】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，平分，，若，则的度数是_______ 【变式3】（24-25八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，，平分交于点D，过点A作，交的延长线于点E． （1）求的度数； （2）求证：是等腰三角形． 【题型 2】等腰三角形分类讨论（等腰三角形定义） 【例题2】（24-25八年级上·广西钦州·阶段检测）已知的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知一条边长为4，求其余两边长． 【变式1】（2025·贵州黔东南·二模）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（24-25八年级上·重庆忠县·期末）如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角恰好等于等腰三角形的底角，那么这个三角形顶角的大小为______． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期末）在中， （1）若，，求的度数； （2）若是等腰三角形，，求的度数． 【题型 3】逆命题与逆定理辨析与线段垂直平分线 【例题3】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． （1）求证：点P在线段的垂直平分线上． （2）若的周长为，的周长为，求的长． 【变式1】（24-25八年级下·山东济宁·阶段检测）下列命题的逆命题不正确的是（   ） A．两条直线平行，内错角相等 B．相等的两个角一定是对顶角 C．若，则 D．等边三角形是锐角三角形 【变式2】（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若，，则的周长最小值是______． 【变式3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，是等边三角形，D是外一点，连接，，，过点D作交于点F，交于点E，已知． （1）求证：垂直平分； （2）若，，求的长． 【题型 4】勾股定理基础计算 【例题4】（25-26八年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，四边形，、、，连接，且． （1）求的长； （2）若，求的长． 【变式1】（2025·天津·二模）如图，中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．则线段的长为（   ） A．1 B． C． D．3 【变式2】（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 【变式3】（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． （1）求的长；（2）求的长． 【题型 5】HL定理证明直角三角形全等 【例题5】（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：；（2）若，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，，能保证成立条件有（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为________． 【变式3】（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求的长． 【题型 6】等腰三角形三线合一综合证明 【例题6】（2026·四川南充·一模）如图，在中，为的中线，以点为圆心，以长为半径画弧，与、分别交于点E、F，连接、． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【变式1】（23-24八年级上·北京东城·期末）如图，在中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知在中，是边上的高，垂足为点，点在射线上，连接，若，，，则______． 【变式3】（23-24八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，过的中点O作，，垂足分别为点D、E． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【题型 7】勾股逆定理判定直角三角形 【例题7】（25-26八年级上·北京石景山·期末）如图，在和中，，，，，．求证：． 【变式1】（2024·山东·中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则____________． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，在四边形中，，，，．连接． （1）求的长度； （2）求的度数． 【题型 8】直角三角形斜边中线+30°角综合应用 【例题8】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是的斜边上的中线， （1）求的度数． （2）求证：为等边三角形． 【变式1】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，点是边的中点，以点为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，平分，是中点，若，则的长为______ 【变式3】（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）如图，四边形中，，，E、F分别是和的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【题型 9】等边三角形性质与判定综合 【例题9】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）将含角的直角三角尺按如图方式放置在刻度尺上，与刻度尺一组互相平行的对边分别交于点、、、．若，B、C两点表示的刻度分别是，， （1）求的度数． （2）求的长． 【变式1】（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）如图，在中，，，将沿翻折，点A恰好落在点C处，若，则的长为（    ） A．3 B．6 C． D．12 【变式2】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，若，则线段的长为______． 【变式3】（25-26八年级上·天津西青·阶段检测）如图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角．已知，牧民赶着羊从地出发，先让羊到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地． （1）能否求出整个过程所走的最短路程？___________．（用“能”或“否”填空）； （2）如果能，请你直接写出整个过程所走的最短路程；如果不能，请说明理由_________ 【题型 10】等腰三角形性质与判定综合 【例题10】（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，，，D为边上一点，． （1）分别求、的度数； （2）求证：． 【变式1】（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A．64 B．32 C．16 D．6 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，点分别在边上，点是线段的中点，，．给出下面四个结论： ①； ②； ③若平分，则； ④若，则是等边三角形． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 【变式3】（25-26八年级上·湖南常德·期末）【问题情境】在中，． 【特殊求解】（1）如图①，如果，是中边上的高，并且，则 °，如图②，如果，是中边上的高，并且，则 °； 【探究规律】（2）由（1）猜想：与之间有什么数量关系？请用式子表示： ； 【拓展探究】（3）如图③，如果不是中BC边上的高，但仍有，请判断与之间的数量关系，并说明理由． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2025·新疆·中考真题）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）若等腰三角形的一个腰长为，底边长为，则它的周长为（   ） A． B． C． D．或 3．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，点为上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交AB于点，交AC于点，若，，则的周长是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 5．（24-25八年级上·福建泉州·期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 6．（2026·北京顺义·一模）如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，分别交射线于点，连接，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（    ）． A．100° B．105° C．110° D．115° 7．（2026·河北·中考真题）如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（    ）    A． B． C．12 D．16 8．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·广东梅州·阶段检测）如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知消防云梯最长只能伸长到），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·天津·期末）如图，已知是等边三角形，是边上的高，点E在边上，且，则的大小为_______度． 12．（2025·重庆·一模）如图，在中，于点，交于点，，则___________． 13．（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）：_______．    14．（2025·天津河东·一模）如图，在中，，，点在边上，点在外，连接，若，则： （1）线段的长等于___________； （2）线段的长等于___________． 15．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，于，且，，若，则______． 16．（2026·新疆·中考真题）如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点在墙面上滑动，另一顶点在地面上滑动，，，，在同一平面内，若，，则木块顶点到墙角的距离的最大值为____________． 17．（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，，点D在边上且，连接，点G在线段上（不与点C、D重合），直线l过点D，将沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与平行的直线上，那么的度数为________°． 18．（2024八年级·全国）如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点开始经过四个侧面绕到上底面的顶点，如果缠绕的圈数是，那么用在该建筑物上的灯线最短需要________米． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，已知，，，，求AC． 20．（本小题满分8分）（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接 （1）求的长；（2）求的周长． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·广东东莞·阶段检测）已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： （1）；（2）是的垂直平分线． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图，于，于，若，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． （1）求证：． （2）连接，当是等腰三角形时，求的度数． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）在中，，，点为直线上一动点（点不与点、重合），以为直角边在右侧作等腰三角形，使，连接． （1）探究：如图①，当点在线段上时，证明； （2）应用：在探究的条件下，若，,则的周长为 ； （3）拓展：①如图②，当点在线段的延长线上时，、、之间的数量关系为 ； ②如图③，当点在线段的延长线上时，、、之间的数量关系为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $