专题 2.12 特殊三角形复习——直角三角形、HL与斜中线综合- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题 2.12 特殊三角形复习——直角三角形、HL与斜中线综合 目录 一、知识要点回顾 1 二、题型精析 1 【题型1】直角三角形两锐角互余角度综合计算 1 【题型2】含30°角直角三角形边角计算 5 【题型3】直角三角形斜边中线基础计算 9 【题型4】共斜边双直角三角形模型综合 12 【题型5】直角三角形判定证明 16 【题型6】命题与逆命题真假辨析 19 【题型7】等面积法求直角三角形斜边上的高 22 【题型8】直角三角形性质与判定综合 25 一、知识要点回顾 1. 直角三角形基础性质：直角三角形两锐角互余；含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边长度为斜边的一半。 2. 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3. 定理推论：共斜边的两个直角三角形，斜边中点到四个顶点的距离相等。 4. 直角三角形判定方法：①有一个内角为90°的三角形是直角三角形；②两个内角互余的三角形是直角三角形。 5. HL全等判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，该判定方法仅适用于直角三角形，普通三角形不可使用。 6. 命题与逆命题：交换原命题的条件和结论，即可得到逆命题；原命题为真，逆命题不一定为真。 7. 等面积法公式：在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边长为a、b，斜边长为c，斜边上的高为h，则 。 8. 高频易错警示：斜边中线定理的适用前提是直角三角形；运用HL判定全等时，需严格区分斜边与直角边，禁止与普通三角形全等条件混用。 二、题型精析 【题型1】直角三角形两锐角互余角度综合计算 考向：依托直角三角形两锐角互余性质，结合三角形外角、对顶角性质，完成角度推导与计算 【例题1】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，交边于点，是边上的点，． （1）若，求的度数； （2）猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）解：．理由如下： 由（1）知． ， ． ， ， ， ． 由（1）知， ． 【分析】（1）先根据直角三角形的两个锐角互余，得出，根据等边对等角得出，运用三角形内角和性质，得，根据等边对等角得出，最后根据三角形的外角即可求出的度数； （2）由（1）知，结合三角形内角和得出，根据直角三角形的两个锐角互余得出，则，根据等边对等角和三角形外角的性质可得出，即可作答． （1）解：， ， ． ， ， ． ， ， ． （2）略 【变式1】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意中尺规作图可知是线段的垂直平分线，从而，再由三线合一与直角三角形两锐角互余即可求解． 解：由作图可得是线段的垂直平分线， ，， ，， ． 【变式2】（26-27八年级上·湖北·期中）如图，，，，，垂足分别为，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】由，，可以得到，再根据，可以得到，从而求得，然后利用全等三角形的性质可以求得的长． 解：，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，． ， ． 【变式3】（26-27八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在中，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F． （1）求证：． （2）当时，点E运动了多长时间？ 【答案】（1）证明：∵ ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴． （2）或 【分析】（1）根据同角的余角相等即可得到结论； （2）分点在直线的上方和点在直线的下方两种情况进行解答即可． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， 由题意可分为，当点在直线的上方时， 在和中， ， ∴， ∴； ∴， ∴点的运动时间为， 当点在直线的下方时， 同理可得， ∴， ∴点的运动时间为， ∴点的运动时间为或 【题型2】含30°角直角三角形边角计算 考向：运用30°直角三角形边角倍数关系解题，精准识别30°角对应的直角边，避免边长对应错误 【例题2】（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，为的垂直平分线，求证：． 【答案】证明：如图，连接． 为的垂直平分线， ， ． 又，， ， ， ， ． 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，确定，，再利用直角三角形的性质，证明即可． 解：证明：略． 【变式1】（26-27九年级上·广东广州·开学考试）如图，已知等边三角形的边长为10，为上一点，过点作于点，过点作于点，连结，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出，可得，推出三角形为等边三角形，即可得到，即可推出． 解：∵在等边三角形中，，， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ． 【变式2】（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，已知，点在边上，，点，在边上，．若，则的长是________． 【答案】 【分析】过点P作于点D，则，根据直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，即可求解． 解：如图，过点P作于点D，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3】（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，连接并延长交于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （2）6 【分析】（1）根据等边三角形的性质，三角形外角性质，，三角形内角和，垂直定义证明即可； （2）利用等边三角形的性质，直角三角形的性质解答即可． 解：（1）证明：略． （2）解：如图，连接， ∵等边， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【题型3】直角三角形斜边中线基础计算 考向：直接应用斜边中线定理，已知斜边求中线、已知中线求斜边，基础数值计算 【例题3】（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，是高，是中线，是的角平分线，求证：． 【答案】证明：∵是的角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】根据是的角平分线，可得，再由是高以及，可得，根据直角三角形的性质可得，从而得到，进而得到，即可求证． 解：略 【变式1】（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，为边上的中线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直角三角形的性质得到，再由等腰三角形的性质可得答案． 解：∵在中，，为边上的中线， ∴， ∴． 【变式2】（26-27八年级上·江苏·阶段检测）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点M，N，作直线分别交，于点D，E，连接，．若，则的度数为__． 【答案】/54度 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出，再求出，，可得结论． 解：∵，， ∴， 由作图可得：垂直平分， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3】（2026·河南周口·模拟预测）如图，在中，，是的中点，是上一点，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（）的条件下，若，求证：． 【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析 【分析】（）利用尺规过点作的垂线，与相交得到点即可； （）连接，利用等腰直角三角形斜边中线的性质，通过证明，从而得到． （1）解： 如图， （2）解：连接， ∵，，是中点， ∴，，且，即， 可得：， 又∵， ∴，即， ∴， 在和中： ， ∴ ∴． 【题型4】共斜边双直角三角形模型综合 考向：浙江期中高频模型，利用共斜边、斜边中点性质，证明线段相等、角度相等 【例题4】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）已知：如图，分别是的中点．求证：． 【答案】证明：如图：连接， ∵分别是的中点． ∴在中，，在中，， ∴ 又∵N是的中点， ∴． 【分析】如图：连接，利用直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长度的一半可得、，即；再利用等腰三角形三线合一的性质即可证明结论． 解：证明：略． 【变式1】（25-26八年级下·北京通州·期末）如图，在四边形中，，对角线，交于点，点是中点，，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以推出，结合和三角形内角和定理求出，再根据外角的性质推出，，最后根据进行等量代换求解即可． 解：如图，连接， ∵，点是中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵，， ∴，， ∵、分别是、的外角， ∴，， ∴，， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，，为对角线的中点，连接，，，则的度数为__________度． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得得．利用等腰三角形底角相等及外角性质，分别得，，故．由三角形的内角和定理即可得的度数． 解：∵，为对角线的中点， ∴， ∴， ∴． 同理，∵，为对角线的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，垂足为F，，垂足为E，M为的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵，， ∴均为直角三角形， ∵M为的中点， ∴， ∴； （2） 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，即可求证； （2）求出，再结合三角形内角和定理可得，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，从而得到，即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴． 【题型5】直角三角形判定证明 考向：利用角度互余、直角定义，判定并证明三角形为直角三角形 【例题5】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是上的一点，连接，作于点，于点，且平分，连接，证明：垂直平分． 【答案】证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分． 【分析】利用角平分线的性质和全等三角形的判定，再结合线段垂直平分线的判定定理即可得出结论． 解：略 【变式1】（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点是的平分线上一点，于点，于点，则利用证明就可得到，那么在“，，，，”这五种依据中，能作为上述全等三角形证明依据的有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可求解． 解：由题意知，在和中，，，，符合判定定理“”；因为已有两组角对应相等，则第三组角也一定对应相等，于是又符合“”；由角平分线的性质得，所以由判定定理“”和“”可证明；剩下判定定理“”条件不够，不能作为全等三角形的证明依据，所以能作为全等三角形证明依据的有四种． 【变式2】（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，点是内部的一点，点到三边，，，的距离，，则的度数为_______________． 【答案】/130度 【分析】由，根据证明全等得到、分别平分、，先利用三角形内角和求出，再求出，最后再次用三角形内角和算出． 解：点到三边的距离， 在和中， ， ， ， 平分， 同理，平分， ，， 在中，根据三角形内角和定理：， 即， ， ． 【变式3】（26-27八年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． （1）求证：． （2）求证：平分． 【答案】（1）证明：在和中， ， ． （2）证明：， ． ， ， ． 在和中， ， ， ， 平分． 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可求解． （2）由（1）可得，，再根据角平分线的判定定理可得结论． 解：（1）略 （2）略 【题型6】命题与逆命题真假辨析 考向：规范书写命题的逆命题，准确判断原命题、逆命题真假，区分命题与逆定理 【例题6】（26-27八年级上·山东聊城·开学考试）写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． （1）三角形的内角和等于； （2）互为相反数的两个数的绝对值相等； （3）若，则； （4）钝角三角形有两个锐角． 【答案】（1）逆命题：内角和等于的多边形是三角形，成立；（2）逆命题：绝对值相等的两个数互为相反数，不成立；（3）逆命题：若，则，成立；（4）逆命题：有两个锐角的三角形是钝角三角形，不成立． 【分析】先得出命题的逆命题，判断逆命题是否成立即可． 解：（1）原命题结构：原命题的题设为“一个多边形是三角形”，结论为“它的内角和等于”； 改写命题：题设和结论互换后得到命题“内角和等于的多边形是三角形”； 判断命题：根据多边形内角和规律，仅三角形的内角和是，故该逆命题成立． （2）原命题结构：原命题的题设为“互为相反数的两个数”，结论为“这两个数绝对值相等”； 改写命题：题设和结论互换后得到命题“绝对值相等的两个数互为相反数”； 判断命题：绝对值相等的两个正数，绝对值相等但不互为相反数，如1和1，故该逆命题不成立． （3）原命题结构：原命题的题设为“”，结论为“”； 改写命题：题设和结论互换后得到命题“若，则”； 判断命题：对于任意一个实数，它仅有一个立方根与之对应，故该逆命题成立． （4）原命题结构：原命题的题设为“一个三角形为钝角三角形”，结论为“它有两个锐角”； 改写命题：题设和结论互换后得到命题“有两个锐角的三角形是钝角三角形”； 判断命题：直角三角形有两个锐角，但直角三角形不是钝角三角形，故该逆命题不成立． 【变式1】（26-27八年级上·全国·课后作业）下列命题的逆命题不是真命题的是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．全等三角形的面积相等 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】C 【分析】根据平行线的判定，直角三角形的判定，全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定定理，逐项进行判断即可． 解：A选项逆命题：内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意； B选项逆命题：两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，故B不符合题意； C选项逆命题：面积相等的三角形是全等三角形，是假命题，例如同底等高的三角形面积相等，但不一定全等，故C符合题意； D选项逆命题：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，故D不符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江伊春·期中）把“邻补角的和是”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式为__________________________． 【答案】如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角 【分析】本题考查了逆命题，根据逆命题的定义：逆命题是将原命题的题设和结论互换所得命题，即可解答． 解：原命题“邻补角的和是”可表述为“如果两个角是邻补角，那么它们的和是”， 故其逆命题是“如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角”． 故答案为：如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角． 【变式3】（2026·广东肇庆·三模）如图，，相交于点E，，为四边形的对角线．连接，，已知．现从条件：①，②，③中任选2个，求证：垂直平分． 【答案】选择条件②，③， 证明：在和中， ， ， ， 点E在线段的垂直平分线上， ， 点F在线段的垂直平分线上， 垂直平分； 选择①，③， 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 点E在线段的垂直平分线上， ， 点F在线段的垂直平分线上， 垂直平分； 选择①，②， 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 点E在线段的垂直平分线上， 无法确定， ∴点F不一定再线段的垂直平分线上， 故选择①②不能证明垂直平分； 综上所述，选择①③或选择②③可证明垂直平分．（答案不唯一，合理即可） 【分析】根据题意，选择①③，证明，由线段垂直平分线的判定即可求解；选择②③，证明，由线段垂直平分线的判定即可求解． 解：略 【题型7】等面积法求直角三角形斜边上的高 考向：利用等面积法建立等式，求解斜边上的高线长度，为勾股方程解题铺垫基础 【例题7】（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，是上的高，平分，已知，，． （1）求证：是直角三角形． （2）求的长． 【答案】（1）证明：是上的高， ． 在中，， 在中，， ， ， ， ， 是直角三角形； （2）． 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及角平分线的性质． （1）根据勾股定理可知，即可求出的值，当时，根据勾股定理逆定理即可求证是直角三角形； （2）利用角平分线的性质可知，根据三角形面积得出，即可求出的值． 解：（1）略； （2）如图，过点作于点． 平分，由（1）得， ， ， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·山西朔州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，在中，斜边上的高是，则与的长度关系是（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，得，根据三角形的面积求出，即可得出结论． 解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴ ∴， 又， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·上海嘉定·阶段检测）直角三角形斜边上的高和中线分别为4厘米和6厘米，则此三角形面积为_____平方厘米． 【答案】24 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形的面积等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 利用直角三角形斜边上的中线性质求斜边长，再根据面积公式计算即可 解：∵直角三角形斜边上的中线为6厘米， ∴斜边长为厘米． 又∵斜边上的高为4厘米， ∴三角形面积为平方厘米． 故答案为24． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图，已知直角三角形一直角边，斜边，求这个直角三角形的周长． （2）在中，，，，求边上的高的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求得，即可求得三角形的周长； （2）先根据勾股定理求出，再根据面积列方程求解即可． 解：（1）在直角三角形中，因为，， ， ， ， 直角三角形的周长为（）； （2）在中，因为，，， ， ， ， ， ． 故边上的高的长为． 【题型8】直角三角形性质与判定综合 【例题8】（26-27七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接． （1）证明； （2）连接，同学认为平分，同学认为平分，你认为哪个是正确的？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵在线段上， ， ∵和是等边三角形， ，，， ， ，， ， ∵在和中， ， ， ， ∵在和中， ， ． （2）同学正确，平分， 理由如下：如图，连接，过点作，， 据（1）可知， 则，， 即， 可得， 故平分． 【分析】（1）先利用等边三角形性质，证明得到对应角相等，再证，进而证得； （2）过点向角两边作垂线段，借助全等三角形面积相等推导出两条垂线段相等，利用角平分线判定定理得到平分． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，于点D，平分交于点E，交于点F，，，，则的长为（     ） A． B．5 C．7 D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理可得，则可得，利用勾股定理可得，再根据角平分线的性质定理可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 作过点E作， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即. 【变式2】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积用含和的代数式表示为________． 【答案】/ 【分析】如图：过D作于G，利用角平分线的性质定理可得，再证明、可得、，再结合图形利用面积间的关系即可解答． 解：如图：过D作于G， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，平分． （1）如图1，的外角，的平分线与交于点．求证：； （2）如图2，的垂直平分线交于点，交于点，过点作于点，，交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明：平分，平分， ，，       是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ，       ； （2）的长为 【分析】（1）利用三角形外角性质和角平分线导角可得； （2）连接，，利用中垂线的性质可证，，则可求． 解：（1）略 （2）解：如图，连接，，     平分，，， ，       的垂直平分线交于点， ，       在和中， ， ，       ， 在和中， ， ，       ， ，， ， 即的长为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.12 特殊三角形复习——直角三角形、HL与斜中线综合 目录 一、知识要点回顾 1 二、题型精析 1 【题型1】直角三角形两锐角互余角度综合计算 1 【题型2】含30°角直角三角形边角计算 3 【题型3】直角三角形斜边中线基础计算 4 【题型4】共斜边双直角三角形模型综合 5 【题型5】直角三角形判定证明 6 【题型6】命题与逆命题真假辨析 7 【题型7】等面积法求直角三角形斜边上的高 8 【题型8】直角三角形性质与判定综合 9 一、知识要点回顾 1. 直角三角形基础性质：直角三角形两锐角互余；含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边长度为斜边的一半。 2. 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3. 定理推论：共斜边的两个直角三角形，斜边中点到四个顶点的距离相等。 4. 直角三角形判定方法：①有一个内角为90°的三角形是直角三角形；②两个内角互余的三角形是直角三角形。 5. HL全等判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，该判定方法仅适用于直角三角形，普通三角形不可使用。 6. 命题与逆命题：交换原命题的条件和结论，即可得到逆命题；原命题为真，逆命题不一定为真。 7. 等面积法公式：在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边长为a、b，斜边长为c，斜边上的高为h，则 。 8. 高频易错警示：斜边中线定理的适用前提是直角三角形；运用HL判定全等时，需严格区分斜边与直角边，禁止与普通三角形全等条件混用。 二、题型精析 【题型1】直角三角形两锐角互余角度综合计算 考向：依托直角三角形两锐角互余性质，结合三角形外角、对顶角性质，完成角度推导与计算 【例题1】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，交边于点，是边上的点，． （1）若，求的度数； （2）猜想与的数量关系，并说明理由． 【变式1】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27八年级上·湖北·期中）如图，，，，，垂足分别为，若，则的长为_____． 【变式3】（26-27八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在中，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F． （1）求证：． （2）当时，点E运动了多长时间？ 【题型2】含30°角直角三角形边角计算 考向：运用30°直角三角形边角倍数关系解题，精准识别30°角对应的直角边，避免边长对应错误 【例题2】（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，为的垂直平分线，求证：． 【变式1】（26-27九年级上·广东广州）如图，已知等边三角形的边长为10，为上一点，过点作于点，过点作于点，连结，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27八年级上·全国·单元复习）如图，已知，点在边上，，点，在边上，．若，则的长是________． 【变式3】（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，连接并延长交于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 【题型3】直角三角形斜边中线基础计算 考向：直接应用斜边中线定理，已知斜边求中线、已知中线求斜边，基础数值计算 【例题3】（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，是高，是中线，是的角平分线，求证：． 【变式1】（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，为边上的中线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27八年级上·江苏·阶段检测）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点M，N，作直线分别交，于点D，E，连接，．若，则的度数为____________． 【变式3】（2026·河南周口·模拟预测）如图，在中，，是的中点，是上一点，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（）的条件下，若，求证：． 【题型4】共斜边双直角三角形模型综合 考向：浙江期中高频模型，利用共斜边、斜边中点性质，证明线段相等、角度相等 【例题4】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）已知：如图，分别是的中点．求证：． 【变式1】（25-26八年级下·北京通州·期末）如图，在四边形中，，对角线，交于点，点是中点，，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，，为对角线的中点，连接，，，则的度数为__________度． 【变式3】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，垂足为F，，垂足为E，M为的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【题型5】直角三角形判定证明 考向：利用角度互余、直角定义，判定并证明三角形为直角三角形 【例题5】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是上的一点，连接，作于点，于点，且平分，连接，证明：垂直平分． 【变式1】（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点是的平分线上一点，于点，于点，则利用证明就可得到，那么在“，，，，”这五种依据中，能作为上述全等三角形证明依据的有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式2】（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，点是内部的一点，点到三边，，，的距离，，则的度数为_______________． 【变式3】（26-27八年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． （1）求证：． （2）求证：平分． 【题型6】命题与逆命题真假辨析 考向：规范书写命题的逆命题，准确判断原命题、逆命题真假，区分命题与逆定理 【例题6】（26-27八年级上·山东聊城·开学考试）写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． （1）三角形的内角和等于； （2）互为相反数的两个数的绝对值相等； （3）若，则； （4）钝角三角形有两个锐角． 【变式1】（26-27八年级上·全国·课后作业）下列命题的逆命题不是真命题的是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．全等三角形的面积相等 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江伊春·期中）把“邻补角的和是”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式为__________________________． 【变式3】（2026·广东肇庆·三模）如图，，相交于点E，，为四边形的对角线．连接，，已知．现从条件：①，②，③中任选2个，求证：垂直平分． 【题型7】等面积法求直角三角形斜边上的高 考向：利用等面积法建立等式，求解斜边上的高线长度，为勾股方程解题铺垫基础 【例题7】（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，是上的高，平分，已知，，． （1）求证：是直角三角形． （2）求的长． 【变式1】（25-26八年级下·山西朔州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，在中，斜边上的高是，则与的长度关系是（　　） A． B． C． D．无法判断 【变式2】（25-26八年级上·上海嘉定·阶段检测）直角三角形斜边上的高和中线分别为4厘米和6厘米，则此三角形面积为_____平方厘米． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图，已知直角三角形一直角边，斜边，求这个直角三角形的周长． （2）在中，，，，求边上的高的长． 【题型8】直角三角形性质与判定综合 【例题8】（26-27七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接． （1）证明； （2）连接，同学认为平分，同学认为平分，你认为哪个是正确的？请说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，于点D，平分交于点E，交于点F，，，，则的长为（     ） A． B．5 C．7 D． 【变式2】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积用含和的代数式表示为________． 【变式3】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，平分． （1）如图1，的外角，的平分线与交于点．求证：； （2）如图2，的垂直平分线交于点，交于点，过点作于点，，交的延长线于点，若，，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $