第2章 特殊三角形 综合素养提升（拔尖攻略）-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

数学（浙教版）八年级上 13.在△ABC中，AB=AC=12厘米，BC= 针沿△ABC的三边运动，求经过多长时 9厘米，AD=BD=6厘米 间点P与点Q第一次在△ABC的哪条 边上相遇. B (第13题) (1)如图，点P在线段BC上以3厘米/ 秒的速度由点B向点C运动，同时点Q 在线段CA上由点C向点A运动，连结 DP,PQ. ①若点Q的运动速度与点P的运动速 度相等，则运动1秒时，△BPD与△CQP 是否全等？请说明理由. ②若点Q的运动速度与点P的运动速 度不相等，则点P运动到BC的中点时， 如果△BPD≌△CPQ,那么此时点Q 的运动速度为多少？ (2)若点Q以(1)②中的运动速度从点 C出发，同时点P从点B出发，都逆时 综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.如图，∠AOB=30°，P是∠AOB内的定点且OP=3.若M,N分别是射线OA,OB上异 于点O的动点，则△PMN的周长的最小值是 () A.3 4 C. D.6 B 0 M (第1题) (第2题) 2.如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2dm,AC=3dm,沿过点A的直线将纸 片折叠，使点B落在边BC上的点D处，再次折叠纸片，使点C与点D重合.若第二次的 折痕与AC交于点E,则AE的长是 () A导n 5 B.6dm C.6 dm 6 D.5 dm 20 第2章特殊三角形 3.如图，△ABC的边BC的垂直平分线DP与∠BAC的平分线AD相交于点D,垂足为P, 连结BD,DC.若∠BAC=85°，则∠BDC的度数为 (第3题) (第4题) 4.如图，点C在线段BD上，分别以BC和CD为边作等边三角形ABC和等边三角形 CDE,连结AD和BE,在AD和BE上截取AG=BF,连结CF,FG,CG.有下列结论： ①CE平分∠ACD;②ABCE;③CG=CD;④△CFG是等边三角形.其中，一定正确 的是 (填序号) 5.在△ABC中，AB=AC,D为射线CB上的一个动点（不与点B,C重合），以AD为一边 在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,过点E作EF∥BC,交直线AC 于点F,连结CE. (1)如图①，若∠BAC=60°，则△CEF是 三角形 (2)若∠BAC<60°. ①如图②，当点D在线段CB上移动时，判断△CEF的形状，并证明. ②当点D在线段CB的延长线上移动时，△CEF是什么三角形？请在图③中画出相应 的图形并加以证明. ③ (第5题) 21 数学（浙教版）八年级上 6.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,且BD:AD:CD=2:3:4.已知S△ABC= 40cm,动点M从点B出发以1cm/s的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点 A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止，连 结DN,NM.设点M运动的时间为ts. (1)若△DMN的边与BC平行，求t的值 (2)在点N运动的过程中，△ADN能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请 说明理由. B D M (第6题) 22②(1)因为∠ACB=90°，AB=5cm,AC=3cm,所以易得 BC=4cm.由题意，易知∠B≠90°.当△ABP为直角三角 形时，分两种情况讨论：①当∠APB为直角时，点P与，点 C重合，BP=BC=4cm,所以t=4÷2=2.②当∠BAP为 直角时，BP=2tcm,CP=(2t-4)cm.在Rt△ACP中， AP2=AC+CP2;在Rt△BAP中，AP2=BP2-AB2.所 以AC2+CP2=BP2-AB2,即32+(2t-4)2=(2t)2-52, 解得：5综上所述，当△AB即为宜角三角形时，：的值 为2或5 (2)当△ABP为等腰三角形时，分三种情况 讨i论：①当BP=BA=5cm时，t=号=25.②当AB= AP时，因为∠ACB=90°，即AC⊥BP,所以BP=2BC= 8cm所以t=令=4③当PB=PA时，PB=PA 2tcm,CP=(4-2t)cm.在Rt△ACP中，AP2=AC2+ Cp,所以(2=3+(4-2，解得1器综上所述，当 △AB即为等腰三角形时：的值为25或4或器 ®思路导引 (1)① 1→ 计算出BP=CQ, PC=BD 根据“SAS” AB=AC∠B=∠C 判定全等 ② 根据速度，时 △BPD2△CPO BD=CQ=6间之间的关 系求解 (2) 点0的运 点Q比点 设经过x秒 动速度大 点Q P多运动 点P与点O第 于点P的 入 追上 一次相遇，构 运动速度 点P AB+AC的 路程 建方程求解 (1)①△BPD≌△CQP. 理由：因为运动1秒，所以 BP=CQ=3厘米.因为PC=BC-BP=9-3=6(厘米)， 所以PC=BD.因为AB=AC,所以∠B=∠C.在△BPD (BP=CQ, 和△CQP中，因为∠B=∠C,所以△BPD≌△CQP BD=CP. (SAS).②因为点P的运动速度不等于点Q的运动速 度，所以BP≠CQ.因为P是BC的中点，所以BP=CP= 4.5厘米所以点P的运动时间为5-1.5（秒）.因为 △BPD≌△CPQ,所以BD=CQ=6厘米.所以此时点Q 附：答案与解析 的运动主度是。=4（星米/秒。(2）因为点Q的速度 大于点P的速度，所以只能是点Q追上点P,即点Q比点 P多运动AB十AC的路程.设经过x秒，点P与点Q第一 次相遇.依题意，得4x=3x十2×12，解得x=24.此时点P 运动了24×3=72（厘米）.因为△ABC的周长为12+12+ 9=33(厘米)，72=33×2+6，所以点P,Q在BC边上相 遇，即经过24秒，点P与点Q第一次在△ABC的BC边上 相遇. [综合素养提升] ①A如图，分别作点P关于OA,OB的对称点P',P",连 结P'M,P"N,则P'M=PM,p"N=PN.所以△PMN的 周长=PM+PN+MN=P'M+P"N+MN.所以当点 P',M,N,P共线时，△PMN的周长最小，即△PMN的 周长的最小值为PP"的长.连结OP',OP”.因为点P关 于OA的对称点为P',所以OP=OP',∠P'OA=∠POA. 因为点P关于OB的对称点为P",所以OP=OP", ∠POB=∠POB.所以OP'=OP=OP=3,∠P'OA+ ∠P'OB=∠POA+∠POB=∠AOB=30°.所以∠POP' 60°.所以△P'P"O为等边三角形.所以P'p"=3.所以 △PMN的周长的最小值是3. PR M p/ (第1题) ②A因为沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边 BC上的，点D处，所以AD=AB=2dm,∠B=∠ADB.因 为再次折叠纸片，点C与点D重合，所以CE=DE,∠C= ∠CDE.因为∠BAC=90°，所以∠B+∠C=90°.所以 ∠ADB+∠CDE=90°.所以∠ADE=180°-（∠ADB+ ∠CDE)=90°.所以△ADE是直角三角形.在Rt△ADE 中，由勾股定理，得AD2+DE2=AE2,所以2+(3- AE)=AE,解得AE-号dn所以AE的长是号dL ③5如图，过点D作DE⊥AB,交AB的延长线于点 E,过点D作DF⊥AC于点F.因为AD平分∠BAC,所以 DE=DF.因为DP垂直平分BC,所以BD=CD.在 Rt△DEB和Rt△DFC中，因为DB=DC,DE=DF,所以 Rt△DEB≌Rt△DFC(HL).所以∠BDE=∠CDF.所以 ∠BDC=∠BDF+∠CDF=∠BDF+∠BDE=∠EDF. 55 数学（浙教版）八年级上 因为∠DEB=∠DFC=90°，所以∠EAF+∠EDF 360°-∠DEA-∠DFA=180°.因为∠BAC=85°，所以 ∠BDC=∠EDF=180°-85°=95°. E D (第3题)》 ④①②④因为△ABC和△CDE都是等边三角形，所以 ∠ACB=∠ABC=∠ECD=60°.所以∠ACE=60°.所以 CE平分∠ACD.故结论①正确.因为∠ABC=∠ECD= 60°，所以AB∥CE.故结论②正确.因为△ABC和△CDE 都是等边三角形，所以AC=BC,CD=CE,∠ACB= ∠DCE=60°.所以∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,即 ∠BCE=∠ACD.在△ACD和△BCE中，因为 (AC=BC, ∠ACD=∠BCE,所以△ACD≌△BCE(SAS).所以 CD-CE. ∠CAD=∠CBE.在△ACG和△BCF中，因为 AC=BC, ∠CAG=∠CBF,所以△ACG≌△BCF(SAS).所以 AG-BF. CG=CF,∠ACG=∠BCF.因为∠ACB=60,所以 ∠GCF=∠GCA+∠ACF=∠FCB+∠ACF=∠ACB= 60°.所以△C℉G是等边三角形.故结论④正确.根据已知 条件，无法得出CG=CD,故结论③不一定正确.综上所 述，一定正确的是①②④. ⑤(1)等边因为AB=AC,AD=AE,∠BAC= ∠DAE=60°，所以∠ACB=∠ABC=60°.易得∠EAC= AB=AC, ∠DAB.在△DAB和△EAC中，因为∠DAB=∠EAC, AD-AE. 所以△DAB≌△EAC(SAS).所以∠ECA=∠B=60°.因 为EF∥BC,所以∠EFC=∠ACB=60°.所以∠FEC= 60°.所以∠EFC=∠ECF=∠CEF.所以△CEF为等边三 角形.(2)①△CEF是等腰三角形.因为∠BAC ∠DAE,所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即 ∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中，因为 AB=AC, ∠BAD=∠CAE,所以△ABD≌△ACE(SAS).所以 AD-AE, 56 ∠ABD=∠ACE.因为AB=AC,所以∠B=∠ACB.所以 ∠ACE=∠ACB.因为EFBC,所以∠EFC=∠ACB.所 以∠EFC=∠ACE.所以FE=CE.所以△CEF是等腰三 角形.②△CEF为等腰三角形.画出图形如图所示.因 为AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,所以∠ACB= ∠ABC,∠EAC=∠DAB.在△ABD和△ACE中，因为 (AB=AC, ∠DAB=∠EAC,所以△ABD≌△ACE(SAS).所以 AD-AE, ∠DBA=∠ECA.因为∠DBA+∠ABC=180°，∠ECA+ ∠ECF=180°.所以∠ECF=∠ABC.因为EF∥BC,所以 ∠AFE=∠ACB.又因为∠ABC=∠ACB,所以∠AFE= ∠ECF.所以EC=EF.所以△CEF为等腰三角形. (第5题) ⑥(1)因为BD:AD:CD=2:3：4,所以设BD= 2xcm,AD=3xcm,CD=4x(x>0)cm.所以AB=BD+ 1 AD=5xcm因为CDLAB,所以SAAc=2X5xX4, 即40-2×5xX4红.因为x>0,所以x=2.所以BD= 4cm,AD=6cm,CD=8cm.在Rt△ACD中，∠CDA= 90°，由勾股定理，得AC2=AD2+CD2=100cm.因为 AC>0,所以AC=10cm.因为AB=10cm,所以AB AC.所以∠ACB=∠B.当MN∥BC时，∠ANM=∠ACB, ∠AMN=∠B,所以∠ANM=∠AMN.所以AM=AN. 由题意，得AN=BM=tcm,则AM=(10-t)cm.所以 10-t=t,解得t=5.当DN∥BC时，同理，得AD=AN= 6cm,所以t=6.由题意，易得DM与BC不平行.综上所 述，若△DMN的边与BC平行，t的值为5或6. (2)△ADN能成为等腰三角形.分三种情况讨论：①当 AN=AD=6cm时，t=6.②当DN=AN时，∠ADN= ∠A.因为CD⊥AB,所以∠CDN+∠ADN=90°， ∠DCN+∠A=90°.所以∠CDN=∠DCN.所以CN= DN.所以AN=CN=合AC=5cm所以=5.③当 ND=AD=6cm时，过点D作DG LAC于点G,则NG= AG=2AN.因为CDLAB,所以∠ADC=90.所以 Sm-2AC·DG=2AD·CD.所以DG=AD,CD 1 AC 6×824 10=号(cm).所以在Rt△ADG中，由勾股定理，易得 cm所以AN=2AG-cm所以4=0综上所 AG=18 述，△ADN能成为等腰三角形，此时：的值为6或5或. 第3章 一元一次不等式 [高频考点突破] ①(1)因为a十2b=3,所以2b=3-a.因为a,b是非负实 数，所以b≥0，a≥0.所以2b≥0.所以3-a≥0，解得0≤ a3.(2)因为a+2b=3,c=3a+2b,所以c=3a+(3 a).所以c=2a十3.由(1)，得0a3,所以02a6.所 以3≤2a+3≤9，即3≤c≤9. 27 思路导引 x<1 确定x 去掉绝对 确定不等式 的范围 1≤x<5 值符号 的整数解 x≥5 ①当x<1时，原不等式可化为-(x-1)+5-x<2π，解 得x>3一元.又因为x<1,所以原不等式的解集为3一π< x<1,此时整数解为0.②当1≤x<5时，原不等式可化为 x一1十5一x<2x,即4<2π，则原不等式的解集为1≤x< 5,此时整数解为1,2,3,4.③当x≥5时，原不等式可化为 x一1十x一5<2x,解得x<π十3.又x≥5，所以原不等式 的解集为5≤x<π十3，此时整数解为5,6.综上所述，符合 条件的整数解共有7个 ③(1)根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式 3x-4>0, 13x-40. 可转化为下列两个不等式组：① 或② x-20 x-2>0. 解不等式组①，得<<2，解不等式组②，得此不等式组 无解所以原分式不等式的解集为号<x<2.。(2)根据 “两数相乘，同号得正，异号得负”，原不等式可化为不等式 x-320, （x一30， 组：① 或② 解不等式组①，得不等 x+5≤0 x+5≥0. 式组无解，解不等式组②，得-5≤x≤3.所以不等式(x 3)(x十5)0的解集是一5x3 (2a十6>0①， ④(1)6.设小明填写的数字为m,则 3x-m<4+2x②. 附：答案与解析 解不等式①，得x>一3，解不等式②，得x<m十4，所以该 不等式组的解集为一3<x<m十4.因为不等式组的解集 为一3<x<10,所以m+4=10,解得m=6.所以小明填写 的数字为6.(2)a≤-7.由(1)知，不等式①的解集为 x>一3，不等式②的解集为x<a十4.因为该一元一次不 等式组无解，所以a十4≤-3，解得a≤-7. x+k5-2x①， 0记(-)≥-1@ 解不等式0，得<5， 解不等式@，得≥号.因为该不等式组的解华为号<r< 3,所以5，=3，解得k=一4.(2)因为该不等式组的解 3 集中正整数只有1和2，且原不等式组的解集为号<x≤ 5号所以25<3，解得-4<k<-1 x-1<5+2(x-2)①， ⑥(1)当k=-2时，原不等式组为 5x+12x-2②. 解不等式①，得x>一2，解不等式②，得x≤一1，所以不等 式组的解集为一2<x≤一1.(2)解不等式①，得x>一2， 解不等式@，得<。因为不等式组的整数解有且只 有2个，所以整数解为-1,0.所以0≤，1<1，解得1≤ 3 k<4.所以k的整数解为1,2,3.所以m=1十2十3=6. a+5b=-6, (3)将方程组2 ab_a=-1，整理，得 3 4(a+b)+3a-3b=26 a+b=26, a=4,所以2a十6=8-2=6.又因为m=6,所以不 解得 b=-2. 等式n(2a十b)<2m十n十8可化为61<12+n+8,解得 n<4. ⑦设购进乙种电冰箱x台，则购进甲种电冰箱2x台，丙 种电冰箱(80一3x)台.(1)根据题意，得1200×2x+ 1600x+(80-3x)×2000≤132000，解得x≥14.所以至 少购进乙种电冰箱14台.(2)根据题意，得2x≤80 3x,解得x≤16.由(1)知，x≥14，所以14≤x≤16.又因为 x为正整数，所以x=14,15,16.所以有三种购进方案：方 案一：购进甲种电冰箱28台，乙种电冰箱14台，丙种电冰 箱38台；方案二：购进甲种电冰箱30台，乙种电冰箱 15台，丙种电冰箱35台；方案三：购进甲种电冰箱32台， 乙种电冰箱16台，丙种电冰箱32台。 57