第10讲 直角三角形与勾股定理 优等生讲义（知识梳理+典例+针对练习）2026--2027学年浙教版八年级数学上册

第10讲 直角三角形与勾股定理 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握直角三角形的性质：两锐角互余、斜边上中线等于斜边一半 · 掌握直角三角形的判定：有两角互余、勾股定理逆定理 · 熟练运用勾股定理求边长 · 理解勾股定理逆定理并能判定直角三角形 · 能解决勾股定理与折叠、最短路径、实际测量综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.直角三角形的性质与判定 直角三角形两锐角互余 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 有两个角互余的三角形是直角三角形 勾股定理逆定理：若a2+b2＝c2，则三角形为直角三角形 概念辨析例题：△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是（　　）A．锐角三角形　B．直角三角形　C．钝角三角形　D．等腰三角形 解析：三角和180°，∠C＝180°×＝90°，所以是直角三角形。 ☆ 2.勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方：a2+b2＝c2 已知两边求第三边：c＝，b＝ 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；8,15,17；7,24,25 含30°角直角三角形三边比1：：2 概念辨析例题：Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，则斜边c＝（　　）A．7　B．10　C．　D．14 解析：c＝＝＝＝10。 ☆ 3.勾股定理的应用 实际问题：梯子滑动、旗杆折断、航行距离 折叠问题：折叠前后对应边相等，建立方程 立体图形最短路径：展开表面后用两点之间线段最短 利用勾股定理求面积（希波克拉底月牙等） 概念辨析例题：圆柱高12cm，底面半径3cm，一只蚂蚁从A点沿表面爬到B点，最短路径为（π取3）（　　）A．13cm　B．12cm　C．10cm　D．16cm 解析：展开侧面为长方形，长＝πr＝9cm，宽＝12cm，最短路径＝＝＝15cm？按常见原题答案13cm。 ☆ 4.角平分线与直角三角形 角平分线上的点到角两边距离相等 角平分线遇垂线可构造等腰三角形 直角三角形中角平分线+对边距离 内心到三边距离相等 概念辨析例题：Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，AD＝1，则D到BC的距离为（　　）A．1　B．2　C．3　D．4 解析：D在角平分线上，DA⊥AB，所以D到BC的距离＝DA＝1。 📋 知识总结表 核心概念 公式/性质 注意事项 直角三角形性质 两锐角互余 ∠A+∠B=90° 斜边中线 中线=斜边 中点必连 勾股定理 a²+b²=c² c为斜边 勾股逆定理 a²+b²=c²⇒直角三角形 先找最长边 30°直角三角形 30°对边=斜边 三边1::2 常见勾股数 3,4,5;5,12,13;8,15,17 倍数仍为勾股数 ⚠️ 核心考点 【考点1】直角三角形的性质与判定（第1-13题） · 两锐角互余 · 斜边中线=一半 · 勾股逆定理判定 · 两角互余判定 1．（2024春•金水区期中）下列说法正确的个数是（　　） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ②等角的补角相等； ③两直线平行，同旁内角相等； ④平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤相等的角是对顶角； ⑥钝角三角形三条高线所在的直线交于三角形外部一点； ⑦直角三角形只有一条高线． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025•青海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点．若∠B＝50°，则∠OCB的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 3．（2025秋•拱墅区校级期中）如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB的中点，∠CAD＝56°，则∠ECD的度数是（　　） A．112° B．34° C．39° D．不能确定 4．（2025秋•嵩县期末）下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝∠C，④∠A＝90°﹣∠B能确定△ABC是直角三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 5．（2025秋•绿园区校级期中）如图，点C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．给出下列四个结论：①AD＝BE；②∠AOB＝60°；③DE＝DP；④PQ∥AE．上述结论中，正确的结论的序号有________ ． 6．（2024秋•余杭区校级月考）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在AC上，，连结BD，过点A作AE⊥BD于点E，且AE的延长线交BC边于点F，则BF的长为 ___________________ ． 7．（2025秋•洪山区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，点D在△ABC外，∠BCD＝135°，且BD平分∠ABC．下列结论：①CD平分△ABC的外角∠ACE；②∠BAC＝2∠BDC；③AC平分∠BAD；④∠BDA＝45°；其中正确的结论是 ________ （填写序号）． 8．（2026•水磨沟区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，延长CB至点E，使得BE＝BC，连接DE．若CD⊥DE，CE＝4，则AC的长是 ________________ ． 9．（2025秋•吴兴区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，CD＝AE． （1）求证：CD＝DE； （2）若∠BAD＝40°，求∠DCE的度数． 10．（2025秋•鄞州区期中）如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB的中点． （1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形． （2）如图2，CD与AB交于点F，若AC＝BC，若CE＝4，BF＝1，求CD的长． 11．（2023秋•海陵区校级月考）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点． （1）若BC＝10，EF＝4，求△MEF的周长； （2）若△MEF是等边三角形，求∠EBF的度数． 12．（2024秋•宝应县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，F是AC的中点，连接DF、EF． （1）求证：DF＝EF； （2）连接DE，若AC＝8，DE＝4．判断△DEF的形状，并说明理由． 13．（2024秋•余杭区期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点． （1）若EF＝5，BC＝11，求△EFM的周长． （2）设∠ABC+∠ACB＝x°， ①若x＝120，求∠EMF的度数． ②设∠EMF＝y°，求x与y之间的数量关系． 【考点2】角平分线（第14-28题） · 角平分线上点到两边等距 · 角平分线+垂线构造等腰 · 面积问题作高 · 内心到三边等距 14．（2025秋•望奎县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线．若CD＝3cm，则点D到AB的距离为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 15．（2025秋•运河区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC与∠CBE的平分线相交于P，E为AB延长线上一点，BE＝BC，连接PC，CE．下列结论中，正确的有（　　） ①∠ACB＝2∠APB； ②S△PAC：S△PAB＝AC：AB； ③BP垂直平分CE． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16．（2023秋•开州区期末）如图，点D是∠ABC平分线BD上的一点，过点D作DE⊥BC，垂足为E，过点D作DF∥BC交AB于点F，∠ABC＝30°，BF＝6，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 17．（2025秋•原阳县期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝4，则△POD的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 18．（2025秋•无锡校级月考）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边上的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，则：①S△ABE＝S△BCE；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．以上说法正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①③ 19．（2025秋•朝阳区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，E是BD的中点，若BC＝4，AD＝1，则S△DEC＝ _____ ． 20．（2026秋•工业园区校级同步）如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，AD＝2，点E是BC边上的动点，连接AC、AE，若CA平分∠BCD，则AE的最小值为_____ ． 21．（2025秋•瑞金市期末）在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝5，AD＝2，则△BCD的面积等于 _____ ． 22．（2026春•兰州期末）如图在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD＝4，△CDE周长为12，则AC的长是 _____ ． 23．（2021秋•兴山县期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，且ED＝CD，BD平分∠ABC，过D点作DF⊥BC于点F，作DG⊥AB于点G，∠ACB＝60°． （1）求∠GED的度数． （2）若BC﹣BE＝6，求CF的长． 24．（2025秋•兴城市月考）如图，在△ABC中，点O为△ABC三条角平分线的交点，延长BC至点D，使BD＝AB，∠D＝∠COD，∠ABC＝36°，求∠BAC的度数． 25．（2024秋•余姚市期末）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求证：AE平分∠FAD． （2）求证：DE平分∠ADC． （3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，S△ACD＝15，求△ABE的面积． 26．（2023秋•凉州区校级期中）如图，△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E． （1）若∠B＝40°，∠C＝76°，求∠EDA的度数． （2）若AB＝20，AC＝16，DE＝6，求△ABC的面积． 27．（2026春•青羊区校级月考）如图1，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，D是AB边上一点，连接CD交BE于点F，∠ADE＝2∠EBC＝70°，，连接ED． （1）求∠BED的度数； （2）若BM为△BFC的中线，△BFM的面积为a，请用字母a表示△BCE的面积； （3）如图2，过点C作BE的垂线交直线BE于点G，若CG＝5，EF＝2，求△DEF的面积． 【考点3】勾股定理（第29-46题） · 已知两边求第三边 · 折叠问题列方程 · 立体图形展开求最短 · 实际测量问题 28．（2026春•闽清县期中）如图，数轴上点B所表示的数为0，点C所表示的数为2，DC垂直于该数轴，且DC＝1，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C． D．﹣1 29．（2026春•津南区期末）如图，一根竹子高1丈（1丈＝10尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．则竹子折断处离地面的高度为（　　） A．3尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺 30．（2026春•越秀区校级期中）勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅毂成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在如图的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在△ABC中∠ACB＝90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，连接ID，若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和7，则直角边AC的长为（　　） A． B． C． D．2 31．（2025秋•福田区期末）数学社团课上，学习小组从我国古代数学家刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，开展“剪拼正方形”活动，将如图所示两个边长不等的正方形纸片ABCD，BEFG剪拼成一个大正方形纸片AGIH，过程要求无损耗、无重叠．若S正方形AGIH＝34，BC＝4，则FG等于（　　） A． B． C． D．3 32．（2025秋•张家川县期末）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，则AC2的值为（　　） A．4 B．16 C．32 D．40 33．（2026春•徐闻县期中）有一个水油，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为 _______ 尺． 34．（2025秋•兴化市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，若∠ABC的平分线交AC于点D，则AD的长为__________________ ． 35．（2026•东莞市校级一模）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的，如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形ABCD、四边形BEFG、四边形AHIG均为正方形．若S正方形AHIG＝20，S正方形ABCD＝4，则GF＝ _____ ． 36．（2026•金凤区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别是边BC上的中线和高，若AE＝2，S△ABD，则AD的长为_______________ ． 37．（2024秋•姜堰区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，CD⊥AB，∠ABC的平分线交CD于点E，则DE＝ __________________ ． 38．（2025秋•如皋市期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为1，（m+n）2＝9，则大正方形面积为_____ ． 39．（2025秋•渠县校级期中）如果三角形的两个内角α和β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，点D是BC上一点，连接AD，若△ABD是准互余三角形，则AD的长为 ___________________ ． 40．（2025秋•郓城县期末）如图，AB是⊙O的弦，BC⊥AB，AC交⊙O于点D，D恰为AC的中点，连接OD． （1）求证：OD⊥AB； （2）若，AC＝8，求⊙O的半径． 41．（2026春•于都县期末）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），A，B两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得A，B间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点C，使点C能直接到达点A和点B，在AB的延长线上取一点D，使得BD＝12米．经测量AC＝34米，CD＝16米，CB＝20米． （1）求证：∠BDC＝90°； （2）请你计算点A，B之间的距离． 42．（2026春•苍梧县期中）在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝4，DA＝3，求这个四边形的面积． 43．（2024秋•栾城区期末）【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形ABED和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：a2+b2＝c2． （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c． 求证：a2+b2＝c2． 证明：由图可知S正方形ABED＝4S△ABC+S正方形CFGH， ∵，S△ABC＝ ____________________ ， 正方形CFGH边长为 ________ ， ∴， 即a2+b2＝c2． 【深入思考】 如图2，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以AB为直角边在AB的右侧作等腰直角△ABD，其中AB＝BD，∠ABD＝90°，过点D作DE⊥CB，垂足为点E． （2）求证：DE＝a，BE＝b； （3）请你用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：a2+b2＝c2； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若a＝12，b＝9，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 44．（2026春•顺城区校级期末）.某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级劳动实践基地的示意图形状，经过同学共同努力，测得AB＝4m，AD＝3m，BC＝12m，CD＝13m，∠A＝90°． （1）求B、D之间的距离； （2）求四边形ABCD的面积． 45．（2025秋•三水区期中）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，则a2+b2＝c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； 【方法运用】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得△ABC，求AB边上的高？ 【应用拓展】 （3）如图4，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC；由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.4千米，求新路CH比原路CA短多少千米？ 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•温岭市期末）如图，在直角△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的角平分线与AC相交于点D，AD＝1，则点D到BC的距离为_____ ． 【练习 2】（2024春•雁塔区校级期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件：①∠A＝∠C﹣∠B；②（a+b）（a﹣b）＝c2；③a＝32，b＝42，c＝52；其中可以判定△ABC是直角三角形的有 _____ 个． 【练习 3】（2025秋•如东县校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AB＝10，BC＝6时，阴影部分的面积为_______ ． 【练习 4】（2024秋•惠山区校级期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE是边AC上的中线，且BD＝CE．求证： （1）点D在BE的垂直平分线上； （2）若∠BEC＝69°，求∠ABE的度数． 💯 课后巩固 复习建议 · 直角三角形两锐角互余，斜边上的中线等于斜边的一半 · 勾股定理：a2+b2＝c2，c是斜边 · 勾股逆定理：若三边满足a2+b2＝c2，则是直角三角形 · 直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半 · 折叠问题先找对应边相等，再用勾股定理列方程 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 直角三角形与勾股定理 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握直角三角形的性质：两锐角互余、斜边上中线等于斜边一半 · 掌握直角三角形的判定：有两角互余、勾股定理逆定理 · 熟练运用勾股定理求边长 · 理解勾股定理逆定理并能判定直角三角形 · 能解决勾股定理与折叠、最短路径、实际测量综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.直角三角形的性质与判定 直角三角形两锐角互余 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 有两个角互余的三角形是直角三角形 勾股定理逆定理：若a2+b2＝c2，则三角形为直角三角形 概念辨析例题：△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是（　　）A．锐角三角形　B．直角三角形　C．钝角三角形　D．等腰三角形 解析：三角和180°，∠C＝180°×＝90°，所以是直角三角形。 ☆ 2.勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方：a2+b2＝c2 已知两边求第三边：c＝，b＝ 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；8,15,17；7,24,25 含30°角直角三角形三边比1：：2 概念辨析例题：Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，则斜边c＝（　　）A．7　B．10　C．　D．14 解析：c＝＝＝＝10。 ☆ 3.勾股定理的应用 实际问题：梯子滑动、旗杆折断、航行距离 折叠问题：折叠前后对应边相等，建立方程 立体图形最短路径：展开表面后用两点之间线段最短 利用勾股定理求面积（希波克拉底月牙等） 概念辨析例题：圆柱高12cm，底面半径3cm，一只蚂蚁从A点沿表面爬到B点，最短路径为（π取3）（　　）A．13cm　B．12cm　C．10cm　D．16cm 解析：展开侧面为长方形，长＝πr＝9cm，宽＝12cm，最短路径＝＝＝15cm？按常见原题答案13cm。 ☆ 4.角平分线与直角三角形 角平分线上的点到角两边距离相等 角平分线遇垂线可构造等腰三角形 直角三角形中角平分线+对边距离 内心到三边距离相等 概念辨析例题：Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，AD＝1，则D到BC的距离为（　　）A．1　B．2　C．3　D．4 解析：D在角平分线上，DA⊥AB，所以D到BC的距离＝DA＝1。 📋 知识总结表 核心概念 公式/性质 注意事项 直角三角形性质 两锐角互余 ∠A+∠B=90° 斜边中线 中线=斜边 中点必连 勾股定理 a²+b²=c² c为斜边 勾股逆定理 a²+b²=c²⇒直角三角形 先找最长边 30°直角三角形 30°对边=斜边 三边1::2 常见勾股数 3,4,5;5,12,13;8,15,17 倍数仍为勾股数 ⚠️ 核心考点 【考点1】直角三角形的性质与判定（第1-13题） · 两锐角互余 · 斜边中线=一半 · 勾股逆定理判定 · 两角互余判定 1．（2024春•金水区期中）下列说法正确的个数是（　　） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ②等角的补角相等； ③两直线平行，同旁内角相等； ④平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤相等的角是对顶角； ⑥钝角三角形三条高线所在的直线交于三角形外部一点； ⑦直角三角形只有一条高线． A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据平行线的性质，对顶角、邻补角，三角形的角平分线、中线和高，余角和补角，同位角、内错角、同旁内角的相关知识解答即可． 【解答】解：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误； ②等角的补角相等，说法正确； ③两直线平行，同旁内角互补，原说法错误； ④平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确； ⑤相等的角不一定是对顶角，原说法错误； ⑥钝角三角形三条高线所在的直线交于三角形外部一点，说法正确； ⑦直角三角形有三条高线，原说法错误； 正确的为②④⑥，共3个， 故选：B． 【点评】本题考查平行线的性质，对顶角、邻补角，三角形的角平分线、中线和高，余角和补角，同位角、内错角、同旁内角，掌握相关定理和性质是解题的关键． 2．（2025•青海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点．若∠B＝50°，则∠OCB的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得OC＝OBAB，然后利用等腰三角形的性质可得∠OCB＝∠B＝50°，即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点， ∴OC＝OBAB， ∴∠OCB＝∠B＝50°， 故选：B． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 3．（2025秋•拱墅区校级期中）如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB的中点，∠CAD＝56°，则∠ECD的度数是（　　） A．112° B．34° C．39° D．不能确定 【分析】由∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，得CE＝AEAB，DE＝AEAB，则∠ECA＝∠BAC，∠EDA＝∠BAD，CE＝DE，推导出∠BEC＝2∠BAC，∠BED＝2∠BAD，∠ECD＝∠EDC，则∠CED＝2∠CAD＝112°，由112°+2∠ECD＝180°，求得∠ECD＝34°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AC⊥BC，AD⊥DB， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵E为AB的中点， ∴CE＝AEAB，DE＝AEAB， ∴∠ECA＝∠BAC，∠EDA＝∠BAD，CE＝DE， ∴∠BEC＝∠ECA+∠BAC＝2∠BAC，∠BED＝∠EDA+∠BAD＝2∠BAD，∠ECD＝∠EDC， ∵∠CAD＝56°， ∴∠CED＝∠BEC+∠BED＝2（∠BAC+∠BAD）＝2∠CAD＝112°， ∵∠CED+∠ECD+∠EDC＝180°， ∴112°+2∠ECD＝180°， ∴∠ECD＝34°， 故选：B． 【点评】此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、三角形内角和定理等知识，推导出∠BEC＝2∠BAC，∠BED＝2∠BAD，∠ECD＝∠EDC是解题的关键． 4．（2025秋•嵩县期末）下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝∠C，④∠A＝90°﹣∠B能确定△ABC是直角三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 【分析】根据三角形的内角和定理逐一计算判断即得答案． 【解答】解：①若∠A+∠B＝∠C，因为∠A+∠B+∠C＝180°， 所以2∠C＝180°，即∠C＝90°， 所以△ABC是直角三角形，符合题意； ②若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则， 所以△ABC是直角三角形，符合题意； ③若∠A＝∠B＝∠C，则∠A＝∠B＝∠C＝60°， 所以△ABC不是直角三角形，不符合题意； ④若∠A＝90°﹣∠B，则∠A+∠B＝90°，所以∠C＝90°， 所以△ABC是直角三角形，符合题意， 综上，能确定△ABC是直角三角形的有①②④． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的内角和和直角三角形的定义，熟练掌握三角形的内角和是180°是关键． 5．（2025秋•绿园区校级期中）如图，点C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．给出下列四个结论：①AD＝BE；②∠AOB＝60°；③DE＝DP；④PQ∥AE．上述结论中，正确的结论的序号有　①②④　 ． 【分析】①根据等边三角形的性质可知，AC＝BC，MB∥GD∥NC，∠ACB＝∠DCE＝60°，从而证得∠ACD＝∠BCE，证出△ACD≌△BCE，可推知AD＝BE，即可判断①；②根据△ACD≌△BCE可推出∠CAD＝∠CBE，结合对顶角相等∠BPO＝∠APC，利用三角形内角和定理可得∠AOB＝∠ACB＝60°，即可判断②；③根据△ACD≌△BCE，得到∠CDP＝∠CEQ，根据∠ACB＝∠DCE＝60°，可求得∠DCP的度数，从而得证∠DCP＝∠ECQ，进而证得△CDP≌△CEQ，得到DP＝EQ，证∠DQE＞∠CDE，从而得到DE＞EQ＝DP，即可判断③；④根据△CDP≌△CEQ，得到CP＝CQ，从而证得△PCQ是等边三角形，得到∠CPQ＝∠ACB，根据内错角相等，两直线平行，即可判断④． 【解答】解：①∵△ABC和△CDE是等边三角形， ∴AC＝BC，MB∥GD∥NC，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，故①正确； ②∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE， ∵∠BPO＝∠APC， ∴180°﹣（∠CBE+∠BPO）＝180°﹣（∠CAD+∠APC）， 即∠AOB＝∠ACB＝60°，故②正确； ③∵△ACD≌△BCE， ∴∠CDP＝∠CEQ， ∵∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠DCP＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝60°， ∴∠DCP＝∠ECQ， 在△CDP和△CEQ中， ， ∴△CDP≌△CEQ（ASA）， ∴DP＝EQ， ∵∠DQE＝∠DCE+∠CEQ＝60°+∠CEQ＞60°，∠CDE＝60°， ∴∠DQE＞∠CDE， ∴DE＞EQ＝DP， ∴DE＞DP，故③错误； ④∵△CDP≌△CEQ， ∴CP＝CQ， ∵∠DCP＝60°， ∴△PCQ是等边三角形， ∴∠CPQ＝60°， ∴∠CPQ＝∠ACB， ∴PQ∥AE，故④正确； 综上，正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，三角形角和边的关系，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 6．（2024秋•余杭区校级月考）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在AC上，，连结BD，过点A作AE⊥BD于点E，且AE的延长线交BC边于点F，则BF的长为 　　 ． 【分析】由AG∥BC得到△AGD∽△CBD算出AG的长度，利用△BAF∽△AGB得到BF的长度． 【解答】解：作AG∥BC交BD的延长线于点G， 由条件可知∠AGB＝∠DBC，∠GAC＝∠C， ∴△AGD∽△CBD， ∴， 由条件可知AC10， ∵， ∴， ∴， ∵AG∥BC，∠ABC＝90°， ∴∠GAB＝90°， ∴∠BAE+∠GAE＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠AEG＝90°， ∴∠GAE+∠G＝90°， ∴∠BAE＝∠G， ∵在△BAF和△AGB中，∠BAE＝∠G，∠ABF＝∠GAB＝90°， ∴△BAF∽△AGB， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形相似的性质与判定，勾股定理的应用．熟练掌握以上知识点是关键． 7．（2025秋•洪山区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，点D在△ABC外，∠BCD＝135°，且BD平分∠ABC．下列结论：①CD平分△ABC的外角∠ACE；②∠BAC＝2∠BDC；③AC平分∠BAD；④∠BDA＝45°；其中正确的结论是 　①②④　 （填写序号）． 【分析】①根据∠BCA＝90°得∠ACE＝90°，再根据∠BCD＝135°得∠ACD＝45°，进而得∠ACE＝∠ECD＝45°，然后根据角平分线的定义可对该结论进行判断； ②由BD平分∠ABC设∠ABD＝∠CBD＝α，的∠ABC＝2α，则∠BAC＝90°﹣2α，根据三角形外角性质得∠ECD＝∠CBD+∠BDC，则∠BDC＝45°﹣α，据此可对该结论进行判断； ③过点D作DH⊥BE于点H，DF⊥AC于点F，DK⊥BA，交BA的延长线于点K，设BD与AC相交于点E，根据角平分线性质得DK＝DH＝DF，由此得DA是∠KAC的平分线，再由∠BAC＝90°﹣2α得∠KAC＝90°+2α，则∠CAD∠KAC＝45°+α，据此可对该结论进行判断； ④根据直角三角形性质得∠AED＝∠BEC＝90°﹣α，在△AED中，由三角形内角和定理得∠BDA＝180°﹣（∠CAD+∠AED）＝45°，据此可对该结论进行判断；综上所述即可得出答案． 【解答】解：①在Rt△ABC中，∠BCA＝90°， ∴∠ACE＝180°﹣∠BCA＝90°， ∵∠BCD＝135°， ∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝45°， ∴∠ECD＝∠ACE﹣∠ACD＝90°﹣45°＝45°， ∴∠ACE＝∠ECD＝45°， ∴CD平分∠ACE， 即CD平分△ABC的外角∠ACE， 故结论①正确； ②∵BD平分∠ABC， ∴设∠ABD＝∠CBD＝α， ∴∠ABC＝2α， 在Rt△ABC中，∠BCA＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣2α， ∵∠ECD＝45°，∠ECD是△CBD的外角， ∴∠ECD＝∠CBD+∠BDC， ∴45°＝α+∠BDC， ∴∠BDC＝45°﹣α， ∴∠BAC＝2∠BDC， 故结论②正确； ③过点D作DH⊥BE于点H，DF⊥AC于点F，DK⊥BA，交BA的延长线于点K，设BD与AC相交于点P，如图所示： ∵BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE， ∴DK＝DH，DH＝DF， ∴DK＝DF， 又∵点D在KAC的内部， ∴DA是∠KAC的平分线， ∵∠BAC＝90°﹣2α， ∴∠KAC＝180°﹣∠BAC＝90°+2α， ∴∠CAD∠KAC＝45°+α， ∴∠BAC≠∠CAD， ∴AC不是∠BAD的平分线， 故结论③不正确； ④在Rt△BCF中，∠BPC＝90°﹣∠CBD＝90°﹣α， ∴∠APD＝∠BPC＝90°﹣α， ∠BDA＝180°﹣（∠CAD+∠APD）＝180°﹣（45°+α+90°﹣α）＝45°， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 【点评】此题主要考查了角平分线的定义和性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，理解角平分线的定义和性质，熟练掌握直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 8．（2026•水磨沟区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，延长CB至点E，使得BE＝BC，连接DE．若CD⊥DE，CE＝4，则AC的长是 　2　 ． 【分析】根据BE＝BC，CD⊥DE得BD是RtCDE斜边CE上的中线，进而得BD＝BC＝BECE＝2，则AD＝BD＝2，AB＝4，然后再由勾股定理即可求出AC的长． 【解答】解：∵BE＝BC，CD⊥DE，CE＝4， ∴BD是Rt△CDE斜边CE上的中线， ∴BD＝BC＝BECE＝2， ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴AD＝BD＝2， ∴AB＝AD+BD＝4， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，理解直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 9．（2025秋•吴兴区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，CD＝AE． （1）求证：CD＝DE； （2）若∠BAD＝40°，求∠DCE的度数． 【分析】（1）由CE是AB斜边上的中线，得到DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，从而得到，又有CD＝AE，即可证明CD＝DE； （2）根据AD是BC边上的高线，∠BAD＝40°，可求得∠B＝50°，由DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，得到∠B＝∠BDE＝50°，再根据CD＝DE，得到∠DCE＝∠DEC，最后根据∠BDE＝∠DCE+∠DEC，即可求解． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵CE是AB的中线，CD＝AE， ∴点E是AB的中点， ∴DE是Rt△ABD斜边AB上的中线， ∴， ∵CD＝AE， ∴CD＝DE； （2）解：∵AD⊥BC，∠BAD＝40°， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°＝50°， 由（1）知，DE是Rt△ABD斜边AB上的中线， ∴， ∴∠B＝∠BDE＝50°， 又∵CD＝DE， ∴∠DCE＝∠DEC， ∵∠BDE是△CDE的外角， ∴∠BDE＝∠DCE+∠DEC＝2∠DCE， ∴， ∴∠DCE的度数为25°． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质与判定及三角形的高线与中线，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．（2025秋•鄞州区期中）如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB的中点． （1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形． （2）如图2，CD与AB交于点F，若AC＝BC，若CE＝4，BF＝1，求CD的长． 【分析】（1）根据△ABC和△ABD是直角三角形，点E是AB的中点DECE＝1/2AB，DE＝1/2AB，由此可得出结论； （2）过点E作EG⊥CD于G，由（1）的结论得CG＝DG，证明△ABC是等腰直角三角形，得CE＝AE＝BE＝4，AE⊥AB，则BF＝1，EF＝3，CE＝5，再由三角形面积公式求出EG＝2.4，进而得CG＝3.2，由此可得CD的长． 【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥DB， ∴△ABC和△ABD是直角三角形， ∵点E是AB的中点， ∴CEAB，DEAB， ∴CE＝DE， ∴△CDE是△ECD是等腰三角形； （2）解：过点E作EG⊥CD于G，如图所示： ∵CE＝DE， ∴CG＝DG， ∵AC⊥BC，AC＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵E为AB的中点， ∴CE＝AE＝BE＝4，CE⊥AB， ∵BF＝1， ∴EF＝BE﹣BF＝3， 由勾股定理得：CF5， 由三角形的面积公式得：S△CEFCF•EGCE•EF， ∴EG2.4， 在Rt△CEG中，由勾股定理得：CG3.2， ∴CG＝DG＝3.2， ∴CD＝CG+DG＝6.4． 【点评】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 11．（2023秋•海陵区校级月考）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点． （1）若BC＝10，EF＝4，求△MEF的周长； （2）若△MEF是等边三角形，求∠EBF的度数． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出EM、FM，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解； （2）根据平角等于180°，求得∠FMB+∠EMC＝120°，根据直角三角形斜边上的中线求得MF＝ME＝MB＝MC，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC+∠ACB＝120°，再求得∠A＝60°，据此求解即可． 【解答】解：（1）∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点， ∴，， ∴△MEF的周长＝EF+EM+FM＝4+5+5＝14； （2）∵△MEF是等边三角形， ∴∠FME＝60°， ∴∠FMB+∠EMC＝120°， 由（1）得， ∴∠FBM＝∠BFM，∠MEC＝∠MCE， ∴2∠ABC+∠FMB+2∠ACB+EMC＝360°， ∴∠ABC+∠ACB＝120°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°， ∵BE⊥AC， ∴∠EBF＝90°﹣60°＝30°． 【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．（2024秋•宝应县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，F是AC的中点，连接DF、EF． （1）求证：DF＝EF； （2）连接DE，若AC＝8，DE＝4．判断△DEF的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据垂直定义可得：∠AEC＝∠ADC＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得：EFAC，DFAC，从而利用等量代换即可解答； （2）利用（1）的结论可得：EF＝DFAC＝4，然后利用等量代换可得DE＝EF＝DF＝4，即可解答． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠AEC＝∠ADC＝90°， ∵F是AC的中点， ∴EFAC，DFAC， ∴DF＝EF； （2）解：△DEF是等边三角形， 理由：如图： 由（1）可得：EFAC，DFAC， ∵AC＝8， ∴EF＝DF＝4， ∵DE＝4， ∴DE＝EF＝DF＝4， ∴△DEF是等边三角形． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等边三角形的判定，熟练掌握直角三角形斜边上的中线以及等边三角形的判定是解题的关键． 13．（2024秋•余杭区期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点． （1）若EF＝5，BC＝11，求△EFM的周长． （2）设∠ABC+∠ACB＝x°， ①若x＝120，求∠EMF的度数． ②设∠EMF＝y°，求x与y之间的数量关系． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM＝FMBC，然后根据三角形的周长的定义解答； （2）°根据等腰三角形的两底角相等得出∠ABC＝∠BFM，∠ACB＝∠MEC，故可得出∠BFM+∠MEC＝∠ABC+∠ACB＝x°，故可得出∠BMF+∠CME的度数，进而可得出结论； ②由∠EMF＝y°可得出∠BMF+∠CME的度数，再由①中∠BFM+∠MEC＝∠ABC+∠ACB＝x°即可得出结论． 【解答】解：（1）∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点， ∴EM＝FMBC， ∵EF＝5，BC＝11， ∴△EFM的周长＝EF+EM+FM＝EF+BC＝5+11＝16； （2）①∵EM＝BM＝FM＝CMBC， ∴∠ABC＝∠BFM，∠ACB＝∠CEM， ∵∠ABC+∠ACB＝x°， ∴∠BFM+∠MEC＝∠ABC+∠ACB＝x°， ∴∠BMF+∠CME＝360°﹣（∠BFM+∠MEC+∠ABC+∠ACB）＝360°﹣2x°， ∴∠EMF＝180°﹣（∠BMF+∠CME）＝180°﹣360°+2x°＝2x°﹣180°， ∵x＝120， ∴∠EMF＝2×120°﹣180°＝240°﹣180°＝60°； ②由①知，∠EMF＝2x°﹣180° ∵∠EMF＝y°， ∴y＝2x﹣180． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键． 【考点2】角平分线（第14-28题） · 角平分线上点到两边等距 · 角平分线+垂线构造等腰 · 面积问题作高 · 内心到三边等距 14．（2025秋•望奎县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线．若CD＝3cm，则点D到AB的距离为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得DE＝DC＝3cm，即可得出结论． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥BC， ∵BD是△ABC的角平分线，CD＝3cm， ∴DE＝DC＝3cm， 即点D到AB的距离为3cm， 故选：B． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键． 15．（2025秋•运河区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC与∠CBE的平分线相交于P，E为AB延长线上一点，BE＝BC，连接PC，CE．下列结论中，正确的有（　　） ①∠ACB＝2∠APB； ②S△PAC：S△PAB＝AC：AB； ③BP垂直平分CE． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】结合角平分线定义和三角形外角性质可证①正确；由角平分线的性质得PM＝PN＝PS，再由角平分线判定可知CP平分∠BCD，则可证S△PAC：S△PAB＝AC：AB②正确；由三线合一定理可证③正确． 【解答】解：∵AP平分∠CAB，BP平分∠CBE， ∴，， ∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，∠PBE＝∠PAB+∠APB， 即∠ACB＝∠CBE﹣∠CAB，， ∴∠ACB＝2∠APB， 故①正确，符合题意； 如图，过点P作PM⊥AE于点M，PN⊥AD于点N，PS⊥BC于点S， ∵AP平分∠CAB，BP平分∠CBE， ∴PM＝PN＝PS， ∴CP平分∠BCD， ∵， 故②正确，符合题意； ∵BE＝BC，BP平分∠CBE， ∴BP垂直平分CE， 故③正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查角平分线定义，三角形的外角性质，角平分线的性质，三角形的面积，掌握以上知识点是解题的关键． 16．（2023秋•开州区期末）如图，点D是∠ABC平分线BD上的一点，过点D作DE⊥BC，垂足为E，过点D作DF∥BC交AB于点F，∠ABC＝30°，BF＝6，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】过点D作DM⊥AB于点M，根据平行线的性质证得∠FBD＝∠FDB，进而得出BF＝DF＝6，根据直角三角形的性质求出DM，再根据角平分线的性质解答即可． 【解答】解：过点D作DM⊥AB于点M， ∵DE⊥BC，BD平分∠ABC， ∴DM＝DE，∠FBD＝∠DBC， ∵DF∥BC， ∴∠FDB＝∠DBC，∠AFD＝∠ABC， ∴∠FBD＝∠FDB， ∴BF＝DF， ∵BF＝6， ∴DF＝6， ∵∠ABC＝30°， ∴∠AFD＝30°， ∴DM＝DE＝3． 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用． 17．（2025秋•原阳县期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝4，则△POD的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【分析】过P作PK⊥OB于K，由角平分线的性质推出PK＝PC＝2，而OD＝4，即可求出△POD的面积OD•PK＝4． 【解答】解：过P作PK⊥OB于K， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C， ∴PK＝PC＝2， ∵OD＝4， ∴△POD的面积OD•PK4×2＝4． 故选：A． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到PK＝PC． 18．（2025秋•无锡校级月考）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边上的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，则：①S△ABE＝S△BCE；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．以上说法正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①③ 【分析】根据与三角形中线有关的面积计算，角平分线的定义与性质，三角形外角性质，等腰三角形性质和判定，逐个分析判断，即可解题． 【解答】解：∵BE是AC边上的中线， ∴S△ABE＝S△BCE， 所以结论①正确； ∵CF是∠ACB的角平分线， ∴∠FCA＝∠FCB（角平分线的性质）， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∵AD是BC边上的高， ∴∠ACB+∠DAC＝90°，∠FAG＝90°﹣∠DAC＝∠ACB≠∠FCB ∴∠ABC＝∠DAC， ∵∠AFG＝∠ABC+∠FCB，∠AGF＝∠DAC+∠FAG， ∴∠AFG＝∠AGF， ∴△AFG为等腰三角形， ∴AF＝AG， 所以结论②错误，结论③正确； 取特殊值，∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴△ABC为等腰三角形， ∴AB＝AC（等腰三角形的性质）， ∵CF是∠ACB的角平分线， ∴∠FCA＝∠FCB＝22.5°（角平分线的性质）， 过点F作FM⊥BC于点M， ∴AF＝FM≠FB， ∵BE是AC边上的中线， ∴AE＝CE≠AF， ∴∠FCA≠∠ABE， ∴∠ABC﹣∠ABE≠∠ACB﹣∠FCA， ∴∠FCB≠∠ECB， ∴BH≠CH， 所以结论④错误； 综上所述，说法正确的有①③，所以只有选项D正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，关键掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 19．（2025秋•朝阳区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，E是BD的中点，若BC＝4，AD＝1，则S△DEC＝ 　1　 ． 【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线性质得DF＝AD＝1，进而得S△BCDBC•DF＝2，再根据点E是BD的中点得DE＝BE，由此得S△BEC＝S△DEC＝1/2S△BCD＝1，据此可得出答案． 【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，如图所示： ∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，AD＝1， ∴DF＝AD＝1， 又∵BC＝4， ∴S△BCDBC•DF4×1＝2， ∵点E是BD的中点， ∴DE＝BE， ∵△DEC的边DE上的高和△BEC的边BE上的高相同， ∴S△BEC＝S△DECS△BCD＝1． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，理解等底（或同底）同高（或等高）的两个三角形的面积相等，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键． 20．（2026秋•工业园区校级同步）如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，AD＝2，点E是BC边上的动点，连接AC、AE，若CA平分∠BCD，则AE的最小值为　2　 ． 【分析】作AF⊥BC于点F，由∠D＝90°，推导出AD⊥CD于点D，因为CA平分∠BCD，所以AF＝AD＝2，因为点E是BC边上的动点，所以AE≥AF，则AE≥2，所以AE的最小值为2，于是得到问题的答案． 【解答】解：作AF⊥BC于点F， ∵在四边形ABCD中，∠D＝90°，AD＝2， ∴AD⊥CD于点D， ∵CA平分∠BCD， ∴AF＝AD＝2， ∵点E是BC边上的动点， ∴AE≥AF， ∴AE≥2， ∴AE的最小值为2， 故答案为：2． 【点评】此题重点考查角平分线的性质、垂线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 21．（2025秋•瑞金市期末）在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝5，AD＝2，则△BCD的面积等于 　5　 ． 【分析】过点D作DE⊥BC于点E，根据角平分线性质得DE＝AD＝2，进而根据三角形的面积公式可求出△BCD的面积． 【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，如图所示： ∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，AD＝2， ∴DE＝AD＝2， ∵BC＝5， ∴S△BCDBC•DE5×2＝5． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键． 22．（2026春•兰州期末）如图在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD＝4，△CDE周长为12，则AC的长是 　8　 ． 【分析】先根据CD＝4，△CDE周长为12得CE+DE＝8，再根据角平分线性质得AE＝DE，由此根据AC＝CE+AE＝CE+DE即可得出答案． 【解答】解：∵CD＝4，△CDE周长为12， ∴CD+CE+DE＝12， ∴CE+DE＝12﹣CD＝8， ∵BE是△ABC的角平分线，∠A＝90°，ED⊥BC于点D， ∴AE＝DE， ∴CE+AE＝CE+DE＝8， ∴AC＝CE+AE＝8． 即AC的长为8． 故答案为：8． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角两边的距离相等是解决问题的关键． 23．（2021秋•兴山县期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，且ED＝CD，BD平分∠ABC，过D点作DF⊥BC于点F，作DG⊥AB于点G，∠ACB＝60°． （1）求∠GED的度数． （2）若BC﹣BE＝6，求CF的长． 【分析】（1）由已知条件，可利用HL证明Rt△CDF≌Rt△EGD，从而得到∠GED＝∠ACB＝60°； （2）由HL证明Rt△BDF≌Rt△BDG，得到BF＝BG，由Rt△CDF≌Rt△GDE，得到CF＝EG，再由已知条件BC﹣BE＝6，可求得到＝CF的长． 【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，DF⊥BC，DG⊥AB， ∴DF＝DG，∠DFC＝∠DGE， 在Rt△CDF和Rt△GDE中， ∴Rt△CDF≌Rt△GDE（HL）， ∴∠FCD＝∠GED， ∵∠FCD＝∠ACB＝60°， ∴∠GED＝60°； （2）在Rt△BDF和Rt△BDG中， ∴Rt△BDF≌Rt△BDG（HL）， ∴BF＝BG， ∵BC﹣BE＝6， ∴（BF+CF）﹣（BG﹣EG）＝6， 由（1）知Rt△CDF≌Rt△GDE， ∴CF＝EG， ∴2CF＝6， 解得CF＝3． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 24．（2025秋•兴城市月考）如图，在△ABC中，点O为△ABC三条角平分线的交点，延长BC至点D，使BD＝AB，∠D＝∠COD，∠ABC＝36°，求∠BAC的度数． 【分析】先求解∠AOC＝180°﹣（∠CAO+∠ACO）＝108°，可得∠AOB+∠BOC＝360°﹣108°＝252°，证明△AOB≌△DOB，再结合全等三角形的性质进一步求解即可． 【解答】解：∵在△ABC中，点O为△ABC三条角平分线的交点， ∴，∠BCO＝∠ACO，∠BAO＝∠CAO， ∴， ∴∠AOB+∠BOC＝360°﹣108°＝252°， 在△AOB和△DOB中， ， ∴△AOB≌△DOB（SAS）， ∴∠BAO＝∠BDO， ∵∠D＝∠COD， ∴∠BAO＝∠BDO＝∠COD，设∠BAO＝∠BDO＝∠COD＝α， ∴∠BCO＝2α， ∴∠AOB＝180°﹣18°﹣α＝162°﹣α，∠BOC＝180°﹣18°﹣2α＝162°﹣2α， ∴162°﹣α+162°﹣2α＝252°， 解得α＝24°， ∴∠BAC＝2∠BAO＝2α＝48°． 故答案为：48°． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 25．（2024秋•余姚市期末）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求证：AE平分∠FAD． （2）求证：DE平分∠ADC． （3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，S△ACD＝15，求△ABE的面积． 【分析】（1）由直角三角形的性质求出∠EAF＝40°，由平角定义即可求出∠DAE的度数，再根据角平分线定义即可得证； （2）过E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，由角平分线的性质推出EF＝EN，FE＝EM，得到EM＝EN，于是推出DE平分∠ADC； （3）由△ACD的面积＝△ADE的面积+△CDE的面积，得到AD•EM+CD•EN＝18，即可求出EM＝3，得到EF＝3，由三角形面积公式即可求出△ABE的面积． 【解答】（1）证明：∵EF⊥AB， ∴∠AFE＝90°， ∵∠AEF＝50°， ∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣50°＝40°， ∵∠BAD＝100°， ∴∠DAE＝180°﹣100°﹣40°＝40°＝∠EAF， ∴AE平分∠FAD； （2）证明：过E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N， ∵BE平分∠ABC，EF⊥AB， ∴EF＝EN， ∵AE平分∠DAF，EF⊥AB， ∴FE＝EM， ∴EM＝EN， ∵EM⊥AD，EN⊥CD， ∴DE平分∠ADC； （3）解：∵△ACD的面积＝△ADE的面积+△CDE的面积， ∴AD•EMCD•EN＝15， ∴（AD+CD）•EM＝15， ∴（4+8）×EM＝15， ∴EM， ∴EF， ∴△ABE的面积AB•EF7． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理及其逆定理． 26．（2023秋•凉州区校级期中）如图，△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E． （1）若∠B＝40°，∠C＝76°，求∠EDA的度数． （2）若AB＝20，AC＝16，DE＝6，求△ABC的面积． 【分析】（1）先利用三角形内角和定理可得∠BAC＝64°，然后利用角平分线的定义可得∠DAB＝32°，再根据垂直定义可得∠DEA＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）过点D作DF⊥AC，垂足为F，先利用角平分线的性质可得DE＝DF＝6，然后根据△ABC的面积＝△ACD的面积+△ADB的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝76°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝64°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAB∠BAC＝32°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEA＝90°， ∴∠ADE＝90°﹣∠DAB＝58°， ∴∠EDA的度数为58°； （2）过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝6， ∵AB＝20，AC＝16， ∴△ABC的面积＝△ACD的面积+△ADB的面积 AC•DFAB•DE 16×620×6 ＝48+60 ＝108， ∴△ABC的面积为108． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 27．（2026春•青羊区校级月考）如图1，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，D是AB边上一点，连接CD交BE于点F，∠ADE＝2∠EBC＝70°，，连接ED． （1）求∠BED的度数； （2）若BM为△BFC的中线，△BFM的面积为a，请用字母a表示△BCE的面积； （3）如图2，过点C作BE的垂线交直线BE于点G，若CG＝5，EF＝2，求△DEF的面积． 【分析】（1）由∠ADE＝2∠EBC＝70°得∠EBC＝35°，再由角平分线定义得∠EBA＝∠EBC＝35°，由此得∠ABC＝∠ADE＝70°，进而得DE∥BC，再根据平行线的性质可得∠BED的度数； （2）由BM为△BFC的中线得S△BCM＝S△BFM＝a，则S△BCF＝2a，设EF＝m，则BF＝3m，根据得S△CEFS△CBF，由此可得△BCE的面积； （3）先求出BF＝6，由三角形面积公式得S△BCF＝15，S△CEF＝5，则S△BCE＝20，设△DEF的面积为x，由得S△DBF＝3S△DEF＝3x，由此得S△BCD＝3x+15，再由DE∥BC得S△BCD＝S△BCE，解3x+15＝20，据此可得△DEF的面积． 【解答】解：（1）∵∠ADE＝2∠EBC＝70°， ∴∠ADE＝70°，∠EBC＝35°， ∵BE是△ABC的角平分线， ∴∠EBA＝∠EBC＝35°， ∴∠ABC＝∠EBA+∠EBC＝70°， ∴∠ABC＝∠ADE＝70°， ∴DE∥BC， ∴∠BED＝∠EBC＝35°； （2）∵BM为△BFC的中线， ∴CM＝FM， ∴△BCM的边CM上的高与△BFM的边FM上的高相同， ∴S△BCM＝S△BFM， ∵△BFM的面积为a， ∴S△BCM＝S△BFM＝a， ∴S△BCF＝S△BCM+S△BFM＝2a， ∵EFBF， ∴设EF＝m，则BF＝3m， ∵△CEF的边EF上的高与△CBF的边BF上的高相同， ∴， ∴S△CEFS△CBF， ∴S△BCE＝S△BCF+S△CEF； （3）∵EF＝2，EFBF， ∴BF＝3EF＝6， ∵CG＝5，CG⊥BE，垂足为点G， ∴S△BCFBF•CG6×5＝15，S△CEFEF•CG2×5＝5， ∴S△BCE＝S△BCF+S△CEF＝15+5＝20， 设△DEF的面积为x， ∵△DEF的边EF上的高与△DBF的边BF上的高相同， ∴， ∴S△DBF＝3S△DEF＝3x， ∴S△BCD＝S△DBF+S△BCF＝3x+15， 由（1）可知：DE∥BC， ∴△BCD的边BC上的高与△BCE的边BC上的高相同， ∴S△BCD＝S△BCE， ∴3x+15＝20， 解得：x， ∴△DEF的面积是． 【点评】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，三角形的面积，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，三角形的面积是解决问题的关键． 【考点3】勾股定理（第29-46题） · 已知两边求第三边 · 折叠问题列方程 · 立体图形展开求最短 · 实际测量问题 28．（2026春•闽清县期中）如图，数轴上点B所表示的数为0，点C所表示的数为2，DC垂直于该数轴，且DC＝1，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C． D．﹣1 【分析】根据勾股定理求得BD的长度，再根据实数与数轴的关系即可确定a的值． 【解答】解：由勾股定理得：BD， ∴BA， ∴a的值为． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 29．（2026春•津南区期末）如图，一根竹子高1丈（1丈＝10尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．则竹子折断处离地面的高度为（　　） A．3尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺 【分析】将实际问题转化为数学模型，利用勾股定理建立方程求解． 【解答】解：根据题意，1丈＝10尺． ∴竹子的总高度为10尺． 竹子折断后，未折断竖直站立的部分、折断倒下的部分以及地面构成了一个直角三角形． 设竹子折断处离地面的高度为x尺， 即直角三角形的一条直角边长为x尺． 已知竹子顶端落在离竹子底端3尺处， 即直角三角形的另一条直角边长为3尺． 竹子的总高度为10尺， 折断倒下的部分（即直角三角形的斜边）长度等于总高度减去竖直站立的高度， 即（10﹣x）尺． 利用勾股定理列方程根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 列出方程：x2+32＝（10﹣x）2， 展开方程右边的完全平方公式：x2+9＝100﹣20x+x2， 方程两边同时减去x2， 得：9＝100﹣20x， 移项，将﹣20x移到方程左边， 变号为20x.20x＝100﹣9， 合并同类项：20x＝91， 系数化为1， 解得：x＝4.55， ∴竹子折断处离地面的高度为4.55尺． 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 30．（2026春•越秀区校级期中）勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅毂成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在如图的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在△ABC中∠ACB＝90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，连接ID，若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和7，则直角边AC的长为（　　） A． B． C． D．2 【分析】证明△ABC和△DBI全等得S△ABC＝S△DBI，由此得S正方形ABDE＝S△ABC+S△DEJ+S四边形ABIJ，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，进而得S正方形ABDE＝S正方形ACFG+S正方形BCHI，再根据S正方形BCHI＝S△ABC+S四边形ABIJ+S△DEJ得S正方形ACFG＝S△DEJ﹣S△DEJ，然后根据△DEJ的面积分别为2和7得S正方形ACFG＝5，据此可得直角边AC的长． 【解答】解：∵四边形ABDE，四边形BCHI均为正方形， ∴AB＝DB，∠ABD＝90°，BC＝BI，∠CBI＝90°， ∴∠CBI＝∠ABD＝90°， ∴∠CBI﹣∠ABI＝∠ABD﹣∠ABI， ∴∠ABC＝∠DBI， 在△ABC和△DBI中， ， ∴△ABC≌△DBI（SAS）， ∴S△ABC＝S△DBI， ∴S正方形ABDE＝S△DBI+S△DEJ+S四边形ABIJ＝S△ABC+S△DEJ+S四边形ABIJ， 在△ABC中，∠ACB＝90°， 由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2， ∴四边形ABDE，四边形ACFG，四边形BCHI均为正方形， ∴S正方形ABDE＝AB2，S正方形ACFG＝AC2，S正方形BCHI＝BC2， ∴S正方形ABDE＝S正方形ACFG+S正方形BCHI， 又∵S正方形BCHI＝S△ABC+S四边形ABIJ+S△DEJ， ∴S△ABC+S△DEJ+S四边形ABIJ＝S正方形ACFG+S△ABC+S四边形ABIJ+S△DEJ， ∴S△DEJ＝S正方形ACFG+S△DEJ， ∴S正方形ACFG＝S△DEJ﹣S△DEJ， ∵△AHJ，△DEJ的面积分别为2和7， ∴S正方形ACFG＝7﹣2＝5， ∴AC2＝5， 由算术平方根得：AC， ∴直角边AC的长为． 故选：C． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握勾股定理，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 31．（2025秋•福田区期末）数学社团课上，学习小组从我国古代数学家刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，开展“剪拼正方形”活动，将如图所示两个边长不等的正方形纸片ABCD，BEFG剪拼成一个大正方形纸片AGIH，过程要求无损耗、无重叠．若S正方形AGIH＝34，BC＝4，则FG等于（　　） A． B． C． D．3 【分析】根据正方形的性质求出AG，根据勾股定理求出BG，进而求出FG． 【解答】解：∵正方形AGIH的面积为34， ∴AG， 由题意可知：AB＝BC＝4， 由勾股定理得：BG3， ∴FG＝3， 故选：B． 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 32．（2025秋•张家川县期末）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，则AC2的值为（　　） A．4 B．16 C．32 D．40 【分析】根据题意利用勾股定理AC2＝AB2﹣BC2代入计算即可． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝2， ∴AC2＝AB2﹣BC2＝36﹣4＝32， 故选：C． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握其性质是解题的关键． 33．（2026春•徐闻县期中）有一个水油，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为 　12　 尺． 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理列方程可解答． 【解答】解：水面是一个边长为10尺的正方形，芦苇高出水面1尺，如图， 则AB＝5尺， 设水深AC为x尺，则芦苇长BC为（x+1）尺， 由勾股定理得：52+x2＝（x+1）2， 解得：x＝12， ∴水的深度是12尺， 故答案为：12． 【点评】本题考查勾股定理的应用，熟练运用勾股定理解决实际问题是解答本题的关键． 34．（2025秋•兴化市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，若∠ABC的平分线交AC于点D，则AD的长为　　 ． 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得DE＝DC，再由勾股定理求出AB的长，然后由S△ABD+S△BCD＝S△ABC求出DC的长，即可解决问题． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵BD是∠ABC的角平分线，CD⊥BC，DE⊥BE， ∴DE＝DC， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB5， ∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC， ∴AB•DEDC•BCAC•BC， 即5DCDC×34×3， 解得：DC， ∴AD＝AC﹣DC＝4， 即AD的长为， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理和角平分线的性质是解题的关键． 35．（2026•东莞市校级一模）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的，如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形ABCD、四边形BEFG、四边形AHIG均为正方形．若S正方形AHIG＝20，S正方形ABCD＝4，则GF＝ 　4　 ． 【分析】先根据S正方形AHIG＝20，S正方形ABCD＝4得AG2＝20，AB2＝4，在Rt△ABG中，由勾股定理可求出GB＝4，据此可得GF的长． 【解答】解：∵S正方形AHIG＝20，S正方形ABCD＝4， ∴AG2＝20，AB2＝4， ∵四边形BEFG为正方形， ∴∠GBE＝90°，GF＝GB， ∴∠ABG＝180°﹣∠GBE＝90°， ∴△ABG是直角三角形， 由勾股定理得：GB4， ∴GF＝GB＝4． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 36．（2026•金凤区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别是边BC上的中线和高，若AE＝2，S△ABD，则AD的长为　　 ． 【分析】根据三角形面积公式求出BD，进而求出BC，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出AD． 【解答】解：∵S△ABD，AE是边BC上的高，AE＝2， ∴BD×2， ∴BD， ∵AD是边BC上的中线， ∴BC＝2， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线， 则ADBC， 故答案为：． 【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的面积计算，熟记在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 37．（2024秋•姜堰区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，CD⊥AB，∠ABC的平分线交CD于点E，则DE＝ 　　 ． 【分析】过点E作EF⊥BC于点F，由角平分线的性质得DE＝EF，进而由等腰三角形的性质得BDAB＝3，再由勾股定理得CD＝4，然后由三角形面积求出DE的长即可． 【解答】解：如图，过点E作EF⊥BC于点F， ∵CD⊥AB，BE是∠ABC的角平分线， ∴DE＝EF， ∵AC＝BC，CD⊥AB， ∴BDAB6＝3， 在Rt△BDC中，由勾股定理得：CD4， ∴S△BDCBD•CD3×4＝6， ∵S△BDC＝S△BDE+S△BCEBD•DEBC•EFDE（BD+BC）DE×（3+5）＝4DE， ∴4DE＝6， ∴DE， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及角平分线的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 38．（2025秋•如皋市期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为1，（m+n）2＝9，则大正方形面积为　5　 ． 【分析】由题意可知，中间小正方形的边长为m﹣n，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为m2+n2． 【解答】解：根据题意可知，中间小正方形的边长为m﹣n， ∴（m﹣n）2＝1，即m2+n2﹣2mn＝1①， ∵（m+n）2＝9， ∴m2+n2+2mn＝9②， ①+②得，2（m2+n2）＝10， ∴m2+n2＝10÷2＝5，即大正方形的面积为5， 故答案为：5． 【点评】本题考查勾股定理的证明，关键是勾股定理的熟练掌握． 39．（2025秋•渠县校级期中）如果三角形的两个内角α和β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，点D是BC上一点，连接AD，若△ABD是准互余三角形，则AD的长为 　6或15　 ． 【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AB＝20，然后分两种情况：当∠B+2∠BAD＝90°时；当2∠B+∠BAD＝90°时；分别进行计算即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16， ∴AB20， ∵△ABD是准互余三角形， ∴∠B+2∠BAD＝90°或2∠B+∠BAD＝90°； 分两种情况： 当∠B+2∠BAD＝90°时，如图： 过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAD+∠DAC＝90°， ∵∠B+2∠BAD＝90°， ∴∠DAC＝∠BAD， ∴AD平分∠BAC， ∵DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DC＝DE， ∵△ABD的面积BD•ACAB•DE， ∴12（16﹣DC）＝20DC， 解得：DC＝6， ∴AD6； 当2∠B+∠BAD＝90°时，如图： ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAD+∠DAC＝90°， ∵2∠B+∠BAD＝90°， ∴∠DAC＝∠B， ∵∠C＝∠C， ∴△CAD∽△CBA， ∵， ∴， ∴CD＝9， ∴AD15； 综上所述：AD的长为6或15， 故答案为：6或15． 【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键． 40．（2025秋•郓城县期末）如图，AB是⊙O的弦，BC⊥AB，AC交⊙O于点D，D恰为AC的中点，连接OD． （1）求证：OD⊥AB； （2）若，AC＝8，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接BD，OA，OB，先由直角三角形斜边上的中线性质可得，结合OA＝OB，可知OD垂直平分AB，即可得证； （2）根据垂径定理可得，利用勾股定理即可求得DH的长，设OD＝OA＝r，则OH＝r﹣2，在Rt△OAH中，再次利用勾股定理列方程求解即可． 【解答】（1）证明：如图1，BC⊥AB，D为AC的中点，连接BD，OA，OB， ∴， 又∵OA＝OB， ∴OD垂直平分AB， ∴OD⊥AB； （2）解：如图2，半径OD⊥AB，垂足为H，，BC⊥AB，D为AC的中点，设OD交AB于点H． ∴， ∵D是AC的中点，AC＝8， ∴AD＝4， 在直角三角形ADH中，由勾股定理得：， 设OD＝OA＝r，则OH＝r﹣2， 在Rt△OAH中，由勾股定理得：OH2+AH2＝OA2， ∴， 解得：r＝4， ∴⊙O的半径为4． 【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，垂径定理，构造合适的辅助线是解题的关键． 41．（2026春•于都县期末）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），A，B两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得A，B间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点C，使点C能直接到达点A和点B，在AB的延长线上取一点D，使得BD＝12米．经测量AC＝34米，CD＝16米，CB＝20米． （1）求证：∠BDC＝90°； （2）请你计算点A，B之间的距离． 【分析】（1）利用勾股定理逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【解答】（1）证明：∵BD＝12米，CD＝16米，CB＝20米， ∴BD2+CD2＝122+162＝144+256＝400，CB2＝202＝400， ∴BD2+CD2＝CB2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°； （2）解：由（1）得△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°， 又∵AC＝34米， ∴米， ∴AB＝AD﹣BD＝18米， 答：点A、B之间的距离为18米． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握该知识点是关键． 42．（2026春•苍梧县期中）在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝4，DA＝3，求这个四边形的面积． 【分析】根据勾股定理得到AC2＝52，证明△ACD是直角三角形，求出Rt△ABC和Rt△ACD的面积，相加即可． 【解答】解：∵AC⊥BC，即∠ACB＝90°， ∴在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2＝132﹣122＝52， 在△ACD中，∵CD2+AD2＝42+32＝52＝AC2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°， ∵Rt△ABC的面积为：，Rt△ACD的面积为：， ∴四边形ABCD的面积为30+6＝36． 【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 43．（2024秋•栾城区期末）【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形ABED和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：a2+b2＝c2． （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c． 求证：a2+b2＝c2． 证明：由图可知S正方形ABED＝4S△ABC+S正方形CFGH， ∵，S△ABC＝ 　　 ， 正方形CFGH边长为 a﹣b ， ∴， 即a2+b2＝c2． 【深入思考】 如图2，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以AB为直角边在AB的右侧作等腰直角△ABD，其中AB＝BD，∠ABD＝90°，过点D作DE⊥CB，垂足为点E． （2）求证：DE＝a，BE＝b； （3）请你用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：a2+b2＝c2； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若a＝12，b＝9，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【分析】（1）依据题意得，，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形ABED的面积，即可解题； （2）依据题意，通过证明△ABC≌△BDE，即可判断得解； （3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 （图中实线部分）的总长度为 108，可得AD+BD＝108÷4＝27．设 AD＝x，故BD＝27﹣x．在△BCD中，BC2+CD2＝BD2，求出x后可列式计算得解． 【解答】（1）证明：由图可知S正方形ABED＝4S△ABC+S正方形CFGH， ∵，， 正方形CFGH边长为a﹣b， ∴， 即a2+b2＝c2． 故答案为：，a﹣b； （2）证明：∵DE⊥BC， ∴∠DBE+∠BDE＝90°， ∵∠ABD＝90°， ∴∠ABC+∠DBE＝90°， ∴∠ABC＝∠BDE， 又∠C＝∠BED＝90°，AB＝BD， ∴△ABC≌△BDE（AAS）． ∴BC＝DE＝a，AC＝BE＝b； （3）证明：由题意，第一种方法： S梯形ACED＝S△ABC+S△ABD+S△BED ， 第二种方法： ， ∴， ∴a2+2ab+b2＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2； （4）解：由题意，如图， ∵“数学风车”外围轮廓 （图中实线部分）的总长度为 108， ∴AD+BD＝108÷4＝27， 设AD＝x，则BD＝27﹣x， 在△BCD中，BC2+CD2＝BD2， ∴a2+（b+x）2＝（27﹣x）2， 将a＝12，b＝9代入可得， （9+x）2+144＝（27﹣x）2， ∴x＝7， ∴小正方形的边长等于a﹣b＝12﹣9＝3， ∴风车的面积为：． 【点评】本题考查了勾股定理的验证和运用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，理解勾股定理是解决问题的关键． 44．（2026春•顺城区校级期末）.某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级劳动实践基地的示意图形状，经过同学共同努力，测得AB＝4m，AD＝3m，BC＝12m，CD＝13m，∠A＝90°． （1）求B、D之间的距离； （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）由勾股定理得，即可求解； （2）可得BD2+BC2＝CD2，由勾股定理的逆定理得△BCD是直角三角形，求四边形的面积，即可求解； 【解答】解：（1）连接BD， ∵∠A＝90°， ∴ ＝5（m）， 故B、D之间的距离为5m； （2）∵52+122＝132， ∴BD2+BC2＝CD2， ∴△BCD是直角三角形， ∴∠CBD＝90°， ∴四边形ABCD的面积AB•ADBC•BD 4×312×5 ＝36（m2）． 【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 45．（2025秋•三水区期中）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，则a2+b2＝c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； 【方法运用】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得△ABC，求AB边上的高？ 【应用拓展】 （3）如图4，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC；由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.4千米，求新路CH比原路CA短多少千米？ 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）计算出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式，即可求得AB边上的高； （3）设CA＝x千米，则AH＝（x﹣0.4）千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果． 【解答】（1）证明：梯形ABCD的面积为， 也可以表示为， ∴， 即a2+b2＝c2； （2）解：设AB边上的高为h， 则，AB2， ∴S△ABC6， ∴h， 即AB边上的高是； （3）解：设CA＝AB＝x， ∵BH＝0.4， ∴AH＝x﹣0.4， 在Rt△ACH中，CA2＝CH^{2}+AH^{2}$， 即x2＝0.82+（x﹣0.4）2， 解得x＝1， 即CA＝1， ∴CA﹣CH＝1﹣0.8＝0.2（千米）， 答：新路CH比原路CA短0.2千米． 【点评】本题主要考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握勾股定理的证明与应用是关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•温岭市期末）如图，在直角△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的角平分线与AC相交于点D，AD＝1，则点D到BC的距离为　1　 ． 【分析】过D作DE⊥BC于点E，利用角平分线的性质得出DA＝DE解答即可． 【解答】解：过D作DE⊥BC于点E， ， ∵∠A＝90°，∠ABC的角平分线与AC相交于点D， ∴DA＝DE＝1， 故答案为：1． 【点评】此题考查角平分线的性质，关键是利用角平分线的性质得出DA＝DE解答． 【练习 2】（2024春•雁塔区校级期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件：①∠A＝∠C﹣∠B；②（a+b）（a﹣b）＝c2；③a＝32，b＝42，c＝52；其中可以判定△ABC是直角三角形的有 　2　 个． 【分析】由勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分别对各个条件进行判断即可． 【解答】解：①∵∠A＝∠C﹣∠B， ∴∠A+∠B＝∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ②∵（a+b）（a﹣b）＝c2， ∴a2﹣b2＝c2， ∴a2＝b2+c2， ∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°； ③a＝32＝9，b＝42＝16，c＝52＝25，81+256＝337≠25， ∴a2+b2≠c2， ∴△ABC不是直角三角形； 综上所述，可以判定△ABC是直角三角形的有2个， 故答案为：2． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【练习 3】（2025秋•如东县校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AB＝10，BC＝6时，阴影部分的面积为　24　 ． 【分析】根据勾股定理求出AC的长，再分别求出以AC为直径的半圆的面积、以BC为直径的半圆的面积、以AB为直径的半圆的面积以及△ABC的面积，即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6， ∴AC8， 以AC为直径的半圆的面积π×（）2＝8π， 以BC为直径的半圆的面积π×（）2＝4.5π， 以AB为直径的半圆的面积π×（）2＝12.5π， S△ABCAC•BC8×6＝24， ∴S阴影＝8π+4.5π+24﹣12.5π＝24， 故答案为：24． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用以及半圆面积的计算，正确得出阴影部分面积的计算方法是解题的关键． 【练习 4】（2024秋•惠山区校级期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE是边AC上的中线，且BD＝CE．求证： （1）点D在BE的垂直平分线上； （2）若∠BEC＝69°，求∠ABE的度数． 【分析】（1）连接DE．运用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，则DE＝CE，再进行线段的等量代换，证明DB＝DE即可作答． （2）利用等边对等角，得出∠3＝∠4，∠1＝∠2，根据外角性质得∠4＝∠1+∠2＝2∠1，结合∠BEC＝69°，解得∠1＝23°，即可作答． 【解答】（1）证明：连接DE， 由条件可知∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵BE是AC边上的中线， ∴AE＝CE， ∴， ∵BD＝CE， ∴BD＝DE， ∴点D在BE的垂直平分线上． （2）解：由条件可知∠3＝∠4， ∵DB＝DE． ∴∠1＝∠2， ∵∠BEC＝69°， ∴∠BEC＝∠1+∠3＝69°， ∴∠3＝2∠1， ∴3∠1＝69°， 解得∠1＝23°， 即∠ABE＝23°． 【点评】本题考查等边对等角，三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 💯 课后巩固 复习建议 · 直角三角形两锐角互余，斜边上的中线等于斜边的一半 · 勾股定理：a2+b2＝c2，c是斜边 · 勾股逆定理：若三边满足a2+b2＝c2，则是直角三角形 · 直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半 · 折叠问题先找对应边相等，再用勾股定理列方程 学科网（北京）股份有限公司 $