专题 2.11 特殊三角形复习——等腰三角形综合与分类讨论- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题 2.11 特殊三角形复习——等腰三角形综合与分类讨论 目录 一、知识要点回顾 1 二、题型精析 1 【题型1】等腰三角形边角综合计算（含外角隐藏条件） 1 【题型2】已知内角条件分类讨论求角度 2 【题型3】已知边长求周长（三边关系取舍多解） 2 【题型4】等腰三角形一腰上的高位置分类讨论 3 【题型5】三线合一综合线段、角度推导 3 【题型6】平行线+角平分线构造等腰三角形 4 【题型7】等边三角形性质与判定综合 6 【题型8】等腰三角形线性质与判定综合 7 一、知识要点回顾 1. 等腰三角形性质：等边对等角；三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）。 2. 等腰三角形判定：等角对等边；有两条边相等的三角形是等腰三角形。 3. 等边三角形性质：三边相等，三个内角都等于60°。 4. 等边三角形判定：三边相等的三角形；三个内角相等的三角形；有一个内角为60°的等腰三角形。 5. 常用模型：平行线+角平分线，可以构造出等腰三角形。 6. 分类讨论 ①已知边长：区分腰与底边，结果必须满足三角形三边关系，舍去不能构成三角形的解； ②已知内角：区分该角是顶角还是底角； ③一腰上的高：锐角等腰三角形高在三角形内部，钝角等腰三角形高在三角形外部。 7. 易错警示：“三线合一”只针对等腰三角形的顶角与底边，腰上的高、腰上的中线不具备三线合一性质。 二、题型精析 【题型1】等腰三角形边角综合计算（含外角隐藏条件） 考向：利用等边对等角、三角形外角性质进行角度计算，识别图形中隐藏的等腰条件 【例题1】（26-27八年级上·全国·课后作业）在中，已知．求和的度数． 【变式1】（25-26八年级上·广东汕头·期中）在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27八年级上·全国·课后作业）填空： （1）如果等腰三角形的一个底角为，那么其余两个角的度数分别为______和______； （2）如果等腰三角形的顶角为，那么它的一个底角的度数为______． 【变式3】（25-26八年级上·广西柳州·期末）如图，在中，，，，试求的度数． 【题型2】已知内角条件分类讨论求角度 考向：题目不指明顶角或底角，进行分类讨论，排除不符合三角形内角和的解 【例题2】（2026八年级上·全国·专题练习）在等腰三角形中，，边的垂直平分线交边于点，连接，若为等腰三角形，求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·期中）等腰三角形的一个角为，则它的另外两个角为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 或和 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）若一个等腰三角形有一个角为，则另两个角为_________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）结合等腰三角形相关知识，解决以下问题： （1）已知等腰三角形的一个角是，则另外两角为 （2）已知等腰三角形的一个角是，则另外两角为 （3）中，当 时，是等腰三角形． 【题型3】已知边长求周长（三边关系取舍多解） 考向：未指明腰与底，分类讨论，利用三角形三边关系舍去无效解 【例题3】（26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）已知等腰三角形的一边长为3，一边长为8，求它的周长． 【变式1】（25-26八年级上·广东汕头·期中）一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D． 【变式2】（26-27七年级上·山东淄博·阶段检测）在等腰中，，是的中线，将的周长分成6和9两部分，则线段的长为________． 【变式3】（26-27八年级上·天津南开·阶段检测）按要求完成下列各题： （1）已知一个等腰三角形的两边长分别为和，求它的周长； （2）已知一个等腰三角形的周长为，一边长为，求其他两边的长． 【题型4】等腰三角形一腰上的高位置分类讨论 考向：一腰上的高可在三角形内部或外部，分锐角等腰、钝角等腰两种情况计算角度 【例题4】（2025八年级上·全国·专题练习）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求底角的度数． 【变式1】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（24-25八年级上·广东汕头·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为_______． 【变式3】（25-26八年级上·湖北荆门·期中）（1）在等腰中，，一腰上的中线将三角形的周长分成15和9两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长． （2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求这个等腰三角形的底角的度数． 【题型5】三线合一综合线段、角度推导 考向：运用三线合一证明垂直、线段相等、角相等；注意使用前提必须是等腰三角形 【例题5】（25-26八年级上·全国·期末）已知：如图，D是等腰底边上一点，它到两腰的距离分别为．当D点在什么位置时，？并加以证明． 【变式1】（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）新情境如图所示的人字梯撑开后的主视图是一个等腰三角形，且，取底边的中点为，连接．已测得，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，小聪和小明玩跷跷板游戏，支点O是跷路板的中点（即），支柱垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端落地时，，则上下可转动的最大角度______． 【变式3】（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，是的高，边的垂直平分线分别交，于点，，连接，． （1）若，求的长度； （2）若，则___________°． 【题型6】平行线+角平分线构造等腰三角形 考向：经典几何模型，平行+角平分线推等角，进而得到等腰三角形 【例题6】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，是的一条角平分线，点E在边上，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）过点E作交于点F，垂足为O，若，，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在等腰中，顶角，过点作的平行线，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，和的角平分线交于点O，过点O作的平行线交于点M，交于点N，则的周长为_____． 【变式3】（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）（1）如图1，，平分，则的形状是 三角形； （2）如图2，平分，，，则 ． （3）如图3，有中，是角平分线，交于点D．若，则 ． （4）如图4，在中，与的平分线交于点F，过点F作，分别交，于点D，E．若，则的周长为 ． （5）如图，在中，cm，分别是和的平分线，且，则的周长是 ． 【题型7】等边三角形性质与判定综合 考向：等边三角形角度、边长计算；证明一个三角形为等边三角形 【例题7】（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）如图，两个全等的等边三角形和等边三角形的一边重叠地放在直线上，，交于点． （1）判断的形状，并说明理由． （2）连接，，求证：． 【变式1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图（1）是一把折叠椅实物图，如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），支架与交于点O，．椅面与地面水平线l平行，，，，则支架的长度为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川成都·三模）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则长________． 【变式3】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【题型8】等腰三角形线性质与判定综合 考向：结合全等、等腰性质与判定证明线段相等、求角的大小 【例题8】（26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）在中，是高，，是角平分线，交于点O，，． （1）求的度数；（2）求证：． 【变式1】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在和中，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，，，，垂足为．如果，，那么_______． 【变式3】（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图1，在中，，直线过点A且，点D是直线上一点，不与点A重合． （1）若点E是图1中线段上一点，且，请判断线段与的位置关系，并说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点D作交线段于点P，请判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在图1的基础上，改变点D的位置后，连接，过点D作交线段的延长线于点P，请判断线段与的数量关系，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.11 特殊三角形复习——等腰三角形综合与分类讨论 目录 一、知识要点回顾 1 二、题型精析 1 【题型1】等腰三角形边角综合计算（含外角隐藏条件） 1 【题型2】已知内角条件分类讨论求角度 3 【题型3】已知边长求周长（三边关系取舍多解） 6 【题型4】等腰三角形一腰上的高位置分类讨论 8 【题型5】三线合一综合线段、角度推导 12 【题型6】平行线+角平分线构造等腰三角形 14 【题型7】等边三角形性质与判定综合 18 【题型8】等腰三角形线性质与判定综合 21 一、知识要点回顾 1. 等腰三角形性质：等边对等角；三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）。 2. 等腰三角形判定：等角对等边；有两条边相等的三角形是等腰三角形。 3. 等边三角形性质：三边相等，三个内角都等于60°。 4. 等边三角形判定：三边相等的三角形；三个内角相等的三角形；有一个内角为60°的等腰三角形。 5. 常用模型：平行线+角平分线，可以构造出等腰三角形。 6. 分类讨论 ①已知边长：区分腰与底边，结果必须满足三角形三边关系，舍去不能构成三角形的解； ②已知内角：区分该角是顶角还是底角； ③一腰上的高：锐角等腰三角形高在三角形内部，钝角等腰三角形高在三角形外部。 7. 易错警示：“三线合一”只针对等腰三角形的顶角与底边，腰上的高、腰上的中线不具备三线合一性质。 二、题型精析 【题型1】等腰三角形边角综合计算（含外角隐藏条件） 考向：利用等边对等角、三角形外角性质进行角度计算，识别图形中隐藏的等腰条件 【例题1】（26-27八年级上·全国·课后作业）在中，已知．求和的度数． 【答案】， 【分析】根据等腰三角形等边对等角的性质求，再利用三角形内角和求． 解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ 三角形三个内角的和为， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·广东汕头·期中）在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得出，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 解：∵， ∴， ∴． 【变式2】（26-27八年级上·全国·课后作业）填空： （1）如果等腰三角形的一个底角为，那么其余两个角的度数分别为______和______； （2）如果等腰三角形的顶角为，那么它的一个底角的度数为______． 【答案】 /50度 /80度 /55度 【分析】根据等边对等角进行求解即可. 解：（1）另一个底角的度数也为，顶角度数为； （2）一个底角的度数为. 【变式3】（25-26八年级上·广西柳州·期末）如图，在中，，，，试求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理，关键是通过设未知数，利用等腰三角形的性质和外角性质将各角用同一个未知数表示，再根据内角和定理列方程求解． 解：设， ∵，，， ∴，，． ∴， ∴． ∴， ∴． ∵在中，， ∴，解得， ∴． 【题型2】已知内角条件分类讨论求角度 考向：题目不指明顶角或底角，进行分类讨论，排除不符合三角形内角和的解 【例题2】（2026八年级上·全国·专题练习）在等腰三角形中，，边的垂直平分线交边于点，连接，若为等腰三角形，求的度数． 【答案】的度数为或 【分析】分两种情况：当时，当时，分别画出图形，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，进行求解即可． 解：， ， 设， 是边的垂直平分线， ， ． 当时，如图①， 则， ， ， ， 即， 当时，如图②， 则， ， ， ， ， ， 即． 综上，的度数为或． 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·期中）等腰三角形的一个角为，则它的另外两个角为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 或和 【答案】D 【分析】分两种情况：顶角为和底角为，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 解：当顶角为时，则底角为，即另外两个角为和， 当底角为时，则顶角为，即另外两个角为和 ， 综上所述，另外两个角为和 或和． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）若一个等腰三角形有一个角为，则另两个角为_______________． 【答案】， 【分析】需分情况讨论已知角是顶角还是底角，结合三角形内角和定理与等腰三角形性质判断情况是否成立，再计算未知角度． 解：若为底角，则两个底角的和为，不符合三角形内角和定理，故该情况不成立； 若为顶角，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和定理，得另两个底角的度数和为，因此每个底角的度数为． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）结合等腰三角形相关知识，解决以下问题： （1）已知等腰三角形的一个角是，则另外两角为 （2）已知等腰三角形的一个角是，则另外两角为 （3）中，当 时，是等腰三角形． 【答案】（1），或，；（2），；（3）或或 【分析】（1）分两种情况，根据等腰三角形的性质并结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）分两种情况，根据等腰三角形的性质并结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （3）分三种情况，根据等腰三角形的性质并结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （1）解：∵等腰三角形的一个角是， ∴当的角是顶角时，则底角为，此时另外两角为，； 当的角是底角时，则顶角为，此时另外两角为，； 综上所述，等腰三角形的一个角是，则另外两角为，或，； （2）解：∵等腰三角形的一个角是， ∴当的角是顶角时，则底角为，此时另外两角为，； 当的角是底角时，此时，故不符合题意； 综上所述，等腰三角形的一个角是，则另外两角为，； （3）解：当时，此时是等腰三角形； 当，此时是等腰三角形，则； 当时，此时是等腰三角形，则； 综上所述，中，当或或时，是等腰三角形． 【题型3】已知边长求周长（三边关系取舍多解） 考向：未指明腰与底，分类讨论，利用三角形三边关系舍去无效解 【例题3】（26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）已知等腰三角形的一边长为3，一边长为8，求它的周长． 【答案】这个等腰三角形的周长为19 【分析】利用分类思想，结合三角形的三边关系，解答即可． 解：当腰长为3，底边长为8时， 三角形的三边长为3、3、8 ， ， 不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴此种情况不能构成三角形，舍去； 当腰长为8，底边长为3时， 三角形的三边长为8、8、3； ，满足三角形三边关系，可以构成三角形， 故三角形的周长． 答：这个等腰三角形的周长为19． 【变式1】（25-26八年级上·广东汕头·期中）一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】等腰三角形两条腰长度相等，结合已知的两边长，分类讨论两种边长组合；根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，验证每种组合是否能构成三角形；最后计算周长． 解：若腰为6，则三边为6、6、13，，不能构成三角形； 若腰为13，则三边为13、13、6，可以构成三角形，周长为． 【变式2】（26-27七年级上·山东淄博·阶段检测）在等腰中，，是的中线，将的周长分成6和9两部分，则线段的长为________． 【答案】或 【分析】设中线分割的腰长一半为，分两种情况讨论周长的分配，最后用三角形三边关系验证结果． 解：设， ∵是的中线，， ∴，， 分两种情况讨论： ①如图，当时， 可得：，解得， ∴，， 此时，满足三角形三边关系，符合要求； ②如图，当时， 可得：，解得， ∴，， 此时，满足三角形三边关系，符合要求； 综上，线段的长为或． 【变式3】（26-27八年级上·天津南开·阶段检测）按要求完成下列各题： （1）已知一个等腰三角形的两边长分别为和，求它的周长； （2）已知一个等腰三角形的周长为，一边长为，求其他两边的长． 【答案】（1）该等腰三角形的周长为或；（2）其他两边的长为和，或和． 【分析】（1）根据等腰三角形的特点分情况讨论即可； （2）分两种情况讨论即可求解． （1）解：第一种情况：腰长为，底边长为，， 此时周长为； 第二种情况：腰长为，底边长为，， 此时周长为； 综上，该等腰三角形的周长为或； （2）解：第一种情况：腰长为， 此时底边长为，， 故其他两边长为和； 第二种情况：底边长为， 此时腰长为，， 故其他两边长为和． 综上，其他两边的长为和，或和． 【题型4】等腰三角形一腰上的高位置分类讨论 考向：一腰上的高可在三角形内部或外部，分锐角等腰、钝角等腰两种情况计算角度 【例题4】（2025八年级上·全国·专题练习）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求底角的度数． 【答案】等腰三角形底角的度数为或 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，分等腰三角形的顶角为锐角和钝角，两种情况进行讨论求解即可． 解：分两种情况讨论： ①若，如答图①所示． 因为， 所以． 因为， 所以． 因为，所以； ②若，如答图②所示． 同①可得， 所以． 因为， 所以． 综上所述，等腰三角形底角的度数为或． 【变式1】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，分两种情况：当等腰三角形为锐角三角形时；当等腰三角形为钝角三角形时；分别求解即可． 解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时， ∵，， ∴，即顶角为； 当等腰三角形为钝角三角形时， ， ∵，， ∴， ∴，即顶角为； 综上所述，其顶角为或， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·广东汕头·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，三角形外角的性质，分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况，分别求解即可得出答案，熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 解：如图，当顶角为钝角时， 则顶角为； 如图，当顶角为锐角时， 则顶角为； 综上所述，底角的度数为或． 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级上·湖北荆门·期中）（1）在等腰中，，一腰上的中线将三角形的周长分成15和9两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长． （2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求这个等腰三角形的底角的度数． 【答案】（1）腰长为10，底边长为4；（2）这个等腰三角形的底角的度数是或 【分析】（1）设，则，分两种情况：①当，时，②当，时，分别列方程求出x得到腰长，即可求出底边； （2）分①若是锐角三角形，②若三角形是钝角三角形两种情况求解 解：（1）设，则， ①当，时，则， ∴， ∴，， ∴这个等腰三角形的腰长为10，底边长为4； ②当，时，则， ∴， ∴，， ∵， ∴此时不成立．    综上，这个等腰三角形的腰长为10，底边长为4； （2）在中，设于D． ①若是锐角三角形，， ∴底角；    ②若三角形是钝角三角形，， ∴底角    综上，这个等腰三角形的底角的度数是或． 【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角求角度，三角形外角的性质，在解题时要注意找出等量关系是解题的关键． 【题型5】三线合一综合线段、角度推导 考向：运用三线合一证明垂直、线段相等、角相等；注意使用前提必须是等腰三角形 【例题5】（25-26八年级上·全国·期末）已知：如图，D是等腰底边上一点，它到两腰的距离分别为．当D点在什么位置时，？并加以证明． 【答案】解：当点D为的中点时，，证明如下： 如图所示，连接， ∵D是等腰底边的中点， ∴平分， 又∵， ∴． 【分析】当点D为的中点时，由三线合一定理可得平分，则由角平分线的性质可得． 解：略 【变式1】（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）新情境如图所示的人字梯撑开后的主视图是一个等腰三角形，且，取底边的中点为，连接．已测得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形等边对等角求出顶角度数，结合三线合一性质计算即可求解． 解：，， ， ， ，为的中点， 平分， ． 【变式2】（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，小聪和小明玩跷跷板游戏，支点O是跷路板的中点（即），支柱垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端落地时，，则上下可转动的最大角度______． 【答案】40 【分析】根据题意，得，结合，得到，结合平角定义计算即可． 本题考查了等腰三角形三线合一性质，熟练掌握性质是解题的关键． 解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：40． 【变式3】（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，是的高，边的垂直平分线分别交，于点，，连接，． （1）若，求的长度； （2）若，则___________°． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先利用等腰三角形三线合一得到是的垂直平分线，推出，再结合是的垂直平分线得，通过等量代换求出结果． （2）先根据等腰三角形三线合一得到，结合第（1）问，用等边对等角求出的度数． （1）解：，， ，（等腰三角形三线合一） 垂直平分， ．（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 又垂直平分， ，（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ．（等量代换） （2），， ，（等腰三角形三线合一） ， ， ．（等边对等角） 【题型6】平行线+角平分线构造等腰三角形 考向：经典几何模型，平行+角平分线推等角，进而得到等腰三角形 【例题6】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，是的一条角平分线，点E在边上，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）过点E作交于点F，垂足为O，若，，求的长． 【答案】（1）与平行，理由如下： ∵是的一条角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）． 【分析】（1）利用角平分线的定义结合等边对等角求得，即可判断； （2）利用证明，即可得到，，据此计算即可求解． （1）解：略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在等腰中，顶角，过点作的平行线，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质求解即可得． 解：∵在等腰中，顶角， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，和的角平分线交于点O，过点O作的平行线交于点M，交于点N，则的周长为_____． 【答案】14 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质证得等腰三角形是解题的关键．根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得的周长，从而进行计算即可解答． 解： 平分即 同理，， ∴的周长 故答案为：14． 【变式3】（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）（1）如图1，，平分，则的形状是 三角形； （2）如图2，平分，，，则 ． （3）如图3，有中，是角平分线，交于点D．若，则 ． （4）如图4，在中，与的平分线交于点F，过点F作，分别交，于点D，E．若，则的周长为 ． （5）如图，在中，cm，分别是和的平分线，且，则的周长是 ． 【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边． （1）平行线的性质结合角平分线平分角，得到，即可得出结果； （2）平行线的性质结合角平分线平分角，得到，进而得到即可； （3）同法（2）可得：，利用，求解即可； （4）同法（2）得到，推出的周长等于，即可得出结果； （5）同法（2）得到，推出的周长等于的长即可． 掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键． 解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：等腰； （2）∵平分，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3； （3）同法（2）可得：， ∴； 故答案为：12； （4）同法（2）可得：， ∴的周长； 故答案为：30； （5）同法（2）可得：， ∴的周长； 故答案为：5cm． 【题型7】等边三角形性质与判定综合 考向：等边三角形角度、边长计算；证明一个三角形为等边三角形 【例题7】（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）如图，两个全等的等边三角形和等边三角形的一边重叠地放在直线上，，交于点． （1）判断的形状，并说明理由． （2）连接，，求证：． 【答案】（1）解：是等边三角形． 理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形． （2）证明：∵，是两个全等的等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴． 【分析】（1）由和都是等边三角形，可得，即可得结论； （2）由和都是等边三角形，可得，，可证明，即可证明结论． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图（1）是一把折叠椅实物图，如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），支架与交于点O，．椅面与地面水平线l平行，，，，则支架的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明为等边三角形，可得，，，从而得到为等边三角形，进而得到，即可求解． 解：∵，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式2】（2026·四川成都·三模）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则长________． 【答案】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出的度数，由作图痕迹得出，进而判定为等边三角形，即可得出的长． 解：在中，，， ， 由作图可知，， 是等边三角形， ． 【变式3】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【答案】（1）证明：， ， ， ． ， 是等边三角形； （2）证明：是等边三角形， ． ， ，即． 在与中， ， ， ． 【分析】（1） 首先由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； （2） 由是等边三角形可得，，进而得出，然后由证明，最后可得． 解：（1）略 （2）略 【题型8】等腰三角形线性质与判定综合 考向：结合全等、等腰性质与判定证明线段相等、求角的大小 【例题8】（26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）在中，是高，，是角平分线，交于点O，，． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）的度数为；（2）证明：∵， ∴ ∴ ∵ ∴． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理，可求的值，根据角平分线可求 ，的值，根据计算求解即可； （2）由，可得，即，根据等腰三角形的性质可证． （1）解：∵，， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）略 【变式1】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在和中，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定和性质进行解答即可． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴ 即， 无法证明，故D错误． 【变式2】（25-26七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，，，，垂足为．如果，，那么_______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，得出，证明，得到，，即可得解． 解：，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图1，在中，，直线过点A且，点D是直线上一点，不与点A重合． （1）若点E是图1中线段上一点，且，请判断线段与的位置关系，并说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点D作交线段于点P，请判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在图1的基础上，改变点D的位置后，连接，过点D作交线段的延长线于点P，请判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ，即； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：，理由如下： 如下图，延长至F，连接，使， 同（1）得， ， ， 同理可证， ， ， ， 在和中， ， 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得，根据平行线的性质得，再证，即可求解； （2）根据同角的余角相等可得，进而可证明，由此可得结论； （3）作辅助线，延长至F，连接，使，进而证明，由此即可证结论． 解：（1）略； （2）略； （3）略． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $