第7讲 等腰三角形 优等生讲义（知识梳理+典例+针对练习）2026--2027学年浙教版八年级数学上册

第7讲 等腰三角形 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一 · 掌握等腰三角形的判定：等角对等边 · 理解等腰三角形中角平分线+平行线出等腰三角形模型 · 能解决等腰三角形中的分类讨论问题（顶角/底角、腰/底） · 能解决等腰三角形与全等、角平分线综合的压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.等腰三角形的性质 等腰三角形两底角相等（等边对等角） 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的高所在直线 等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线、高分别相等 概念辨析例题：等腰三角形一个内角为70°，则它的顶角为（　　）A．70°　B．40°　C．70°或40°　D．55° 解析：分两种情况：70°为顶角，则顶角70°；70°为底角，则顶角＝180°-2×70°＝40°。所以顶角为70°或40°。 ☆ 2.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 等角对等边是证明两边相等的重要方法 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 概念辨析例题：△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于E，求证：△EBD是等腰三角形 解析：BD平分∠ABC⇒∠EBD＝∠DBC；DE∥BC⇒∠EDB＝∠DBC；所以∠EBD＝∠EDB，等角对等边⇒EB＝ED，△EBD等腰。 ☆ 3.角平分线+平行线模型 角平分线+平行线⇒等腰三角形（内错角相等+角平分⇒等角对等边） 三角形两内角平分线交点+平行线常出现等腰三角形 利用此模型可以把线段和差转化 DE∥BC，BF平分∠ABC，则△BDF为等腰三角形，BD＝DF 概念辨析例题：△ABC中，∠ABC和∠ACB平分线交于F，过F作DE∥BC交AB于D、AC于E，BD＝3，CE＝2，求DE长 解析：BF平分∠ABC，DE∥BC⇒∠DBF＝∠DFB⇒DB＝DF＝3；同理EC＝EF＝2。所以DE＝DF+EF＝3+2＝5。 ☆ 4.等腰三角形综合 分类讨论：已知边求周长要分腰/底；已知角求角度要分顶角/底角 等腰三角形常与全等三角形结合证明线段和差 动点问题中要分类讨论不同位置 等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高 概念辨析例题：等腰三角形两边长为3和7，则周长为（　　）A．13　B．17　C．13或17　D．15 解析：若腰为3，则3+3＝6＜7不能组成三角形；若腰为7，则7+7＞3，周长＝7+7+3＝17。 📋 知识总结表 核心概念 性质/判定 注意事项 等边对等角 等腰三角形两底角相等 由边等推角等 三线合一 顶角平分线=底边中线=底边高 针对底边 等角对等边 两角对等⇒两边对等 由角等推边等 角平分线+平行 ⇒等腰三角形 内错角相等 分类讨论 已知边分腰底、已知角分顶角底角 验证三边关系 等边三角形 三边相等、三角60° 是特殊等腰三角形 ⚠️ 核心考点 【考点1】等腰三角形的判定（第1-14题） · 等角对等边证两边相等 · 角平分线+平行找等腰三角形 · 外角性质求角 · 分类讨论顶角底角 1．（2026春•中原区校级期中）我们称网格线的交点为格点．如图，在5行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，则满足条件的格点C的个数是（　　） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 2．（2025秋•南海区月考）如图，△ABC中，∠C＝2∠A＝72°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点D和点E；②以点B为圆心，AD长为半径作弧，交AB于点F；③以点F为圆心，DE长为半径作弧，与前面的弧交于点G；④作射线BG交AC于点H、若，则CH的长为（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•日照月考）用12根大小完全一样的火柴棒顺次相接（无剩余无重叠）能构成（　　）种不同的等腰三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2026春•小店区校级期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得△ABP是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 5．（2025春•海港区期末）用一根长10cm的绳子围成一个等腰三角形，其中腰和底的长度都为整数，则腰长为____________ ． 6．（2025春•闵行区期末）已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝36°，点D在边AB上，∠ACD＝2∠BCD，图中共有 _____ 个等腰三角形． 7．（2025春•普陀区校级月考）已知a，b，c是△ABC的三条边，且（a﹣b）2＝0，则△ABC的形状是__________ ． 8．（2026春•虹口区校级月考）如图将一张纸条等分成14份．若第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在________ 处剪断．（填所有符合条件的序号） 9．（2025春•咸阳期中）在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝2，则AC的长度为_____ ． 10．（2026•斗门区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，AD∥BC，连接CD．求证：△ACD是等腰三角形． 11．（2024春•南岗区校级月考）已知：如图，AC是∠EAF的角平分线，点B、点D分别在AE、AF上，连接BC，CD．且∠ABC+∠ADC＝180°． （1）如图1，当∠ABC＝90°时，求证：BC＝DC． （2）如图2，当∠ABC＞90°时，（1）问的结论是否成立并给予说明． 12．（2025秋•工业园区校级月考）如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，且DE∥AB；找出图形中的等腰三角形，并加以证明． 13．（2020秋•松北区期末）如图，在△ABD中，∠D＝90°，点E为BD边上一点，连接AE，若∠DAE+2∠EAB＝∠D． （1）求证：AE＝BE； （2）点F在AE边上，连接BF，且∠FBA＝∠DAE，若DE＝6，EF＝4，求BE的长． 14．（2023秋•富县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BCD．求证：△DAC是等腰三角形． 【考点2】等腰三角形的判定与性质（第15-33题） · 三线合一作辅助线 · 等边对等角求角度 · 周长问题分类讨论 · 与全等结合证明 15．（2025秋•隆昌市校级月考）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线相交于O点，过O点作MN∥BC交AB于M，交AC于N．若AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为（　　） A．30 B．33 C．36 D．39 16．（2025春•沈北新区期末）如图，已知钝角三角形ABC，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以C为圆心，CB为半径画弧①； 步骤2：以A为圆心，AB为半径画弧②，交弧①于点D； 步骤3：连结BD，交AC的延长线于点E． 下列叙述正确的是（　　） A．BC平分∠ABD B．AB＝BD C．AE＝BD D．BE＝DE 17．（2026春•南岸区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，若∠B＝72°，AB＝a，BC＝b，则△CDE的周长为（　　） A．a+b B．2a﹣b C．2b﹣a D．3a﹣2b 18．（2024秋•重庆同步）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC交AC于E，若DE＝7，AE＝5，则 AC＝（　　） A．5 B．7 C．10 D．12 19．（2026春•平顶山月考）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，过F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，如果BD＝5，CE＝4．那么DE等于（　　） A．1 B．5 C．9 D．10 20．（2026春•兴庆区校级期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为_____ ． 21．（2026春•武侯区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝5，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是_____ ． 22．（2025秋•鄂尔多斯期中）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E．若BD＝7cm，CE＝5cm，则DE的长为 _____ cm． 23．（2025秋•凉州区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∠ABP＝15°，过点P作MN∥BC，分别交AC、AB于M、N，设AB＝12，则△AMN的周长是_______ ． 24．（2026春•闵行区期末）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作MN∥BC分别交AB，AC边于点M、N，△AMN的周长为18，△ABC的周长为25，那么边BC的长为_____ ． 25．（2025秋•攸县期末）如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD．若AC＝9，BC＝6，则BD的长为__________________ ． 26．（2025•越秀区校级模拟）如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝11，BC＝5，D是边AC上一点，且∠BDC＝∠BCD，过点D作DE⊥BD，交边AB于点E，则△BDE的周长是_______ ． 27．（2024秋•肃南县校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E． （1）求证：△ABE为等腰三角形； （2）已知AC＝13，BD＝5，求AB的长． 28．（2025秋•铁东区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E． （1）求证：BE＝DE； （2）若∠A＝75°，∠C＝36°，求∠BDE的度数． 29．（2025春•新余期末）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于交线段BC点于点D，AB＝CD﹣BD，求证：∠B＝2∠C． 30．（2025春•闵行区期末）已知：如图，点D在线段BC上，AD＝AB，∠BAD＝∠CAE，AD平分∠BDE． 求证： （1）△ACE是等腰三角形． （2）∠CAE＝∠CDE． 31．（2025春•闵行区期末）已知：如图，在△ABC中，已知BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB，经过点M的直线DE平行于BC，交AB、AC分别于点D、E，AB＝8，AC＝6．求△ADE的周长． 解：∵BM平分∠ABC， ∴∠CBM＝ _________ ． ∵DE∥BC， ∴∠CBM＝∠BMD（ ________________ ）． ∴∠BMD＝ _________ ． ∴DB＝DM（ __________ ）． 同理可得EC＝ _______ ． ∴△ADE周长＝AD+DE+AE， ＝AD+DM+ME+AE， ＝AD+DB+EC+AE， ＝AB+AC＝ _______ ． 32．（2023秋•西青区校级期中）如图：在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D的直线DE∥BC，如果AB＝5，AC＝4，求△ADE的周长． 【考点3】新定义及压轴题（第34-39题） · 翻译新定义 · 分类讨论动点 · 构造等腰三角形 · 建立方程求边长 33．（2026春•分宜县校级月考）如图，在△ABC中，BE平分内角∠ABC，AE平分外角∠CAD． （1）若AE∥BC，求证：△ABC为等腰三角形； （2）若∠C＝68°，求∠E的度数． 34．（2026春•勉县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC于点E，交AB于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）连接CF，若∠D＝30°，∠CFE＝60°，DF＝8，求EF的长． 35．（2026春•泾阳县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC于点D，BE平分∠ABD交AC于点E． （1）求证：△BEC是等腰三角形； （2）若∠CEB＝75°，BC＝4，求DE的长． 36．（2024秋•丹江口市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E． （1）求证：△ABE为等腰三角形； （2）已知BD＝2，AB＝3，求AC的长． 37．（2025春•邛崃市期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D在BC的延长线上，∠ADB＝∠BAC，BE⊥AD交于AC于点F． （1）证明：AD＝BD； （2）若∠CAD＝12°，求∠BAC的度数； （3）若△BCF为等腰三角形，求∠BAC度数． 38．（2026春•射洪市校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，，AB＝5，求BD的值． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•东川区期中）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝3，CE＝2，则线段DE的长为_____ ． 【练习 2】（2024秋•集宁区期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列三个结论： ①； ②EF＝BE+CF； ③设OD＝m，AE+AF＝n，则． 其中正确的结论有 ________ ．（填序号） 【练习 3】（2025春•虹口区期末）已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，线段AE＝AF，点E、A、C在同一直线上，求证：AD平分∠BAC．请把以下证明过程补充完整． 证明：∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G， ∴∠EGC＝∠ADC＝90°， ∴EG∥AD（________________ ）， ∴∠E＝_________ （________________ ）， ∠EFA＝_________ （________________ ）， ∵AE＝AF， ∴∠E＝_________ （__________ ）， ∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC． 💯 课后巩固 复习建议 · 等边对等角：等腰三角形两底角相等 · 三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高重合 · 等角对等边：两角相等则对边相等 · 角平分线+平行线必出等腰三角形，这是高频模型 · 已知边求周长、已知角求角度都要分类讨论，并验证三边关系 【作业 1】（2026春•洋县期末）如图，在△ABC中，点D在边AC上，连接BD，∠A＝∠ABD，若BD＝9，CD＝7，则AC的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【作业 2】（2026春•市南区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且DE∥BC，∠A＝36°，则图中的等腰三角形共有（　　）个． A．10 B．11 C．12 D．13 【作业 3】（2025秋•闵行区校级期末）如图，在△ABC中，AP是边BC的中线，下列说法正确的是（　　） A．如果∠BAC＝90°，那么AC＝PC B．如果∠BAC＝90°，那么∠B＝∠CAP C．如果AC＝PC，那么∠BAC＝90° D．如果∠B＝∠BAP，那么∠BAC＝90° 【作业 4】（2025春•长宁区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝7，则线段MN的长为_____ ． 【作业 5】（2025春•蓝田县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DE∥AC，交AB于点E，连接BD，若∠EBD＝∠EDB，求证：AB＝2DE． 【作业 6】（2025秋•平凉期末）如图，已知点A，C分别是△FBE的边BF和BE延长线上的点，作∠AFE的平分线FD，若FD∥BC． （1）求证：△FBE是等腰三角形； （2）作∠FEC的平分线交FD于点H，若∠B＝50°，求∠FHE的度数． 【作业 7】（2025秋•沂南县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB． （1）求证：CE＝DE； （2）若AD是△ABC的中线，求证：E是AC的中点． 【作业 8】（2025秋•临夏州期中）如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，连接DE，并延长至点F，连接BF，使得∠ABF＝∠A，已知DE∥BC，AC＝BC，求证：△BEF是等腰三角形． 【作业 9】（2025秋•安徽期末）已知，如图1：△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F． （1）直接写出图1中所有的等腰三角形．指出EF与BE、CF间有怎样的数量关系？ （2）在（1）的条件下，若AB＝15，AC＝10，求△AEF的周长； （3）如图2，若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F，请问（1）中EF与BE、CF间的关系还是否存在，若存在，说明理由；若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由． 【作业 10】（2025秋•青岛校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q开始从点B沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）BP＝_____________ ；BQ＝__________ （用t的代数式表示）； （2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ （3）点Q在边CA上运动，连接BQ，出发几秒后，能使△BCQ形成以CQ为腰的等腰三角形？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 等腰三角形 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一 · 掌握等腰三角形的判定：等角对等边 · 理解等腰三角形中角平分线+平行线出等腰三角形模型 · 能解决等腰三角形中的分类讨论问题（顶角/底角、腰/底） · 能解决等腰三角形与全等、角平分线综合的压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.等腰三角形的性质 等腰三角形两底角相等（等边对等角） 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的高所在直线 等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线、高分别相等 概念辨析例题：等腰三角形一个内角为70°，则它的顶角为（　　）A．70°　B．40°　C．70°或40°　D．55° 解析：分两种情况：70°为顶角，则顶角70°；70°为底角，则顶角＝180°-2×70°＝40°。所以顶角为70°或40°。 ☆ 2.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 等角对等边是证明两边相等的重要方法 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 概念辨析例题：△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于E，求证：△EBD是等腰三角形 解析：BD平分∠ABC⇒∠EBD＝∠DBC；DE∥BC⇒∠EDB＝∠DBC；所以∠EBD＝∠EDB，等角对等边⇒EB＝ED，△EBD等腰。 ☆ 3.角平分线+平行线模型 角平分线+平行线⇒等腰三角形（内错角相等+角平分⇒等角对等边） 三角形两内角平分线交点+平行线常出现等腰三角形 利用此模型可以把线段和差转化 DE∥BC，BF平分∠ABC，则△BDF为等腰三角形，BD＝DF 概念辨析例题：△ABC中，∠ABC和∠ACB平分线交于F，过F作DE∥BC交AB于D、AC于E，BD＝3，CE＝2，求DE长 解析：BF平分∠ABC，DE∥BC⇒∠DBF＝∠DFB⇒DB＝DF＝3；同理EC＝EF＝2。所以DE＝DF+EF＝3+2＝5。 ☆ 4.等腰三角形综合 分类讨论：已知边求周长要分腰/底；已知角求角度要分顶角/底角 等腰三角形常与全等三角形结合证明线段和差 动点问题中要分类讨论不同位置 等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高 概念辨析例题：等腰三角形两边长为3和7，则周长为（　　）A．13　B．17　C．13或17　D．15 解析：若腰为3，则3+3＝6＜7不能组成三角形；若腰为7，则7+7＞3，周长＝7+7+3＝17。 📋 知识总结表 核心概念 性质/判定 注意事项 等边对等角 等腰三角形两底角相等 由边等推角等 三线合一 顶角平分线=底边中线=底边高 针对底边 等角对等边 两角对等⇒两边对等 由角等推边等 角平分线+平行 ⇒等腰三角形 内错角相等 分类讨论 已知边分腰底、已知角分顶角底角 验证三边关系 等边三角形 三边相等、三角60° 是特殊等腰三角形 ⚠️ 核心考点 【考点1】等腰三角形的判定（第1-14题） · 等角对等边证两边相等 · 角平分线+平行找等腰三角形 · 外角性质求角 · 分类讨论顶角底角 1．（2026春•中原区校级期中）我们称网格线的交点为格点．如图，在5行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，则满足条件的格点C的个数是（　　） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线以及网格作图，解题的关键是利用分类讨论思想和熟悉等腰三角形的性质，分AB为底边、AB 为腰且 A 为顶点、AB 为腰且 B 为顶点三种情况讨论，找出所有满足条件的格点即可． 【解答】解：设网格小正方形的边长为1， 分三种情况讨论： 当AB＝AC时，如图， 此时满足条件的格点C共有3个； 当AC＝BC时，则点C在线段 AB 的垂直平分线上，如图， 此时满足条件的格点C有2个； BA＝BC时，如图， 此时满足条件的格点C共有3个， 综上所述，满足条件的格点C共有3+2+3＝8个， 故选：C． 【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2．（2025秋•南海区月考）如图，△ABC中，∠C＝2∠A＝72°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点D和点E；②以点B为圆心，AD长为半径作弧，交AB于点F；③以点F为圆心，DE长为半径作弧，与前面的弧交于点G；④作射线BG交AC于点H、若，则CH的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】先证，进而根据三角形内角和为180度得出∠ABC＝72°＝∠C，根据等角对等边，可得AC＝AB＝8，由作图方式得出∠ABH＝∠A＝36°，进而得出AH＝BH，∠CBH＝36°，再次应用三角形内角和定理，得出∠BHC＝72°＝∠C，推出，可得． 【解答】解：由条件可得， ∴∠ABC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠C， ∴AC＝AB＝8， 由作图知，∠ABH＝∠A＝36°， ∴AH＝BH，∠CBH＝∠ABC﹣∠ABH＝72°﹣36°＝36°， ∴∠BHC＝180°﹣∠CBH﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠C， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查等腰三角形的判定，三角形内角和定理，作一个角等于已知角．熟练掌握以上知识点是关键． 3．（2025秋•日照月考）用12根大小完全一样的火柴棒顺次相接（无剩余无重叠）能构成（　　）种不同的等腰三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】结合等腰三角形的定义摆放火柴，即可获得答案． 【解答】解：如图所示， 即围成的等腰三角形的腰和底的火柴棒根数为4根、4根、4根，5根、5根、2根， 所以，用12根大小完全一样的火柴棒顺次相接（无剩余无重叠）能构成2种不同的等腰三角形． 故选：A． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的理解等知识，正确理解题意是解题关键． 4．（2026春•小店区校级期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得△ABP是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【分析】结合网格特点与等腰三角形的定义，线段垂直平分线的定义可得答案． 【解答】解：如图， ∴符合条件的格点P共有8个． 故选：D． 【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 5．（2025春•海港区期末）用一根长10cm的绳子围成一个等腰三角形，其中腰和底的长度都为整数，则腰长为　3cm或4cm ． 【分析】设腰长为xcm（x为整数），则底长为（10﹣2x）cm，根据“三角形任意两边之和大于第三边”得：x+x＞10﹣2x＞0，求出该不等式组的解集，再取整数即可． 【解答】解：设腰长为xcm（x为整数），则底长为（10﹣2x）cm， 根据题意列不等式得：x+x＞10﹣2x＞0， 整理得，2x＞10﹣2x＞0， 解得， ∵x为整数 ∴x＝3或4， 所以腰长为3cm或4cm． 故答案为：3cm或4cm． 【点评】本题考查等腿三角形的判定，三角形三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键． 6．（2025春•闵行区期末）已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝36°，点D在边AB上，∠ACD＝2∠BCD，图中共有 　三　 个等腰三角形． 【分析】根据三角形的内角和定理分别求出∠ACB＝108°，∠BCD＝36°，∠ACD＝72°，∠ADC＝72°，然后根据∠A＝∠B＝36°可判定△ABC是等腰三角形；根据∠BCD＝∠B＝36°可判定△BCD是等腰三角形；再根据∠ADC＝∠ACD＝72°可判定△ACD是等腰三角形，由此即可得出答案． 【解答】解：在△ABC中，∠A＝∠B＝36°， ∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝108°， ∵∠ACD＝2∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝3∠BCD＝108°， ∴∠BCD＝36°， ∴∠ACD＝2∠BCD＝72°， 在△ACD中，∠ADC＝180°﹣（∠A+∠ACD）＝180°﹣（36°+72°）＝72°， ∵∠A＝∠B＝36°， ∴△ABC是等腰三角形； ∵∠BCD＝∠B＝36°， ∴△BCD是等腰三角形； ∵∠ADC＝∠ACD＝72°， ∴△ACD是等腰三角形， 综上所述：图中共有三和等腰三角形． 故答案为：三． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定，三角形的内角和定理是解决问题的关键． 7．（2025春•普陀区校级月考）已知a，b，c是△ABC的三条边，且（a﹣b）2＝0，则△ABC的形状是　等腰三角形　 ． 【分析】根据偶次方的非负性可得：a﹣b＝0，从而可得a＝b，即可解答． 【解答】解：∵（a﹣b）2＝0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， ∴△ABC是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8．（2026春•虹口区校级月考）如图将一张纸条等分成14份．若第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在　②或③　 处剪断．（填所有符合条件的序号） 【分析】分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【解答】解：分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论如下： 当4为腰时，则底为14﹣2×4＝6，此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处剪断， 当4为底时，则腰为5，此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处剪断， 在①处剪断时，三段的长分别为2、2、10，不能组成三角形， 在④处剪断时，三段的长分别为4、7、3，不能组成三角形， 综上，第二次可以在②或③处剪断， 故答案为：②或③． 【点评】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，熟练掌握该知识点是关键． 9．（2025春•咸阳期中）在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝2，则AC的长度为　2　 ． 【分析】根据等角对等边即可解答． 【解答】解：∵∠B＝∠C， ∴AB＝AC＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 10．（2026•斗门区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，AD∥BC，连接CD．求证：△ACD是等腰三角形． 【分析】根据角平分线定义和平行线的性质，证明∠ABD＝∠ADB，得出AB＝AD，根据AB＝AC，得出AC＝AD，即可证明结论． 【解答】证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∵AB＝AC， ∴AC＝AD， ∴△ACD为等腰三角形． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 11．（2024春•南岗区校级月考）已知：如图，AC是∠EAF的角平分线，点B、点D分别在AE、AF上，连接BC，CD．且∠ABC+∠ADC＝180°． （1）如图1，当∠ABC＝90°时，求证：BC＝DC． （2）如图2，当∠ABC＞90°时，（1）问的结论是否成立并给予说明． 【分析】（1）先证明∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，根据角平分线性质证明结论； （2）过点C作CH⊥AE于H，过点C作CG⊥AF于G，证明CH＝CG，进而证明△CHB≌△CGD（AAS），证出结论即可． 【解答】（1）证明：∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC＝90°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°； ∴CB⊥AE于点B，CD⊥AF于点D， 又∵AC是∠EAF的角平分线， ∴CB＝CD； （2）解：成立， 过点C作CH⊥AE于H，过点C作CG⊥AF于G， ∴∠CHB＝∠CGD＝90°， ∵AC是∠EAF的角平分线，CH⊥AE于H，CG⊥AF于G， ∴CH＝CG， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBH＝180°， ∴∠CBH＝∠ADC， ∵在△CHB与△CGD中， ， ∴△CHB≌△CGD（AAS）； ∴CB＝CD． 【点评】本题考查的是等腰三角形的判定，全等三角形判定与性质，关键是全等三角形判定定理的应用． 12．（2025秋•工业园区校级月考）如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，且DE∥AB；找出图形中的等腰三角形，并加以证明． 【分析】根据角平分线的定义得出∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得出∠ABD＝∠EDB，求出∠EDB＝CBD，根据等腰三角形的判定得出即可． 【解答】解：△BDE是等腰三角形， 证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD（角平分线的性质）， ∵DE∥AB， ∴∠ABD＝∠EDB（两直线平行，内错角相等）， ∴∠EDB＝∠CBD（等量代换）， ∴BE＝DE（等角对等边）， 即△BDE是等腰三角形． 【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 13．（2020秋•松北区期末）如图，在△ABD中，∠D＝90°，点E为BD边上一点，连接AE，若∠DAE+2∠EAB＝∠D． （1）求证：AE＝BE； （2）点F在AE边上，连接BF，且∠FBA＝∠DAE，若DE＝6，EF＝4，求BE的长． 【分析】（1）依据题意，易得∠DAE+∠AED＝90°＝∠D，于是∠AED＝2∠EAB，再利用三角形外角性质即可得出∠EAB＝∠ABE，进而AE＝BE；得到证明； （2）依据题意，过B作BG⊥AE于G，从而可得△DAE△GBE，故∠DAE＝∠GBE＝∠FBA，进而可得∠DBA＝∠GBF，最后得△DBA∽△GBF，再设BE＝x，计算可以得解． 【解答】（1）证明：∵∠D＝90°， ∴∠DAE+∠AED＝90°＝∠D， ∵∠DAE+2∠EAB＝∠D， ∴∠AED＝2∠EAB， 又∵∠AED＝∠EAB+∠ABE， ∴∠EAB＝∠ABE， ∴AE＝BE； （2）解：过B作BG⊥AE于G， ∵∠ADE＝∠BGE＝90°，∠DEA＝∠GEB，AE＝BE， ∴△ADE≌△BEG（AAS）． ∴∠DAE＝∠GBE＝∠FBA，GE＝DE＝6． ∴∠GBE+∠FBE＝∠FBA+∠FBE． ∴∠DBA＝∠GBF． 又∠∠ADE＝∠FGB＝90°， ∴△ADE∽△FGB． ∴． 设BE＝AE＝x， ∴． ∴x＝16（x＝﹣6，不合题意，舍去）． ∴BE＝16． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定等，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 14．（2023秋•富县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BCD．求证：△DAC是等腰三角形． 【分析】根据题意AD∥BC，得到内错角∠DAC＝∠ACB，再利用角平分线定义推导出∠DAC＝∠ACD，最后可以证明△DAC是等腰三角形． 【解答】证明：∵AC平分∠BCD， ∴∠ACD＝∠ACB， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴∠DAC＝∠ACD， ∴AD＝CD， ∴△DAC是等腰三角形． 【点评】无 【考点2】等腰三角形的判定与性质（第15-33题） · 三线合一作辅助线 · 等边对等角求角度 · 周长问题分类讨论 · 与全等结合证明 15．（2025秋•隆昌市校级月考）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线相交于O点，过O点作MN∥BC交AB于M，交AC于N．若AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为（　　） A．30 B．33 C．36 D．39 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABO＝∠OBC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC＝∠BOM，从而得到∠ABO＝∠BOM，根据等角对等边的性质可得BM＝OM，同理可得CN＝ON，然后求出△AMN的周长＝AB+AC，代入数据进行计算即可． 【解答】解：∵OB平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠OBC（角平分线的定义）， ∵MN∥BC， ∴∠OBC＝∠BOM（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABO＝∠BOM， ∴BM＝OM， 同理可得CN＝ON， ∴△AMN的周长＝AM+MO+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝12+18＝30． 故选：A． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，关键是根据角平分线的定义可得∠ABO＝∠OBC解答． 16．（2025春•沈北新区期末）如图，已知钝角三角形ABC，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以C为圆心，CB为半径画弧①； 步骤2：以A为圆心，AB为半径画弧②，交弧①于点D； 步骤3：连结BD，交AC的延长线于点E． 下列叙述正确的是（　　） A．BC平分∠ABD B．AB＝BD C．AE＝BD D．BE＝DE 【分析】连接AD，CD，先证明△ABC≌△ADC，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出BE＝DE． 【解答】解：连接AD，CD， 由题意得，CB＝CD，AB＝AD， ∴△ABD是等腰三角形， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴AE是∠DAB的角平分线， 又∵AB＝AD， ∴BE＝DE， 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题关键． 17．（2026春•南岸区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，若∠B＝72°，AB＝a，BC＝b，则△CDE的周长为（　　） A．a+b B．2a﹣b C．2b﹣a D．3a﹣2b 【分析】根据等腰三角形的性质求出∠A和∠ACB的度数，利用角平分线和平行线的性质证明△ADC、△BCD、△CDE均为等腰三角形，进而用a，b表示出△CDE的各条边长，最后合并化简即可． 【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝72°， ∴∠ACB＝∠B＝72°， ∴∠A＝180°﹣72°﹣72°＝36°， ∵CD平分∠ACB， ∴， ∴∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，∠A＝∠ACD， ∴∠BDC＝∠B，AD＝CD， ∴CD＝BC＝b， ∴AD＝b， ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ACB＝72°，∠EDC＝∠BCD＝36°，∠ADE＝∠B＝72°， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE＝b， ∴CE＝AC﹣AE＝AB﹣AE＝a﹣b， ∵∠EDC＝36°，∠ECD＝36°， ∴∠ECD＝∠EDC， ∴DE＝CE＝a﹣b， ∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝b+a﹣b+a﹣b＝2a﹣b， 故选：B． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 18．（2024秋•重庆同步）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC交AC于E，若DE＝7，AE＝5，则 AC＝（　　） A．5 B．7 C．10 D．12 【分析】根据角平分线的定义得出∠BCD＝∠ECD，根据两直线平行，内错角相等得出∠EDC＝∠BCD，于是得出∠ECD＝∠EDC，再根据等角对等边得出CE＝DE，即可求出AC的长． 【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝∠ECD， ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD， ∴∠ECD＝∠EDC， ∴CE＝DE＝7， ∵AE＝5， ∴AC＝AE+CE＝5+7＝12， 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 19．（2026春•平顶山月考）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，过F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，如果BD＝5，CE＝4．那么DE等于（　　） A．1 B．5 C．9 D．10 【分析】根据已知条件，可判断出△BDF和△CEF为等腰三角形，从而能够证明BD+CE＝DE即可解决． 【解答】解：∵BF、CF分别平分∠DBC、∠BCE， ∴∠DBF＝∠FBC，∠BCF＝∠ECF， ∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC，∠BCF＝∠EFC， ∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC， ∴DF＝BD，CE＝EF， ∵DF+EF＝DE， ∴BD+CE＝DE， ∵BD＝5，CE＝4， ∴DE＝9， 故选：C． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，利用边角关系并结合等量代换来推导证明． 20．（2026春•兴庆区校级期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为　4　 ． 【分析】只要证明EG＝EB，DF＝DC即可解决问题． 【解答】解：∵ED∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠GCB， ∵∠DBF＝∠FBC，∠ECG＝∠GCB， ∴∠DFB＝∠DBF，∠ECG＝∠EGC， ∴BD＝DF，CE＝GE， ∵FG＝2，ED＝6， ∴DB+EC＝DF+GE＝ED﹣FG＝6﹣2＝4． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题． 21．（2026春•武侯区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝5，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　5　 ． 【分析】由BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，得∠ABP＝∠DBP，∠ACP＝∠ECP，根据平行线的性质得出∠ABP＝∠DPB，∠ACP＝∠EPC，从而有∠DBP＝∠DPB，∠ECP＝∠EPC，则BD＝PD，PE＝CE，然后代入求值即可． 【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠ACP＝∠ECP，∠ABP＝∠DBP， ∵PE∥AC，PD∥AB， ∴∠ACP＝∠EPC，∠ABP＝∠DPB， ∴∠DBP＝∠DPB，∠ECP＝∠EPC， ∴BD＝PD，PE＝CE， ∵BC＝5， ∴△PDE的周长为DE+PE+PD＝DE+CE+BD＝BC＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，掌握相关知识是解题的关键． 22．（2025秋•鄂尔多斯期中）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E．若BD＝7cm，CE＝5cm，则DE的长为 　2　 cm． 【分析】根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，根据等角对等边得出DF＝BD，CE＝EF，根据DE＝DF﹣EF即可求得． 【解答】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角， ∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG， ∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG， ∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC， ∴BD＝FD＝7cm，EF＝CE＝5cm， ∴DE＝DF﹣EF＝7﹣5＝2（cm）， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明是解决问题的关键． 23．（2025秋•凉州区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∠ABP＝15°，过点P作MN∥BC，分别交AC、AB于M、N，设AB＝12，则△AMN的周长是　18　 ． 【分析】先根据角平分线的定义得∠ABC＝30°，从而利用含30°角的直角三角形的性质可得AC＝6，然后根据角平分线的定义和平行线的性质可证△MPC和△NPB是等腰三角形，从而可得MP＝MC，NP＝NB，最后利用等量代换可得△AMN的周长为（AC+AB），即可解答． 【解答】解：∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC， ∴∠MCP＝∠PCB，∠NBP＝∠PBC， ∵MN∥BC， ∴∠MPC＝∠PCB，∠NPB＝∠PBC， ∴MP＝MC，NP＝NB， ∵BP平分∠ABC，∠ABP＝15°， ∴∠ABC＝2∠ABP＝30°， ∵∠ACB＝90°，AB＝12， ∴， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN ＝AM+MP+PN+AN ＝AM+MC+BN+AN ＝AC+AB ＝6+12 ＝18， 则△AMN周长是18． 故答案为：18． 【点评】本题考查含30°角的直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（2026春•闵行区期末）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作MN∥BC分别交AB，AC边于点M、N，△AMN的周长为18，△ABC的周长为25，那么边BC的长为　7　 ． 【分析】利用角平分线和平行线的性质可得∠MBO＝∠MOB、∠NOC＝∠NCO，从而得到MO＝MB、NO＝NC．将△AMN的周长AM+MN+AN转化为AB+AC．已知△ABC 的周长为 25，即可求出BC＝25﹣（AB+AC）＝25﹣18＝7． 【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB． ∵MN∥BC， ∴∠NOC＝∠OCB，∠MOB＝∠OBC， ∴∠NOC＝∠NCO，∠MBO＝∠MOB， ∴MO＝MB，NO＝NC． ∴△AMN的周长为18， 即AM+MN+AN＝AM+MO+AN+ON＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝18． ∵△ABC的周长为 25， ∴AB+AC+BC＝25， ∴BC＝25﹣（AB+AC）＝25﹣18＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 25．（2025秋•攸县期末）如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD．若AC＝9，BC＝6，则BD的长为　　 ． 【分析】延长BD交AC于点E，根据等腰三角形的判定和性质易得CE＝BC＝6，然后可求出AE＝BE＝3，进而得到BD． 【解答】解：延长BD交AC于点E， ∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，BC＝6， 在△CDB和△CDE中， ， ∴△CDB≌△CDE（ASA）， ∴CE＝BC＝6，BD＝DE（全等三角形对应边相等）， ∵∠A＝∠ABD， ∴AE＝BE（等角对等边）， ∵AC＝9， ∴AE＝AC﹣CE＝3， ∴BE＝3， ∴，则BD的长为． 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造出等腰三角形是解题关键． 26．（2025•越秀区校级模拟）如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝11，BC＝5，D是边AC上一点，且∠BDC＝∠BCD，过点D作DE⊥BD，交边AB于点E，则△BDE的周长是　16　 ． 【分析】由直角三角形的性质得∠A+∠C＝90°，∠ADE+∠BDC＝90°，再由等腰三角形的性质得∠A＝∠ADE，然后证明AE＝DE，即可解决问题． 【解答】解：∵∠ABC＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， ∵DE⊥BD， ∴∠BDE＝90°， ∴∠ADE+∠BDC＝90°， ∵∠BDC＝∠BCD， ∴BD＝BC＝5，∠A＝∠BCD＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∵AB＝11，BD＝BC＝5． ∴△BDE的周长为：BD+BE+DE＝BD+BE+AE＝BD+AB＝5+11＝16． 故答案为：16． 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质性质以及直角三角形的性质等知识，证明AE＝DE是解题的关键． 27．（2024秋•肃南县校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E． （1）求证：△ABE为等腰三角形； （2）已知AC＝13，BD＝5，求AB的长． 【分析】（1）由垂直的定义得到∠AFE＝∠AFB＝90°，由角平分线的定义得到∠EAF＝∠BAF，根据三角形的内角和得到∠AEF＝∠ABF，得到AE＝AB，于是得到结论； （2）连接DE，根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BE，得到BD＝ED，由等腰三角形的性质得到∠DEF＝∠DBF，等量代换得到∠AED＝∠ABD，于是得到结论． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AD， ∴∠AFE＝∠AFB＝90°， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠EAF＝∠BAF， 又∵在△AEF和△ABF中 ∠AFE+∠EAF+∠AEF＝180°，∠AFB+∠BAF+∠ABF＝180° ∴∠AEF＝∠ABF， ∴AE＝AB， ∴△ABE为等腰三角形； （2）解：连接DE， ∵AE＝AB，AD平分∠BAC， ∴AD垂直平分BE， ∴BD＝ED， ∴∠DEF＝∠DBF， ∵∠AEF＝∠ABF， ∴∠AED＝∠ABD， 又∵∠ABC＝2∠C， ∴∠AED＝2∠C， 又∵△CED中，∠AED＝∠C+∠EDC， ∴∠C＝∠EDC， ∴EC＝ED， ∴CE＝BD． ∴AB＝AE＝AC﹣CE＝AC﹣BD＝13﹣5＝8． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 28．（2025秋•铁东区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E． （1）求证：BE＝DE； （2）若∠A＝75°，∠C＝36°，求∠BDE的度数． 【分析】（1）根据BD平分∠ABC，可得∠CBD＝∠EBD，再由DE∥BC，可得∠CBD＝∠EDB，从而得到∠EBD＝∠EDB，再根据等腰三角形的判定可得出结论； （2）先根据三角形内角和定理得∠ABC＝69°，再由BD平分∠ABC，DE∥BC即可得出∠BDE的度数． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴， ∵DE∥BC， ∴∠CBD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴BE＝DE； （2）解：在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝36° ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣75°﹣36°＝69°， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∵DE∥BC， ∴∠BDE＝∠CBD＝34.5°． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． 29．（2025春•新余期末）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于交线段BC点于点D，AB＝CD﹣BD，求证：∠B＝2∠C． 【分析】在DC上取点E，使DE＝BD，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AE，求得∠B＝∠AEB，得到AE＝CE，于是得到结论． 【解答】证明：在DC上取点E，使DE＝BD， ∵AD⊥BC，且BD＝DE， ∴AD垂直平分BE， ∴AB＝AE， ∴∠B＝∠AEB， ∵AB＝CD﹣BD， ∴CD﹣BD＝CD﹣DE＝CE， ∴AE＝CE， ∴∠C＝∠EAC， ∴∠AEB＝∠C+∠EAC＝2∠C， ∴∠B＝2∠C． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确地添加辅助线是解题的关键． 30．（2025春•闵行区期末）已知：如图，点D在线段BC上，AD＝AB，∠BAD＝∠CAE，AD平分∠BDE． 求证： （1）△ACE是等腰三角形． （2）∠CAE＝∠CDE． 【分析】（1）根据AD平分∠BDE，设∠ADB＝∠ADE＝α，根据AD＝AB得∠B＝∠ADB＝∠ADE＝α，再根据∠BAD＝∠CAE得∠BAC＝∠DAE，由此即可依据“AAS”判定△BAC和△DAE中全等，则AC＝AE，由此即可得出结论 （2）在△ABD中，根据∠B＝∠ADB＝α得∠BAD＝180°﹣2α，则∠BAD＝∠CAE＝180°﹣2α，再根据∠ADB＝∠ADE＝α得∠CDE＝180°﹣2α，由此即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵AD平分∠BDE， ∴设∠ADB＝∠ADE＝α， ∵AD＝AB， ∴∠B＝∠ADB＝∠ADE＝α， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△BAC和△DAE中， ， ∴△BAC≌△DAE（AAS）， ∴AC＝AE， ∴△ACE是等腰三角形； （2）在△ABD中，∠B＝∠ADB＝α， ∴∠BAD＝180°﹣（∠B+∠ADB）＝180°﹣2α， ∴∠BAD＝∠CAE＝180°﹣2α， ∵∠ADB＝∠ADE＝α， ∴∠CDE＝180°﹣（∠ADB+∠ADE）＝180°﹣2α， ∴∠CAE＝∠CDE． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 31．（2025春•闵行区期末）已知：如图，在△ABC中，已知BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB，经过点M的直线DE平行于BC，交AB、AC分别于点D、E，AB＝8，AC＝6．求△ADE的周长． 解：∵BM平分∠ABC， ∴∠CBM＝ 　∠ABM ． ∵DE∥BC， ∴∠CBM＝∠BMD（ 　两直线平行，内错角相等　 ）． ∴∠BMD＝ 　∠ABM ． ∴DB＝DM（ 　等角对等边　 ）． 同理可得EC＝ EM ． ∴△ADE周长＝AD+DE+AE， ＝AD+DM+ME+AE， ＝AD+DB+EC+AE， ＝AB+AC＝ 　14　 ． 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△BDM和△EMC是等腰三角形，从而可得DB＝DM，同理可得EC＝ EM，然后利用等量代换和三角形的周长公式进行计算，即可解答． 【解答】解：∵BM平分∠ABC， ∴∠CBM＝∠ABM． ∵DE∥BC， ∴∠CBM＝∠BMD（两直线平行，内错角相等）． ∴∠BMD＝∠ABM． ∴DB＝DM（等角对等边）． 同理可得EC＝ EM． ∴△ADE周长＝AD+DE+AE， ＝AD+DM+ME+AE， ＝AD+DB+EC+AE， ＝AB+AC＝ 14， 故答案为：∠ABM；两直线平行，内错角相等；∠ABM；等角对等边；EM；14． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 32．（2023秋•西青区校级期中）如图：在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D的直线DE∥BC，如果AB＝5，AC＝4，求△ADE的周长． 【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得：AD＝2，然后再根据角平分线的定义和平行线的性质可证△EBD等腰三角形，从而可得EB＝ED，最后根据等量代换可得△ADE的周长＝AB+AD，从而进行计算即可解答． 【解答】解：∵BA＝BC，BD平分∠ABC， ∴ADAC＝2， ∵ED∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠EDB， ∴EB＝ED， ∵AB＝5， ∴△ADE的周长＝AE+DE+AD ＝AE+BE+AD ＝AB+AD ＝5+2 ＝7， ∴△ADE的周长为7． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 【考点3】新定义及压轴题（第34-39题） · 翻译新定义 · 分类讨论动点 · 构造等腰三角形 · 建立方程求边长 33．（2026春•分宜县校级月考）如图，在△ABC中，BE平分内角∠ABC，AE平分外角∠CAD． （1）若AE∥BC，求证：△ABC为等腰三角形； （2）若∠C＝68°，求∠E的度数． 【分析】（1）根据平行线得到∠CAE＝∠C，∠CBA＝∠DAE，结合角平分线得到∠CBA＝∠C，最后根据等角对等边得到等腰三角形； （2）根据三角形的外角和角平分线得到，据此求解即可． 【解答】解：（1）∵AE平分外角∠CAD． ∴∠CAE＝∠DAE， ∵AE∥BC， ∴∠CAE＝∠C，∠CBA＝∠DAE， ∴∠CBA＝∠C， ∴AB＝AC， ∴△ABC为等腰三角形． （2）由条件可知，， 由三角形的外角可得∠E＝∠EAD﹣∠EBA，∠C＝∠CAD﹣∠CBA， ∴， ∵∠C＝68°， ∴． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握该知识点是关键． 34．（2026春•勉县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC于点E，交AB于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）连接CF，若∠D＝30°，∠CFE＝60°，DF＝8，求EF的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，然后根据直角三角形的性质，即可逐步证明∠AFD＝∠D，再根据等腰三角形的判定，即可证明结论； （2）先证明∠DCF＝∠D，得到CF＝DF＝8，再根据直角三角形的性质，即得答案． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE⊥BC， ∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°， ∴∠BFE＝∠D， ∵∠BFE＝∠AFD， ∴∠AFD＝∠D， ∴AD＝AF， 即△ADF是等腰三角形； （2）解：∵∠D＝30°，∠CFE＝60°， ∴∠DCF＝60°﹣30°＝30°， ∴∠DCF＝∠D， ∴CF＝DF＝8， ∵DE⊥BC， ∴∠FCE＝90°﹣∠CFE＝30°， ∴． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 35．（2026春•泾阳县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC于点D，BE平分∠ABD交AC于点E． （1）求证：△BEC是等腰三角形； （2）若∠CEB＝75°，BC＝4，求DE的长． 【分析】（1）由BD⊥AC结合∠ABC＝90°可证明∠A+∠C＝90°，∠DBC+∠C＝90°，由BE平分∠ABD得∠ABE＝∠DBE，由∠CBE＝∠CBD+∠DBE，∠CEB＝∠A+∠ABE证得∠CBE＝∠CEB即可． （2）利用等腰三角形的性质求出∠C，根据直角三角形的性质即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵BD⊥AC， ∴∠CDB＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠A+∠C＝90°，∠DBC+∠C＝90°， ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABE＝∠DBE， ∵∠CBE＝∠CBD+∠DBE，∠CEB＝∠A+∠ABE， ∴∠CBE＝∠CEB， ∴CB＝CE， ∴△BEC是等腰三角形； （2）解：∵∠CEB＝∠CBE＝75°， ∴∠C＝180°﹣2×75°＝30°， ∵∠CDB＝90°，BC＝4， ∴BDBC＝2， ∴CD2， ∵CE＝BC＝4， ∴． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理，关键是三角形内角和定理的熟练掌握． 36．（2024秋•丹江口市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E． （1）求证：△ABE为等腰三角形； （2）已知BD＝2，AB＝3，求AC的长． 【分析】（1）根据三角形的内角和求出∠ABE＝∠AEB，即可得出结论； （2）连接DE，证明AD垂直平分BE，得到BD＝DE，证明∠EDC＝∠C，得到CE＝DE，根据AC＝AE+CE，进行求解即可． 【解答】（1）证明：在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BF⊥AD， ∴∠BAF＝∠EAF，∠AFB＝∠AFE＝90°， ∴∠ABF＝90°﹣∠BAF，∠AEB＝90°﹣∠EAF， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∴△ABE为等腰三角形； （2）解：如图所示，连接DE， ∵AB＝AE，AD⊥BF， ∴AD垂直平分BE， ∴DB＝DE， ∴∠DBE＝∠BED， ∴∠EDC＝2∠DBE， ∵∠ABE＝∠AEB＝∠C+∠EBC，∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝2∠C， ∴∠C+∠EBC+∠EBC＝2∠C， ∴∠C＝2∠EBC＝∠EDC， ∴CE＝DE＝BD＝2， 又∵AB＝AE＝3． ∴AC＝AE+CE＝5． 【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理，三角形的外角性质，证明三角形为等腰三角形是解题的关键． 37．（2025春•邛崃市期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D在BC的延长线上，∠ADB＝∠BAC，BE⊥AD交于AC于点F． （1）证明：AD＝BD； （2）若∠CAD＝12°，求∠BAC的度数； （3）若△BCF为等腰三角形，求∠BAC度数． 【分析】（1）根据AB＝AC得∠ABC＝∠ACB，根据三角形外角性质得∠ACB＝∠ADB+∠CAD，再根据∠ADB＝∠BAC得∠ACB＝∠BAD＝∠ABC，由此即可得出结论； （2）设∠ADB＝∠BAC＝α，则∠BAD＝α+12°，由（1）可知∠ABC＝∠ACB＝∠BAD＝α+12°，在△ABCD中，由三角形内角和定理得α+α+12°+α+12°＝180°，由此解出α＝52°，则可得∠BAC的度数； （3）根据∠ABC＝∠ACB，点F在AC边上得∠FBC＜ABC＝∠ACB，因此当△BCF为等腰三角形时，有以下两种情况：①当BC＝FC时，则∠CBF＝∠CFB，设∠ADB＝∠BAC＝α，则∠CBF＝∠CFB＝∠AFE＝90°﹣α，进而得∠CAD＝α，继而得∠ABC＝∠ACB＝∠BAD＝2α，在△ABC中，由三角形内角和定理得2α+2α+α＝180°，由此解出α＝36°，则可得∠BAC的度数；②当BC＝BF时，则∠BFC＝∠ACB，根据∠CBF＝90°﹣α得∠BFC＝∠ACB，进而得∠ABC＝∠ACB＝∠BAD，在△ABC中，由三角形内角和定理得α＝180°，由此解出α＝45°，则可得∠BAC的度数；综上所述即可得出答案． 【解答】（1）证明：在等腰△ABC中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ACB是△ACD的外角， ∴∠ACB＝∠ADB+∠CAD， ∵∠ADB＝∠BAC， ∴∠ACB＝∠BAC+∠CAD＝∠BAD， ∴∠ABC＝∠BAD， ∴AD＝BD； （2）解：设∠ADB＝∠BAC＝α， ∵∠CAD＝12°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝α+12°， 由（1）可知：∠ABC＝∠ACB＝∠BAD， ∴∠ABC＝∠ACB＝α+12°， 在△ABCD中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴α+α+12°+α+12°＝180°， 解得：α＝52°， ∴∠BAC的度数是52°； （3）∵∠ABC＝∠ACB，点F在AC边上， ∴∠FBC＜ABC， ∴∠FBC＜∠ACB， ∴当△BCF为等腰三角形时，有以下两种情况： ①当BC＝FC时，则∠CBF＝∠CFB， 设∠ADB＝∠BAC＝α， ∵BE⊥AD交于AC于点F， ∴在Rt△BDF中，∠CBF＝90°﹣∠ADB＝90°﹣α， ∴∠CBF＝∠CFB＝90°﹣α， ∴∠AFE＝∠CFB＝90°﹣α， 在Rt△AEF中，∠CAD＝90°﹣∠AFE＝α， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2α， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAD＝2α， 在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴2α+2α+α＝180°， 解得：α＝36°， ∴∠BAC＝α＝36°； ②当BC＝BF时，则∠BFC＝∠ACB， ∵∠CBF＝90°﹣α， ∴∠BFC＝∠ACB（180°﹣∠CBF）， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAD， 在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴α＝180°， 解得：α＝45°， ∴∠BAC＝α＝45°， 综上所述：∠BAC度数是36°或45°． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 38．（2026春•射洪市校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，，AB＝5，求BD的值． 【分析】延长CB构造等腰三角形，利用等角转化与勾股定理建立关于BD的方程，通过两个直角三角形中公共高的等量关系，代入线段和差求解即可． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，如图，延长CB到E，使得BE＝AB＝5，连接AE， ∴△ABE为等腰三角形， ∴∠E＝∠BAE， ∴∠ABC＝∠E+∠BAE＝2∠E， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠C＝∠E， ∴， 在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2， 在Rt△ADE中，AD2＝AE2﹣DE2， ∴AE2﹣DE2＝AB2﹣BD2， ∵DE＝BE+BD， ∴， 解得BD＝3． 【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质，正确进行计算是解题关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•东川区期中）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝3，CE＝2，则线段DE的长为　5　 ． 【分析】根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，且DE∥BC得到BD＝DF，EF＝EC，从而进行分析即可求解． 【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于F点， ∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB， ∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E． ∴∠DBF＝∠FBC＝∠DFB，∠ECF＝∠FCB＝∠EFC， ∴BD＝DF，EF＝EC， ∵BD＝3，CE＝2， ∴DE＝DF+EF＝BD+CE＝3+2＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了角平分线以及平行线性质，等角对等边，掌握以上知识是解题关键． 【练习 2】（2024秋•集宁区期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列三个结论： ①； ②EF＝BE+CF； ③设OD＝m，AE+AF＝n，则． 其中正确的结论有 　①②③　 ．（填序号） 【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得①∠BOC＝90°∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形，得出EF＝BE+CF，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD＝m，AE+AF＝n，则正确． 【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠OBC+∠OCB＝90°∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°∠A， 故①正确，符合题意； ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB， ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB， ∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO， ∴EB＝EO，FO＝FC， ∴EF＝EO+FO＝BE+CF， 故②正确，符合题意； 过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA， ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴ON＝OD＝OM＝m， ∴， 故③正确，符合题意； ∴其中正确的结论是①②③． 故答案为①②③． 【点评】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 【练习 3】（2025春•虹口区期末）已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，线段AE＝AF，点E、A、C在同一直线上，求证：AD平分∠BAC．请把以下证明过程补充完整． 证明：∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G， ∴∠EGC＝∠ADC＝90°， ∴EG∥AD（　同位角相等，两直线平行　 ）， ∴∠E＝　∠DAC （　两直线平行，同位角相等　 ）， ∠EFA＝　∠FAD （　两直线平行，内错角相等　 ）， ∵AE＝AF， ∴∠E＝　∠EFA （　等边对等角　 ）， ∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC． 【分析】根据平行线的判定和性质定理以及等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】证明：∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G， ∴∠EGC＝∠ADC＝90° ∴EG∥AD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠E＝∠DAC（两直线平行，同位角相等）， ∠EFA＝∠FAD（两直线平行，内错角相等）， ∵AE＝AF， ∴∠E＝∠EFA（等边对等角）， ∴∠BAD＝∠CAD， 即AD平分∠BAC． 故答案为：同位角相等，两直线平行，∠DAC，两直线平行，同位角相等，∠FAD，两直线平行，内错角相等，∠EFA，等边对等角． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 等边对等角：等腰三角形两底角相等 · 三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高重合 · 等角对等边：两角相等则对边相等 · 角平分线+平行线必出等腰三角形，这是高频模型 · 已知边求周长、已知角求角度都要分类讨论，并验证三边关系 【作业 1】（2026春•洋县期末）如图，在△ABC中，点D在边AC上，连接BD，∠A＝∠ABD，若BD＝9，CD＝7，则AC的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【分析】根据等角对等边得出BD＝AD＝9，即可求解． 【解答】解：∵∠A＝∠ABD， ∴BD＝AD＝9， ∵CD＝7， ∴AC＝AD+CD＝9+7＝16， 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等角对等边是解题的关键． 【作业 2】（2026春•市南区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且DE∥BC，∠A＝36°，则图中的等腰三角形共有（　　）个． A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴△ABC是等腰三角形， 72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠DBC＝36°， ∵ED∥BC， ∴∠AED＝∠ADE＝72°， ∠EDB＝∠DBC＝36° ∴在△ADE中，∠AED＝∠ADE＝72°， AD＝AE， △ADE为等腰三角形， 在△ABD 中，∠A＝∠ABD＝36°， AD＝BD， △ABD是等腰三角形， 同理△AEC也是等腰三角形， 在△BED 中，∠EBD＝∠EDB＝36°， ED＝BE，△BED是等腰三角形， 同理△CED也是等腰三角形， 在△BDC中，∠BCD＝∠BDC＝72°， BD＝BC， △BDC是等腰三角形， 同理△BEC也是等腰三角形， 在△BED中，∠EBD＝∠EDB＝36°， ED＝BE，△BED是等腰三角形， 同理△CED也是等腰三角形， 同理△BEC也是等腰三角形， ∵∠OBC＝∠OCB＝∠ODE＝∠OED＝36°， ∴OD＝OE，OB＝OC， 即△ODE，△OBC也为等腰三角形， ∵∠BEO＝∠BOE＝∠COD＝∠ODC＝72°， ∴CD＝CO，BE＝OB， ∴△CDO，△BOE也是等腰三角形， 所以共有12个等腰三角形． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理，由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键． 【作业 3】（2025秋•闵行区校级期末）如图，在△ABC中，AP是边BC的中线，下列说法正确的是（　　） A．如果∠BAC＝90°，那么AC＝PC B．如果∠BAC＝90°，那么∠B＝∠CAP C．如果AC＝PC，那么∠BAC＝90° D．如果∠B＝∠BAP，那么∠BAC＝90° 【分析】根据AP是边BC的中线得出PB＝PC，结合各选项，逐项分析判断，即可求解． 【解答】解：在△ABC中，AP是边BC的中线，则PB＝PC， A．如果∠BAC＝90°，那么AP＝PC，不能得出AC＝PC，A不正确，不符合题意； B．如果∠BAC＝90°，则PA＝PB＝PC，那么∠B＝∠BAP，不能得出∠B＝∠CAP，B不正确，不符合题意； C．如果AC＝PC，不能得出∠BAC＝90°，C不正确，不符合题意； D．如果∠B＝∠BAP， ∴PA＝PB， ∵PB＝PC， ∴PA＝PC， ∴∠PAC＝∠C， ∵∠B+∠C+∠BAC＝2（∠BAP+∠PAC）＝180°， ∴，D正确， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的中线，三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【作业 4】（2025春•长宁区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝7，则线段MN的长为　7　 ． 【分析】根据角平线的性质和平行线的性质可得∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠NCE，从而可得BM＝EM，NE＝NC，进而得到MN＝ME+NE＝BM+CN＝7． 【解答】解：由条件可知∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB， ∴∠MBE＝∠MEB，∠NCE＝∠NEC ∴BM＝EM，NE＝NC， ∵BM+CN＝7， ∴MN＝ME+NE＝BM+CN＝7， 故答案为：7． 【点评】本题考查平行线的性质，等角对等边的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【作业 5】（2025春•蓝田县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DE∥AC，交AB于点E，连接BD，若∠EBD＝∠EDB，求证：AB＝2DE． 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论． 【解答】证明：AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵DE∥AC， ∴∠ADE＝∠CAD， ∴∠ADE＝∠BAD， ∴AE＝DE， ∵∠EBD＝∠EDB， ∴EB＝ED， ∴AB＝2DE． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【作业 6】（2025秋•平凉期末）如图，已知点A，C分别是△FBE的边BF和BE延长线上的点，作∠AFE的平分线FD，若FD∥BC． （1）求证：△FBE是等腰三角形； （2）作∠FEC的平分线交FD于点H，若∠B＝50°，求∠FHE的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义得∠AFD＝∠DFE，由平行线的性质得∠AFD＝∠B，∠DFE＝∠FEB，可得∠B＝∠FEB，可得出△FBE是等腰三角形； （2）由（1）知∠FEB＝∠B＝50°，得出∠FEC＝130°，由角平分线定义得出∠HEC＝65°，最后根据平行线的性质可得结论． 【解答】（1）证明：∵FD平分∠AFE， ∴∠AFD＝∠DFE； ∵FD∥BC， ∴∠AFD＝∠B，∠DFE＝∠FEB， ∴∠B＝∠FEB， ∴△FBE是等腰三角形； （2）解：由条件可知∠FEB＝∠B＝50°， ∴∠FEC＝180°﹣∠FEB＝130°， 由角平分线定义可知， ∵FD∥BC， ∴∠FHE＝∠HEC＝65°． 【点评】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点是关键． 【作业 7】（2025秋•沂南县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB． （1）求证：CE＝DE； （2）若AD是△ABC的中线，求证：E是AC的中点． 【分析】（1）等边对等角，得到∠B＝∠C，平行线的性质，得到∠EDC＝∠B，进而得到∠EDC＝∠C，即可得证； （2）根据三线合一和等角的余角相等，得到∠DAE＝∠ADE，进而得到AE＝DE，结合（1）中结论，得到AE＝CE，即可得证． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C（等边对等角）， ∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠B（两直线平行，同位角相等）， ∴∠EDC＝∠C（等量代换）， ∴CE＝DE（等角对等边）； （2）∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C+∠CAD＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°， 由（1）知：∠EDC＝∠C，CE＝DE， ∴∠DAE＝∠ADE， ∴AE＝DE（等角对等边）， ∴AE＝CE，即E是AC的中点． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边对等角，等角对等边是解题的关键． 【作业 8】（2025秋•临夏州期中）如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，连接DE，并延长至点F，连接BF，使得∠ABF＝∠A，已知DE∥BC，AC＝BC，求证：△BEF是等腰三角形． 【分析】首先由AC＝BC得出∠A＝∠ABC．接着因为DE∥BC，根据平行线的性质得到∠AED＝∠ABC，进而推出∠AED＝∠A，再利用对顶角相等得到∠FEB＝∠A．又因为已知∠ABF＝∠A，所以∠FEB＝∠ABF，最后根据“等角对等边”得出BF＝EF，从而证明△BEF是等腰三角形． 【解答】证明：∵AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC（等边对等角）， ∵∠A＝∠ABF， ∴∠ABF＝∠ABC（等量代换）， ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）， ∴∠AED＝∠ABF＝∠BEF， ∴BF＝EF， ∴△BEF是等腰三角形． 【点评】本题考查等腰三角形的判定、平行线的性质．准确推导各角之间的等量关系，将已知条件逐步转化为证明△BEF两边相等的依据是解题关键． 【作业 9】（2025秋•安徽期末）已知，如图1：△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F． （1）直接写出图1中所有的等腰三角形．指出EF与BE、CF间有怎样的数量关系？ （2）在（1）的条件下，若AB＝15，AC＝10，求△AEF的周长； （3）如图2，若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F，请问（1）中EF与BE、CF间的关系还是否存在，若存在，说明理由；若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）利用角平分线和平行线的即可得出结论； （2）利用（1）的结论即可得出结论； （3）利用角平分线和平行线推出OE＝BE，OF＝CF，再推出EF与BE、CF间的关系即可． 【解答】解：（1）∵BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACB的平分线， ∴∠EBO＝∠CBO，∠FCO＝∠BCO（角平分线的定义）， ∵EF∥BC， ∴∠CBO＝∠BOE，∠BCO＝∠FOC（两直线平行，内错角相等）， ∴∠EBO＝∠EOB，∠FCO＝∠FOC ∴BE＝OE，OF＝CF（等角对等边）， ∴△BEO、△CFO是等腰三角形， ∴EF＝OE+OF＝BE+CF； （2）∵由（1）知，EF＝BE+CF， 又∵AB＝15，AC＝10， ∴C△AEF＝AE+AF+EF＝AE+AF+BE+CF＝AB+AC＝15+10＝25； （3）（1）中结论不成立，新结论为：EF＝BE﹣CF，理由： ∵BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACG的平分线， ∴∠ABO＝∠CBO，∠FCO＝∠GCO， ∵EF∥BC， ∴∠CBO＝∠EOB，∠EOC＝∠GCO（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABO＝∠EOB，∠EOC＝∠FCO， ∴OE＝BE，OF＝CF（等角对等边）， ∴EF＝OE﹣OF＝BE﹣CF． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握各个知识点是解题的关键． 【作业 10】（2025秋•青岛校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q开始从点B沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）BP＝　（16﹣t）cm ；BQ＝　2tcm （用t的代数式表示）； （2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ （3）点Q在边CA上运动，连接BQ，出发几秒后，能使△BCQ形成以CQ为腰的等腰三角形？ 【分析】（1）根据动点问题的速度乘以时间得到AP＝tcm，BQ＝2tcm，由此得到BP； （2）当满足BP＝BQ时，解一元一次方程即可； （3）分两种情况进行讨论，即CQ＝BQ或CQ＝CB，分别求出CQ的长，再求出t的值． 【解答】解：（1）由题意得AP＝tcm，BQ＝2tcm， ∵AB＝16cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm， 故答案为：（16﹣t）cm，2tcm； （2）∵BQ＝2tcm，BP＝（16﹣t）cm， ∴16﹣t＝2t， 解得， ∴当时，△PQB是等腰三角形； （3）依题意，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形，即CQ＝BQ或CQ＝CB， ∵AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm， ①当CQ＝BQ时，∠C＝∠CBQ， ∵∠C+∠A＝∠CBQ+∠ABQ＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴AQ＝BQ， ∴， ∴t＝（12+10）÷2＝11（秒）； ②当CQ＝CB时，CQ+CB＝24cm， ∴t＝24÷2＝12（秒）； 综上，当点Q在边CA上运动，出发11或12秒后，△BCQ是以CQ为腰的等腰三角形． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质和判定，动点问题，分类讨论思想是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $