专题 2.13 特殊三角形复习——勾股定理及其逆定理综合计算- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题 2.13 特殊三角形复习——勾股定理及其逆定理综合计算 目录 一、知识要点回顾 1 二、题型精析 2 【题型1】 勾股定理基础计算（斜边不确定多解问题） 2 【题型2】勾股数识别与简单应用 2 【题型3】勾股逆定理判定直角三角形（含参数边长） 3 【题型4】网格中勾股计算与直角判定 3 【题型5】直角三角形、矩形折叠问题（勾股定理列方程） 4 【题型6】勾股定理实际情境建模应用 5 【题型7】立体图形展开最短路径问题 7 【题型8】结合周长、面积利用勾股定理求边长 8 【题型9】勾股定理线段平方关系证明 9 一、知识要点回顾 1. 勾股定理：在直角三角形中，两直角边长为 ，斜边长为 ，则 。适用前提：图形为直角三角形。 2. 公式变形：，；若题干未明确指明斜边，必须进行分类讨论求解。 3. 勾股数：满足 的一组正整数。常见勾股数：；；。 4. 勾股定理逆定理：若三角形三边长 满足 ，则该三角形为直角三角形，且边长 所对的内角为直角。 5. 网格计算应用：利用勾股定理求解格点线段长度；利用勾股定理逆定理判定网格中三角形是否为直角三角形。 6. 实际应用模型：将生活实际问题抽象为直角三角形几何模型求解；立体图形最短路径问题，通过展开立体侧面构造平面直角三角形，结合勾股定理求两点间最短距离。 7. 方程思想：几何线段求解问题中，设未知线段长为 ，依托直角三角形，利用勾股定理建立一元方程，求解线段长度。 8. 易错警示 （1）勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形不可直接使用； （2）题干未指明斜边时，务必分类讨论，避免漏解； （3）运用逆定理判定直角三角形时，需选取三角形最长边作为公式中 进行验证。 二、题型精析 【题型1】 勾股定理基础计算（斜边不确定多解问题） 考向：已知直角三角形两边长求第三边，题干未明确斜边，需分类讨论 【例题1】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）若一个直角三角形的两边分别为和，则第三边为（   ） A． B． C．或 D． 【变式1】（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）已知一个直角三角形的两边长分别为12和13，则第三边长的平方是（     ） A．25 B．5 C．313 D．25或313 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）已知一个三角形中，有两边长为7和24，要使三角形为直角三角形，则第三边为___________． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为4，则以底边为边长的正方形的面积为_____． 【题型2】勾股数识别与简单应用 考向：判断数组是否为勾股数，利用勾股数整数倍规律快速求解直角三角形边长 【例题2】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列各组数据是勾股数的一组是（     ） A． B．7、24、25 C．0.3、0.4、0.5 D．2、3、5 【变式1】（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 【变式2】（25-26八年级下·山西朔州·期中）我国清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④……；⑤11，60，61．根据上述规律可知第④组勾股数为______． 【变式3】（25-26九年级上·山东临沂·期末）世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为，其中是互质的奇数，则，为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： 根据规律写出第⑦个等式为_____． 【题型3】勾股逆定理判定直角三角形（含参数边长） 考向：根据三边长利用逆定理判定直角三角形，含字母参数边长的三角形直角判定 【例题3】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）在中，，，，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【变式1】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，，为边延长线上一点，．若，则的长为（     ） A．4.8 B．9.6 C．10 D．19.2 【变式2】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，则的度数为______________． 【变式3】（2026·江苏扬州·二模）如图，在中，，，，点是的中点，则长为________． 【题型4】网格中勾股计算与直角判定 考向：网格格点线段长度计算，利用逆定理判定网格三角形形状、是否含直角 【例题4】（25-26八年级下·山东日照·期末）如图，在的正方形网格中标记了和，则与的度数之和为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·天津和平·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 【变式2】（25-26八年级下·河南开封·期中）如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E是网格线交点，则的度数为______． 【变式3】（2026·安徽阜阳·二模）如图，每个小正方形的边长都为1，A，B，C是小正方形的顶点，则___________． 【题型5】直角三角形、矩形折叠问题（勾股定理列方程） 考向：利用折叠性质得相等线段，设未知线段为 ，借助勾股定理列方程求解 【例题5】（25-26八年级上·山西晋中·阶段检测）在中，，，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点A与B重合，折痕为． （1）试求的周长； （2）求线段的长度． 【变式1】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27七年级上·山东烟台·开学考试）如图，在长方形中，，将长方形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为_____． 【变式3】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片中，沿折叠，使点落在点处，交于点，，． （1）证明：；（2）求的长． 【题型6】勾股定理实际情境建模应用 考向：梯子、树木折断、航行等实际问题，抽象直角三角形模型求解 【例题6】（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【变式1】（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）《九章算术》中有这样一道题目，大意为：如图，今有墙高为1丈，倚木杆于墙，使木杆之上端与墙的上端平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上（即），问木杆长是多少？设木杆长x尺，根据题意可列方程为（1丈尺）（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设木柱长x尺，根据题意，可列方程为______． 【变式3】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处． （1）求木杆折断之前的高度； （2）如果该木杆在点的下方的点处折断，木杆顶端落在水平地面的处，在距离木杆底端的的处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，两点在点的同侧．） 【题型7】立体图形展开最短路径问题 考向：圆柱、长方体侧面展开，构造直角三角形求解立体表面两点最短路径 【例题7】（25-26八年级上·山东·期末）如图，村庄A，B分别位于河的两侧（河的两岸平行），河宽为，村庄A到河岸的距离，村庄B到河岸的距离，村庄A到村庄B的水平距离．现要在河上架设一座桥（垂直于河岸），使从村庄A到村庄B的路线最短，求从村庄A到村庄B的最短路线为多少千米． 【变式1】（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，家用小型长方体保温箱，蚂蚁位于保温箱底部处，它想到箱体顶部点寻找掉落的面包碎屑，它沿长方体的侧面爬行的最短距离是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川成都·三模）一个圆柱形饮料罐底面周长为5cm，高为3cm，一只蚂蚁从底面圆周上的点A处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点B处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm． 【变式3】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，圆柱形玻璃杯高为、底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？ 【题型8】结合周长、面积利用勾股定理求边长 考向：结合三角形周长、面积条件，设未知数，借助勾股定理列等式求解边长 【例题8】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，和均为等腰直角三角形，，，． （1）求证：； （2）若，的周长为12，求的面积． 【变式1】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）已知直角三角形的周长为厘米，斜边上的中线长为2厘米，则这个三角形的面积是（　　） A．平方厘米 B．平方厘米 C．1平方厘米 D．平方厘米 【变式2】（25-26八年级上·四川眉山·阶段检测）若直角三角形斜边长为4，周长为，则三角形面积等于_____． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，，把沿直线DE折叠，使点A与点B重合，若的周长为，，求的面积．（用含m，n的代数式表示）    【题型9】勾股定理线段平方关系证明 考向：几何证明题型，推导线段平方等量关系，为期中解答高频考点 【例题9】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，四边形中，，，，对角线． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【变式1】（2026·安徽六安·一模）如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________．    【变式3】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． （1）求证：； （2）当，，时，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.13 特殊三角形复习——勾股定理及其逆定理综合计算 目录 一、知识要点回顾 1 二、题型精析 2 【题型1】勾股定理基础计算（斜边不确定多解问题） 2 【题型2】勾股数识别与简单应用 4 【题型3】勾股逆定理判定直角三角形（含参数边长） 6 【题型4】网格中勾股计算与直角判定 8 【题型5】直角三角形、矩形折叠问题（勾股定理列方程） 11 【题型6】勾股定理实际情境建模应用 15 【题型7】立体图形展开最短路径问题 17 【题型8】结合周长、面积利用勾股定理求边长 21 【题型9】勾股定理线段平方关系证明 24 一、知识要点回顾 1. 勾股定理：在直角三角形中，两直角边长为 ，斜边长为 ，则 。适用前提：图形为直角三角形。 2. 公式变形：，；若题干未明确指明斜边，必须进行分类讨论求解。 3. 勾股数：满足 的一组正整数。常见勾股数：；；。 4. 勾股定理逆定理：若三角形三边长 满足 ，则该三角形为直角三角形，且边长 所对的内角为直角。 5. 网格计算应用：利用勾股定理求解格点线段长度；利用勾股定理逆定理判定网格中三角形是否为直角三角形。 6. 实际应用模型：将生活实际问题抽象为直角三角形几何模型求解；立体图形最短路径问题，通过展开立体侧面构造平面直角三角形，结合勾股定理求两点间最短距离。 7. 方程思想：几何线段求解问题中，设未知线段长为 ，依托直角三角形，利用勾股定理建立一元方程，求解线段长度。 8. 易错警示 （1）勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形不可直接使用； （2）题干未指明斜边时，务必分类讨论，避免漏解； （3）运用逆定理判定直角三角形时，需选取三角形最长边作为公式中 进行验证。 二、题型精析 【题型1】 勾股定理基础计算（斜边不确定多解问题） 考向：已知直角三角形两边长求第三边，题干未明确斜边，需分类讨论 【例题1】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）若一个直角三角形的两边分别为和，则第三边为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键，注意分类讨论进行求解． 分当边长为的边是斜边时，当边长为的边为直角边时，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方进行讨论求解即可． 解：当边长为的边是斜边时，则第三边的长为； 当边长为的边为直角边时，则第三边的长为； 综上所述，第三边长为或， 故选：C． 【变式1】（26-27九年级上·四川绵阳·开学考试）已知一个直角三角形的两边长分别为12和13，则第三边长的平方是（     ） A．25 B．5 C．313 D．25或313 【答案】D 【分析】未明确已知边是直角边还是斜边，需分情况讨论，避免漏解． 解：由直角三角形两边长为12和13，未明确两条边是直角边还是斜边，分两种情况讨论： ①当12和13均为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得，第三边长的平方为； ②当13为斜边，12为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得，第三边长的平方为； ∴第三边长的平方是25或313． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）已知一个三角形中，有两边长为7和24，要使三角形为直角三角形，则第三边为___________． 【答案】或 【分析】根据题意，分第三边为斜边和边长为的边是斜边，再利用勾股定理求解即可． 解：若第三边为斜边，则第三边为； 若边长为的边是斜边，则第三边为； 综上，第三边为或． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为4，则以底边为边长的正方形的面积为_____． 【答案】20或80 【分析】分高在等腰三角形内部和高在等腰三角形外部两种情况，利用勾股定理逐步计算底边的平方，即为所求正方形的面积． 解：分两种情况讨论： ①当等腰三角形为锐角三角形，高在三角形内时，如下图， 根据题意，腰长，，且， 由勾股定理得，高将该腰分成的一段长， ∴剩余一段长， ∴底边的平方，即正方形面积为； ②当等腰三角形为钝角三角形，高在三角形外时，如下图， 根据题意，腰长，，且， ∴由勾股定理得，垂足到等腰三角形顶角顶点的距离， ∴垂足到等腰三角形底角顶点的距离为， ∴底边的平方为 ，即正方形面积． 综上所述，以底边为边长的正方形的面积为20或80． 【题型2】勾股数识别与简单应用 考向：判断数组是否为勾股数，利用勾股数整数倍规律快速求解直角三角形边长 【例题2】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列各组数据是勾股数的一组是（     ） A． B．7、24、25 C．0.3、0.4、0.5 D．2、3、5 【答案】B 【分析】勾股数的定义：勾股数是能构成直角三角形三边的一组正整数；需同时满足三个数均为正整数、两个较小数的平方和等于最大数的平方两个条件，据此逐一判断即可． 解：选项A中的、、都不是正整数，选项C中的0.3、0.4、0.5都不是正整数， ∴A、C都不是勾股数，不符合题意； 选项B：，且7、24、25都是正整数， ∴ 7、24、25是勾股数，符合题意； 选项D：，，， ∴ D不是勾股数，不符合题意． 【变式1】（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义分别判断即可． 解：A、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项A不符合题意； B、∵，，，，，， ∴， 解得：，， ∵m、n无正整数解，故选项B符合题意； C、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项C不符合题意； D、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项D不符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·山西朔州·期中）我国清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④……；⑤11，60，61．根据上述规律可知第④组勾股数为______． 【答案】9，40，41 【分析】观察已知勾股数，可得出第一个数为连续奇数，得到第④组勾股数的第一个数，再根据后两个数为差为1的连续正整数，设未知数后利用勾股定理列方程求解即可． 解：由题意可知，第组勾股数的第一个数为，因此第④组勾股数的第一个数字为， 设第二个数字为，则第三个数字为， 由勾股定理，得： ， 即， 整理得：， 解得：， 因此：， 故第④组勾股数为9，40，41． 【变式3】（25-26九年级上·山东临沂·期末）世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为，其中是互质的奇数，则，为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： 根据规律写出第⑦个等式为_____． 【答案】 【分析】通过观察已知等式中各底数的变化规律，分别归纳出第k个等式中三个数的底数表达式，再代入计算得到结果． 解：观察已知等式可得 第k个等式中，第一个数的底数为，指数为2， 第二个数的底数为，指数为2， 第三个数的底数为，指数为2， 则第k个等式为 当时 ， ， ， 所以第⑦个等式为． 【题型3】勾股逆定理判定直角三角形（含参数边长） 考向：根据三边长利用逆定理判定直角三角形，含字母参数边长的三角形直角判定 【例题3】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）在中，，，，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】确定最长边，比较最长边的平方与两短边平方和的大小关系即可判断三角形类型． 解：∵为最长边，，， ∴， ∴是直角三角形． 【变式1】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，，为边延长线上一点，．若，则的长为（     ） A．4.8 B．9.6 C．10 D．19.2 【答案】B 【分析】判定 为直角三角形，利用等面积法求解． 解：， ， ， ， 在 中，， ， 且 ， ， ． 【变式2】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，则的度数为______________． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理求出，再根据三角形内角和得到． 解：， ， ， 又在中，， ． 【变式3】（2026·江苏扬州·二模）如图，在中，，，，点是的中点，则长为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 解：，，， ， ， 是直角三角形， 点是的中点， ， ． 【题型4】网格中勾股计算与直角判定 考向：网格格点线段长度计算，利用逆定理判定网格三角形形状、是否含直角 【例题4】（25-26八年级下·山东日照·期末）如图，在的正方形网格中标记了和，则与的度数之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可以设正方形边长为1，标出对应格点，通过勾股定理逆定理判定出为等腰直角三角形，再由平行性质知，即可求出． 解：如图，标出和，设正方形边长为1， 由点都在格点上和勾股定理可求得， ，且 是等腰直角三角形，， 由平行线性质知， ． 【变式1】（25-26八年级下·天津和平·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可． 解：A、，正确，不符合题意； B、，，， ， ，正确，不符合题意； C、，结论错误，符合题意； D、设点到直线的距离为， ， ， 则， 解得，即点到直线的距离是2，正确，不符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·河南开封·期中）如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E是网格线交点，则的度数为______． 【答案】/45度 【分析】连接，根据勾股定理可以得出是等腰直角三角形，利用平行线性质得到，从而可证，得到，利用求出结果即可． 解：如图，连接， 由勾股定理得：， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 【变式3】（2026·安徽阜阳·二模）如图，每个小正方形的边长都为1，A，B，C是小正方形的顶点，则___________． 【答案】 【分析】连接，由勾股定理可得，，再结合勾股定理逆定理得出为等腰直角三角形，且，从而即可得出结果． 解：如图：连接， 由勾股定理可得：，， ∵， ∴为等腰直角三角形，且， ∴． 【题型5】直角三角形、矩形折叠问题（勾股定理列方程） 考向：利用折叠性质得相等线段，设未知线段为 ，借助勾股定理列方程求解 【例题5】（25-26八年级上·山西晋中·阶段检测）在中，，，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点A与B重合，折痕为． （1）试求的周长； （2）求线段的长度． 【答案】（1）14；（2） 【分析】（1）折叠时，对称轴为折痕，垂直平分线段，由垂直平分线的性质得，再把的周长进行线段的转化即可； （2）设，则，因为，利用勾股定理得，据此列方程求解即可． （1）解：由折叠的性质可知，垂直平分线段， 根据垂直平分线的性质可得：， ∴； ∴的周长是14； （2）解：设，则， ∵， ∴， 解得, ∴． 【变式1】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质可得，设，在中利用勾股定理列方程求解． 解：由折叠的性质可知． 设，则， ． 在中，， 由勾股定理得， 即， 解得， ． 【变式2】（26-27七年级上·山东烟台·开学考试）如图，在长方形中，，将长方形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为_____． 【答案】 【分析】由折叠性质、平行线性质得到，再由等角对等边及长方形对边相等得到相关边长，设，在中，由勾股定理列方程求解得出，代入三角形面积公式计算即可． 解：由折叠性质可得， ∵在长方形中，， ∴， ， ∴， 在长方形中，，， 设，则，， 在中，，，，，则由勾股定理可得， ， 解得，即， 重叠部分的面积为． 【变式3】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片中，沿折叠，使点落在点处，交于点，，． （1）证明：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据长方形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质可知，根据等角对等边可证； （2）设，据长方形的性质得到，，，则，由（1）知，根据勾股定理求出x的值即可． 解：（1）证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴； （2）解：设， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 由（1）知， ∴， 在中，根据勾股定理： ， 即， 解得， ∴． 【题型6】勾股定理实际情境建模应用 考向：梯子、树木折断、航行等实际问题，抽象直角三角形模型求解 【例题6】（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【答案】（1）米；（2）米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． （1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）《九章算术》中有这样一道题目，大意为：如图，今有墙高为1丈，倚木杆于墙，使木杆之上端与墙的上端平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上（即），问木杆长是多少？设木杆长x尺，根据题意可列方程为（1丈尺）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程． 解：设木杆长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ∵， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设木柱长x尺，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【分析】先根据题意确定直角三角形各边的长度，再利用勾股定理列方程即可． 解：设木柱长为尺，由题意可知绳索长度为尺， 根据题意可得：． 【变式3】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处． （1）求木杆折断之前的高度； （2）如果该木杆在点的下方的点处折断，木杆顶端落在水平地面的处，在距离木杆底端的的处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，两点在点的同侧．） 【答案】（1）米；（2）小草不会被砸到 【分析】（）利用勾股定理求出即可求解； （）利用勾股定理求出，再与比较即可判断求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）解：由题意知，，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ∴木杆折断之前的高度为米； （2）解：如图，由题意得，， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ∴小草不会被砸到． 【题型7】立体图形展开最短路径问题 考向：圆柱、长方体侧面展开，构造直角三角形求解立体表面两点最短路径 【例题7】（25-26八年级上·山东·期末）如图，村庄A，B分别位于河的两侧（河的两岸平行），河宽为，村庄A到河岸的距离，村庄B到河岸的距离，村庄A到村庄B的水平距离．现要在河上架设一座桥（垂直于河岸），使从村庄A到村庄B的路线最短，求从村庄A到村庄B的最短路线为多少千米． 【答案】村庄A到村庄B的最短路线为6千米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，找出最短路径是解决本题的关键． 将点A向下平移到，使且，连接，与下河岸交于点N，过N作下河岸，交上河岸于M，则，依次连接，此时即为最短路线，先求出到B的垂直距离，再根据勾股定理求出，进而即可求解． 解：将点A向下平移到，使且，连接，与下河岸交于点N，过N作下河岸，交上河岸于M，则，依次连接，此时即为最短路线， 由题意得，到B的垂直距离为， 由勾股定理得：， ∴总路径为 ， ∴村庄A到村庄B的最短路线为6千米． 【变式1】（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，家用小型长方体保温箱，蚂蚁位于保温箱底部处，它想到箱体顶部点寻找掉落的面包碎屑，它沿长方体的侧面爬行的最短距离是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三种情况，展开长方体的侧面，分别利用勾股定理求出的长，比较大小即可． 解：展开长方体的侧面（如图），连接， 由勾股定理得， 图（1）中， 图（2）中， 图（3）中， ， 它沿长方体的侧面爬行的最短距离是10． 【变式2】（2026·四川成都·三模）一个圆柱形饮料罐底面周长为5cm，高为3cm，一只蚂蚁从底面圆周上的点A处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点B处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm． 【答案】 【分析】 将圆柱侧面展开为矩形，蚂蚁爬行的最短路径即为矩形的对角线长度，利用勾股定理求解即可． 解：圆柱形饮料罐底面周长为，高为， 将圆柱侧面展开得到一个矩形，该矩形的长为，宽为， 由勾股定理得，蚂蚁爬行的最短路径长度为． 【变式3】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，圆柱形玻璃杯高为、底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？ 【答案】蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，求最短距离，解题的关键是利用轴对称的性质以及勾股定理进行求解． 将杯子侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 解：如图，将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， 由题意可得，，， 由勾股定理可得，， 答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是． 【题型8】结合周长、面积利用勾股定理求边长 考向：结合三角形周长、面积条件，设未知数，借助勾股定理列等式求解边长 【例题8】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，和均为等腰直角三角形，，，． （1）求证：； （2）若，的周长为12，求的面积． 【答案】（1）证明：依据题意可知，， ， ， ． 在和中， ， ． ． （2）面积为 【分析】本题考查了全等三角形和勾股定理，要熟练掌握全等三角形的判定条件（“”、“、”“”、 “”和“”），以及勾股定理（斜边长的平方等于两条直角边平方的和）， （1）通过旋转全等模型，结合判定条件“”得到，因此，对应边相等，即可得证． （2）利用勾股定理求解，由第（1）问，可知，得到为直角三角形，然后，结合题目给出周长和一条直角边的长，即可在中，利用勾股定理构建方程，求得另一条直角边长度，进而得到面积． 解：（1）略 （2）由（）可知，， ，， 为直角三角形， 周长为，且， 由勾股定理可知，， 代入周长和边长得：， 解得：． ． 【点拨】本题的关键是利用全等三角形判定条件“”得到，其次，是在中利用勾股定理构建等式，求解直角边的长． 【变式1】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）已知直角三角形的周长为厘米，斜边上的中线长为2厘米，则这个三角形的面积是（　　） A．平方厘米 B．平方厘米 C．1平方厘米 D．平方厘米 【答案】A 【分析】由直角三角形斜边上中线长可得斜边长，则可直角三角形两直角边和，设直角三角形的两条直角边分别为a厘米、b厘米，则有，由勾股定理得，利用完全平方公式变形可求得的值，从而求得三角形的面积． 解：∵直角三角形斜边上的中线长为2厘米， ∴直角三角形的斜边长为4厘米， ∵直角三角形的周长为厘米， ∴直角三角形的两条直角边长和为厘米， 设直角三角形的两条直角边分别为a厘米、b厘米， ∴①， 又②， 由①②可得，， 即， ∴平方厘米， 故选：A． 【点拨】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，完全平方公式变形运用等知识，求出两直角边之积是问题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·四川眉山·阶段检测）若直角三角形斜边长为4，周长为，则三角形面积等于_____． 【答案】 【分析】设三角形两直角边为a、b，由已知条件和勾股定理可以得到关于a、b的两个等式，由完全平方公式变形可以得到ab的值，从而得到三角形的面积． 解：设三角形两直角边为a、b，由已知条件和勾股定理可得：   ①及   ②， ①两边平方得：③， ②代入②得：， 即， ∴三角形面积为：， 故答案为：． 【点拨】本题考查勾股定理的综合应用，熟练运用完全平方公式进行变形及勾股定理的应用是解题关键． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，，把沿直线DE折叠，使点A与点B重合，若的周长为，，求的面积．（用含m，n的代数式表示）    【答案】． 【分析】根据三角形的周长得出，则，由勾股定理得出，求出，根据三角形面积公式可得出答案． 解：由折叠可知， ∵的周长， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点拨】本题考查了翻折变换，三角形的面积公式，勾股定理的应用，依据翻折的性质和勾股定理列出关于的方程是解题的关键． 【题型9】勾股定理线段平方关系证明 考向：几何证明题型，推导线段平方等量关系，为期中解答高频考点 【例题9】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，四边形中，，，，对角线． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据勾股定理逆定理计算即可； （2）根据勾股定理得到，设，则，求出，根据勾股定理得到，根据四边形的面积计算即可． （1）解：∵， ∴； （2）解：如图，作交于E， ∴，， ∴， 设，则， ∴ 解得：， ∴， ∴四边形的面积 【变式1】（2026·安徽六安·一模）如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【答案】C 【分析】取斜边中点，得，设，则，由勾股定理得代入变形求解即可． 解：取斜边中点， ∵是等腰直角三角形， 则，且， 设，则， 在中，由勾股定理：， 则， 即：， 故． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点拨】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． （1）求证：； （2）当，，时，求的值． 【答案】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 解：（1）略 （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $