2.8直角三角形全等的判定讲义（知识梳理+题型精析+同步检测）2026-2027学年浙教版数学八年级上册

2.8直角三角形全等的判定讲义（知识梳理+题型精析+同步检测）2026-2027八年级上学期答案解析 二.题型精析 【题型 1】HL定理直接判定直角三角形全等 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）根据下列已知条件，能画出唯一的的是(   ) A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定条件，能画出唯一的三角形需满足全等判定定理(如、、、等)．选项A和D仅提供角，选项B为情况，均不能唯一确定三角形；选项C为直角三角形，给定斜边和一条直角边，能唯一确定． 【详解】解：∵ 选项A∶ 仅， ，无边长，不能唯一确定三角形； 选项B∶ ， ， ，根据，可能对应两个三角形，不能唯一确定； 选项D∶ 仅， ， ，无边长，不能唯一确定三角形； 选项C∶ ， ， ，在中，，为斜边，为直角边，满足判定，能画出唯一三角形． ∴ 能画出唯一的的是C． 故选：C． 【变式1】（23-24八年级上·广东中山·期末）如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了添加一个条件使得三角形全等，根据HL定理的条件进行判断即可； 【详解】解：∵，， ∴当时，． 当时，． 故选D． 【变式2】（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，，，垂足分别为，，要根据“”直接证明，应添加的条件是________． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法“”是解题的关键． 根据“”判定方法求解即可． 【详解】解：应添加的条件是，理由是： ∵，， ∴， ∵，， ∴，即应添加的条件是， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，于点D，E为上一点，连结，，. (1)求证：≌； (2)若，求的度数. 【答案】(1) 证明：， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用HL证明，即可； （2）利用得，从而求得，利用勾股定理求得，再利用等积法求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ， ， ， . 【变式4】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ； (2) 证明：由（1）得， ∴， ∵与分别为，边上的中线， ∴， 在和中， ． 【分析】此题考查直角三角形全等的判定，关键是根据证明和全等． （1）根据证明和全等即可； （2）由（1）可知，进而利用全等三角形的性质得出，进而利用证明全等即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式5】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据即可证明三角形全等； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴． 【变式6】（23-24八年级上·浙江丽水·期末）已知：如图，在中，于点D，E是上一点，连结交点于点F，，． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴． (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理． （1）利用证明，即可； （2）利用，得，从而证得，即可得出结论； （3）利用得，从而求得，利用勾股定理求得，再利用等积法求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴． 【题型2】全等性质与HL综合 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，的角平分线，交于点，延长，，过点作于，于，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②④ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． ①作于，于，于．由角平分线的性质得出，，得出，即可得出①正确；②假设，则，由已知条件可知：，已知条件中并不能推出，所以②不一定成立；③由角平分线和三角形的外角性质得出，，得出，③正确；④由全等三角形的性质得出，，即可得出④正确；即可得出答案． 【详解】解：①作于， 平分，平分，，， ，， ， 点在的角平分线上，故①正确； ②假设，则， 由已知条件可知：， ， 题干中并没有这个条件， ∴②不一定成立； ③平分，平分， ，， ， ，③正确； ④在和中， ， ， ， 同理：， ， ，④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等腰中，，点在线段上，点在的延长线上，连结，，并延长交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵在等腰中，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2)7 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的定义、勾股定理，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． （1）证明，得到，再利用三角形内角和定理即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，与相交于点，连接． (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； (2)的长为． 【分析】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． （）先证明，所以，即，然后证明，再由全等三角形性质即可求证； （）由勾股定理求得，则，又，所以，则，设，则，则，即有，解得，再由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴的长为． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若与交于点，过点作．求证：． 【答案】(1) 证明：， ，即， 在和中， ， ； (2) 与交于点，过点作，如下图所示， 由（1）可知：， ， ， ， ， 在和中， ， ； ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据已知条件可得到，再利用证明即可； （2）由（1）可知，进而得到，利用证明，进而求解． 【详解】（1）略 （2）略 【题型3】角平分线性质判定定理求值证明 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，和都是等腰三角形，．，相交于点，连接．给出下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤．其中正确结论有（   ） A． ①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】结合等腰三角形的性质先证，再由全等三角形的性质可推得①正确；结合三角形内角和定理可证②正确；由全等三角形的面积相等推得全等三角形内高相等，结合角平分线的判定定理可证④正确；结合已证的②④即可推得⑤正确；若③成立，推得的条件与题意不符，则③错误，综上即可得到答案． 【详解】解：和都是等腰三角形，， ，，， 即， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， 中，， 中，, ， ，故②正确； 作交于点，交于点， ， ， 即， ， 点在的角平分线上， 即平分，故④正确； 又， ，故⑤正确； 若③成立，则， 由②⑤得，，， ，， 即， 中，， 中，， ， ， ， ，推出， 由题意知，不一定等于，故③错误． 综上，正确结论有①②④⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B．与的面积比等于边与之比 C． D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的判定及性质，三角形的内角和定理，三角形的面积公式． 过点P作于点M，作于点N，作于点H，根据角平分线的性质及判定可证明选项A；根据三角形的面积公式可证明选项B，根据三角形的内角和定理可证明选项D，据此即可解答． 【详解】解：过点P作于点M，作于点N，作于点H， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴．故选项A的结论一定成立； ．故选项B的结论一定成立； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴．故选项D的结论一定成立． 根据题意无法证明选项C的结论一定成立． 故选：C 【变式2】（25-26八年级上·浙江台州·期中）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A．的平分线上 B．边的高上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【详解】解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选：A． 【变式3】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）小红同学在学习了全等三角形相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小红说：“射线就是的平分线”．她这样做的依据是（   ） A．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．角平分线把角分成相等的两部分 【答案】A 【分析】本题考查了作图——基本作图，角平分线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．过点作于点，于点．利用角平分线的判定定理解决问题即可． 【详解】解：如图，过点作于点，于点． 直尺的宽度相等， ， 又，， 平分． 故选：A． 【变式4】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．作于N，根据角平分线的性质得出，进而得出． 【详解】解：作于N， ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， 又，， ∴， 故选：B．    【变式5】（22-23八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列命题中，其逆命题是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则a与b互为倒数 C．直角三角形两个锐角互余 D．角平分线上的一点到角的两边距离相等 【答案】A 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：A、逆命题是“若，则”，因为当时，可以相等，也可以互为相反数，故为假命题； B、逆命题是“若与互为倒数，则”，是真命题； C、逆命题是“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题； D、逆命题是“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，是真命题． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题的真假判断、角的互余，倒数，角的平分线的判定，数的平方与平方根的概念，熟练掌握相关知识是解答的关键． 【变式6】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点M，N为AC边上的两点，，于点D，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据看垂直平分线的性质可得，和可得平分，进而得到，最后由三角形内角和求出即可． 【详解】∵，，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式7】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 证明：过点E作交于点G，交于点H， ∵， ∴由（1）可知，， ∴平分， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴（等量代换）， ∵， ∴平分； (3)9 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质定理，垂直的定义，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积公式等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴（垂直的定义）， ∵， ∴， ∵， ∴， 则的度数为； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 所以的面积为9． 【变式8】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若，，求证：平分． 【答案】(1) 证明：， ， 在和中， ， ； (2) (3) 证明：如图，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ．， 平分． 【分析】（1）利用即可证明； （2）根据等腰直角三角形的性质求出，则，结合全等三角形的性质及角的和差求解即可； （3）过点作于点，根据三角形面积求出，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， ， ， ； （3）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式9】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，的延长线于点，于点，且．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴ 在和中， ， ∴ (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． （1）运用证明即可； （2）由得即可得出结论，进而可得是的平分线，得出，根据即可求解 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， 又，， ∴是的平分线， ∵ ∴ ∴ 【变式10】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； (2) 证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（）由，，则，证明，再由角平分线的判定定理即可求证； （）先证明，则，所以，又，然后代入求证即可； 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定定理，同角的补角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 三.同步检测 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C D A B A B D 1．B 【分析】由尺规作图的痕迹可得，，是的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得可判定D，由于不是的垂直平分线，故不能证明． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹可得，可以理解成是平角的角平分线，是的平分线， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 不是的垂直平分线，故不能证明， 综上所述：，，不符合题意，符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出，是的平分线． 2．C 【分析】根据全等三角形的判定和性质定理以及角平分线的定义即可得结论，从而作出判断． 【详解】解：根据题意可得：， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∴为的平分线， 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的判定和全等三角形的判定和性质的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 3．B 【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断即可． 【详解】解：∵于点D，于点F， ∴， ∵， ∴当添加时，根据“”即可判断． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解答本题的关键． 4．C 【分析】本题考查角平分线的判定及性质，三角形的内角和定理，三角形的面积公式． 过点P作于点M，作于点N，作于点H，根据角平分线的性质及判定可证明选项A；根据三角形的面积公式可证明选项B，根据三角形的内角和定理可证明选项D，据此即可解答． 【详解】解：过点P作于点M，作于点N，作于点H， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴．故选项A的结论一定成立； ．故选项B的结论一定成立； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴．故选项D的结论一定成立． 根据题意无法证明选项C的结论一定成立． 故选：C 5．D 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，利用“HL”证明可得对应角,全等三角形对应边相等可得,然后求出可得出答案． 【详解】∵平分, ∴上任意一点到、的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等），故①正确． ∵,平分， ∴，且（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），故②正确． ∵，， ∴， 在和中， ∴≌（HL）， ∴故③正确，， ∴，即，故④正确， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟记各性质是解题的关键． 6．A 【分析】利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可． 【详解】解：在图①中，利用基本作图可判断平分； 在图②中，利用作法得，    在和中， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴点到和的距离相等， ∴是的平分线； 在图③中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 故选：A． 【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质解决问题的关键是掌握角平分线的判定定理． 7．B 【分析】根据题意画图，先利用勾股定理求得，过E作于D，根据角平分线的性质得到，进而证明得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过E作于D， ∵在中，，，， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形全等的证明以及角平分线的性质，会利用勾股定理建立方程求解是解答的关键． 8．A 【分析】过点F作FN⊥AB于N，由作图可知，AM是∠BAC的平分线，由角增分线的性质可得FN=FC，则可利用HL定理证明Rt△ACF≌Rt△ANF，得出AN=AC=12，再在Rt△ACB中，由勾股定理求出BC=9,设BF=x，则FN=CF=BC-BF=9-x，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：过点F作FN⊥AB于N， 由作图可知：AM平分∠BAC， ∵∠C=90°， ∴FC⊥AC， ∵FN⊥AB， ∴FN=FC， 在Rt△ACF和Rt△ANF中， ， ∴Rt△ACF≌Rt△ANF(HL)， ∴AN=AC=12， ∴BN=AB-AN=15-12=3， 在Rt△ACB中，由勾股定理，得 BC==9， 设BF=x，则FN=CF=BC-BF=9-x， 在Rt△BNF中，由勾股定理，得 x2=32+(9-x)2，解得：x=5， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，用尺规作角的平分线，角平分线的性质，由作图得出，AM是∠BAC的平分线是解题的关键． 9．B 【分析】连接AD、DC．证明Rt△DGA≌Rt△DFC（HL），Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），得出AG=CF，BG=BF．则可求出答案． 【详解】解：连接AD、DC． ∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC， ∴DG=DF． ∵D在AC的中垂线上， ∴DA=DC． 在Rt△DGA与Rt△DFC中， ∵DG=DF，DA=DC， ∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）． ∴AG=CF， ∵DG=DF，BD=BD， ∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL）． ∴BG=BF．又∵AG=CF， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=BG-AG+BF+FC+AC=2BG+AC=2×4+5=13， 故选B． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 10．D 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，过点P作于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点P作于D， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分平分， ∴， ∴，③正确； ④由②可知，， ∴， ∴，故④正确， 故选：D． 二．填空题 11． 【分析】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键，先由勾股定理得，再证明（）得，从而即可得解。 【详解】解：∵，，， ∴，， 在和中， ∴（） ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质．过点D作于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明，，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于H， ∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵和的面积分别为60和42， ∴， ∴． 故答案为：9． 13． 9 5 【分析】本题主要考查勾股定理、全等三角形的判定与性质、用尺规作角的平分线、角平分线的性质等知识点，由作图得出是的平分线是解题的关键． 在中，由勾股定理求出；如图：过点F作于N，由作图可知，是的平分线，由角平分线的性质可得，则可利用定理证明，得出，设，则，最后由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在Rt△ACB中，由勾股定理，得． 如图：过点F作于N，由作图可知：是的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得，解得：， ∴． 故答案为9，5． 14． 3 40 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握勾股定理，正方形的性质是解题的关键． （1）过点H作于点M，根据得到，四边形是矩形，继而得到．证明得到，结合正方形的性质，得到，计算即可． （2）根据(1)，设，则，， 根据得到，继而得到，，利用图形面积分割法计算即可． 【详解】（1）过点H作于点M， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴． ∵四边形，四边形，四边形都是正方形， ∴，，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． （2）根据（1），设，则，， 根据 ∴， ∴，， ∵四边形的面积为22， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：40． 15． 【分析】证明，得到，进而求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．通过已知条件证明三角形全等是解题的关键． 16．或 【分析】①当点P在点C左侧时，如图，,可证．得，可求；中，运用勾股定理构建方程，解得；②当点P在点C右侧时，如图，连接，同理，可得,同法构建方程，解得． 【详解】解：①当点P在点C左侧时，如图，, ∵, ∴． ∴． 中，，． 中，， ∴，解得；    ②当点P在点C右侧时，如图，    连接，同理，可得, 中，， ∴，解得 综上，或时，． 故答案为：2或6. 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用；运用勾股定理构建方程是解题的关键． 三．解答题 17．(1) 证明：在和中，， ， ； (2) 证明：由（1）知， ，， ， 即． 【分析】此题主要考查全等三角形的判定和性质，关键是对直角三角形全等的判定和全等三角形的性质的理解和掌握． （1）利用即可证得结论； （2）根据全等三角形性质可得：，，再利用角的关系即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 18．(1) 证明：∵，分别是两个钝角和的高， ∴， 在和中, ， ∴， ∴； (2) 证明：在和中, ， ∴， ∴， 由（）得， ∴， 即． 【分析】本题考查了直角三角形的全等判定与性质，属于简单题，用的特殊方法证明三角形全等是解题关键． （）证明，即可求证； （）证明得，由（）得，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 19． 证明：∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【详解】本题考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．根据，得，利用“”可证明，根据全等三角形的性质得，从而得出，则是直角三角形． 【分析】略 20． 理由如下： ∵点D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，首先根据中点定义可得，再说明和是直角三角形，然后根据定理证明，可得，进而证明即可． 【详解】略 21．(1) 如图，射线即为的角平分线； (2) 如图，直线即为边的垂直平分线； (3) 证明：如图，连接， ∵为的角平分线，，， ∴，， ∵时线段的垂直平分线，E在上， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】（1）根据尺规作图-作已知角的平分线等知识作图即可求解； （2）根据尺规作图-作线段的垂直平分线等知识作图即可求解； （3）根据角平分线的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据“斜边，直角边”证明，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了尺规作图-作已知角的角平分线和作已知线段的垂直平分线，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，熟知相关知识并灵活应用是解题关键． 22．(1) (2) 证明：过点E作交于点G，交于点H， ∵， ∴由（1）可知，， ∴平分， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴（等量代换）， ∵， ∴平分； (3)9 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质定理，垂直的定义，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积公式等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴（垂直的定义）， ∵， ∴， ∵， ∴， 则的度数为； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 所以的面积为9． 23．(1)证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 证明：由（）得，，， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴； (3)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，对顶角相等，等面积法等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，可得，证明，由全等三角形性质即可求证； （）由（）得，，，则，所以，然后代入即可求解； （）设与交于点，由（）得，，由（）得，，则，根据三角形内角和定理可得，所以，然后证明，所以，从而求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，设与交于点， 由（）得，，由（）得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 24．(1) 证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴； (2) (3) 证明：由（2）可知，，， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由“”可证； （2）过E作于G点，由角平分线的性质可得，由“”可证，，可得，，由勾股定理可求的长； （3）由（2）可知，，，可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过E作于G点， 又∵为的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）略 25．(1) 证明：是的平分线，， ， 又， ， ； (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边距离相等，三角形全等的判定方法和性质，以及根据勾股定理求出三角形的边长． （1）根据角平分线的性质可得，进而推出，即可求证； （2）由（1）可知，根据勾股定理得，则，证明，推出，设为，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知， ， ， 又， ． ． 设为，则． 在中，，即， 解得：， ． 26．(1) 证明：， ， 在和中， ， ； (2) (3) 证明：如图，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ．， 平分． 【分析】（1）利用即可证明； （2）根据等腰直角三角形的性质求出，则，结合全等三角形的性质及角的和差求解即可； （3）过点作于点，根据三角形面积求出，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， ， ， ； （3）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 27．(1) ①证明：∵， ∴， 又∵，， ∴在和中 ， ∴，即； ② (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理； （1）①用证即可； ②由得，，进而可得，再由，即可得出答案； （2）先由，，，得，进而得，进而得，，由勾股定理求出，再由面积法求出，最后由计算即可． 【详解】（1）①略 ②解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．(1) (2) 证明：如图1，作于点， 在和中 ， ∴（）， ∴． 又由（1）知， ∴， 在和中 ， ∴（）， ∴． (3) 成立， 证明：如图2，∵， ∴， 延长交的延长线于点， ∴， ∴， 在和中 ， ∴（） ∴，． ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴． (4)或 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得； （2）作于点可证明，再证明得到； （3）延长交的延长线于点，证明，得，从而得，再由角平分线的判定可得． （4）分两种情况讨论：和时，分别画出图形，求出和，得的面积． 【详解】（1）∵平分，，分别是，的高 ∴． 故答案为：． （2）略 （3）略 （4）当时，如图3，在线段上取点，使得． ∵， ∴点是点关于的对称点， ∴， ∴， 可得， ∴，， ∴， ∴． 当时，如图4， 在线段上取点，使得， 同理可得，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和判定以及三角形全等的判定，关键是解决拓展提升时，要分和两种情况讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $2.8直角三角形全等的判定讲义（知识梳理+题型精析+同步检测）2026-2027八年级上学期 【浙教版新教材】 目录 一．知识梳理与解读 【知识点一】直角三角形专属全等判定定理（HL） 【知识点二】直角三角形全部全等判定方法 【知识点三】角平分线判定逆定理（配套考点） 二.题型精析 【题型1】HL定理直接判定直角三角形全等 【题型2】全等性质与HL综合 【题型3】角平分线性质判定定理求值证明 三.同步检测 （一）选择题（共10题，每小题3分，合计30分） （二）填空题（共6题，每小题3分，合计18分） （三）解答题（共12题，合计72分） 一.知识梳理与解读 【知识点一】直角三角形专属全等判定定理（HL） 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简记为斜边、直角边，符号HL。 几何语言：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°， ∴ Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL） 【要点提示】 1. 适用唯一性：HL定理仅适用于直角三角形，锐角、钝角三角形绝对不能使用； 2. 条件完整性：必须同时满足“斜边相等+一条直角边相等”，缺一不可，两组直角边相等不能用HL； 3. 定理特殊性：HL是直角三角形独有的判定方法，无需角度条件，简化直角三角形全等证明步骤。 【知识点二】直角三角形全部全等判定方法 直角三角形属于特殊三角形，除专属HL定理外，通用普通三角形四种全等判定方法： 1. SSS（边边边）：三边对应相等； 2. SAS（边角边）：两条直角边对应相等（夹角为直角）； 3. ASA（角边角）：一锐角、直角、任意一条夹边对应相等； 4. AAS（角角边）：一锐角、直角、锐角对边对应相等。 【要点提示】 1. 已知斜边+直角边，优先用HL，步骤最简； 2. 已知两条直角边，优先用SAS； 3. 已知角度+边长，选用ASA/AAS。 【知识点三】角平分线判定逆定理（配套考点） 定理内容：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 核心应用：常结合HL定理证明直角三角形全等，进而推导角相等、线段相等，是本章高频综合考点。 二.题型精析 【题型 1】HL定理直接判定直角三角形全等 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）根据下列已知条件，能画出唯一的的是(   ) A．， B．，， C．，， D．，， 【变式1】（23-24八年级上·广东中山·期末）如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，，，垂足分别为，，要根据“”直接证明，应添加的条件是________． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，于点D，E为上一点，连结，，. (1)求证：≌； (2)若，求的度数. 【变式4】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且．求证： (1)； (2)． 【变式5】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【变式6】（23-24八年级上·浙江丽水·期末）已知：如图，在中，于点D，E是上一点，连结交点于点F，，． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，，求的长． 【题型2】全等性质与HL综合 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，的角平分线，交于点，延长，，过点作于，于，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②④ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等腰中，，点在线段上，点在的延长线上，连结，，并延长交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，与相交于点，连接． (1)求证：． (2)求的长． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若与交于点，过点作．求证：． 【题型3】角平分线性质判定定理求值证明 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，和都是等腰三角形，．，相交于点，连接．给出下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤．其中正确结论有（   ） A． ①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B．与的面积比等于边与之比 C． D．若，则 【变式2】（25-26八年级上·浙江台州·期中）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A．的平分线上 B．边的高上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 【变式3】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）小红同学在学习了全等三角形相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小红说：“射线就是的平分线”．她这样做的依据是（   ） A．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．角平分线把角分成相等的两部分 【变式4】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【变式5】（22-23八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列命题中，其逆命题是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则a与b互为倒数 C．直角三角形两个锐角互余 D．角平分线上的一点到角的两边距离相等 【变式6】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点M，N为AC边上的两点，，于点D，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式7】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 【变式8】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若，，求证：平分． 【变式8】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若，，求证：平分． 【变式9】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，的延长线于点，于点，且．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式10】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 三.同步检测 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，作的角平分线和作于，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）两个同样大小的直角三角板按如图所示摆放，其中两条一样长的直角边交于点，另一直角边，分别落在的边和上，且，连接，则在说明为的平分线的过程中，理由正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，于点D，于点F，．要根据“”证明，则还需要添加的条件是（　　）    A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B．与的面积比等于边与之比 C． D．若，则 5．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF．其中正确的有（　　） A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④ 6．（2020·河北唐山·中考真题）在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判断射线平分的是（    ）    A．图①和图② B．图①和图③ C．图③ D．图②和图③ 7．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）在中，，，，平分交于点E，则的长是（    ）． A．3 B．5 C． D．6 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，AC=12，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点F，则线段BF的长为（） A．5 B．4 C．3 D．2.8 9．（22-23八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为F、G．若BG＝4，AC＝5，则△ABC的周长是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 10．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，的角平分线交于点P，延长，，则下列结论中正确的是（  ） ①平分； ②； ③； ④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，于点，与相交于点．若，，则______． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为60和42，则的面积为__________． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）在中，，，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线交于点F，则为______，线段的长为______． 4．（23-24八年级上·浙江温州·期中）图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理．如图2，小明连结后发现． （1）______； （2）当四边形的面积为22时，正方形的面积为______． 5．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，点D在上，且于点E，，若，则___________． 6．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒3个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为_______时，能使．    三、解答题 17．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在和中，，，与相交于点．求证： (1)； (2)． 18．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知，分别是两个钝角和的高，如果，． 求证： (1) (2) 19.（23-24八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，，E是上的一点，，．求证：是直角三角形． 20.（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点是的中点，，，、为垂足，，则，请说明理由． 21．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知，求作： (1)尺规作图：的角平分线； (2)尺规作图：边的垂直平分线，与交于D点，与射线交于E点； (3)用三角板过点E画于G点，过点E画的延长线于点．求证：． 22．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 23．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，，与交于点，连结． (1)求证：； (2)过点作于点，于点，求证：； (3)若，求的度数（直接写出答案）． 24．（21-22八年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足． (1)求证：. (2)若，，求的长； (3)求证：． 25．（24-25八年级上·浙江·阶段检测）如图，在中，，是的平分线，交于在上，且． (1)求证：． (2)若，求的长． 26．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若，，求证：平分． 27．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，于点D，E为上一点，连结． (1)若，． ①求证：； ②若，求的度数； (2)若，，，，求． 28．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】 (1)填空：______（填“”，“”或“”）； 【探究发现】 (2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】 (3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 (4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $