精品解析：内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹第三中学2025--2026学年九年级上学期数学12月份月考试卷

2025年12月阶段性学情诊断 九年级数学（人教版） 考试范围：第二十一章 一元二次方程～第二十四章 圆 注意事项：1．本试卷共4页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列运动属于旋转的是（ ） A. 滚动过程中的篮球的滚动 B. 钟摆的摆动 C. 一个图形沿某直线对折过程 D. 气球升空的运动 2. 若关于的方程有实数根．则的值可以是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 4. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的直径，圆周角为的切线，则度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴的正半轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为，将△ABO绕点O逆时针旋转，使点B的对应点B′落在边OA上，则A′的坐标为（　　） A. B. C. D. 7. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论： ①AD⊥BD；②BC平分∠ABD；③BD=2OF=CF；④△AOF≌△BED，其中一定成立的是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ③④ 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 举例一个图形，要求：既是中心对称图形又是轴对称图形的：___________． 10. 如果1是关于x的方程的一个根，这个方程的另一个根是________． 11. 如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是______________. 12. 二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有______个． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出将关于原点的中心对称图形； （2）将绕点E逆时针旋转得到，画出； （3）若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________． 15. 根据以下素材，完成探究学习任务． 如何为商家设计利润最大化的销售方案 素材1 某商家销售一种水果，成本价为10元/斤． 素材2 销售价不低于成本价，且物价部门规定该商品的销售价不得高于成本价的3倍． 素材3 在销售过程中发现，每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）满足如图所示的一次函数关系： 问题解决 任务1 模型建立 （1）求每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）的函数关系式； 任务2 拟定利润最大化的销售方案 （2）当该水果的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？ 16. 如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 17. 如图，在中，，以为直径的交于点 D，点 E在上，且． （1）求证：是的切线； （2）判断 与 之间的数量关系，并说明理由； （3）若， ，求阴影部分的面积（结果保留）． 18. 综合与实践 为践行五育融合，落实劳动教育，引导学生在劳动实践中树立正确的劳动观点和劳动态度，某校开展了“劳动周”主题实践活动．如图是该学校劳动实践园地截面示意图，其中为该园地斜坡坡面所在直线，分别表示斜坡在竖直平面内的铅直高度和水平宽度．斜坡顶部处有一竖立的喷灌，处喷头可以沿斜坡向下喷水（喷出的水流成抛物线状），用于浇灌园地内种植的植物．当喷灌喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚处，此时水流最高点距的水平距离为1米．现已知米，米，米． 数学建模： （1）如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．当喷出的水流刚好喷到坡脚处时，设水流某处距离的高度为米，该处距离的水平距离为米，求与之间的函数表达式； 问题解决： （2）“智慧小组”提出问题：若点为（1）中抛物线上任意一点，过点作的垂线，与相交于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求出函数的最大值，并写出函数的一条性质．请你解答此问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年12月阶段性学情诊断 九年级数学（人教版） 考试范围：第二十一章 一元二次方程～第二十四章 圆 注意事项：1．本试卷共4页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列运动属于旋转的是（ ） A. 滚动过程中的篮球的滚动 B. 钟摆的摆动 C. 一个图形沿某直线对折过程 D. 气球升空的运动 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转. 【详解】解：A项，滚动过程中的篮球的滚动不是绕着某一个固定的点进行的转动，不属于旋转，故错误； B项，钟表钟摆的摆动，钟摆绕着固定的一点顺时针或逆时针转动一定的角度，属于旋转，故正确； C项，一个图形沿某直线对折的过程，不是绕一点进行的转动，不属于旋转，故错误； D项，气球升空的运动属于平移，不属于旋转，故错误； 故本题选择B. 【点睛】本题考查了旋转的定义，紧紧抓住定义是解题的关键. 2. 若关于的方程有实数根．则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式，方程有实数根时判别式大于等于零，由此求出的取值范围，再结合选项判断． 【详解】解：方程有实数根， 判别式， 解得， 选项中只有A选项满足， 故选：A． 3. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可. 【详解】， ， ， 所以， 故选D. 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 4. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位， 根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为， 故答案选：A． 5. 如图，为的直径，圆周角为的切线，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的切线的性质，解决此题用到的知识点是切线的性质定理； 已知为切线，则可连接，根据切线的性质可得； 根据等腰三角形的性质可得，由即可求得的度数． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴的正半轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为，将△ABO绕点O逆时针旋转，使点B的对应点B′落在边OA上，则A′的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作C⊥x轴于C，勾股定理求出OA，根据正切公式求出，由此得到∠OC=60°，根据三角函数求出OC，C，即可得到的坐标． 【详解】解：过点作C⊥x轴于C， ∵点A的坐标为，∠ABO＝90°， ∴， ∴ ∴ ∴， 由旋转的性质可得， ∴∠OC=60°， ∴OC=Ocos60°=1，C=Osin60°=， ∴（-1，）， 故选：A． ． 【点睛】此题考查了旋转的性质，勾股定理，三角函数，求坐标系中点的坐标的方法：从该点向坐标轴作垂线，求对应线段的长度即可． 7. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 8. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论： ①AD⊥BD；②BC平分∠ABD；③BD=2OF=CF；④△AOF≌△BED，其中一定成立的是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据直径的性质，垂径定理等知识一一判断即可； 【详解】解：∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BD，故①正确， ∵OC∥BD，BD⊥AD， ∴OC⊥AD， ∴， ∴∠ABC＝∠CBD， ∴BC平分∠ABD，故②正确， ∵AF＝DF，AO＝OB， ∴BD＝2OF≠CF，故③错误， △AOF和△BED中，没有对应边相等，故④错误， 故选：A． 【点睛】本题考查直径的性质、垂径定理、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 举例一个图形，要求：既是中心对称图形又是轴对称图形的：___________． 【答案】圆（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，轴对称图形的定义． 选择同时具有中心对称性和轴对称性的图形即可． 【详解】解：圆既是中心对称图形，又是轴对称图形． 以圆心为对称中心，旋转后与自身重合； 以任意直径为对称轴，对折后两部分完全重合． 故答案为：圆（答案不唯一）． 10. 如果1是关于x的方程的一个根，这个方程的另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】设方程的另一个根是m，根据根与系数的关系列出关于另一根m的方程，解方程即可． 【详解】解：设方程的另一个根是m， ∵1是关于x的方程的一个根， ∴， 解得，， ∴这个方程的另一个根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．解答该题时，一定要弄清楚一元二次方程的根与系数的关系，中的a、b、c的意义，是解题的关键． 11. 如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是______________. 【答案】 【解析】 【详解】连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长． 解：连接AC，过B作BD⊥AC于D； ∵AB=BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴AD=CD； ∵此多边形为正六边形， ∴∠ABC==120°， ∴∠ABD==60°， ∴∠BAD=30°，AD=AB•cos30°=2×=， ∴a=2cm． 故选A． “点睛”此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解． 12. 二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有______个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与各系数符号，理解二次函数的图象和性质是解答关键． ①根据二次函数图象的开口方向，与轴的正半轴的交点和对称轴来求解；②根据图象过点得，再结合对称轴得来求解；③利用当时，来求解；④利用A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1进行判定求解． 【详解】解：①由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴，故结论①正确； ②∵对称轴为直线， 即， ∴，故结论②正确； ③∵图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， 即，故结论③错误； ④∵点，点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1， ，故结论斯正确． 综上所述，正确的结论共3个． 故答案为：3． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：原方程移项得， 配方，得，即， ∴， ，； 【小问2详解】 解：原方程整理得， 因式分解得， ∴或， ，． 14. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出将关于原点的中心对称图形； （2）将绕点E逆时针旋转得到，画出； （3）若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 旋转中心在线段的中垂线上，即为图中点P； 由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 15. 根据以下素材，完成探究学习任务． 如何为商家设计利润最大化的销售方案 素材1 某商家销售一种水果，成本价为10元/斤． 素材2 销售价不低于成本价，且物价部门规定该商品的销售价不得高于成本价的3倍． 素材3 在销售过程中发现，每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）满足如图所示的一次函数关系： 问题解决 任务1 模型建立 （1）求每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）的函数关系式； 任务2 拟定利润最大化的销售方案 （2）当该水果的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）；（2）当该水果的销售单价为25元/斤时，该商家获得的利润最大，最大利润是1800元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的实际应用： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设商家获得的利润为W元，根据总利润等于单件利润乘以销售量列出W关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为， 点，在的图象上， ；解得， 与x之间的函数关系式为； （2）设商家获得的利润为W元， 根据题意得：， ，当时，W取得最大值，最大值为（元）， 当该水果的销售单价为25元/斤时，该商家获得的利润最大，最大利润是1800元． 16. 如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查图形旋转的性质以及勾股定理，牢记图形旋转的性质以及勾股定理是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质可直接求得答案． （2）根据图形旋转的性质，可证得为等腰直角三角形，根据勾股定理可求得的长度，进而可求得的长度． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴ 根据图形旋转的性质可知． ． 【小问2详解】 解：根据图形旋转的性质可知，，． ∵， ∴． 又， ∴为等腰直角三角形． ∴． 在中， ． ∴． 17. 如图，在中，，以为直径的交于点 D，点 E在上，且． （1）求证：是的切线； （2）判断 与 之间的数量关系，并说明理由； （3）若， ，求阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） ，理由如下： 如图，连接， 由（1）得， 在 和 中，， ， ， 又， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）连接，结合等腰三角形性质，直角三角形性质推出，进而得到，即可证明是的切线； （2）连接，证明，推出，再进行代换求解，即可得到与 之间的数量关系； （3）利用直角三角形性质得到，证明是等边三角形，进而推出，利用勾股定理求出，进而推出，再根据求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ， 是等边三角形， ， 由勾股定理，得 ． 由（2）得 ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，切线的判定定理，全等三角形性质和判定，等边三角形判定与性质，勾股定理，扇形面积公式，解题的关键在于灵活运用相关知识． 18. 综合与实践 为践行五育融合，落实劳动教育，引导学生在劳动实践中树立正确的劳动观点和劳动态度，某校开展了“劳动周”主题实践活动．如图是该学校劳动实践园地截面示意图，其中为该园地斜坡坡面所在直线，分别表示斜坡在竖直平面内的铅直高度和水平宽度．斜坡顶部处有一竖立的喷灌，处喷头可以沿斜坡向下喷水（喷出的水流成抛物线状），用于浇灌园地内种植的植物．当喷灌喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚处，此时水流最高点距的水平距离为1米．现已知米，米，米． 数学建模： （1）如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．当喷出的水流刚好喷到坡脚处时，设水流某处距离的高度为米，该处距离的水平距离为米，求与之间的函数表达式； 问题解决： （2）“智慧小组”提出问题：若点为（1）中抛物线上任意一点，过点作的垂线，与相交于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求出函数的最大值，并写出函数的一条性质．请你解答此问题． 【答案】（1）；（2）函数最大值为，当时，随的增大而减小 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，得到抛物线的顶点坐标的横坐标为1，不妨设抛物线的解析式为，根据题意，得于是得到，代入解析式解方程组解答即可． （2）利用待定系数法，求得直线的解析式为：，根据抛物线的解析式，结合点M的横坐标为m，可设点，则，则 ，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）根据题意，得到抛物线的顶点坐标的横坐标为1， 设抛物线的解析式为， 根据题意，得， 故，， 代入解析式，得，解得， ， 故抛物线的解析式为． （2）设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为． 设点，则， 则 ， ， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 即当时，函数有最大值，最大值为， 函数的一条性质为：当时，随的增大而减小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $