精品解析：山东青岛市城阳区第二实验中学2026-2027学年度第一学期九年级数学10月学情自测试题

城阳区第二实验中学2026年10月单元教学质量评估 九年级数学 一、选择（3分×10=30分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．当时，变为，此时不是一元二次方程； B．的分母含未知数，不是整式方程，不是一元二次方程； C．整理得，不是一元二次方程； D．整理得，是一元二次方程． 2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据移项，配方，变形的步骤进行配方后，判断即可． 【详解】解： ∴； 故选D． 3. 根据下列表格，判断出方程的一个近似解（结果精确到）（ ） x 0.19 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的解的定义进行求解． 【详解】解：通过表格给出的值，当时，，最接近于， ∴方程的一个近似解为． 4. 若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线互相垂直的四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是中点四边形，掌握菱形的判定定理，三角形的中位线定理解此题的关键． 根据三角形中位线定理，中点四边形是平行四边形，要使其为菱形，需邻边相等，从而推出原四边形的对角线相等． 【详解】解：如图，已知四边形，、、、分别为、、、的中点，连接、， 、是、中点， 且． 、是、中点， 且 ． 且， ∴ 四边形是平行四边形． 若四边形是菱形，则． 、是、中点， 且． ， ∴． ． ∴ 原四边形对角线相等． 故选：C． 5. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形．若，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据翻折的性质可得∠DAF＝∠OAF，OA＝AD，再根据菱形的对角线平分一组对角可得∠OAF＝∠OAE，然后求出∠OAE＝30°，再利用勾股定理求出OE，可得AE，再根据菱形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：由翻折的性质得，∠DAF＝∠OAF，OA＝AD＝， 在菱形AECF中，∠OAF＝∠OAE， ∴∠OAE＝×90°＝30°， ∴AE＝2OE， ∴在Rt△AOE中，由勾股定理得：， ∴， ∴OE＝1或OE＝－1（舍去）， ∴AE＝2OE＝2， ∴菱形AECF的面积＝AE·AD＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握翻折变换的性质并求出∠OAE＝30°是解题的关键． 6. 已知关于的一元二次方程的两个根为，，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合题目给出的等量关系求解，再验证方程存在两个实根即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，，方程有两个根，， ∴，， 又∵， ∴，解得：， 验证判别式：，符合要求， 故的值为． 7. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在第四象限得，可得，则方程的判别式，即可得． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了点坐标的特征，根的判别式，解题的关键是掌握这些知识点． 8. 为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（　　） A. 2a2 B. 3a2 C. 4a2 D. 5a2 【答案】A 【解析】 【分析】正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，正方形的性质．图案中间的阴影部分是正方形，面积是，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半 【详解】解：． 故选A． 9. 如图，面积为的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用22m长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为x（m），则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据篱笆的总长及AB的长度，可得出BC=（22+1-2x）m，利用矩形的面积计算公式，结合矩形试验田的面积为50m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵篱笆的总长为20m，且AB=x m，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门， ∴BC=（22+1-2x）m． 依题意得：（22+1-2x）x=50． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10. 如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，，故①正确；求得，根据垂直的定义得到，故②正确；延长交的延长线于H，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到，故③正确；假设，根据，可得，结合，，可得，即有，进而可得，则有，显然，即假设不成立，即可判断④错误． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， 在与中， ， ， ，，故①正确； ， ， ， ，故②正确； ， 如图，延长交的延长线于， ， ， 点是的中点， ， ，，， ， ， ， 是斜边的中线， ， ， ，， ．故③正确； ∵ ∴， 若成立， ， ， ，， ， ， 在中，有， ， ， 显然， 假设不成立， ，故④错误， 故正确的有①②③． 二、填空（3分×10=30分） 11. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，先移项，再系数化1，最后利用直接开平方法求解，即可解题． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且． 13. 如图，点在数轴的负半轴，点在数轴的正半轴，且点对应的数是，点对应的数是，已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置可得，即可得到，由此解方程，再根据即进行求解即可． 【详解】解：由数轴上点的位置可得， ∴即， 解得， ∵即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握数轴上两点的距离以及解一元二次方程的方法． 14. 如图，菱形的对角线的长分别为3和4，P是对角线上的任意一点（点P不与A、C重合），且交于点E，交于点F，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵菱形的对角线的长分别为3和4， ∴，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴阴影部分的面积为． 15. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．则门高_______尺． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．今设竿的长度为尺，则门高为尺，门宽为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合和均为正数即可得出结论． 【详解】解：设竿的长度为尺，则门高为尺，门宽为尺， 依题意得：， 化简得：， 解得：，． 当时，，，不合题意，舍去； 当时，． 门高为8尺． 故答案为：8． 16. 某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有__________人． 【答案】 【解析】 【分析】设小组人数为，每个人给除自身外的成员送贺卡，总贺卡数等于人数乘以每人送出的贺卡数，列一元二次方程求解后舍去不合题意的负解即可． 【详解】解：设这个数学小组共有人， ∵每个人需要给组内除自己以外的人送贺卡， ∴总贺卡数可表示为， 据此列方程，得 ， 整理，得 ， 解得，． ∵人数不能为负数， ∴舍去， 即这个数学小组共有人． 17. 如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据三角形中位线的定理，得出的长，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出的长，最后根据，即可算出答案． 【详解】∵点，分别是，的中点 ∴为的中位线 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴在 点是的中点 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线定理即应用，直角三角形的性质，本题解题的关键在熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 18. 如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出是等腰三角形，从而求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解： ∵四边形ABCD是正方形，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质，利用等边对等角求角的度数，是解题的关键． 19. 如图，在一块长为，宽为的矩形空地内修建三条宽度相等的小路（阴影部分），其余部分种植花草．若花草的种植面积为，则小路的宽为______m． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意设小路宽为，则种植花草部分的面积等同于长，宽的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等同于长，宽的矩形的面积， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 则小路的宽为． 20. 如图，在菱形中，，，E为上一动点，F为中点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，根据菱形的性质证明，得到，则，即可得到当点在上时，取得最小值，再证明是等边三角形，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接，， ∵在菱形中，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点在上时，取得最小值， ∵，， ∴是等边三角形， ∴ ∵F为中点， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题 21. 解方程 （1） （2） （3）（配方法） （4）（公式法） （5） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【小问1详解】 解： ， ∴； 【小问2详解】 解： ∴或， 解得； 【小问3详解】 解： ， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：化成一般式为， ∴， ∴， ∴方程有两不等实数根， ∴， ∴； 【小问5详解】 解：化成一般式为， 左边因式分解得， ∴或， 解得． 22. 尺规作图 在三角形内做一个最大的菱形，使A为菱形的一个内角． 【答案】 解：如图所示，先画出的角平分线，交BC于点D，作AD的中垂线，交AB于点E，交AC于点F，连接ED，DF即可． 【解析】 【分析】先画出的角平分线，交BC于点D，作AD的中垂线，交AB于点E，交AC于点F，连接ED，DF即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了菱形，解题的关键是掌握菱形的判定方法． 23. 如图，在中，为边的中点，连接并延长，交的延长线于点，延长至点，使，分别连接，，． （1）求证：； （2）当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 【答案】 （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，∴ 又∵为边的中点， ∴ ∵，，， ∴ （2）答：四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形. ∵平分， ∴. 又∵， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴是矩形 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，利用中点的性质证明，结合对顶角相等，从而可得结论； （2）先证明 结合 证明四边形是平行四边形，再利用等腰三角形的性质证明 从而可得结论. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质与判定，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形”是证题的关键. 24. 某文具专柜销售一种进价为40元/个的书包，当售价为60元/个时，日销售量为100个．国庆期间，通过市场调查发现，这种书包的单价每降低2元，日销售量可增加20个．现准备降价x元销售，请回答： （1）降价销售后，每个书包获利______元，每天可售出书包______个． （2）若该专柜销售这种书包要想平均每天获利2240元，则每个书包应降价多少元？ （3）在（2）中平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该专柜销售这种书包的利润率是多少？ 【答案】（1）， （2）每个书包应降价元或元 （3）该专柜销售这种书包的利润率是 【解析】 【小问1详解】 解：根据“进价为40元/个的书包，当售价为60元/个”可以得到降价销售后，每个书包获利元， 根据“日销售量为100个，单价每降低2元，日销售量可增加20个”可以得到降价销售后，每天可售出书包个． 【小问2详解】 解：由题意得， 整理得， 解得， 答：每个书包应降价元或元； 【小问3详解】 解：在（2）中平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，则降价更多， ∴每个书包应降价元，此时售价元/个，进价为40元/个 ∴该专柜销售这种书包的利润率是． 25. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式的最小值． 解：． ，，，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）已知，求y的最小值； （2）比较代数式与的大小，并说明理由； 知识迁移： （3）如图，在中，，，，点P在边上以的速度从点A向点C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止． ①设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值； ②当t为______秒时，有最小值是______． 【答案】（1）3 （2），理由如下： ， ∵ ， ∴， ∴ （3）①5；②当t为秒时，有最小值是 【解析】 【分析】（1）利用“配方法”计算即可； （2）两式相减，差和0比较，确定大小； （3）①大三角形面积减去小三角形面积，再把含有t的式子配方，求最小值； ②由勾股定理得，，用含有t的式子表示出，再把含有t的式子配方，求最小值． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴y的最小值为3； 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：①根据题意可得：，，， ， ∴S的最小值为5； ②由勾股定理得，， 由①知，，， ∴ ， ∴ 当时，有最小值， ∴ 当t为秒时，有最小值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 城阳区第二实验中学2026年10月单元教学质量评估 九年级数学 一、选择（3分×10=30分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A. B. C. D. 3. 根据下列表格，判断出方程的一个近似解（结果精确到）（ ） x 0.19 A. B. C. D. 4. 若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线互相垂直的四边形 5. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形．若，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 8 6. 已知关于的一元二次方程的两个根为，，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 8. 为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（　　） A. 2a2 B. 3a2 C. 4a2 D. 5a2 9. 如图，面积为的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用22m长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为x（m），则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ①②③ 二、填空（3分×10=30分） 11. 方程的解是______． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 13. 如图，点在数轴的负半轴，点在数轴的正半轴，且点对应的数是，点对应的数是，已知，则的值为______． 14. 如图，菱形的对角线的长分别为3和4，P是对角线上的任意一点（点P不与A、C重合），且交于点E，交于点F，则阴影部分的面积为______． 15. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．则门高_______尺． 16. 某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有__________人． 17. 如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则________． 18. 如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________． 19. 如图，在一块长为，宽为的矩形空地内修建三条宽度相等的小路（阴影部分），其余部分种植花草．若花草的种植面积为，则小路的宽为______m． 20. 如图，在菱形中，，，E为上一动点，F为中点，则的最小值为______． 三、解答题 21. 解方程 （1） （2） （3）（配方法） （4）（公式法） （5） 22. 尺规作图 在三角形内做一个最大的菱形，使A为菱形的一个内角． 23. 如图，在中，为边的中点，连接并延长，交的延长线于点，延长至点，使，分别连接，，． （1）求证：； （2）当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 24. 某文具专柜销售一种进价为40元/个的书包，当售价为60元/个时，日销售量为100个．国庆期间，通过市场调查发现，这种书包的单价每降低2元，日销售量可增加20个．现准备降价x元销售，请回答： （1）降价销售后，每个书包获利______元，每天可售出书包______个． （2）若该专柜销售这种书包要想平均每天获利2240元，则每个书包应降价多少元？ （3）在（2）中平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该专柜销售这种书包的利润率是多少？ 25. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式的最小值． 解：． ，，，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）已知，求y的最小值； （2）比较代数式与的大小，并说明理由； 知识迁移： （3）如图，在中，，，，点P在边上以的速度从点A向点C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止． ①设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值； ②当t为______秒时，有最小值是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $