精品解析：黑龙江哈尔滨市巴彦县第一中学2026-2027学年上学期九年级第一次质量监测数学试题

巴彦一中2026年秋季学期九年级第一次质量监测数学测试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列式子中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是；③是整式方程． 【详解】解：A选项：满足一元二次方程的三个条件，符合题意； B选项：是多项式，不是方程，不符合题意； C选项：未知数的最高次数是，不符合题意； D选项：移项后化为，未知数的最高次数是，不符合题意． 2. 如果函数y＝(m2＋m)xm2－2m－1 是二次函数，那么m的值是( ) A. 2 B. －1或3 C. 3 D. ±1 【答案】C 【解析】 【详解】根据二次函数的定义，得： m2-2m-1=2， 解得m=-1或m=3， 又∵m2+m≠0， ∴m≠0且m≠-1， ∴当m=3时，这个函数是二次函数． 故选C. 3. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A.   B.   C.   D.   【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点，一次函数经过的象限，再结合相关图象即可求出结果． 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故C选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误，D选项正确． 4. 抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 【答案】B 【解析】 【详解】解：将的图象向左平移2个单位后得函数的函数图象， 将的图象向下平移3个单位得到的函数图象， ∴平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位． 故选：B． 5. 若，则二次函数的图象的顶点在 （ ） A. 第一象限; B. 第二象限; C. 第三象限; D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】分析：由a=1＞0得到此函数的开口向上，由b＜0，a＞0，得到对称轴x="-" b/2a>0，即对称轴位于y轴的右侧．即可能是位于第一或第四象限；由c=-1＜0得到与y轴的交点为在y轴的负半轴上，可能位于第三或第四象限，由此可以确定二次函数y=x2+bx-1的图象的顶点的位置． 【详解】解：∵a=1＞0， ∴此函数的开口向上， ∵b＜0，a＞0， ∴对称轴x=-b/2a>0 即对称轴位于y轴的右侧， 即可能是位于第一或第四象限； ∵c=-1＜0， ∴与y轴的交点为在y轴的负半轴上， 可能位于第三或第四象限 ∴二次函数y=x2+bx-1的图象的顶点在第四象限． 故选D． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质． 6. 二次函数，若，则它的图象一定过点（ ） A. （-1，-1） B. （1，-1） C. （-1，1） D. （1，1） 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：对二次函数y=x2+bx+c，将b+c=0代入可得：y=x2+b（x-1）， 则它的图象一定过点（1，1）． 故选D． 考点：二次函数图象与系数的关系． 7. 关于二次函数的图象，下列说法中，错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标为 C. 抛物线与轴有两个交点 D. 与图象形状相同 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次函数的性质分别判断得出答案． 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴是直线，顶点坐标为，故A、B正确； ∵， ∴， ∴抛物线与轴没有交点，故C错； 二次函数为开口向上，开口向上， ∴形状相同，故D正确； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确结合二次函数解析式的性质进行分析是解题关键． 8. 三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程：的解，则此三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】三角形三边关系为任意两边之和大于第三边，求出方程的解后需要验证是否符合该规则，排除无法构成三角形的无效解，最终得到结果． 【详解】解： ，． 若第三边为，，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去； 若第三边为，，符合三边关系，可以构成三角形， 因此，此三角形的周长为． 故答案为B． 9. 如图，在长为，宽为的矩形空地内，修三条同样宽的道路（阴影部分的矩形为空地内的道路），所修的道路将这块矩形空地分成六块，如果在空地上道路以外的部分种上花草，并且保证种花草的面积是，问道路应多宽？设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过平移法简化图形：将两条竖直道路向矩形的左右两边平移，将水平道路向上平移，此时种花草的部分可以拼接成一个新的矩形，根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据分析，新的矩形面积为，其值为，故有， 故选：C． 10. 已知二次函数的图像如图，有下列5个结论： ①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确的结论个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由对称知，当时，函数值大于0，即，故③正确； 由图象可知：图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴， 则，，，故，故①错误； 当时，，即，当时，，即，故②错误； 当时函数值小于0，，且， 即，代入得，得，故④正确； 当时，的值最大．此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确． 综上所述，③④⑤正确． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数系数符号，熟知系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 抛物线开口向下，且经过原点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】把原点（0，0）代入y=（k+1）x2+k2﹣9，可求k，再根据开口方向的要求检验． 【详解】把原点（0，0）代入y=（k+1）x2+k2﹣9中，得：k2﹣9=0 解得：k=±3． 又因为开口向下，即k+1＜0，k＜﹣1，所以k=﹣3． 故答案为﹣3． 【点睛】主要考查了二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系．要求掌握二次函数图象的性质，并会利用性质得出系数之间的数量关系进行解题． 12. 将化成的形式，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用配方法，进行一般式转化为顶点式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查将一般式转化为顶点式．熟练掌握配方法，是解题的关键． 13. 对于任意实数a，b，定义．若，则a的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义的运算规则，将 代入公式，得到关于 的方程，然后解该一元二次方程． 本题考查了新定义计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由定义，， 所以 ． 给定 ， 因此 ， 即 ． 解得． 故答案为：． 14. 已知、是一元二次方程的两根，则代数式的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）和代数式的因式分解，解题关键是先对代数式进行因式分解，再利用韦达定理代入与的值计算． 先因式分解代数式，再利用韦达定理得，，代入计算即可． 【详解】∵是一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 故答案为． 15. 个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，则比赛的场次数与球队数之间的函数关系式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，n个球队中，每个球队都要与个球队赛一场，一共比赛场，而比赛的两支球队的场数只算作一次，则一共比赛场，据此可得答案． 【详解】解：∵个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛， ∴一共要进行场比赛， ∴， 故答案为：． 16. 方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【详解】解：令，代入原式后可得， ，解得， 即，， 由公式法解得，． 17. 已知点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据解析式求出二次函数的对称轴，再根据开口方向和对称轴判断函数的增减性即可． 【详解】解：由二次函数的顶点式可得：其开口向上，对称轴为直线，当时，函数取最小值， ∵抛物线关于直线对称， 又∵当时函数取最小值， ∴抛物线上的点到直线越近，其纵坐标越小， ∵点到对称轴距离为2，点到对称轴距离为，点到对称轴距离为4，且， ∴． 18. 如图，抛物线的对称轴是过点且平行于轴的直线，若点在该抛物线上，则的值为____． 【答案】0 【解析】 【分析】根据对称性确定抛物线与x轴的另一个交点为，代入解析式求解即可； 【详解】如解图，设抛物线与轴的另一个交点是， ∵抛物线的对称轴是过点(1，0)的直线，与轴的一个交点是， ∴与轴的另一个交点， 把(，0)代入解析式得：， ． 故答案为：0 【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，准确分析计算是解题的关键． 19. 把抛物线沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后的抛物线解析式是______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据抛物线平移的规律解答即可． 【详解】解：若把抛物线沿着x轴向左平移3个单位长度，那么平移后的抛物线解析式是； 若把抛物线沿着x轴向右平移3个单位长度，那么平移后的抛物线解析式是； 综上所述平移后的抛物线解析式是或． 20. 如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是______________． 【答案】1 【解析】 【分析】动点问题，等腰直角三角形的性质，平角定义，勾股定理，二次函数的最值. 【详解】设AC＝x，则BC＝2－x， ∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形， ∴∠DCA＝45°，∠ECB＝45°，DC＝，CE＝. ∴∠DCE＝90°. ∴DE2＝DC2＋CE2＝（）2＋[]2＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1. ∴当x＝1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1. 【点睛】考点：二次函数的最值. 三、解答题（21，22题各7分，23，24题各8分，25，26，27题各10分） 21. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：移项得， 因式分解，得， 解得，． 【小问2详解】 解：移项得， 因式分解，得， 解得，． 22. 先化简，再求值：，其中满足． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，先利用因式分解和分式除法法则化简原式，再求解一元二次方程得到x的可能值，结合分式有意义的条件舍去不合题意的值，最后代入化简后的式子求值，即可求解． 【详解】解： ， 解方程    得或  ∵分式有意义需满足且  即且  ∴  当时，原式． 23. 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(m，0)，B(n，0)，且， (1)求此抛物线的解析式； (2)设此抛物线与y轴的交点为C，过C作一条平行x轴的直线交抛物线于另一点P，求△ACP的面积． 【答案】(1)y＝－x2＋4x－3；(2)6. 【解析】 【分析】（1）由题干可知n＞m＞0，则可求解出m和n的值，再根据韦达定理即可确定函数解析式； （2）先求解出C点的纵坐标，从而确定P点的横坐标，即可知道△ACP的底边长，而△ACP的高为C点纵坐标的绝对值，如此即可求解. 【详解】（1）由及可知，n＞m＞0，则可解得m=1，n=3， 由韦达定理可知，b=，-c=3，即c=-3， 故函数解析式为：y＝－x2＋4x－3； （2）当x=0时，y=-3，故C（0，-3）， 当y=-3时，可得x=0或4，即P（4，-3），则CP=4， 故△ACP的面积为：. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的关系，熟悉韦达定理等概念是解题关键. 24. 如图，在中，、分别是和的平分线，交，于点，，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求四边形的周长和面积． 【答案】（1）证明：、分别是和的平分线， ，． 在中，，， ，， ， ， 且， 四边形是平行四边形． （2）四边形的周长和面积分别为和 【解析】 【分析】（1）通过证明有两组对边平行的四边形为平行四边形来证明； （2）先证明为等边三角形，再由已知，，分别求出,的长度用于计算平行四边形的周长；过作于，由面积公式计算平行四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ， ． 分别是的平分线， ， 为等边三角形， ． ，， ,． 四边形的周长为． 如下图所示，过作于， ，， ， ， 四边形的面积为． 25. “低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜欢的交通工具．某运动商城的自行车销售量自年起逐月增加，据统计，该商城2月份销售自行车辆，4月份销售了辆． （1）若该商城2月至4月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城3月份售出多少辆自行车？ （2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备再购进一批两种规格的自行车共辆，已知A型车的进价为元/辆，售价为元/辆，B型车进价为元/辆，售价为元/辆．假设所购进车辆全部售完，为使利润不低于元，该商城购进A型车不超过多少辆？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设该商城2月至4月的自行车销量的月平均增长率为x，根据该商城2月及4月自行车的销量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，即可得出结论； （2）设商城购进A型车m辆，则该商城购进B型车辆，根据总利润每辆自行车的利润销售数量结合利润不低于元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该商城2月至4月的自行车销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， ∴， 答：该商城3月份售出辆自行车； 【小问2详解】 解：设商城购进A型车m辆，则该商城购进B型车辆， 根据题意得：， 解得：， 答：该商城购进A型车不超过辆． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 26. 中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米. (1)若苗圃园的面积为72平方米，求x； (2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由； (3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围. 【答案】(1) x=12；(2)苗圃园的面积最大为112.5平方米，最小为88平方米；(3) 6≤x≤10. 【解析】 【分析】（1）根据题意得方程求解即可； （2）设苗圃园的面积为y，根据题意得到二次函数解析式y=x（30-2x）=-2x2+30x，根据二次函数的性质求解即可； （3）由题意得不等式，即可得到结论. 【详解】解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x)米．依题意可列方程 x(30－2x)＝72，即x2－15x＋36＝0． 解得x1＝3，x2＝12． 又∵30－2x≤18，即x≥6， ∴x=12 (2)依题意，得8≤30－2x≤18．解得6≤x≤11． 面积S＝x(30－2x)＝－2(x－)2＋(6≤x≤11)． ①当x＝时，S有最大值，S最大＝； ②当x＝11时，S有最小值，S最小＝11×(30－22)＝88． (3)令x(30－2x)＝100，得x2－15x＋50＝0． 解得x1＝5，x2＝1 ∴x的取值范围是6≤x≤10． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点是第三象限抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，当时，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，过点作轴的垂线，点在直线上，连接、交于点，当，且时，求的值；请在射线上取点，连接，若为等腰三角形，直接写出符合条件的所有点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）；或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）由轴可知，根据三角形的面积公式即可得到与的函数关系式； （3）当，且时，可得，根据全等三角形的性质可以求出，从而可知点、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标为，根据等腰三角形的性质分情况求出点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：轴， ， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， 点在第三象限， 点到轴的距离为， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ； 【小问3详解】 解：如下图所示，延长交直线于点，过点作轴于点， 由可得：， 抛物线的对称轴为， 点与点关于直线对称， 点的坐标为， 设， 则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 整理可得：， 或， 点在第三象限， ， ； 点的坐标为，点的坐标为， ， ，， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， 当时，可得：， 整理可得：， ， 方程无解， 不成立； 当时，可得：， 整理可得：， 解得：，， 点在射线上， ， 不符合题意，舍去， 当时，可得：， 此时点的坐标是； 当时，可得：， 解得：， 此时， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴彦一中2026年秋季学期九年级第一次质量监测数学测试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列式子中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果函数y＝(m2＋m)xm2－2m－1 是二次函数，那么m的值是( ) A. 2 B. －1或3 C. 3 D. ±1 3. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A.   B.   C.   D.   4. 抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 5. 若，则二次函数的图象的顶点在 （ ） A. 第一象限; B. 第二象限; C. 第三象限; D. 第四象限 6. 二次函数，若，则它的图象一定过点（ ） A. （-1，-1） B. （1，-1） C. （-1，1） D. （1，1） 7. 关于二次函数的图象，下列说法中，错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标为 C. 抛物线与轴有两个交点 D. 与图象形状相同 8. 三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程：的解，则此三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 或 9. 如图，在长为，宽为的矩形空地内，修三条同样宽的道路（阴影部分的矩形为空地内的道路），所修的道路将这块矩形空地分成六块，如果在空地上道路以外的部分种上花草，并且保证种花草的面积是，问道路应多宽？设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图像如图，有下列5个结论： ①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确的结论个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 抛物线开口向下，且经过原点，则________． 12. 将化成的形式，则_____． 13. 对于任意实数a，b，定义．若，则a的值为____． 14. 已知、是一元二次方程的两根，则代数式的值是________． 15. 个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，则比赛的场次数与球队数之间的函数关系式是________． 16. 方程的根为______． 17. 已知点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 18. 如图，抛物线的对称轴是过点且平行于轴的直线，若点在该抛物线上，则的值为____． 19. 把抛物线沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后的抛物线解析式是______． 20. 如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是______________． 三、解答题（21，22题各7分，23，24题各8分，25，26，27题各10分） 21. 解方程 （1） （2） 22. 先化简，再求值：，其中满足． 23. 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(m，0)，B(n，0)，且， (1)求此抛物线的解析式； (2)设此抛物线与y轴的交点为C，过C作一条平行x轴的直线交抛物线于另一点P，求△ACP的面积． 24. 如图，在中，、分别是和的平分线，交，于点，，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求四边形的周长和面积． 25. “低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜欢的交通工具．某运动商城的自行车销售量自年起逐月增加，据统计，该商城2月份销售自行车辆，4月份销售了辆． （1）若该商城2月至4月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城3月份售出多少辆自行车？ （2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备再购进一批两种规格的自行车共辆，已知A型车的进价为元/辆，售价为元/辆，B型车进价为元/辆，售价为元/辆．假设所购进车辆全部售完，为使利润不低于元，该商城购进A型车不超过多少辆？ 26. 中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米. (1)若苗圃园的面积为72平方米，求x； (2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由； (3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围. 27. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点是第三象限抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，当时，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，过点作轴的垂线，点在直线上，连接、交于点，当，且时，求的值；请在射线上取点，连接，若为等腰三角形，直接写出符合条件的所有点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $