精品解析：黑龙江哈尔滨市呼兰区2026-2027学年上学期九年级第一次检测数学试题

2026-2027学年度上学期九年级第一次测试题 数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷　选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，负数的绝对值是它的相反数， ∴. 2. 下列标志中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：选项：不是轴对称图形； 选项：是轴对称图形； 选项：是轴对称图形； 选项：是轴对称图形． 3. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，符合要求； 选项B：含两个未知数，不符合； 选项C：未明确，当时不是二次方程，不符合； 选项D：分母含未知数，是分式方程，不符合． 4. 若是二次函数，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，解题需同时考虑二次项次数为、二次项系数不为两个条件，不可遗漏系数限制． 【详解】解：由二次函数定义得二次项次数为、二次项系数不为， ∴且， 解得：或， 解得：， ∴． 5. 将抛物线向下平移1个单位长度后，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将抛物线向下平移1个单位长度，得． 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为． 7. 关于x一元二次方程x2－kx－6＝0的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】先计算△=（-k）2-4×1×（-6）=k2+24＞0，即可判断方程根的情况． 【详解】∵△=（-k）2-4×1×（-6）=k2+24＞0， ∴一元二次方程x2-kx-6=0有两个不相等的实数， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 8. 二次函数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该二次函数为顶点式，可结合开口方向直接得到最大值． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， ∵二次项系数，抛物线开口向下， ∴函数的最大值为． 9. 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑦个图案用的木棍根数是（ ） A. 34 B. 39 C. 44 D. 49 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类规律的探究，发现图形中木棍根数的变化规律是是解题的关键． 先计算各图形中木棍的根数，然后归纳计算规律，然后运用规律求解即可． 【详解】解：第①个图案用了根木棍， 第②个图案用了根木棍， 第③个图案用了根木棍， 第④个图案用了根木棍， ……， 第⑦个图案用的木棍根数是根． 故选：B． 10. 某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母64个或螺栓22个．若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：分配名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，每天生产螺栓个，生产螺母个， 根据1个螺栓配2个螺母，恰好配套可得方程． 第Ⅱ卷　非选择题（共90分） 二、填空题：（每小题3分，共计30分） 11. 据统计，2025年“五一”期间某风景区接待游客约1030000人，将数字1030000用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，的值等于原数的整数位数减，按照规则表示即可． 【详解】解：，因此结果为． 12. 在函数中，自变量的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】该函数为分式形式，根据分式的性质，分母不能为0，据此列不等式即可求解． 【详解】解：∵ 分式的分母不能为0 ∴ 对于函数 ， 可得 解得 ． 13. 把多项式分解因式的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： ． 14. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案． 【详解】解：原式： ， 故答案为： ． 【点睛】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 15. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是， 将代入方程得：， 整理得：， 解得：． 16. 不等式组的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，取它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解： ， 解不等式①，得； 解不等式②，得 ∴原不等式组的解集为． 17. 抛物线与轴的交点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求抛物线与轴的交点坐标，令横坐标，代入解析式计算纵坐标的值即可． 【详解】解：轴上所有点的横坐标都为， 令，代入抛物线解析式， 得 ， 抛物线与轴的交点坐标为． 18. 定义一种新运算：，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新运算的定义，将，代入公式化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 19. 在中，，是腰上的高，且，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据三角形面积公式求出高的长度，再用勾股定理求出的长度，分高在三角形内部和外部两种情况计算． 【详解】解：∵是边上的高，，， ∴，可得， 解得， ∵ 是高，是直角三角形，， ∴ 由勾股定理得， 分两种情况讨论： 当高在内部时，如图， ； 当高在外部时，如图， ， 综上，的长度为或． 20. 如图，四边形是正方形，点在的延长线上，连接，交于点，连接，点是的中点，连接，则下列结论中：①；②；③；④若，，则的面积为．其中正确的是__________．（将所有正确结论的序号填在横线上） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质证明，得到，，即可判断①；设与交于点G，利用三线合一性质即可判断②；利用三角形内角和定理即可判断③；连接，求出，然后利用三角形中线的性质即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形，点在的延长线上， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，，故①正确； ∵点是的中点， ∴，故②正确； ∴， 设与交于点G，如图， ∵，， ∴，故③正确； 连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，故④正确． 综上所述，其中正确的是①②③④． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 解下列一元二次方程 （1） （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，． 22. 如图，是正方形网格，每个小正方形的边长都为1． （1）在图中画出等腰，使点在格点上，且，； （2）仅用无刻度直尺，作出等腰直角边上的中线，并保留作图痕迹． 【答案】（1）如图，即为所求作等腰： （2）如图，即为所求中线： 【解析】 【分析】（1）要使，，就是把绕点旋转 ．把网格上“横a竖b”的线段转变成“横b竖a”，即 应为“横3竖1” ． （2）① 取格点 （ 正上方 1 格）和格点 (正下方 1 格 的点)； ② 用直尺连，设 交于； ∵且 ， ∴四边形 是平行四边形， 又∵平行四边形对角线 与 互相平分， ∴点 就是中点．　 ③ 连接，即为所求中线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，且与轴交于点、，与轴正半轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点A、B、C的坐标，再利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，将点代入中，得， 解得， ∴抛物线的解析式是； 【小问2详解】 解：当时，，则, ∴， 令，由得，， ∴，， ∴， ∴． 24. 已知：在四边形中，，，点为的中点，连接．        （1）如图1，求证：四边形为平行四边形； （2）如图2，连接，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的四个角． 【答案】（1）证明：点为的中点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据中点的定义以及，得到，即可得证； （2）根据平行四边形的性质可得，，结合题意可推出四边形为菱形，为等边三角形，得到，，进而得到，最后根据菱形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形为平行四边形， ，， ， ， ， 点为的中点， ， ， 四边形为菱形，为等边三角形， ，， ， ， 是菱形的对角线， ． 25. 某化妆品商店决定购进A、B两种品牌的防晒霜．经预算，若购进A品牌防晒霜5套，B品牌防晒霜6套，则需950元；若购进A品牌防晒霜3套，B品牌防晒霜2套，则需450元． （1）求A、B两种品牌的防晒霜每套的进价各为多少元？ （2）根据市场需求，商店决定购进这两种品牌的防晒霜90套，其中购进B品牌的数量不低于购进A品牌数量的2倍，销售1套A品牌防晒霜的价格为130元，销售1套B品牌防晒霜的价格为95元，设购进A品牌防晒霜m套，两种品牌的防晒霜全部售完时所获的利润为w元．求w与m的函数关系式，并确定该商家如何进货才能获得最大利润？ 【答案】（1） A品牌防晒霜每套进价为100元，B品牌防晒霜每套进价为75元． （2） 与的函数关系式为（，且为整数）； 购进A品牌防晒霜30套、B品牌防晒霜60套时获得最大利润． 【解析】 【分析】（1）根据两种购进方案的总费用，列二元一次方程组求解两种防晒霜的进价； （2）根据总利润的计算方法列出与的函数关系式，结合B品牌数量的限制条件确定的取值范围，再根据一次函数的增减性找到最大利润对应的进货方案． 【小问1详解】 解：设A品牌防晒霜每套进价为元，B品牌防晒霜每套进价为元， 由题意得： ， 解得， 答：A品牌防晒霜每套进价为100元，B品牌防晒霜每套进价为75元． 【小问2详解】 解 ：∵购进A品牌防晒霜套， ∴购进B品牌防晒霜套， 单套A品牌利润为（元），单套B品牌利润为（元）， ∴， 由题意得， 解得， 又∵，且为整数， ∴，且为整数， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时， 答：与的函数关系式为（，且为整数）；购进A品牌防晒霜30套、B品牌防晒霜60套时，能获得最大利润． 26. 如图1，在矩形中，点是边上的一点，连接，且． （1）求证：平分； （2）如图2，过点作，且，连接、，交于点．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，以、为邻边作矩形，连接，且平分，若，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）证明：在上截取，连接，如图 ∵四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴，即． （3）线段的长为 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质，得到，，继而推导出，则平分，即可解答； （2）在上截取，连接，推导出，可得到，继而推导出，得到，即可解答； （3）设，得到，，，推导出是等腰直角三角形，得到， 在中，根据勾股定理，得到，求出，得到，在中，根据勾股定理，得到，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， 由（2）得， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵四边形是以为邻边的矩形， ∴，． ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形，且． ∵，，且， ∴． 在中，，由勾股定有， 即， 展开：， 整理：， ， 解得， ∵， ∴． ∴． 在中，． 答：线段的长为． 27. 如图1，直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、，直线的解析式为，与轴交于点，与直线交于点，且的横坐标为1． （1）求直线的解析式； （2）如图2，点是线段上一动点（点不与端点、重合），过点作直线轴交直线于，交轴于，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）如图3，在（2）的条件下，若是轴负半轴上一点，连接，过点作于，交轴于，且，当是以为底的等腰三角形时，求的值，并直接写出线段的长． 【答案】（1）直线的解析式为 （2）与的函数关系式为 （3），线段的长为． 【解析】 【分析】（1）先求出，，，再根据待定系数法进行求解即可； （2）先求出点的坐标为，点的坐标为，得到，继而推导出点到直线的水平距离为，再根据三角形的面积公式进行求解即可；】（3）先求出直线的解析式为，推导出，可得到，同理可得直线的解析式为，联立直线AC与直线的解析式，求出垂足的坐标为，推导出是以为底的等腰三角形时，点在线段的垂直平分线上，继而求出线段中点的纵坐标为，得到，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：∵直线的解析式为， 令，得， ∴． 令，得，解得， ∴． ∵点在直线上，且点的横坐标为， 把代入，得， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入解析式，得 解得． ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵点的横坐标为，点在线段上， ∴点的坐标为． ∵轴，点在直线上， ∴点的横坐标为． 把代入，得点的坐标为． ∴线段的长为， ∵平行于轴，以为底，点到直线的水平距离为， ∴， ∵点在线段上，且不与点、重合， ∴自变量的取值范围是． 综上，与的函数关系式为． 【小问3详解】 解：∵点在轴上，，点在轴负半轴，结合图像， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入解析式，得 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵、， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立直线与直线的解析式，得 解得， 把代入，得 ， ∴垂足的坐标为， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，点在线段的垂直平分线上． ∵轴， ∴的垂直平分线是水平直线，垂直平分线上所有点的纵坐标都等于中点的纵坐标， ∵，， ∴线段中点的纵坐标为， ∴ 解得， ∴， ∴，线段的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期九年级第一次测试题 数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷　选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 下列标志中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 若是二次函数，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 5. 将抛物线向下平移1个单位长度后，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 关于x一元二次方程x2－kx－6＝0的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定根的情况 8. 二次函数的最大值是（ ） A. B. C. D. 9. 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑦个图案用的木棍根数是（ ） A. 34 B. 39 C. 44 D. 49 10. 某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母64个或螺栓22个．若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷　非选择题（共90分） 二、填空题：（每小题3分，共计30分） 11. 据统计，2025年“五一”期间某风景区接待游客约1030000人，将数字1030000用科学记数法表示为__________． 12. 在函数中，自变量的取值范围是__________． 13. 把多项式分解因式的结果是_______． 14. 计算的结果是______． 15. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为__________． 16. 不等式组的解集为__________． 17. 抛物线与轴的交点坐标为__________． 18. 定义一种新运算：，则__________． 19. 在中，，是腰上的高，且，则__________． 20. 如图，四边形是正方形，点在的延长线上，连接，交于点，连接，点是的中点，连接，则下列结论中：①；②；③；④若，，则的面积为．其中正确的是__________．（将所有正确结论的序号填在横线上） 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 解下列一元二次方程 （1） （2） 22. 如图，是正方形网格，每个小正方形的边长都为1． （1）在图中画出等腰，使点在格点上，且，； （2）仅用无刻度直尺，作出等腰直角边上的中线，并保留作图痕迹． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，且与轴交于点、，与轴正半轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积． 24. 已知：在四边形中，，，点为的中点，连接．        （1）如图1，求证：四边形为平行四边形； （2）如图2，连接，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的四个角． 25. 某化妆品商店决定购进A、B两种品牌的防晒霜．经预算，若购进A品牌防晒霜5套，B品牌防晒霜6套，则需950元；若购进A品牌防晒霜3套，B品牌防晒霜2套，则需450元． （1）求A、B两种品牌的防晒霜每套的进价各为多少元？ （2）根据市场需求，商店决定购进这两种品牌的防晒霜90套，其中购进B品牌的数量不低于购进A品牌数量的2倍，销售1套A品牌防晒霜的价格为130元，销售1套B品牌防晒霜的价格为95元，设购进A品牌防晒霜m套，两种品牌的防晒霜全部售完时所获的利润为w元．求w与m的函数关系式，并确定该商家如何进货才能获得最大利润？ 26. 如图1，在矩形中，点是边上的一点，连接，且． （1）求证：平分； （2）如图2，过点作，且，连接、，交于点．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，以、为邻边作矩形，连接，且平分，若，求线段的长． 27. 如图1，直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、，直线的解析式为，与轴交于点，与直线交于点，且的横坐标为1． （1）求直线的解析式； （2）如图2，点是线段上一动点（点不与端点、重合），过点作直线轴交直线于，交轴于，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）如图3，在（2）的条件下，若是轴负半轴上一点，连接，过点作于，交轴于，且，当是以为底的等腰三角形时，求的值，并直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $