培优专题 与三角形有关的线段和最小值问题专项训练2026-2027学年人教版数学八年级上册

与三角形有关的线段和最小值问题 1．（25-26七年级上·山东东营·期末）如图，等腰三角形中，是上任意一点，是高上任意一点，，，那么线段的最小值是（    ） A．5 B．3 C． D． 2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）如图，在等腰直角中，，平分，E是线段上一点，F是线段上一点，连接、，若，，则的最小值是（   ） A．3 B． C．5 D．6 4．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）如图，在等腰直角三角形中，，是内部一点，且满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，点在等边三角形的边上，，，垂足为，是射线上一动点，是线段上一动点．当的值最小时，，则的长为（   ） A．10 B．11 C．15 D．16 6．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，在中，，点 M 在上，且．点 N 是上的一动点，则的最小值为________(提示：作关于对称的点)． 7．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，，，，点，分别是边，上的点，则的最小值是_____． 8．（26-27八年级上·四川眉山·开学考试）如图，在直角三角形中，度，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点关于边的对称点分别为，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是___________． 9．（25-26八年级下·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，点为直线上一动点，连接，，当为最小值时，的面积为________． 10．（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，，是边上的高，为边上一动点，为上一动点，若，则的最小值为________． 11．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段AD、线段AB上运动，若，当最小时，的度数为________． 12．（25-26八年级上·北京海淀·期末）如图，中，，，，点D，E分别是线段，上的动点，当最小时，的长是______． 13．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）如图，边长为8的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是__________． 14．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，已知线段，，点到直线的距离为，在直线上取一点，连接，，当的周长取得最小值时，的形状为______． 15．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）如图，分别以线段的两个端点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M和点N，在直线上取一点C，连接，点D是线段的延长线上一点，且，点P是直线上一动点，连接，若，则的最小值为________ 16．（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为__________ 17．（2026·山东淄博·二模）如图，在等腰直角中，，．点D为的中点，，其两边分别与，交于点E，F（不与A，B，C重合）．取的中点M，连接并延长交于点G，连接，．则的最小值为________． 18．（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，，，，点是上的动点（可与端点重合），点是上的动点，连接，当最小时，的长为_____． 19．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，等边中，是上一点，且，点为AB边上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转至，连接、，则的最小值为___． 20．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，等边边长为，点D、E分别在边，边上，以为边向下作等边，连接，当且的周长最小时，的长为_______． 21．（2026八年级上·陕西西安·专题练习）如图，点分别是边，上的点，且．连结，以为边，在的右侧作等边，连结，则的周长的最小值为_____． 22．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在等腰中，，在上取一点D，连接，使，延长至点E，连接使，延长交于点F，的角平分线交于点G，点M、N分别为、上的动点，连接、、，当面积是8时，周长的最小值为________． 23．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，，点是射线上的定点，，点是射线上的动点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、．则的最小值是_____． 24．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？” 解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长． (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①__________；②__________；③__________． 【项目应用】 (2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长． 25．（25-26八年级上·广西来宾·期末）某景区内有一片夹角为（）的游览区域，点P是区域内的核心观景台，观景台到夹角顶点O的距离．景区计划基于此设计导览路线，相关规划如下： 材料1：为优化观景体验，先在射线上设置临时停靠点P，点P在上，并规划从P点出发，关于游览步道对称的备选观景点，连接（如图①）． 材料2：为丰富路线选择，过核心观景台P分别作关于步道的对称点，连接（如图②）． 材料3：为设计最短游览路线，需在步道上各选一个休憩点M、N，使游客从观景台P出发，经M、N后返回P的路线（即）周长最小（如图③）． 请根据以上材料，解决下列问题： (1)结合材料1，求备选观景点与临时停靠点的距离的长度； (2)结合材料2，求对称点之间的距离； (3)结合材料3，先补全图③，再求出周长的最小值． 26．（25-26七年级下·广东深圳·期末）“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同侧有两个定点A、B，在直线上存在点P，使得的值最小． (1)请在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形；（保留作图痕迹） (2)应用： ①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点），使的周长最小，则周长的最小值为______． ②如图3，边长为a的等边中，是上的中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是多少？此时为多少度？ 27．（25-26七年级下·广东佛山·期中）综合探究：如图1，在中，，，为边的中点，，的两边与，分别交于点，，绕点旋转． (1)当与重合时，与有什么位置关系？说明理由． (2)在绕点旋转过程中，线段与相等吗？说明理由． (3)如图2，若，，点是线段上的一个动点（点不与点或点重合），连接，，当绕点旋转过程中（点不与点或点重合），则是否存在最小值？如果存在，求出此时的周长． 28．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，，垂足为，为线段上一动点，连接，在的下方作等边，连接． (1)求证：． (2)若，的面积为，求的长． (3)如图，连接，当的周长最小时，直接写出和之间的数量关系． 29．（25-26八年级上·河南南阳·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图1，将军从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】 如图2，小明将两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线．作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决． （1）小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是_____； 【模型应用】 （2）如图3，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，求周长的最小值； 【模型拓展】 （3）如图4，在中，，若，将折叠，使点恰好落在边上的点处，折痕为，点为上一动点，直接写出周长的最小值为_____． 30．（25-26八年级上·广东汕头·期末）数学课上，张老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【提出问题】 问题  唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河岸上的点饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作点关于的对称点，连接与交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：在上另取一点，连接，，只要证明即可． 问题如图②，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠；使得到村庄的距离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠最短，既省人力又省物力． （）请在图①中标出河岸中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （）问题中所隐含的数学原理是_______． 【感悟方法，尝试应用】 （）如图③，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系________． ②若，点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在如图③上标注点的位置，并求出的最小值． 【迁移拓展，综合应用】 （）如图④，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点、点分别为上一点，求的最小值． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 与三角形有关的线段和最小值问题 1．（25-26七年级上·山东东营·期末）如图，等腰三角形中，是上任意一点，是高上任意一点，，，那么线段的最小值是（    ） A．5 B．3 C． D． 2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）如图，在等腰直角中，，平分，E是线段上一点，F是线段上一点，连接、，若，，则的最小值是（   ） A．3 B． C．5 D．6 4．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）如图，在等腰直角三角形中，，是内部一点，且满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，点在等边三角形的边上，，，垂足为，是射线上一动点，是线段上一动点．当的值最小时，，则的长为（   ） A．10 B．11 C．15 D．16 6．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，在中，，点 M 在上，且．点 N 是上的一动点，则的最小值为________(提示：作关于对称的点)． 7．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，，，，点，分别是边，上的点，则的最小值是_____． 8．（26-27八年级上·四川眉山·开学考试）如图，在直角三角形中，度，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点关于边的对称点分别为，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是___________． 9．（25-26八年级下·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，点为直线上一动点，连接，，当为最小值时，的面积为________． 10．（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，，是边上的高，为边上一动点，为上一动点，若，则的最小值为________． 11．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段AD、线段AB上运动，若，当最小时，的度数为________． 12．（25-26八年级上·北京海淀·期末）如图，中，，，，点D，E分别是线段，上的动点，当最小时，的长是______． 13．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）如图，边长为8的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是__________． 14．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，已知线段，，点到直线的距离为，在直线上取一点，连接，，当的周长取得最小值时，的形状为______． 15．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）如图，分别以线段的两个端点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M和点N，在直线上取一点C，连接，点D是线段的延长线上一点，且，点P是直线上一动点，连接，若，则的最小值为________ 16．（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为__________ 17．（2026·山东淄博·二模）如图，在等腰直角中，，．点D为的中点，，其两边分别与，交于点E，F（不与A，B，C重合）．取的中点M，连接并延长交于点G，连接，．则的最小值为________． 18．（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，，，，点是上的动点（可与端点重合），点是上的动点，连接，当最小时，的长为_____． 19．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，等边中，是上一点，且，点为AB边上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转至，连接、，则的最小值为___． 20．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，等边边长为，点D、E分别在边，边上，以为边向下作等边，连接，当且的周长最小时，的长为_______． 21．（2026八年级上·陕西西安·专题练习）如图，点分别是边，上的点，且．连结，以为边，在的右侧作等边，连结，则的周长的最小值为_____． 22．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在等腰中，，在上取一点D，连接，使，延长至点E，连接使，延长交于点F，的角平分线交于点G，点M、N分别为、上的动点，连接、、，当面积是8时，周长的最小值为________． 23．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，，点是射线上的定点，，点是射线上的动点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、．则的最小值是_____． 24．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？” 解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长． (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①__________；②__________；③__________． 【项目应用】 (2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长． 25．（25-26八年级上·广西来宾·期末）某景区内有一片夹角为（）的游览区域，点P是区域内的核心观景台，观景台到夹角顶点O的距离．景区计划基于此设计导览路线，相关规划如下： 材料1：为优化观景体验，先在射线上设置临时停靠点P，点P在上，并规划从P点出发，关于游览步道对称的备选观景点，连接（如图①）． 材料2：为丰富路线选择，过核心观景台P分别作关于步道的对称点，连接（如图②）． 材料3：为设计最短游览路线，需在步道上各选一个休憩点M、N，使游客从观景台P出发，经M、N后返回P的路线（即）周长最小（如图③）． 请根据以上材料，解决下列问题： (1)结合材料1，求备选观景点与临时停靠点的距离的长度； (2)结合材料2，求对称点之间的距离； (3)结合材料3，先补全图③，再求出周长的最小值． 26．（25-26七年级下·广东深圳·期末）“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同侧有两个定点A、B，在直线上存在点P，使得的值最小． (1)请在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形；（保留作图痕迹） (2)应用： ①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点），使的周长最小，则周长的最小值为______． ②如图3，边长为a的等边中，是上的中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是多少？此时为多少度？ 27．（25-26七年级下·广东佛山·期中）综合探究：如图1，在中，，，为边的中点，，的两边与，分别交于点，，绕点旋转． (1)当与重合时，与有什么位置关系？说明理由． (2)在绕点旋转过程中，线段与相等吗？说明理由． (3)如图2，若，，点是线段上的一个动点（点不与点或点重合），连接，，当绕点旋转过程中（点不与点或点重合），则是否存在最小值？如果存在，求出此时的周长． 28．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，，垂足为，为线段上一动点，连接，在的下方作等边，连接． (1)求证：． (2)若，的面积为，求的长． (3)如图，连接，当的周长最小时，直接写出和之间的数量关系． 29．（25-26八年级上·河南南阳·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图1，将军从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】 如图2，小明将两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线．作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决． （1）小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是_____； 【模型应用】 （2）如图3，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，求周长的最小值； 【模型拓展】 （3）如图4，在中，，若，将折叠，使点恰好落在边上的点处，折痕为，点为上一动点，直接写出周长的最小值为_____． 30．（25-26八年级上·广东汕头·期末）数学课上，张老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【提出问题】 问题  唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河岸上的点饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作点关于的对称点，连接与交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：在上另取一点，连接，，只要证明即可． 问题如图②，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠；使得到村庄的距离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠最短，既省人力又省物力． （）请在图①中标出河岸中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （）问题中所隐含的数学原理是_______． 【感悟方法，尝试应用】 （）如图③，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系________． ②若，点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在如图③上标注点的位置，并求出的最小值． 【迁移拓展，综合应用】 （）如图④，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点、点分别为上一点，求的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 C B C B B 1．C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，垂线段最短，解题的关键是掌握以上性质．连接，过点作，交于点，根据等腰三角形的性质得出垂直平分线段，利用勾股定理求出，根据轴对称的性质和垂线段最短得出，当点在同一条直线上时，且时，的值最小，最后利用等面积求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点作，交于点， ∵为等腰三角形，，且为底边上的高， ∴垂直平分线段，， ∴，， 当点在同一条直线上时，且时，的值最小， 即的值最小，最小值为的长， ， 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，轴对称图形的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 作点关于射线的对称点，连接，当、P、F共线且时最小，再利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可． 【详解】解：作点关于射线的对称点，连接，则 ， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， ∴如图所示：当、P、F共线且时最小， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．C 【分析】在上取一点，使，连接，此时的最小值为的长． 【详解】解：在上取一点，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， 在等腰直角中，，， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴的最小值是5． 4．B 【分析】过点P作于点Q，过点P作，作点B关于的对称点，连接，，且交于点，先求出，根据三角形面积公式求出，得出点P到直线的距离为1，说明点P在直线上，根据轴对称可得：，，，从而得出，根据两点之间线段最短，得出当C、P、在同一直线上时，最小，即最小，求出最小值即可． 【详解】解：过点P作于点Q，过点P作，作点B关于的对称点，连接，，且交于点，如图所示： ∵在等腰直角三角形中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即点P到直线的距离为1， ∵，且过点P， ∴点P在直线上， 根据轴对称可得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当C、P、在同一直线上时，最小，即最小， ∴当点P在点处时，最小，且最小值为的长度， 根据勾股定理得：， ∴最小值为． 5．B 【分析】本题考查了将军饮马模型求最值，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，掌握将军饮马模型是解题关键．根据将军饮马模型，作点M关于的对称点，过点作，交于点P，由垂线段最短和对称的性质可知此时的值最小，在该情况下代入计算即可． 【详解】解：如图，作点M关于的对称点，过点作，交于点P， 此时，，即的值最小， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 由题意，得， ∴， ∴， 由对称的性质，可知， ∴， ∴， ∴， 故选： B． 6． 【分析】作点关于直线的对称点，连接交于点，连接交于点，连接，根据轴对称的性质确定当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，然后利用勾股定理以及线段的和差进行求解． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接交于点，连接， ∴， ∴， 当点与点重合时，的值最小，最小值为的长， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， 由勾股定理得， ∴的最小值为． 7． 【分析】本题考查最短路径问题，关键是通过对称将折线转化为直线型线段，再利用垂线段最短确定最小值的位置，最后用面积法计算长度．先作点关于的对称点，利用对称性质将转化为，则；根据两点之间线段最短和垂线段最短，可知当、、三点共线且时，取得最小值，即的长度；最后通过三角形面积的两种计算方法求出的长度． 【详解】解：作点关于的对称点，连接、，， ∵，点是关于的对称点， ∴，垂直平分， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，，当且仅当为与的交点时取等号； 根据垂线段最短，当时，的长度即为的最小值． ∵，， ∴的面积； 又∵， ∴，解得． 故答案为：． 8． 【分析】连接，由轴对称的性质可得，即得，可知当时，的值最小，此时的长度也最小，利用三角形的面积求出的最小值即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由条件可知， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的长度也最小， 当时，， ∴，解得：， ∴， 即线段长度的最小值是． 9． 【分析】先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求，进一步证明，求解，再利用面积公式求解即可． 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为，此时重合， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， ∵，， ∴，， ∴， ∴, ∴， ∴. 10．12 【分析】连接，根据等边三角形的性质以及线段垂直平分线的性质得出，当点在同一条直线上时，的值最小，最小值为的长，再利用垂线段最短和等面积法求最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在同一条直线上时，的值最小，最小值为的长， 当时，的值最小， 此时，， ∴， ∴的最小值为12． 11． 【分析】连接，先证明，得到，从而推出当，，三点共线且时，最小．过点作于点交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，，，同理可得，则，即． 【详解】解：如图，连接， ，， ，， 又， ， ， ， 当，，三点共线且时，最小，即最小． 如图，过点作于点交于点，连接． ， ， ， ， 同理可得，， ， ，即． 当取最小值时，的度数为． 12．2 【分析】本题考查了直角三角形的性质，轴对称的性质，掌握将军饮马的数学模型是解题的关键． 过作点A的对称点，连接，故，根据图形可知当三点共线，且时，最小，可得三点共线，再根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，过作点A的对称点，连接， 由对称可知，，， ， 根据图形可知当三点共线，且时，最小， 又， 三点共线， ， ． 故答案为：． 13． / 【分析】利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明，从而得出，确定点的运动轨迹；利用轴对称性质将转化为，在等边中利用勾股定理求出的长，进而求得周长最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵和均为等边三角形， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴平分， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交于点， 此时的值最小，即的最小值为的长， 由对称性可知， ∴， ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴， 在中，， ∴周长的最小值是． 14．等腰直角三角形 【分析】作点关于直线的对称点，与直线交于点，连接交直线于点，连接，此时的周长最小，过点作于点，利用平行线间的距离相等得到，，由轴对称得到，进而得到，即得，即得到，，同理得到，，得到，，即可判断求解． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，与直线交于点，连接交直线于点，连接， 则，， ∴的周长， 根据两点之间线段最短，可知此时的周长最小， 过点作于点，则， ∵，点到直线的距离为， ∴，， ∵点与点关于直线对称， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， 同理可得，， ∴，， ∴为等腰直角三角形． 15．9 【分析】根据轴对称最短距离问题和垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵（点A、P、D共线时取等号）， ∴的最小值为9， ∴的最小值为9． 16． 【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，进而得出，根据即可得出答案． 【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，交于，交于， 则即为的周长最小值．作延长线， ∵ ∴共线，共线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 即，当的周长最小时，的度数为． 17． 【分析】根据勾股定理可得，即得，连接、，由直角三角形的性质得，由得点在线段的垂直平分线上，可知点在边所对中位线上移动，作点关于直线的对称点，连接，则，，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接、，如图 ∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ，点为的中点， ， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴点在边所对中位线上移动， 作点关于直线的对称点，连接，则，， ∵， ∴， ∴的最小值为． 18．3 【分析】本题考查轴对称的性质，含30°的直角三角形的性质，解题的关键为利用轴对称的性质将转化为一条线段． 作点关于的对称点，由于点到直线的距离垂线段最短，则过作交于，此时的值最小，且，重合，利用含30°的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点， 由于，则， 过作交于，交于，连接， 此时的值最小． 过点作，连接，， ∵点，点关于的对称， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，，三点共线， 由于过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，则与重合，即与重合，与重合， ∵在中，，， ∴， ∴． 19． 【分析】过点N作于点F，过点D作于点H，则，证明，得出，求出，得出点N的运动轨迹是直线，且该直线与直线平行，在的右侧，与的距离是，作点C关于该直线的对称点E，连接，则，说明当点A，N，E三点共线时，最小，即最小，连接交该直线于G，则，，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：如图，过点N作于点F，过点D作于点H，则，    ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点N的运动轨迹是直线，且该直线与直线平行，在的右侧，与的距离是， 作点C关于该直线的对称点E，连接，则， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点A，N，E三点共线时，最小，即最小， 连接交该直线于G，则，， ∴， ∴的最小值为． 20． 【分析】本题考查等边三角形的性质，掌握两点之间线段最短，直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半是解题的关键．作点F关于对称点，连接，当B，F，D，共线，且点D为中点时，的周长最小，由等边三角形的性质得到，，根据即可求解． 【详解】解：如图，作点F关于对称点，连接， 则， ∵，为等边三角形， ∴的周长为， 当B，F，D，共线，且点D为中点时，的周长最小， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 21． 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，过点作，垂足为，过点作，垂足为，利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求出、的长，最后证明得出，则在平行于的直线上运动，作关于的对称点，根据轴对称的性质可得的周长为，当点运动到上时，重合，此时是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为． 在中，． ， ． 是等边三角形， ， ， ， ． ， ， ， ∴在平行于的直线上运动，如图 作关于的对称点， ∴的周长为 ∴当点运动到上时，重合，此时是等边三角形， 此时的周长为 故答案为：． 22．4 【分析】通过等腰三角形的定义得到，结合已知条件利用导角可求得，从而证得是等腰直角三角形，并求得，利用轴对称的性质可得周长的最小时为的长度，证明是等边三角形，从而求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， 设，则， ∴，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵点M、N分别为、上的动点， 如图，作点F关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，与交点，与交点， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， 由轴对称的性质可知，，， ∴，即点在上， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即周长的最小值为4． 23． 【分析】作B点关于射线的对称点E，连接，，，则可得， ， ．又由，可得， ， ， ，进而可得，，从而可得点D在过E点，且垂直于的射线上运动．作点A关于直线的对称点，连接， ，则，当，D，B三点共线时，有最小值，最小值为线段的长．运用勾股定理求出的长，从而得解． 【详解】解：如图，作B点关于射线的对称点E，连接，，， 则， ， ， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ， ， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴点D在过E点，且垂直于的射线上运动． 作点A关于直线的对称点，连接， ， 则， ∴， 当，D，B三点共线时，有最小值，最小值为线段的长． 作直线于F点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，以及“两点之间线段最短”的性质，熟练掌握以上知识，正确地作出辅助线且找出点的运动轨迹是解题的关键． 24．(1)①两点之间，线段最短；②；③13 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，能够掌握最短路径的解题思路是解题的关键． （1）根据题意填空即可； （2）连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，当点A，P，共线时，有最小值，最小值为，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为①两点之间，线段最短，将延长至点F，使得②，连接，则，，易求得③，即的最小值为的长． （2）解：如图，连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，连接，则，， 当点A，P，共线时，有最小值，最小值为， 过点A作交其延长线于点E， 到的垂直距离为，，， ， ， 从A到B的最短路程是． 25．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质进行求解； （2）利用轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质进行求解； （3）利用轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质进行求解； 【详解】（1）解：∵点P和点关于对称， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：∵点P关于的对称点为， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （3）解：过点P分别作的对称点E，F，连接，交和于M，N， 如图所示，此时三角形的周长取得最小值． 由（2）知，， ∵点P关于的对称点为E，F， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 26．(1)如图，点P即为所求． (2)①12；②周长的最小值是， 【分析】（1）根据轴对称的性质作出图形； （2）①分别作P关于、的对称点M、N，根据轴对称的性质得到的周长最小，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答； ②根据等边三角形的性质可得，，，据此得出，作点A关于的对称点M，连接交于，则，此时的值最小，此时，证明是等边三角形，再证明，得出，，最后得出周长的最小值，此时． 【详解】（1）略 （2）解：①分别作P关于、的对称点M、N，连接，交、于C、D，则的周长最小，连接、，如图： 由轴对称的性质可知，，，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长； ②连接，∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点E在射线上运动， 作点A关于的对称点M，连接交于，则， 此时的值最小，此时， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴周长的最小值是，此时点与重合，． 27．(1)，理由如下： 如图： ∵，，为边的中点， ∴平分 ∴ ∵， ∴ ∴； (2)，理由： 如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∵，，为边的中点， ∴平分， ∴ ∴， ∴ 在四边形中， ∴ ∴ ∵， ∴ 在中， ∴ ∴； 如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 同理可得， ∴ (3)存在，此时的周长为 【分析】（1）根据三线合一可得平分，进而得出，即可得出； （2）过点分别作的垂线，垂足分别为，根据等面积法得出，进而证明，即可证明； （3）作点关于的对称点，过点作于点，连接，此时垂直平分，根据垂线段最短可得最短，根据等边三角形的性质可得，进而根据等面积法得出，进而求得此时的周长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图， 作点关于的对称点，过点作于点，连接，此时垂直平分， ∴，， 此时最短， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 28．(1) 证明：， ， 是等边三角形． ，是等边三角形， ，，． ， ， ． (2) (3) 【分析】（1）先证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，．进而证明，从而可证得． （2）过点作于点，根据全等的性质可得的面积为，根据三角形的面积公式可求得的长，由，得到，再根据含直角三角形的性质即可得解． （3）作点关于的对称点，连接，，，则，当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长，此时的周长最小，由全等的性质可得，由轴对称的性质可得的度数，进而可得、的度数，最后根据含直角三角形的性质即可得证． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点． 的面积为，， 的面积为， ，即， ． ， ， ． （3）解：． 如图，作点关于的对称点，连接，，， 则， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长，此时的周长最小． ，， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30度的直角三角形的性质，两点之间线段最短，作出合理的辅助线，灵活应用相关性质定理是解题的关键． 29．（1）两点之间，线段最短；（2）10；（3）20 【分析】（1）根据两点之间，线段最短即可求解； （2）根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点和点重合时，的值最小，周长有最小值，求出的长度即可得到结论； （3）由折叠可知，根据的周长，判断出当、、三点共线时，的值最小，最小值为，再求得，，得到，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）解：小明在说明这个问题的过程中，把在直线同侧的问题转化为在直线两侧，从而可利用“两点之间，线段最短”的问题加以解决， 故答案为：两点之间，线段最短； （2）解：如图所示，直线是边的垂直平分线，直线与交于点， ∴、关于直线对称， ∴当点和点重合时，的值最小，最小值为的长， ∵， ∴周长的最小值为； （3）解：由折叠的性质，得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为， 在中，，， ∴由勾股定理得，， 由折叠可知，， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称性质、线段垂直平分线性质、三角形周长最值问题，垂线段最短，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 30．（）如图所示，点即为所求； （）垂线段最短； （）①； ②如图所示，连接交于点，点即为所求． ； （） 【分析】（）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则点即为所求； （）根据垂线段最短即可求解； （）①根据等边三角形的性质解答即可求解；②根据等边三角形的性质和两点之间线段最短解答即可求解； （）在上取点，使，连接，可证，得到， 即得，可知当点三点共线时，有最小值，最小值等于的长，当时，最小 ，再利用等边三角形的性质和直角三角形的性质解答即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点并正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（）略 （）略 （）①∵是等边三角形，是的中线， ∴，， ∴， 故答案为：； ②如图所示，连接交于点，点即为所求． ∵是等边三角形，是的中线， ∴垂直平分， ∵点为上一点， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值等于的长度， ∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ∴， ∴的最小值为； （）如图所示，在上取点，使，连接， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，有最小值，最小值等于的长， 当时，最小 ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $