培优专题05 全等三角形中的动点问题8大题型（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦全等三角形动点问题，通过8类细分题型构建从基础到综合的递进训练体系，强化分类讨论与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|8题型32题|覆盖单/多动点、三角形/四边形背景、拐点问题及面积/最值综合|以全等判定为核心，结合动点路径与时间变量，构建“判定方法-运动分类-几何建模”逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|14综合题|复杂情境下的动态全等探究，融合跨知识点应用|深化分类讨论与推理能力，体现“数学思维”与“数学眼光”的核心素养|

专题05全等三角形中的动点问题 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形中的动点问题 题型1 动点全等问题（选填） 题型2 多动点全等问题 题型3 三角形中的动点全等问题 题型4 四边形中的动点全等问题 题型5 存在“拐点”的动点全等问题 题型6 动点全等中的面积问题 题型7 动点全等中的最值问题 题型8 全等三角形动点问题综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形中的动点问题 ◆题型1 动点全等问题（选填） 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为______． 2．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，，，动点从点出发沿的路径向终点运动，动点沿的路径向终点运动动点和动点分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻分别过点和作于，于，则点运动时间为________秒时，与全等．    3．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从B点出发以的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动_____时，与全等． 4．（25-26八年级上·河北承德·期中）如图，，垂足为C，，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动（　　）秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等．（注意：两个直角三角形中，如果有斜边和直角边对应相等，两个直角三角形也是全等的）    A．3 B．6 C．6或12 D．0或6或12或18 ◆题型2 多动点全等问题 5．如图，在四边形中，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 6．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值． 7．如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当 秒时，与全等． 8．如图，在中，，，，P、Q是两个动点，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A－C－B的路线向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B－C－A的路线向终点A运动，点P和点Q都运动到各自的终点时停止，设运动时间为t（秒），直线经过点C，且l，过点P，Q分别作直线的垂线，垂足为E，F，当与全等时，t的值不可能是（   ） A．2 B．2.8 C．3 D．6 ◆题型3 三角形中的动点全等问题 9．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为（     ）． A．3或 B．2或 C．2或3 D．3或 10．（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，的高线与交于点，在直线上取点，使得．动点从点出发，以的速度从点向点运动，同时动点从点出发，沿射线以的速度运动，到达点时，P，Q两点都停止运动．已知，若两点移动过程中，存在与全等，则的值为_______． 11．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，在中，，，，．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则v的值为________． 12．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）（1）在边长为12的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．    ①如图1，若，当__________秒时，； ②如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形； （2）如图3，等腰三角形，，，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． ①取中点D，连接，则长为8，当__________秒时，为等腰三角形； ②若点P运动到中点处静止，点M，N分别为，上动点，点M以2个单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，求a的值．    ◆题型4 四边形中的动点全等问题 13．（24-25八年级上·河北唐山·期中）题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 14．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在四边形中，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为________时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 15．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 16．（25-26八年级上·全国·单元复习）已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为___________秒时，和全等． ◆题型5 存在“拐点”的动点全等问题 17．（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点B出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当t的值为______秒时，和全等． 18．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当_____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 19．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，则当__________s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 20．（25-26八年级上·吉林·阶段检测）如图，的两条高与交于点O，，． (1)若，求的度数； (2)①求证：； ②的长为________； (3)是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为（秒），当与全等时，直接写出的值． ◆题型6 动点全等中的面积问题 21．（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______； (2)如图①，当的面积等于面积的一半，求运动时间的值； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出点的运动速度． 22．（25-26七年级上·全国·期中）如图，在中，，，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． (1)点P在上运动的过程中，当 时，与的面积相等； (2)点P在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求的度数； (3)若点E是斜边的中点，当动点P在上运动时，线段所在直线上存在另一动点M，使两线段、的长度之和，即的值最小，求此时的长． 23．（25-26八年级上·广西南宁·期中）小明遇到这样一个问题：是边长为的等边三角形，点M，N分别是边上的动点．点M从点A出发沿线段向点B运动． 【初步探究】 （1）如图1，另一动点N从点B出发，沿线段向点C运动．如果M，N都以的速度同时出发，设运动时间为t．请问______（用含t的式子表示），当______时，是直角三角形． 【类比探究】 （2）在（1）的条件下，如图2，连接交于点E，点M，N运动过程中，通过测量小明发现的度数不变．为了验证这个结论，小明通过证明，从而得到，再利用外角的性质得出，即的度数不变． 如图3，若点M，N分别在的延长线上运动，作直线交于点E，其余条件不变，的度数会发生变化吗？若变化，请说明理由．若不变，请求出它的度数． 【拓展应用】 （3）如图4，若另一动点N从点C出发，沿射线方向运动，连接交于点D．如果动点M，N以相同的速度同时出发同时停止，在运动过程中，请探究和的面积之间的数量关系，并说明理由． 24．（25-26八年级上·北京西城·期末）如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 __________ ，的面积的最大值为 ___________________ ． ◆题型7 动点全等中的最值问题 25．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，，，为角平分线上一动点，为边上一动点，的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．6 26．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，，，点是直线上的一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 27．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，点是边上的中点，点为上的一个动点，连结，在的下方作等边，连结，则最小值是（） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 28．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，分别为边上的动点，且，连接．当取最小值时，_____． ◆题型8 全等三角形动点问题综合 29．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，，，点D、E是边上的两个动点，且满足，则当以，，的长为边长构成直角三角形时可能是（    ） A． B． C． D． 30．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，是等边三角形，E、D分别为边上两动点，且，连接交于点G，点F为线段上一动点，且，在运动过程中，当，时，的值为________． 31．（25-26七年级下·广东梅州·期末）已知：为等边三角形，点、点是两个动点，点从点出发，同时点从点出发，且两个动点的速度相同． (1)如图（1）若动点在线段上，动点在线段上，连接交于点．求证： (2)如图（2）若动点在射线上，动点在射线上，连交延长线于点．求证：． (3)如图（3）若动点在的延长线上，动点在线段上，连接交于．求证：． 32．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，点是等边边所在直线上一动点（点与点不重合），连接，以为边在上方作等边，连接； 操作发现：               图1                  图2                       图3 (1)如图（1），当动点在上，你能发现线段与之间的数量关系吗？并证明你发现的结论； (2)如图（2），在（1）的条件下，作关于直线对称的，连接，探究与有何数量关系？并证明你探究的结论； 拓展探究： (3)如图（3），当动点在的延长线上，其他作法与（2）相同，当时，求的长度． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过（　　）秒时，与全等．（注：点与不重合） A． B．、 C．、、 D．、、 2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，点D为中点，连接，点E、点F分别为、上两动点，过点F作于点H，当取最小值时，，则的面积是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 4．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，E、F分别为、上的动点，且，连接，，当取得最小值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，平分，点 P为线段上一动点，点 Q为边上一动点，当的值最小时，的度数是_____． 6．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为秒，则当____秒时，与全等． 7．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，D、E分别为线段、上的动点，且，当取得最小值时，______． 8．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，动点与线段构成，其边长满足，，若点在的平分线上，且，则的面积的最大值为______．    9．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）【问题呈现】 已知为等边三角形，点为射线上一动点（点不与点，点重合）． （1）连接，以为边向右侧作等边，连接． ①如图1，当点在边上时，求证：； 【类比探究】 ②如图2，若点在边的延长线上，随着动点的运动位置不同，求证：． 【拓展应用】 （2）如图3，在等边中，，点是边上一定点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接．直接写出的最小值． 10．（25-26八年级上·山西大同·期中）综合与探究 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图1，在中，，点，分别是边，上的动点，且，探究的最小值． 【问题分析】通过构造全等三角形，将所求的两条线段转化到同一个三角形中，进而解决问题． 【问题解决】过点作，且，连接．完成下列问题： （1）求证：． （2）连接 ，则线段 的长即为的最小值． 【方法应用】 （3）如图2，在等边三角形中，于点，点，分别是线段，上的动点，且，当的值最小时，请直接写出的度数． 11．（25-26八年级上·湖北黄石·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 12．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，为的高，为上一点，连接并延长交于点，，，，且． (1)___________，___________； (2)请求出的长度； (3)判断和的位置关系，并说明理由； (4)有一动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，设运动的时间为秒． 智慧小组提出问题：当点在线段上时，满足的面积为，请直接写出的值； 为了更好的研究动态几何中的全等三角形，博学小组提出问题：动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动，点是直线上一点，且，当时，请直接写出的值． 13．（25-26八年级上·河北衡水·期中）等边的边长为10，P是边上一动点，点Q是射线上一动点． (1)如图1，当时，求证：； (2)当点Q在延长线上时，连接，交边于点D，始终保证D是线段的中点． ①如图2，，作交于点E，求的长； ②如图3，作于点F．线段的长是否发生变化？若不变，求线段的长；若发生变化，请说明理由； ③如图4，长为1的木条在边上，且．若②中的点F落在木条上（包括端点），请直接写出的取值范围． 14．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当为等腰直角三角形时，求值； (4)分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05全等三角形中的动点问题 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形中的动点问题 题型1 动点全等问题（选填） 题型2 多动点全等问题 题型3 三角形中的动点全等问题 题型4 四边形中的动点全等问题 题型5 存在“拐点”的动点全等问题 题型6 动点全等中的面积问题 题型7 动点全等中的最值问题 题型8 全等三角形动点问题综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形中的动点问题 ◆题型1 动点全等问题（选填） 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分当在线段上时，，当在线段上时，，当在线段延长线上时，，当在线段延长线上时，四种情况，然后根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ，平分， ∴， ∴当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， ∴若与全等，则的值为或， 故答案为：或． 2．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，，，动点从点出发沿的路径向终点运动，动点沿的路径向终点运动动点和动点分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻分别过点和作于，于，则点运动时间为________秒时，与全等．    【答案】2或 【分析】根据题意分为三种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即， ； ②如图2，P在上，Q在上，    ∵由①知：， ∴， ∴； ∵， ∴此种情况不符合题意； ③当P、Q都在上时，如图3，   ， ． 综上所述，点运动时间为2或，与全等， 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 3．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从B点出发以的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动_____时，与全等． 【答案】2或4 【分析】根据题意和这两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∴当与全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴运动时间为； 当时，则， ∴运动时间为； 综上所述，当运动或时，与全等． 4．（25-26八年级上·河北承德·期中）如图，，垂足为C，，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动（　　）秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等．（注意：两个直角三角形中，如果有斜边和直角边对应相等，两个直角三角形也是全等的）    A．3 B．6 C．6或12 D．0或6或12或18 【答案】D 【分析】分两种情况讨论：①当P在线段上时，②当P在上，再分别分两种情况或进行计算即可． 【详解】解：①当P在线段上时，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点P的运动时间为（秒）， ②当P在线段上时，时，， 则，， ∴时间为0秒， ③当P在上，时，， ∵， ， ∴， ∴点P的运动时间为（秒）， ④当P在上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点P的运动时间为（秒）， ∴点P的运动时间为0或6或12或18秒， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． ◆题型2 多动点全等问题 5．如图，在四边形中，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】5或 【分析】本题考查了全等三角形的性质和二元一次方程组的求解，正确理解题意、分情况讨论是解题的关键； 设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s，则，，，表示出，，再分与两种情况，根据全等三角形的性质构建方程组求解即可． 【详解】解：设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s， 由题意得，，，， 所以，， ∵， ∴， 当时，则， ∴， 解得：， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， 解得：， ∴， 解得：； 综上，动点M的运动速度是2或； 故答案为：5或． 6．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）或或 【分析】本题围绕“一线三等角”模型，考查全等三角形的判定与性质． （1）先根据等角的余角相等推出，再由证明，得，，进而可得结论； （2）由证明，得，，进而可得结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分：①当E在上，D在上时；②当E在上，D在上时；③当E在上，D在上时；④当E到达A，D在上时，分别讨论． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：； （2）结论仍然成立，证明如下： ∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （3）∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， 分情况讨论： ①当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴； ②当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴； ③当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴（不符合，舍去）； ④当E到达A，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 7．如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当 秒时，与全等． 【答案】6或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明得到，，则可推出只存在这种情况，则由，再分，和，三种情况分别用含t的式子表示出的长，然后建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴； ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴（不合题意，舍去）； ②当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 综上所述，t的值为6或或， 故答案为：6或或． 8．如图，在中，，，，P、Q是两个动点，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A－C－B的路线向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B－C－A的路线向终点A运动，点P和点Q都运动到各自的终点时停止，设运动时间为t（秒），直线经过点C，且l，过点P，Q分别作直线的垂线，垂足为E，F，当与全等时，t的值不可能是（   ） A．2 B．2.8 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、作图-基本作图、平行线之间的距离、勾股定理，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值． 【详解】解：当P在上，Q在上时，如图，过点P，Q，C分别作直线l于点E，直线l于点F，于点D， ∵， ∴， ∵于E，于F． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当P在上，Q在上时，即P、Q重合时，则， 由题意得，， 解得； 当P在上，Q在上时，即A、Q重合时，则， 由题意得，， 解得． 综上，当与全等时，t的值为2或2.8或6． ∴t的值不可能是3． 故选：C． ◆题型3 三角形中的动点全等问题 9．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为（     ）． A．3或 B．2或 C．2或3 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质及动点问题，设运动时间为，表示出、、的长，根据，分和两种情况，利用全等三角形对应边相等列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，点的运动速度为cm/s， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴分两种情况讨论： ①当时， ，， ∴，， 解得， ∴； ②当时， ∴，， ∴，， 解得， ∴； 综上所述，点的运动速度为或． 故选B． 10．（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，的高线与交于点，在直线上取点，使得．动点从点出发，以的速度从点向点运动，同时动点从点出发，沿射线以的速度运动，到达点时，P，Q两点都停止运动．已知，若两点移动过程中，存在与全等，则的值为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点F分别在延长线上或在之间时，再用t表示相关线段，根据全等三角形对应边相等列一元一次方程求解即可． 【详解】解：①当点F在延长线上时：设t秒时，P、Q分别运动到如图位置时． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴，解得：； ②当点F在之间时：设t秒时，P、Q分别运动到如图位置时． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴，解得：． 综上，的值为或． 故答案为或． 11．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，在中，，，，．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则v的值为________． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键．根据题意画出图形，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵在中，，，，， ∴， 假设运动的时间为， 当时，即点在上，如图， 若， 则， ， ； 若， 则， ， ； 当时，即点在上， 若， 则， ， ； 若， 则， ， 所以， 当时，即点在上， 此时， ∴所以不存在和全等， 综上所述，点的运动速度为：或或， 故答案为：或或． 12．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）（1）在边长为12的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．    ①如图1，若，当__________秒时，； ②如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形； （2）如图3，等腰三角形，，，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． ①取中点D，连接，则长为8，当__________秒时，为等腰三角形； ②若点P运动到中点处静止，点M，N分别为，上动点，点M以2个单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，求a的值．    【答案】（1）①4②8（2）①5或8②2或 【分析】（1）①由平行线的性质，，从而得出是等边三角形，列方程求解即可；②根据点所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出等量关系，列方程求解即可； （2）①分三种情况讨论，即可求解，②分两种情况进行讨论，列出关系式，即可求解， 本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键． 【详解】解：（1）①是等边三角形，， ， 又， ， 是等边三角形， ， 由题意可知：， 解得：， ∴当的值为4时，； ②当点在边上时，    此时不可能为等边三角形； 当点Q在边上时，    若为等边三角形，则， 由题意可知，， ∴， 即：，解得：， ∴当时，为等边三角形； （2）①当时，   ， 为等腰三角形， 当时，，    ∴， ∴， ∴，，为等腰三角形， 当时，   上不存在点P使为等腰三角形， ∴当或8时，为等腰三角形， ②    由题意可知：，， ∴， 若， 则 ∴，， 解得：， 若， 则， ，， 解得：， 综上所述：当全等时，a的值为2或． ◆题型4 四边形中的动点全等问题 13．（24-25八年级上·河北唐山·期中）题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可得，，，即得，又由可得，然后分和两种情况根据全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时，则，， ∴，， ∴， ∴此时点的速度为； 当时，则，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴此时点的速度为； 综上，动点的速度为或， 故选：． 14．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在四边形中，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为________时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】5或 【分析】本题考查了全等三角形的性质和二元一次方程组的求解，正确理解题意、分情况讨论是解题的关键； 设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s，则，，，表示出，，再分与两种情况，根据全等三角形的性质构建方程组求解即可． 【详解】解：设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s， 由题意得，，，， 所以，， ∵， ∴， 当时，则， ∴， 解得：， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， 解得：， ∴， 解得：； 综上，动点M的运动速度是2或； 故答案为：5或． 15．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 【答案】 2 【分析】本题考查了全等三角形判定与动点问题，解题关键是分情况讨论时，同时验证点的运动边界条件． 【详解】解：设运动时间为秒，则：，，，且，． ， 与均为直角三角形，全等需两组直角边对应相等，分两种情况：   情况一：且， 解得， 此时，点超出边界，舍去． 情况二：且， 解得，． 此时，，符合运动范围，有效． 综上，唯一符合条件的解为． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·全国·单元复习）已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为___________秒时，和全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．分和两种情况，证明和全等，进而可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知， 分两种情况讨论， ①当时，如图， ∵， ∴， 由题意得，解得（秒）； ②当时，如图， ∵， ∴， 由题意得，解得（秒）． 综上所述，当的值为1或7秒时，和全等． 故答案为：或． ◆题型5 存在“拐点”的动点全等问题 17．（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点B出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当t的值为______秒时，和全等． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确理解题意，进行分类讨论． 由矩形的性质可得角度和线段长度，由三角形全等可得对应边相等，结合运动过程进行分类讨论，分别计算不同情形对应的运动时间即可． 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴，，， ∵点在延长线上， ∴， 若，则， ∴运动时间， 若，则， ∴运动时间， 故答案为：或． 18．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当_____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】或2或6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米，当点P在线段上时，只有这种情况，当点P在的延长线上时，只存在和两种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可． 【详解】解：设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米， ∵，， ∴， 当点P在线段上时， ∵， ∴此时只有这种情况， ∴厘米，厘米， ∴， 解得； 当点P在的延长线上时，， ∴只存在和两种情况， 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 综上所述，v的值为或2或6． 故答案为：或2或6． 19．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，则当__________s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【答案】1或或12 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类． 由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分：当在上，在上时；当在上，在上时；当到达，在上时，分别讨论． 【详解】解：当E在上，D在上时，即， 则，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ， 当在上，在上时，即， 则，， ， 当到达，在上时，即， 则，， ， ， 故答案为：或或12． 20．（25-26八年级上·吉林·阶段检测）如图，的两条高与交于点O，，． (1)若，求的度数； (2)①求证：； ②的长为________； (3)是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为（秒），当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①证明：∵的两条高与交于点， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ②6 (3)或时，与全等． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、同角的余角相等及解一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定定理并运用分类讨论的思想是解题关键． （1）根据的两条高与交于点，利用同角的余角相等得出即可得答案； （2）①先利用等角的余角相等求得，利用可证明即可； ②利用全等三角形的性质即可得答案； （3）分点在延长线上和点在线段上两种情况，利用全等三角形的性质，分别用表示出、，解方程求出值，即可得答案． 【详解】（1）解：∵的两条高与交于点， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：①略 ②∵， ∴； （3）解：与全等时， ①如图，当点在延长线上时，， ∴，， ∵点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度， ∴，，， ∴， 解得：． ②如图，当点在线段上时，， ∴，， ∵点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度， ∴，，， ∴， 解得：． 综上所述：或时，与全等． ◆题型6 动点全等中的面积问题 21．（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______； (2)如图①，当的面积等于面积的一半，求运动时间的值； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出点的运动速度． 【答案】(1)8 (2)或 (3)或或或 【分析】（1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点、所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， ∴当时，点在点处，此时． （2）解：在中，，，，， ∴． ∵的面积等于面积的一半， ∴． 如图，当点在上时，， ∴，解得． 如图，当点在上时，过点作于点， 此时， ∵， ∴． ∴，解得． 综上所述，当的面积等于面积的一半，或． （3）解：设点的运动速度为， ①当点在上，点在上时，， ，， ． ②当点在上，点在上时，， ，， ． ③当点在上，点在上时，， ，， ， ∴． ④当点在上，点在上时，， ，， ∴点的运动时间， ∴． 综上可知，点的运动速度为或或或时，在两点运动过程中的某时刻，恰好与全等． 22．（25-26七年级上·全国·期中）如图，在中，，，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． (1)点P在上运动的过程中，当 时，与的面积相等； (2)点P在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求的度数； (3)若点E是斜边的中点，当动点P在上运动时，线段所在直线上存在另一动点M，使两线段、的长度之和，即的值最小，求此时的长． 【答案】(1)当时，与的面积相等 (2)或或或 (3)5 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）由（1）得：，分两种情况：①点P在上，再分，，利用等腰三角形的性质求解即可；②点P在上时，存在，根据等腰三角形的性质求解即可； （3）当M在上，且时，最小，作于，如图3所示：则，证明得到，，则，当点E、M、三点共线时取等号，此时的最小值为的长；由平行线的性质得，由直角三角形的性质得，，求出即可． 【详解】（1）解：当时，与的面积相等，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴与的面积相等． （2）解：由（1）得：， 分两种情况： ①点P在上，如图1所示： 若，则， ∴； 若时，则； 若， 则； ②点P在上时，如图2所示： 存在， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或； （3）解：当M在上，且时，最小，作于，如图3所示： 则， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，当点E、M、三点共线时取等号， ∴的最小值为的长， 此时，则， ∵，， ∴， ∵点E是斜边的中点， ∴ ∴ ∴. 故答案为：5． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质以及最小值问题等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 23．（25-26八年级上·广西南宁·期中）小明遇到这样一个问题：是边长为的等边三角形，点M，N分别是边上的动点．点M从点A出发沿线段向点B运动． 【初步探究】 （1）如图1，另一动点N从点B出发，沿线段向点C运动．如果M，N都以的速度同时出发，设运动时间为t．请问______（用含t的式子表示），当______时，是直角三角形． 【类比探究】 （2）在（1）的条件下，如图2，连接交于点E，点M，N运动过程中，通过测量小明发现的度数不变．为了验证这个结论，小明通过证明，从而得到，再利用外角的性质得出，即的度数不变． 如图3，若点M，N分别在的延长线上运动，作直线交于点E，其余条件不变，的度数会发生变化吗？若变化，请说明理由．若不变，请求出它的度数． 【拓展应用】 （3）如图4，若另一动点N从点C出发，沿射线方向运动，连接交于点D．如果动点M，N以相同的速度同时出发同时停止，在运动过程中，请探究和的面积之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），或； （2）不变，； （3）和的面积相等，理由如下： 过点作，过点作，则：， ∵， ∴， 由题意，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式，分和两种情况进行讨论进行求解即可； （2）证明，得到，对顶角得到，结合三角形的内角和定理进行求解即可； （3）过点作，过点作，证明，得到，进而根据同底等高的两个三角形的面积相等，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵是边长为的等边三角形， ∴，， 由题意，得：， ∴， 当是直角三角形时，分两种情况： ①当时，则：， ∴，即，解得； ②当时，则：， ∴，即，解得； 综上：当或时，是直角三角形； （2）不变，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； （3）略 24．（25-26八年级上·北京西城·期末）如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 __________ ，的面积的最大值为 ___________________ ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，角平分线的性质，三角形的面积，关键是掌握三角形三边关系定理，构造全等三角形．由三角形三边关系定理可得到 的取值范围；延长、交于点，由证明，推出，，从而可得，当时，的面积取最大值，根据三角形面积公式求解即可，进而得到的面积的最大值． 【详解】解：在中，， ，解得， 如图所示，延长、交于点， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，的面积取最大值，最大值为， 的面积的最大值为， 故答案为：，． ◆题型7 动点全等中的最值问题 25．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，，，为角平分线上一动点，为边上一动点，的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】过点Q作的对称点，连接，则，过点作交延长线于点，则，那么的最小值为，过点作交于，过点作于点，证明，导角证明得到，则由等腰三角形的性质以及全等三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：过点Q作的对称点，连接，则，过点作交延长线于点， ∵为角平分线上一动点， ∴点在射线上， ∴， ∴的最小值为，此时重合，点共线， 过点作交于，过点作于点， ∴， ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂线段最短，三角形的外角定理等知识点，难度大，解题的关键是正确构造全等三角形． 26．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，，，点是直线上的一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段最短，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则，所以，是等边三角形，得，，，然后证明，所以，则点在过的垂线上运动，根据垂线段最短可得，当时，最短，最后通过直角三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接， ∴， ∴，是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴点在过的垂线上运动， 根据垂线段最短可得，当时，最短，如图， ∵， ∴， ∴线段的最小值为， 故选：． 27．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，点是边上的中点，点为上的一个动点，连结，在的下方作等边，连结，则最小值是（） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、点到直线的距离最短以及直角三角形的性质，熟练掌握构造辅助图形（等边三角形）转化线段关系，确定动点运动轨迹是解题的关键． 通过构造等边三角形，利用全等三角形判定（）确定点的运动轨迹，再结合点到直线的距离最短性质，求解的最小值． 【详解】解析：如图在的右边作等边，作射线． ∵， ∴， 在和中， ， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴点在射线上运动（点是定点，是定值）， 当时，的值最小，． 故选：． 28．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，分别为边上的动点，且，连接．当取最小值时，_____． 【答案】18 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，添加辅助线构造全等三角形，利用两点之间线段最短得到取最小值时点的位置是解题的关键． 如图，在下方作，且使得，则，，可证得，则，，进而可知当点在上时，取得最小值，此时，，即可求解． 【详解】解：如图，在下方作，且使得，则，， 又∵， ∴，则， ∴，则， 即，当点在上时，取得最小值， 此时，， 故答案为：18． ◆题型8 全等三角形动点问题综合 29．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，，，点D、E是边上的两个动点，且满足，则当以，，的长为边长构成直角三角形时可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质，直角三角形的性质．将绕点A逆时针旋转得到，得到，，，，证明，求得，由题意得，据此求解即可． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，如图所示： ∵，， ∴， ∴． 由旋转的性质得，，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵以，，的长为边长构成直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A． 30．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，是等边三角形，E、D分别为边上两动点，且，连接交于点G，点F为线段上一动点，且，在运动过程中，当，时，的值为________． 【答案】// 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．先证明，推出，，证明是等边三角形，求得，取的中点，连接，证明是等边三角形，求得，求得，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 31．（25-26七年级下·广东梅州·期末）已知：为等边三角形，点、点是两个动点，点从点出发，同时点从点出发，且两个动点的速度相同． (1)如图（1）若动点在线段上，动点在线段上，连接交于点．求证： (2)如图（2）若动点在射线上，动点在射线上，连交延长线于点．求证：． (3)如图（3）若动点在的延长线上，动点在线段上，连接交于．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，证明，即可证明结论； （2）证明，可得，然后由，，求得； （3）首先过点D作交于点G，则可证得为等边三角形，继而证得，则可证得结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 根据题意得：， 在和中， ， ∴ ∴； （2）根据题意，， ∴， 即， 在和中 ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）过点作交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴为等边三角形 ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法， 32．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，点是等边边所在直线上一动点（点与点不重合），连接，以为边在上方作等边，连接； 操作发现：               图1                  图2                       图3 (1)如图（1），当动点在上，你能发现线段与之间的数量关系吗？并证明你发现的结论； (2)如图（2），在（1）的条件下，作关于直线对称的，连接，探究与有何数量关系？并证明你探究的结论； 拓展探究： (3)如图（3），当动点在的延长线上，其他作法与（2）相同，当时，求的长度． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵等边和等边， ， ， ， ， ； (2) ，理由如下： 令交于点， 由（1）知， ∴， ∵作关于直线对称的， ， ∴，， ， ， ∴， ∵， 为的一个外角， ， ， ， 在和中，， ， ； ； (3) 【分析】（1）先证明，再证明，从而可得结论； （2）令交于点，证明，由关于直线对称的，可得，，再证明，结合全等三角形的性质可得结论； （3）如图，同（1）理可证：，可得，设，证明，可得，再结合全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，同（1）理可证：， ，设， 与关于直线对称， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练的证明需要的三角形全等是解本题的关键． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过（　　）秒时，与全等．（注：点与不重合） A． B．、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法；分类讨论各种情况下的三角形全等是解决问题的关键． 分类讨论：①当在线段上，时，，②当在上，时，，③当在上，时，，根据全等的性质分别进行计算，即可得出结果． 【详解】解：①当在线段上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ②当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ③当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）， 综上所述的值为：4，12，16． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点，使得，连接，由，可得：，证明是等边三角形，得到，结合是等边三角形，可证明，得到，推出，得到点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，得到，由可得，即可求解． 【详解】解：延长到点，使得，连接， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则， ， ， ， 的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是直角三角形的性质“角所对的直角边是斜边的一半”、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的几何原理，合理添加辅助线，熟练掌握垂线段最短的几何原理是解题的关键． 3．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，点D为中点，连接，点E、点F分别为、上两动点，过点F作于点H，当取最小值时，，则的面积是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质．连接，过作点C的对称点O，连接，过点F作于点N，作于点P，利用对称的性质当点C，E，F，N，P共线时，取得最小值，设，交于点Q，证明，求得的值，再进一步证得为等边三角形，从而得到的值，由于C，O关于对称，可求出的值，最终利用三角形面积公式求得结果． 【详解】解：如图，连接，作点C关于的对称点O，连接，过点F作于点N，作于点P， 由对称可知，，， ∵，，点D为中点， ∴，即垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，垂线段最短， ∴当点C，E，F，N，P共线时，取得最小值，此时点P与点N重合， 如图，设，交于点Q， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵C，O关于对称， ∴，， ∴． 故选：D． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，E、F分别为、上的动点，且，连接，，当取得最小值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点C作，使得，连接，，交于点M，证明，得，当三点共线时的值最小，再证明，得，进而可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作，使得，连接，，交于点M， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，且此时点F与点M重合， ∵, ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即此时， ∵ ∴， ∴此时． 故选：A． 5．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，平分，点 P为线段上一动点，点 Q为边上一动点，当的值最小时，的度数是_____． 【答案】/127度 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键． 在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小， ∴当点A、P、E在同一直线上，且时，， ， ， ， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为秒，则当____秒时，与全等． 【答案】3或7或10 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分点E在线段上和点E在线段上两种情况，分别分成两种情况求解即可． 【详解】解：①点E在线段上，点E与点A重合时此时，当时，，则，不符合题意，舍去； 点E在线段上，，则， ， ∵动点从点出发以的速度沿射线运动， ； ②当点E在线段上，，则， ， ∵动点从点出发以的速度沿射线运动， ； 当点E在线段上，，则， ， ∵动点从点出发以的速度沿射线运动， ． 综上，当为3或7或10秒时，与全等． 故答案为：3或7或10． 7．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，D、E分别为线段、上的动点，且，当取得最小值时，______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，正确作出辅助线是解题的关键． 作，且使，证明，可得，故取得最小值，即取最小值，当三点共线时，可得最小，解得此时的度数即可． 【详解】解：如图，作，且使， ，， ， ，， ， ， ， 要使取得最小值，即取最小值， 当三点共线时，最小， ， ， ， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，动点与线段构成，其边长满足，，若点在的平分线上，且，则的面积的最大值为______．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短，三角形的面积，关键是理解三角形的中线平分三角形的面积．延长交延长线于M，根据点在的平分线上，且，证明，得到，又结合，，即可求出面积的最大值． 【详解】解：延长交延长线于M，过M作交延长线于H，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当的面积最大时，的面积最大， ∵，，， ∴面积的最大值 故答案为：． 9．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）【问题呈现】 已知为等边三角形，点为射线上一动点（点不与点，点重合）． （1）连接，以为边向右侧作等边，连接． ①如图1，当点在边上时，求证：； 【类比探究】 ②如图2，若点在边的延长线上，随着动点的运动位置不同，求证：． 【拓展应用】 （2）如图3，在等边中，，点是边上一定点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接．直接写出的最小值． 【答案】 （1）①证明：和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ②证明：和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （2）8． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1） 略 （2）解：在射线上截取，连接， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 10．（25-26八年级上·山西大同·期中）综合与探究 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图1，在中，，点，分别是边，上的动点，且，探究的最小值． 【问题分析】通过构造全等三角形，将所求的两条线段转化到同一个三角形中，进而解决问题． 【问题解决】过点作，且，连接．完成下列问题： （1）求证：． （2）连接 ，则线段 的长即为的最小值． 【方法应用】 （3）如图2，在等边三角形中，于点，点，分别是线段，上的动点，且，当的值最小时，请直接写出的度数． 【答案】 （1）证明：∵， ， 在和中， ， ， ； （2）；； （3）． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，最短路径问题以及等边三角形的性质． （1）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）连接，连接的最小值即为线段的长度； （3）过点C作，且，连接交于点，证明（），得到，进而得到，即的最小值为的长，此时A，N，E三点在同一条直线上，推出，等边对等角进行求解即可． 【详解】问题解决：（1）略 （2）解：连接的最小值即为线段的长度． 则， 故的最小值即为线段的长度． 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图，过点C作，且，连接交于点． ∵是等边三角形，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴（）， ∴， ∴，即的最小值为的长， 此时A，N，E三点在同一条直线上． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴当的值最小时，的度数为． 11．（25-26八年级上·湖北黄石·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 【答案】(1)4 (2)或 (3)运动的速度为或或或． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：； 当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴ 解得； ②当点在上，点在上，时， ， ∴， 解得； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ∴运动的速度为或或或． 12．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，为的高，为上一点，连接并延长交于点，，，，且． (1)___________，___________； (2)请求出的长度； (3)判断和的位置关系，并说明理由； (4)有一动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，设运动的时间为秒． 智慧小组提出问题：当点在线段上时，满足的面积为，请直接写出的值； 为了更好的研究动态几何中的全等三角形，博学小组提出问题：动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动，点是直线上一点，且，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)，； (2) (3)，理由如下： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； (4)；或． 【分析】根据线段的和与差即可求解； 证明，然后通过全等三角形的性质即可求出； 由，则有，又，，， 从而可得； 由得，由得，通过，求得，所以，从而求出； 分当在线段上，在线段上时，当在线段上，在线段的延长线上时，当在线段延长线上，在线段上时，如图，当在线段延长线上，在线段的延长线上时，四种情况即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵为的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为； （3）略； （4）解：如图，由得，由得， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 如图，当在线段上，在线段上时， 此时不存在， 如图，当在线段上，在线段的延长线上时， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得； 如图，当在线段延长线上，在线段上时， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得； 如图，当在线段延长线上，在线段的延长线上时， 此时不存在， 综上可得：的值为或． 13．（25-26八年级上·河北衡水·期中）等边的边长为10，P是边上一动点，点Q是射线上一动点． (1)如图1，当时，求证：； (2)当点Q在延长线上时，连接，交边于点D，始终保证D是线段的中点． ①如图2，，作交于点E，求的长； ②如图3，作于点F．线段的长是否发生变化？若不变，求线段的长；若发生变化，请说明理由； ③如图4，长为1的木条在边上，且．若②中的点F落在木条上（包括端点），请直接写出的取值范围． 【答案】(1) 证明：是等边三角形， ，， ， ； (2)①12；②的长不变，为5；③． 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）结合等边三角形性质证明全等即可； （2）①由（1）知，，先证明是等边三角形，得到，再证明，得到，即可得解； ②作，交于E，由①知，是等边三角形，，则，再根据等边三角形三线合一的性质可得，即可得解； ③分两种情况讨论：当点F在M处时，作，交于E；当F在N处时，结合上述结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①由（1）知，， ， ，，， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ， ； ②如图1，的长不变，理由如下， 作，交于E， 由①知，是等边三角形，， ， ， ， ， 的长不变； ③如图2，当点F在M处时，作，交于E， 由上知，是等边三角形，， ， 此时， 当F在N处时，此时， ， ， ． 14．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当为等腰直角三角形时，求值； (4)分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)2 (3)4或 (4)或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的性质，一元一次方程的应用等；能用分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）用的长减去点P运动的路程即可得到答案； （2）当点P与点C重合时求得，则可证明此时点Q从点C运动到点B的途中，由即可求解； （3）分三种情况：，和，根据等腰直角三角形的定义可得，据此建立方程求解即可； （4）分三种情况：，和，由全等三角形的性质可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴； （2）解：当点P与点C重合时，， ∴点Q的运动路程为， ∵， ∴当点P与点C重合时，点Q在从点C运动到点B的途中， ∴； （3）解：点P从点A运动到点C的时间为秒，点P从点A出发再回到点A的时间为秒，当点Q在从C运动到点B的时间为秒， ∵，是等腰直角三角形， ∴； 当时，则，解得， 当时，则，解得（舍去）； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为4或； （4）解：当时，∵， ∴， ∴， 解得； 当时，∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时，∵， ∴， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $